第21章 二次函数与反比例函数 单元卷- 2025-2026学年沪科版九年级数学上册
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内容正文：
第21章 二次函数与反比例函数（单元卷）
（年级：九年级 考试时间：90分钟，满分120分）
试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，本试卷着重考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！
第 Ⅰ 卷（选择题，共30分）
1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）将二次函数化为的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）函数的最大值与最小值分别是（ ）
A．1和 B．5和 C．4和 D．5和
4．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．6
6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）若双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，则（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知函数的图象上有三点，，，已知，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．12
10．（2025·湖北孝感·三模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）
2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知抛物线经过点，则代数式的值为 ．
12．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ．
13．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是 ．
14．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则方程的两个根为 ．
15．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点，在反比例函数 （k是常数）的图象上，当时，，则k的取值范围是 ．
16．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，交y轴于点C，连接AC，若的面积为5，则k的值为 ．
17．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，且，则此抛物线的表达式为 ．
18．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的右侧），交y轴于点C，点于D是线段的中点，点P是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6个小题,共58分）
19.（本小题满分8分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，二次函数的图象与直线相交于点，B．已知点A的横坐标为．
求：
（1）该二次函数的表达式．
（2）点B的坐标．
20.（本小题满分8分）（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围．
21.（本小题满分10分）（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，抛物线的顶点在矩形的边上，且过矩形的顶点、．
（1）若，求矩形的面积；
（2）当矩形的面积为常数时，求矩形的长的大小．
22.（本小题满分10分）（24-25九年级上·全国·期末）某商场以每件50元的价格购进某款玩具，若以每件80元的价格出售，每日可售出200件．现商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该玩具每件的售价每降价1元，日销售量就会增加20件．设该款玩具每件的售价为元，日销售量为y件．
（1）日销售量y关于每件售价x的函数解析式为__________．
（2）该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？
23.（本小题满分10分）（2025·河南新乡·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）把直线向下平移6个单位长度，与的图象交于点Q，连接，，求的面积．
24.（本小题满分12分）（2025九年级下·全国·专题练习）综合与探究
如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点，点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在直线下方的抛物线上运动时，求出长度的最大值；
（3）当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时的值．
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第21章 二次函数与反比例函数（单元卷）
（年级：九年级 考试时间：90分钟，满分120分）
试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，本试卷着重考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！
第 Ⅰ 卷（选择题，共30分）
1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【分析】根据抛物线的性质，确定对称轴为直线，解答即可．
本题考查了抛物线的顶点式中确定对称轴，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
解：根据题意，得抛物线的对称轴是直线，
故选：C．
2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）将二次函数化为的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键．
根据配方法将一般式化为顶点式即可求解．
解：∵，即，
故选：A．
3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）函数的最大值与最小值分别是（ ）
A．1和 B．5和 C．4和 D．5和
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值．
解：∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值，
∵，
∴时，是最大值，
∴函数的最大值为5，最小值为．
故选：D．
4．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与x轴交点情况，以及解一元一次不等式，解题的关键在于掌握：当时，抛物线与x轴有两个交点，当时，抛物线与x轴有一个交点，当时，抛物线与x轴没有交点．
