3.5 第1课时 简单实际问题和行程问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步备课（沪科版2024）

七年级上册数学（沪科版） 第3章 一次方程与方程组 3.5 二元一次方程组的应用 第 1 课时 简单实际问题和行程问题 1 1. 知道用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤. 2. 能适当归纳日常生活中的实际问题和行程问题，寻找解决相关问题的一般方法. 3. 通过用二元一次方程组解决实际问题，体会方程组这一数学模型的作用. 重点：解决行程问题. 难点：方程思想与模型的应用. 教学目标 e7d195523061f1c0c2b73831c94a3edc981f60e396d3e182073EE1468018468A7F192AE5E5CD515B6C3125F8AF6E4EE646174E8CF0B46FD19828DCE8CDA3B3A044A74F0E769C5FA8CB87AB6FC303C8BA3785FAC64AF5424764E128FECAE4CC72932BB65C8C121A0F41C1707D94688ED66335DC6AE12288BF2055523C0C26863D2CD4AC454A29EEC183CEF0375334B579 问题 列方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数， 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)． 导入新课 3 1 列方程组解决简单实际问题 探究 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分在本次比赛中，该市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分. 该队胜几场，平几场? 合作探究 如何解决这一问题呢？ 新知探究 合作探究 请同学们分小组列出一元一次方程或二元一次方程组解决这个问题吧！ 分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数， 等量关系有：胜的场数 + 平的场数 = 11； 胜场得分 + 平场得分 = 27. 解法一：如果设该市第二中学足球队胜 x 场，那么该队平 (11 - x) 场. 相据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平 (11 - x) 场，得 (11 - x) 分，共得 27 分，得方程 解方程，得 x＝8. 3x＋(11－x)＝27. 此时 11－x＝11－8＝3. 答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场. 解法二：设该市第二中学足球队胜 x 场，平 y 场由该队共比赛 11 场，得方程 x＋y＝11. ① 又根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平 y 场，得 y 分，共得 27 分，因而得方程 3x＋y＝27. ② x＋y＝11， 3x＋y＝27 x＝8， y＝3. 解方程①②组成的方程组 ，得 答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场. 解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1) 审题：弄清题意和题目中的_________； (2) 设元：用___________表示题目中的未知数； (3) 列方程组：根据___个等量关系列出方程组； (4) 解方程组：利用__________法或___________解 出未知数的值； (5) 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义， 然后作答. 数量关系 字母 2 代入消元 加减消元法 方法总结 练一练 1. 某城市规定：出租车起步价所包含的路程为 0～3 km，超过 3km 的部分按每千米另收费. 甲说：“我乘这种出租车走了 11 km，付了 17 元.” 乙说：“我乘这种出租车走了 23 km，付了 35 元.” 请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过 3 km 后，每千米的车费是多少元？ 分析：本问题涉及的等量关系有： 总车费 = 0~3 km 的车费(起步价) + 超过 3 km 的车费. 解：设出租车的起步价是 x 元，超过 3 km 后每千米收费 y 元. 根据等量关系，得 解得 答：这种出租车的起步价是 5 元，超过 3 km 后每千米收费 1.5 元. 起步价 超过 3 km 后的费用 合计费用 甲 乙 x x (11 - 3)y (23 - 3)y 17 35 2 利用二元一次方程组解决行程问题 例2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？ 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系. (1) 同时出发， 同向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 甲追上乙 乙 2 h 行程 甲 2 h 行程 甲 2 h行程 = 4 km + 乙 2 h行程 (2) 同时出发， 相向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 甲 0.5 h 行程 乙 0.5 h 行程 甲0.5 h行程 + 乙0.5 h行程 = 4km 相遇地 解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得 解方程组，得 答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h. 2x－2y＝4， 0.5x＋0.5y＝4 x＝5， y＝3. 方法总结 找等量关系 列二元一次方程组解决实际问题的步骤： 审题 设元 列方程组 解方程组 检验作答 2个未知数 根据等量关系 代入法 加减法 1.小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走 40 m，平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，则他从家里到学校需 15 min，从学校到家需 10 min. 试问：小华家离学校多远？ 练一练 方法一（直接设元法） 平路时间 坡路时间 总时间 上学 放学 解：设小华家到学校上坡路长 x m，平路长 y m. 则根据等量关系，得 解方程组，得 10 15 于是，上坡路与平路的长度之和为 x + y = 400 + 300 = 700 (m). 因此，小华家离学校 700 m. 方法二（间接设元法） 平路 距离 坡路距离 上学 放学 解：设小华上坡路所花时间为 x min， 下坡路所花时间为 y min. 根据题意，可列方程组 解方程组，得 所以，小明家到学校的距离为 700 米. 故，平路距离：60×(15 - 10) = 300 (米) 上坡路距离：40×10 = 400 (米) 60×(15-x) 60×(10-y) 40x 80y 40x＝80y， 60(15－x)＝60(10－y) x＝10， y＝5. 二元一次方程组的应用 应用 步骤 简单实际问题 行程问题 路程 = 平均速度×时间 审题：弄清题意和题目中的__________ 设元：用______表示题目中的未知数 列方程组：根据___个等量关系列出方程组 解方程组：_______________ 检验作答 数量关系 字母 2 代入法， 加减法 课堂小结 1. 有大小两种货车，2 辆大车与 3 辆小车一次可以运货 15.5 吨；5 辆大车与 6 辆小车一次可以运货 35 吨. 3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货多少吨？ 解：设 1 辆大车一次运货 x 吨，1 辆小车一次运货 y 吨，根据题意列出方程组得 2x + 3y = 15.5， 5x + 6y = 35. 则 3x + 5y = 24.5 (吨). 解得 答：3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货 24.5 吨. 课后练习 2. 计划若干节车皮装运一批货物. 如果每节装 15.5 吨，则有 4 吨装不下，如果每节装 16.5 吨，则还可多装 8 吨. 问多少节车皮？多少吨货物？ 解：设 x 节车皮，y 吨货物，根据题意列出方程组得 y = 15.5x + 4， y = 16.5x - 8. 解得 答：12 节车皮，190 吨货物. 3. 甲、乙两人都从 A 地到 B 地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走 6 千米乙再动身，那么乙走 小时后恰好与甲同时到达 B 地；如果甲先走 1 小时，那么乙用 小时可追上甲．求两人的速度． 解：设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为 y 千米/时，则 答：甲的速度为 4 千米/时，乙的速度为 12 千米/时. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $