3.6　三元一次方程组及其解法 同步练 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

3.6　三元一次方程组及其解法 知识点1　三元一次方程组的概念 1．下列各方程组，是三元一次方程组的是(　C　) ①　　② ③ ④ A．①②④ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 方程组中含有三个未知数，并且每个方程中未知数的次数都是1，且为三个整式方程，满足这些条件才是三元一次方程组．①的第1个方程和④的第3个方程都不是整式方程． 2．以为解建立三元一次方程，不正确的是(　C　) A．3x－4y＋2z＝3 B．x－y＋z＝－1 C．x＋y－z＝－2 D．－y－z＝ 把分别代入A，B，C，D四个选项的方程中，计算看方程左边的值与右边的值是否相等，只有C不正确． 3．已知甲、乙两数之和为5，乙、丙两数之和为8，甲、丙两数之和为6.如果甲数用x表示，乙数用y表示，丙数用z表示，则可列方程组为____. 根据题意，甲数用x表示，乙数用y表示，丙数用z表示，甲、乙两数之和为5，表示为x＋y＝5；乙、丙两数之和为8，表示为y＋z＝8；甲、丙两数之和为6，表示为x＋z＝6.则可列方程组为 知识点2　解三元一次方程组 4．下列四组数值中，为方程组的解的是(　D　) A． B． C． D． ①＋②，得3x＋y＝1④，①＋③，得4x＋y＝2⑤，⑤－④，得x＝1， 将x＝1代入④，得y＝－2，将x＝1，y＝－2代入①，得z＝3， 则方程组的解为 5．已知方程组则x＋y＋z的值为(　C　) A．6 B．－6 C．5 D．－5 6．如果方程组的解使代数式kx＋2y－3z的值为8，则k＝(　A　) A． B．－ C．3 D．－3 ①－②，得x－z＝2④，③＋④，得2x＝6，解得x＝3，将x＝3代入①，得y＝5，将x＝3代入③，得z＝1， 故原方程组的解是又因为方程组的解使代数式kx＋2y－3z的值为8，所以3k＋2×5－3×1＝8，解得k＝. 7．解方程组： (1) (2) (1) ②－①，得y＋4z＝10④， 将③代入①，得5y＋z＝12，⑤ 由④⑤，得解得 把y＝2代入③，得x＝8.所以原方程组的解是 (2) ①＋②，得4x＋y＝16④，①－③，得2x－2y＝－2，即x－y＝－1，⑤ ④＋⑤，得5x＝15，解得x＝3，把x＝3代入⑤，得3－y＝－1，解得y＝4，把x＝3，y＝4代入③，得3＋4＋z＝12，解得z＝5，所以方程组的解为 知识点3　三元一次方程组的应用 8.(江苏常州武进区期中)如图，在3×3的正方形网格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，则a－bc的值为__13__． 2 a 0 －3 －1 1 b 3 c 9．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方将密文解密成明文．已知某加密规则为明文x，y互为相反数，其对应密文为x＋2y－k，2x＋y－k.若接收方收到密文为2和－1，则k的值为__－__. 易错易混点　不能准确选择解三元一次方程组的方法 10．(广西梧州苍梧县期末)下面所示为三元一次方程组的解题过程，请根据提供的做法和有关信息解决问题． 解方程组： 解：由方程②，得z＝7－3x＋2y.④…步骤一 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得 代入④，得z＝7－3－6＝－2. 所以原方程组的解是 我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为__一元一次方程__求解，方法有__代入消元法__和__加减消元法__．其中的步骤二通过__代入消元__法消去未知数z，将三元一次方程组变成了__二元一次方程组__，体现了数学中__消元__思想． (2)仿照以上思路解方程组 消去字母z后得到的二元一次方程组为____． (2) 由方程②，得z＝5－2x－y，④ 将④分别代入方程①和③，得： 整理得： 11．已知是方程组的解，则a＋b＋c的值是(　A　) A．3 B．2 C．1 D．无法确定 由题意将代入方程组，得 ①＋②＋③，得a＋2b＋2b＋3c＋c＋3a＝2＋3＋7，即4a＋4b＋4c＝4(a＋b＋c)＝12，则a＋b＋c＝3. 12．纸箱里有红黄绿三色球，红球与黄球的比为1∶2，黄球与绿球的比为3∶4，纸箱内共有68个球，则黄球有__24__个． 设红色球有x个，黄色球有y个，绿色球有z个， 依题意，得解得即红色球有12个，黄色球有24个，绿色球有32个． 13．已知|x－z＋4|＋|z－2y＋1|＋|x＋y－z＋1|＝0，则x＋y＋z＝__9__． 因为|x－z＋4|＋|z－2y＋1|＋|x＋y－z＋1|＝0， 所以 ②＋③×2，得2x－z＝－3④，由①④组成方程组解得把z＝5代入②，得y＝3， 所以x＋y＋z＝1＋3＋5＝9. 【母题P127T2】 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部3 600元、1 200元和2 400元．一商场用120 000元购买上述三种型号手机共40部，其中甲型号手机比丙型号手机多24部，求该商场购买上述三种型号手机各多少部． 设该商场购买了x部甲型号手机，y部乙型号手机，z部丙型号手机，根据题意得： 解得： 答：该商场购买了28部甲型号手机，8部乙型号手机，4部丙型号手机． 【变式1】 (广西梧州蒙山县月考)有A，B，C三种盐水，按A与B数量之比为2∶1混合，得到浓度为13%的盐水；按A与B的数量之比为1∶2混合，得到浓度为14%的盐水．如果A，B，C数量之比为1∶1∶3，混合成的盐水浓度为10.2%.问盐水C的浓度是多少？ 设盐水A的浓度是x，盐水B的浓度是y，盐水C的浓度是z， 根据题意得： 解得： 答：盐水C的浓度是8%. 【变式2】 (广西崇左扶绥县月考)甲、乙、丙三人环湖跑步锻炼，同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙反向，在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇上乙．已知甲速与乙速的比是3∶2，湖的周长是1 800米．甲、乙、丙三人的速度每分钟各是多少米？ 　 设甲的速度为x米/分，乙的速度为y米/分，丙的速度为z米/分， 因为在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇上乙，则甲、乙两人相遇时间为1.25＋3.75＝5分钟， 所以甲、乙速度和为1 800÷5＝360米/分，即x＋y＝360， 因为甲、乙两人的速度比为3∶2，所以2x＝3y， 由于甲与乙相遇时间为3＋2＝5分钟， 甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙， 则甲、丙的相遇时间为5＋1.25＝6.25分钟，所以甲、丙速度和为1 800÷6.25＝288米/分，所以x＋z＝288， 即解得： 答：甲的速度为216米/分，乙的速度为144米/分，丙的速度为72米/分． 14．(运算能力)在求值问题中，我们经常遇到利用整体思想来解决问题． 例如1：已知：x＋2y－3z＝2，2x＋y＋6z＝1，求：x＋y＋z的值． 解：令x＋2y－3z＝2，① 2x＋y＋6z＝1，② ①＋②，得3x＋3y＋3z＝3，所以x＋y＋z＝1. 已知求x＋2y的值． 解：①×2，得2x＋2y＝－10，③ ②－③，得x＋2y＝11. 利用材料中提供的方法，解决下列问题． (1)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝6，求m的值； (2)某步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2 900 朵红花，3 750朵紫花，求黄花一共用了多少朵？ (1) ②－①得，3x－3y＝－m＋2，即x－y＝， 因为x－y＝6，所以＝6，解得：m＝－16； (2)设黄花有M朵， 由题意得， ①＋③得，40x＋30y＋35z＝6 650，④ ④×得，8x＋6y＋7z＝1 330，即M＝1 330， 答：黄花一共用了1 330朵． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6　三元一次方程组及其解法 知识点1　三元一次方程组的概念 1．下列各方程组，是三元一次方程组的是( ) ①　　② ③ ④ A．①②④ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 2．以为解建立三元一次方程，不正确的是( ) A．3x－4y＋2z＝3 B．x－y＋z＝－1 C．x＋y－z＝－2 D．－y－z＝ 3．已知甲、乙两数之和为5，乙、丙两数之和为8，甲、丙两数之和为6.如果甲数用x表示，乙数用y表示，丙数用z表示，则可列方程组为__ __. 知识点2　解三元一次方程组 4．下列四组数值中，为方程组的解的是( ) A． B． C． D． 5．已知方程组则x＋y＋z的值为( ) A．6 B．－6 C．5 D．－5 6．如果方程组的解使代数式kx＋2y－3z的值为8，则k＝( ) A． B．－ C．3 D．－3 7．解方程组： (1) (2) 知识点3　三元一次方程组的应用 8.(江苏常州武进区期中)如图，在3×3的正方形网格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，则a－bc的值为__ __． 2 a 0 －3 －1 1 b 3 c 9．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方将密文解密成明文．已知某加密规则为明文x，y互为相反数，其对应密文为x＋2y－k，2x＋y－k.若接收方收到密文为2和－1，则k的值为__ __. 易错易混点　不能准确选择解三元一次方程组的方法 10．(广西梧州苍梧县期末)下面所示为三元一次方程组的解题过程，请根据提供的做法和有关信息解决问题． 解方程组： 解：由方程②，得z＝7－3x＋2y.④…步骤一 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得 代入④，得z＝7－3－6＝－2. 所以原方程组的解是 我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为__ __求解，方法有__ __和__ __．其中的步骤二通过__ __法消去未知数z，将三元一次方程组变成了__ __，体现了数学中__ __思想． (2)仿照以上思路解方程组 消去字母z后得到的二元一次方程组为__ __． 11．已知是方程组的解，则a＋b＋c的值是( ) A．3 B．2 C．1 D．无法确定 12．纸箱里有红黄绿三色球，红球与黄球的比为1∶2，黄球与绿球的比为3∶4，纸箱内共有68个球，则黄球有__ __个． 13．已知|x－z＋4|＋|z－2y＋1|＋|x＋y－z＋1|＝0，则x＋y＋z＝__ __． 【母题P127T2】 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部3 600元、1 200元和2 400元．一商场用120 000元购买上述三种型号手机共40部，其中甲型号手机比丙型号手机多24部，求该商场购买上述三种型号手机各多少部． 【变式1】 (广西梧州蒙山县月考)有A，B，C三种盐水，按A与B数量之比为2∶1混合，得到浓度为13%的盐水；按A与B的数量之比为1∶2混合，得到浓度为14%的盐水．如果A，B，C数量之比为1∶1∶3，混合成的盐水浓度为10.2%.问盐水C的浓度是多少？ 【变式2】 (广西崇左扶绥县月考)甲、乙、丙三人环湖跑步锻炼，同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙反向，在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇上乙．已知甲速与乙速的比是3∶2，湖的周长是1 800米．甲、乙、丙三人的速度每分钟各是多少米？ 14．(运算能力)在求值问题中，我们经常遇到利用整体思想来解决问题． 例如1：已知：x＋2y－3z＝2，2x＋y＋6z＝1，求：x＋y＋z的值． 解：令x＋2y－3z＝2，① 2x＋y＋6z＝1，② ①＋②，得3x＋3y＋3z＝3，所以x＋y＋z＝1. 已知求x＋2y的值． 解：①×2，得2x＋2y＝－10，③ ②－③，得x＋2y＝11. 利用材料中提供的方法，解决下列问题． (1)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝6，求m的值； (2)某步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2 900 朵红花，3 750朵紫花，求黄花一共用了多少朵？ 学科网（北京）股份有限公司 $