精品解析：福建省泉州市实验中学2025-2026学年九年级上学期第一次阶段测试数学试题

泉州实验中学2026届初三上学期阶段考试（1） 数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A. 3，8，15，40 B. 5，6，5，6 C. D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查线段成比例判断．根据题意逐一对选项进行计算即可． 【详解】解：∵其中两条线段的乘积等于另外两条线段乘积，则四条线段成比例， ∴A选项：，故本选项正确； B选项：，故本选项正确； C选项：，故本选项不正确； D选项：，故本选项正确； 故选：C． 2. 下列图形，相似的一组是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个菱形 D. 边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； C、有一个内角为的两个菱形对应边成比例，相似，符合题意； D、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，不符合题意． 故选：C． 3. 下列比例式中，不能由比例式得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，等比性质，合比性质依次判断即可． 【详解】A． ∵ ∴ 故A选项正确，不符合题意； B．∵ 根据合比性质得 故B选项正确，不符合题意； C． 根据等比性质得 故C选项正确，不符合题意； D．由不能得到， 故D选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，等比性质，合比性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 4. 在中，D、E分别是、上的点，、交于点F，下列不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定定理，判断解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：若，已经具备的条件是一对公共角相等即， 故A. ，符合两边对应成比例且夹角相等，故能判定 ，不符合题意； B. 即，由，得，得，故能判定，不符合题意； C. ，，能判定，不符合题意； D. ，夹角不相等，无法判定相似，错误，符合题意， 故选：D． 5. 设a，b是方程x2+x﹣2020=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b=-1，a2+a-2019=0，变形后代入，即可求出答案． 【详解】∵设a，b是方程x2+x-2020=0的两个实数根， ∴a+b=-1，a2+a-2020=0， ∴a2+a=2020， ∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2020+（-1）=2019， 故选C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出a+b=-1和a2+a=2020是解此题的关键． 6. 如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】根据题意可知，矩形与矩形相似， ， 设,， 则， ，即， ，， 原矩形长与宽的比为， 故选：C． 7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理，列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关系是解题的关键． 8. 如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C 9. 已知实数，满足，，且，求的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识．将化为，得到实数，是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【详解】解：化为， ，且， 实数，是方程的两个根， ，， ， 故选：A． 10. 已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的存在情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，因为整理，结合，故，所以，即可作答． 【详解】解： ， ， ， ， 即， ， ， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每题4分） 11. 如图，，若，，那么________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． 12. 如图，，，，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：， ，即， 解得， ， 故答案为：9． 13. 已知，且，若，则__． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 14. 在实数范围内定义运算“”和“”，其规则为：，，则方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义运算的理解和运用，一元二次方程的解法，根据新定义运算列式，对方程进行变形，由此求得方程的解． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 15. 如图，，且，，则与的相似比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先求出的长，根据相似三角形对应边成比例即可求出的长，再求出与的比即可． 【详解】解：，， ， ， ， 即， ， ， 与的相似比为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得，即可证明，得和，即有，进一步得，有，则有，即当最短时，最短、最长，当时，即可求得最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，． ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即当最短时，最短、最长， ∵当时，最短、最长，此时， ∴， 则， 故答案为∶． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及线段最短，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， 或， ∴，， 【小问2详解】 ， ∵，，， ∴， 则方程有两个不相等实数根， ∴， ∴，， 【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 18. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例线段． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长． 【小问1详解】 解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 19. 如图，在中，，是的中点，在上，且，连接、，求证：． 【答案】 证明：是的中点， ， 又，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意得到，，结合相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】略 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据题意可得，再解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【小问1详解】 解：∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为且． 【小问2详解】 解：设方程两根为，则：， 代入得， 解得：或， 经检验，或是方程的解， 当时，判别式，不符合实数根条件． 当时，判别式，符合条件． 综上，． 21. 列方程解决实际问题： 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． （1）_________米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 【答案】（1） （2）10米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据篱笆总长及长、宽关系列代数式即可，注意前端有2个小门； （2）根据长宽之积为180列一元二次方程，求出解后判断是否小于墙的最大可用长度即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 故宽为10米． 22. 如图，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，． （1）若，求线段的长； （2）若的面积为6，求平行四边形的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的面积公式和平行四边形的性质及面积公式． （1）利用平行四边形的性质可以证明，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解； （2）利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可以求出，然后利用平行四边形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴， ∴． 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点E作于点M，交CF于点N． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∵的面积为6， ∴，即， ∴平行四边形的面积． 23. 如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． （1）是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在． （2）存在或或时，使是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）过P作，由得，再代入相关的数据即可求得t的值，再进行判断即可． （2）分三种情况讨论，利用等腰三角形与相似三角形的性质即可求得t值． 