据此建立不等式求解，即可解题．
解：抛物线（c是常数）与x轴没有交点，
，
即，解得，
故选：D．
5．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题．求得三点的坐标，即可求解．
解：当时，，解得，，
∴点，．
当时，，
∴，
∴，，
∴．
故选：A．
6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）若双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可．
解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，
∴，
∴；
故选：C．
7．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知函数的图象上有三点，，，已知，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式得出在每个象限内随着的增大而增大，结合即可得解，熟练掌握反比例的性质是解此题的关键．
解：∵，
∴在每个象限内随着的增大而增大，
∵在函数的图象上有三点，，，且，
∴，
故选：C．
8．（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键．
根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解．
解：二次函数，对称轴直线为，
当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限；
当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限；
只有B选项符合题意，
故选：B ．
9．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．12
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，熟记反比例函数系数与图形面积之间的关系是解题的关键．延长交轴于点，则四边形和是矩形，由点B在双曲线上，可得矩形的面积是3，进而求出矩形的面积，再根据反比例函数系数的几何意义得到，再结合反比例函数经过的象限即可确定k的值．
解：如图，延长交轴于点，
则四边形和是矩形，
∵点B在双曲线上，
∴矩形的面积，
∵矩形的面积是9，
∴矩形的面积，
∵点A在双曲线（）上，
∴，
解得：，
由图象得，双曲线经过第二象限，
∴，
∴，
故选：C．
10．（2025·湖北孝感·三模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可．
本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
解：∵二次函数开口向下，
∴，
∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上，
∴；
∵对称轴为直线，
∴,
∴,
∴,
故①正确；
根据抛物线的图象得，直线与抛物线的交点在第一象限，
∴，
∴,
故②正确；
设抛物线与x轴的另一个交点为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
故的两个根分别是，
故多项式可因式分解为，
故③不正确；
根据题意，得，即，
根据题意，当时，抛物线有最大值，且为，
故当时，在抛物线顶点的上方，
故关于的方程无实数根．
故④正确；
故选：C．
第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）
2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知抛物线经过点，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点和代数式求值，掌握二次函数图象上的点满足函数解析式以及整体思想的运用成为解答本题的关键．将点 代入抛物线中，得到 的值，然后整体代入代数式求解即可．
解：抛物线经过点 ，
，即，
．
故答案为：．
12．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例解析式可知图象在第一象限内，随的增大而减小，求出时函数值的最大值和最小值，即可得到答案．
解：反比例函数的图象在第一象限内，随的增大而减小，
时，，时，，
的取值范围是，
故答案为：．
13．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，难度不大，关键是结合函数图象解答较为简单．根据正比例函数及反比例函数的性质作答即可．
解：直线中，，图像过一、三象限，
函数的图象与直线没有交点，
函数的图像必须位于二、四象限，
，
．
故答案为：．
14．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则方程的两个根为 ．
【答案】或3
【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．利用抛物线的对称性可以求得抛物线与轴的另一个交点坐标，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可求解．
解：由图象知，抛物线的对称轴为：，
∵抛物线与轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为，
∴另一个与轴的交点为，
∴方程的两个根为或3．
故答案为：或3
15．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点，在反比例函数 （k是常数）的图象上，当时，，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，结合得出反比例函数图象分布在第一、三象限，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
解：∵点，在反比例函数 （k是常数）的图象上，且，
∴，
∵，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴，
故答案为：．
16．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，交y轴于点C，连接AC，若的面积为5，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，作轴，垂足为点是关键．
解：如图，作轴，垂足为点，
的面积为，
矩形的面积，即，
解得
故答案为：
17．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，且，则此抛物线的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．先得到，，则，再利用得到，可得到C点坐标为，设二次函数的解析式为，把C点坐标代入可求出a的值为，代入求解即可．
解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴C点坐标为，
设二次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
故答案为：．
18．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的右侧），交y轴于点C，点于D是线段的中点，点P是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，先根据抛物线解析式求出点A，B，C坐标，从而得出，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以D为圆心，为半径的圆弧上运动，当在同一直线上时，最小，即可求解．
解：令，则，
解得，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴，
∵D为中点，
∴，
∵由沿折叠所得，
∴，
∴在以D为圆心，为半径的圆弧上运动，
∴当在同一直线上时，最小，
∵点D是线段的中点，则点，
则，
则最小值，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题,共58分）
19.（本小题满分8分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，二次函数的图象与直线相交于点，B．已知点A的横坐标为．
求：
（1）该二次函数的表达式．
（2）点B的坐标．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的性质．
（1）直接利用待定系数法即可得出二次函数的表达式；
（2）令即可得出交点的横坐标，进一步代入得到交点的纵坐标．
解：（1）解：点A的横坐标为，且点A在直线上，
点A的纵坐标为，
点A的坐标为．
又点在二次函数的图象上，
，解得，
∴该二次函数的表达式为;
（2）解：令，解得．
将代入，得，
∴点B的坐标为．
20.（本小题满分8分）（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键．
（1）根据反比例函数图象所在的象限得到，进而解不等式即可求解；
（2）根据反比例函数图象在第四象限的增减性得到，进而解不等式即可求解．
解：（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
解得，
k的取值范围是；
（2）解：反比例函数图象经过第四象限的两点，，且，
，
解得，
又，
a的取值范围是．
21.（本小题满分10分）（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，抛物线的顶点在矩形的边上，且过矩形的顶点、．
（1）若，求矩形的面积；
（2）当矩形的面积为常数时，求矩形的长的大小．
【答案】（1）；（2）
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确表示矩形的长和宽．
（1）设抛物线为，则，设，然后表示出点的坐标为，然后代入抛物线解析式求出，得到，，进而求解即可；
（2）根据题意得，只需考虑的情形，如图所示，设矩形的面积为，，表示出，则，，然后得到，进而求解即可．
解：（1）解：设抛物线为，则，设
，
点的坐标为，
∴
∴
又
∴，
矩形的面积为；
（2）解：根据题意得，只需考虑的情形，如图所示，
设矩形的面积为，
∴，则，
∴
∴．
22.（本小题满分10分）（24-25九年级上·全国·期末）某商场以每件50元的价格购进某款玩具，若以每件80元的价格出售，每日可售出200件．现商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该玩具每件的售价每降价1元，日销售量就会增加20件．设该款玩具每件的售价为元，日销售量为y件．
（1）日销售量y关于每件售价x的函数解析式为__________．
（2）该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2）该商场应将每件售价定为70元，才能使日销售利润最大，最大利润为8000元
【分析】本题考査一次函数在销售问题的应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键．
（1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解；
（2）设日销售利润为元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解．
解：（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：设日销售利润为W元．
由题意，得．
∵，
∴当时，（元）．
答：该商场应将每件售价定为70元，才能使日销售利润最大，最大利润为8000元．
23.（本小题满分10分）（2025·河南新乡·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）把直线向下平移6个单位长度，与的图象交于点Q，连接，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握函数的平移法则是关键．
（1）由正比例函数解析式求得P的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点Q坐标，根据平行线可得．
解：（1）
∵点在正比例函数的图象上，
∴，解得，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）连接，如图，
把直线向下平移6个单位得到的图象的函数解析式为．
设直线与y轴的交点坐标为A，则，
联立 ，解得或，
∴，
∴．
24.（本小题满分12分）（2025九年级下·全国·专题练习）综合与探究
如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点，点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在直线下方的抛物线上运动时，求出长度的最大值；
（3）当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时的值．
【答案】（1）；（2）的长度的最大值为；（3）的值为6或或或3
【分析】（1）令即可得出点A的坐标，再根据点B的坐标利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）由点D的横坐标，可知点P和点D的坐标，再根据点在直线下方的抛物线上，即可表示解析式，并转化为顶点式就可得出答案；
（3）根据题意分别表示出，，，分当时，当时，当时三种情况分别求出m的值即可．
解：（1）解：对于，取，得，
∴．
将，代入，
得解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点的横坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∵点在直线下方的抛物线上，
∴
．
∵，
当时，线段的长度有最大值，最大值为；
（3）解：由，，，
得，，．
当为等腰三角形时，有三种情况：
①当时，，即，
解得（不合题意，舍去），；
②当时，，即，
解得，；
③当时，，即，
解得．
综上所述，的值为6或或或3．
【点拨】本题考查了待定系数求二次函数解析式、二次函数的最值、等腰三角形的性质，综合性比较强，需要注意的是求m的值时，等腰三角形要分情况讨论．
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