【小问1详解】 解：过P作， 因，则． ∴， ∴，又， ∴． ∴． 又． 根据题意，若存在某一时刻t，使， 则有：． 解得：（另一解因不满足，故舍去）， ∴存在这样的，使的面积是面积的． 【小问2详解】 解：若要使是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，，解得：． ②当时，过P作，垂足为点H（参考上图），则， 由知，，即， 解得：． ③当时，自点M作，则， 由得， ∴，即，解得：． 综合以上三种情况可知，存在或或时，使是等腰三角形． 24. 黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系．例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形，其底与腰之比就为黄金分割比，底角平分线与腰的交点为黄金分割点． （1）如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，请你证明点D是腰AB的黄金分割点； （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，若，则请你求出∠A的度数； （3）如图3，如果在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a，b，c．若点D是AB的黄金分割点，那么该直角三角形的三边a，b，c之间是什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】 （1）证明：∵在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°， 又CD是∠ACB的角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD＝36°， ∴∠A＝∠DCA，∠BDC＝72°， ∴AD＝CD＝BC， 在△BCD和△BAC中， ∠B＝∠B，∠BCD＝∠A， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∴BC2＝AB•BD又BC＝AD， ∴AD2＝AB•BD， ∴D是AB的黄金分割点； （2）108°； （3）该直角三角形的三边a，b，c之间应满足，理由如下： ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD为AB上的高， ∴△ADC∽△CDB∽△ACB， ， ∵点D是AB的黄金分割点， ∴AD2＝BD•AB， ， 该直角三角形的三边a，b，c之间应满足b2＝ac． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，求出∠ABC=∠ACB=72°，再根据CD是∠ACB的角平分线，求出∠ACD=∠BCD=36°，所以△BCD和△ABC是相似的两个等腰三角形，并且AD=BC，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理即可证明； （2）在BC边上截取BD=AB，连接AD，再根据“AB=AC，分别求出与的值都是，所以△ACD∽△ACB，根据相似三角形对应角相等和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用三角形内角和定理列式即可求出∠A的度数； （3）根据相似三角形对应边成比例分别求出AD、BD的长，再根据AB=AD+BD代入整理即可得到a、b、c之间的关系． 【详解】解：（1）略． （2）在底边BC上截取BD＝AB，连接AD， ∵，AB＝AC， ， ， ， ， 又∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCA， ∴设∠CAB＝∠CDA＝x， ∴∠BAD＝∠BDA＝2x， ∴x+2x+x+x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠BAC＝108°； （3）略． 【点睛】本题综合性较强，主要利用相似三角形对应边成比例、对应角相等，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解题的关键． 25. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B、C在x轴上，交y轴于点E，连接，线段的长是方程的两个根． （1）求点B、C的坐标； （2）点F在边上，且F点的纵坐标是3，连接，过点F作直线，交于点G，若矩形的面积等于66，双曲线的一个分支过点G，求k的值； （3）在（2）的条件下，在直线上并且在直线的右侧是否存在点P，使得以O、F、P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为点的坐标为； （2）； （3）P点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可求解； （2）证明，求得，再求得点的坐标为，据此即可求解； （3）先求得直线的解析式，设P点坐标为，分①和②两种情况讨论，利用相似三角形的性质分别列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：解方程， 解得或， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：，， ， 又点的纵坐标是3， ，， ， ， ， 又∵在中，， ， 又， ， ， ， 又∵四边形为矩形， ， ， 点的坐标为， 将代入到双曲线方程中得 ∴解得 【小问3详解】 解：存在，理由如下， 由题意得：，， 在中，， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设P点坐标为， ①， 则， ， ， ， 解得或， 又因为P点在直线的右侧， ， 点坐标为； ②， 则， ， ， ， 解得或， 又因为P点在直线的右侧， ， 点坐标为， 综上所述：P点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合运用，涉及到求函数解析式、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程、勾股定理等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州实验中学2026届初三上学期阶段考试（1） 数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A. 3，8，15，40 B. 5，6，5，6 C. D. ，，， 2. 下列图形，相似的一组是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个菱形 D. 边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 3. 下列比例式中，不能由比例式得到的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，D、E分别是、上的点，、交于点F，下列不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 设a，b是方程x2+x﹣2020=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 6. 如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ） A. B. C. D. 7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数，满足，，且，求的值（ ） A. B. C. D. 10. 已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的存在情况 二、填空题（共6小题，每题4分） 11. 如图，，若，，那么________． 12. 如图，，，，则的长为______． 13. 已知，且，若，则__． 14. 在实数范围内定义运算“”和“”，其规则为：，，则方程的解为_________． 15. 如图，，且，，则与的相似比为______． 16. 如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为_________． 三、解答题（共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 19. 如图，在中，，是的中点，在上，且，连接、，求证：． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 21. 列方程解决实际问题： 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． （1）_________米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 22. 如图，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，． （1）若，求线段的长； （2）若的面积为6，求平行四边形的面积． 23. 如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． （1）是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系．例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形，其底与腰之比就为黄金分割比，底角平分线与腰的交点为黄金分割点． （1）如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，请你证明点D是腰AB的黄金分割点； （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，若，则请你求出∠A的度数； （3）如图3，如果在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a，b，c．若点D是AB的黄金分割点，那么该直角三角形的三边a，b，c之间是什么数量关系？并证明你的结论． 25. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B、C在x轴上，交y轴于点E，连接，线段的长是方程的两个根． （1）求点B、C的坐标； （2）点F在边上，且F点的纵坐标是3，连接，过点F作直线，交于点G，若矩形的面积等于66，双曲线的一个分支过点G，求k的值； （3）在（2）的条件下，在直线上并且在直线的右侧是否存在点P，使得以O、F、P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $