精品解析：2020-2021学年陕西省西安市莲湖区八年级（下）期中数学试卷

2020-2021学年陕西省西安市莲湖区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 汉中市今年3月份某日的最高气温为19℃，最低气温为3℃，则当天汉中市气温t（℃）的变化范围是（ ） A. 3＜t＜19 B. 3≤t＜19 C. 3＜t≤19 D. 3≤t≤19 【答案】D 【解析】 【分析】由最高气温与最低气温即可得出范围． 【详解】解：∵今年3月份某日的最高气温为19℃，最低气温为3℃， ∴当天汉中市气温t（℃）的变化范围是：3≤t≤19． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了不等式的相关知识，弄清题意，灵活运用相关知识是解题的关键． 2. 下列环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是中心对称图形，错误； B、是中心对称图形，正确； C、不是中心对称图形，错误； D、不是中心对称图形，错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后的图形与原图形重合． 3. 下列哪个数是不等式的一个解？（ ） A. -3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可． 【详解】解：解不等式，得 因为只有-3<,所以只有-3是不等式的一个解 故选：A 【点睛】此题考查不等式解集的意义，是一道基础题．理解不等式的解集的意义是解题的关键． 4. 如图，平移得到，其中点A的对应点是点D，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．利用平移的性质得到． 【详解】解：平移得到， ， 故B项不成立． 故选：B． 5. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质解答． 【详解】解：A、不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a−1＜b−1，故本选项不符合题意； B、不等式a＜b的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意； C、不等式a＜b的两边同时乘以，不等式仍成立，即：，再在两边同时加上1，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意； D、不等式a＜b的两边同时乘以m，当m>0，不等式仍成立，即；当m<0，不等号方向改变，即；当m=0时，；故不一定成立，故本选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 6. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据网格得出，， 在与中 ∴， ∴， 即平分 ∴到两边距离相等的格点应是点， 故选A 7. 如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（　　） A. OA＝OD B. AB＝CD C. ∠ABO＝∠DCO D. ∠ABC＝∠DCB 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的补充条件证明△AOB≌△DOC或△ABC≌△DCB，然后再证明BO=CO或∠OCB=∠OBC即可得到△BOC是等腰三角形． 【详解】解：A、补充AO=DO，可利用ASA证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得BO=CO，进而证明出△BOC是等腰三角形； B、补充AB=CD，可利用AAS证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得BO=CO，进而证明出△BOC是等腰三角形； C、补充∠ABO=∠DCO，不能证明△AOB≌△DOC，进而不能证明出△BOC是等腰三角形； D、补充∠ABC=∠DCB，可利用AAS证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，进而证明出△BOC是等腰三角形； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边． 8. 如图，是等边底边上的中线，的垂直平分线交于点交于点若则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接CF，根据等边三角形的性质得出AB=BC=AC=6，∠ACB=∠BAC=60°，根据线段垂直平分线的性质得出AF=CF，根据勾股定理求出AD，求出∠DCF，根据含30°角的直角三角形的性质求出CF=2DF，即可得出3DF=AD，代入求出即可． 【详解】解：连接CF， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=6，∠ACB=∠BAC=60°， ∵AD是等边△ABC底边上的中线， ∴BD=DC=3，∠DAC=∠BAC=30°，AD⊥BC， 由勾股定理得：AD=， ∵AC的垂直平分线交AC于点E，交AD于点F， ∴AF=CF， ∴∠CAD=∠ACF=30°， ∴∠FCD=60°-30°=30°， ∵∠ADC=90°， ∴CF=2DF=AF， 即3DF=AD=3， 解得：DF=， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解题的关键． 9. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点P，已知点P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当时，， 所以关于x的不等式的解集为， 故选：A． 10. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（ ）． A. 2+ B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE=1，在Rt△BED中，根据30度角所对直角边等于斜边一半可得BD长，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CD的长，继而由BC=BD+CD即可求得答案． 【详解】如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DF=DE=1， 在Rt△BED中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2． 在Rt△CDF中，∠C=45°， ∴△CDF为等腰直角三角形， ∴CF=DF=1， ∴CD==， ∴BC=BD+CD=， 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 11. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【解析】 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 12. 若不等式组 无解，则m的取值范围为________． 【答案】m≤2 【解析】 【分析】根据不等式组无解，即可得出答案． 【详解】解：∵ 不等式组 无解， ∴m的取值范围为m≤2． 故答案为：m≤2． 【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的解，正确理解一元一次不等式组的解集是解题关键． 13. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是_____． 【答案】65° 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得BC=B′C，然后判断出△BCB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CBB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′A′C，然后根据旋转的性质可得∠A=∠B′A′C． 【详解】∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C， ∴BC=B′C， ∴△BCB′是等腰直角三角形， ∴∠CBB′=45°， ∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°， 由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°， 故答案为65°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 14. 如图，在中，，AD是的平分线，若点P是AD上一动点，且作于点N，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】作CE⊥AB于点E，则CE的长就是PN+PC的最小值，在直角△ACE中利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作点N关于AD的对称点E， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴PN=PE， ∴PN+PC=PE+PC≥EC，且当CE⊥AB时，PN+PC最短， 在直角△ACE中， ∴ 又 ∴ ∴由勾股定理得：， 即PN+PC的最小值是． 故答案是：． 【点睛】本题考查了轴对称和角的平分线的性质，根据角的平分线的性质理解CE的长是PN+PC的最小值是关键． 三、解答题（本大题共11个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 【详解】解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 将解集表示在数轴上，如下： ． 16. 请用尺规作图法在直线上作－点，连接，使得是以为底边的等腰三角形． 【答案】如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，作线段的垂直平分线交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可得，即为以为底边的等腰三角形，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】略 17. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法求解即可． 【详解】解：解不等式得． 解不等式得． ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是解题关键． 18. 如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数． 【答案】30°． 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°， ∵AD＝AB， ∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°， ∴∠E＝∠BDA﹣∠CAD＝70°﹣40°＝30°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三线合一的运用，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据三线合一的性质得到相等的量． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，且与关于原点O成中心对称． （1）画出，并写出的坐标． （2）将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出平移后的． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作出A，B，C的对应点即可； （2）分别求出A，B，C 的对应点即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作，的坐标． 【小问2详解】 如图，即为所求作． 20. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ； （2）78° 【解析】 【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到； （2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC 【详解】解：（1）略 （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明． 21. 如图，在中，的平分线与边的垂直平分线相交于点P，过点P作（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：． 【答案】 证明：如图所示，连接， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，连接，根据角平线的性质定理得到，根据垂直平分线的性质，结合斜边直角边的判定方法得到，即可求解． 【详解】略 22. 若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＜0，y＞0，求k的取值范围． 【答案】． 【解析】 【分析】解关于x、y的方程组得x=3k-2、y=-k+3，根据x＜0，y＞0列出关于k的不等式组，解之可得答案． 【详解】解：由①+②得 2x=6k-4 解之：x=3k-2 由①-②得 2y=-2k+6 解之：y=-k+3 ∵x＜0，y＞0 ∴ 解之： ∴k的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意列出关于k的不等式组． 23. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，于点E． （1）求证：为直角三角形． （2）求的长． 【答案】（1） 证明：中，， 又， 即， 是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，垂直平分线的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形可得是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，设，则,根据勾股定理可得，求出x的值，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接 是的垂直平分线， ， 设，则， ． 解得：，即， , ， ． 24. 某工厂准备用图甲所示的型正方形板材和型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． （1）若现有型板材150张，型板材300张，为节约成本，需将板材全部用完，且不能切割板材，则可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？ （2）若该工厂准备用不超过24000元资金去购买、两种型号板材，制作竖式、横式箱子共100个．已知型板材每张20元，型板材每张60元，问最多可以制作竖式箱子多少个？ 【答案】（1）可制作竖式无盖箱子30个，横式无盖箱子60个；（2）最多可以制作竖式箱子50个 【解析】 【分析】（1）设可制作竖式无盖箱子个，横式无盖箱子个，根据“有型板材150张，型板材300张，为节约成本，需将板材全部用完，且不能切割板材，”列出方程组，即可求解； （2）设制作竖式无盖箱子个，则制作横式无盖箱子个，根据“型板材每张20元，型板材每张60元，”和“用不超过24000元资金去购买、两种型号板材，”列出不等式，即可求解． 【详解】解：（1）设可制作竖式无盖箱子个，横式无盖箱子个，依题意得： ， 解得， 答：可制作竖式无盖箱子30个，横式无盖箱子60个； （2）设制作竖式无盖箱子个，则制作横式无盖箱子个，依题意得：， 解得． 答：最多可以制作竖式箱子50个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 25. 将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，现将绕A点按逆时针方向旋转．如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． （1）若是等腰三角形，则旋转角的度数为______． （2）在旋转过程中，连接AP，CE，求证：AP所在的直线是线段CE的垂直平分线． （3）在旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由． 【答案】（1）60°或15° （2） 证明：由题意可知，，，，， ∵现将绕A点按逆时针方向旋转， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点P在CE的垂直平分线上， ∵， ∴点A在CE的垂直平分线上， ∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线． （3）能，或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据旋转的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论； （3）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠的度数；当∠CPN=90°时，由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠A NF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠的度数． 【小问1详解】 解：当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形； ∵∠BAC=90°， ∴=90°-30°=60°， 当AM=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形， ∵∠C=30°， ∴∠CAM=∠AMC=75°， ∵∠BAC=90°， ∴=15°， 综上所述，当旋转角=60°或15°时，△AMC是等腰三角形， 故答案为：60°或15°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图1所示：当时． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 如图2所示：当时． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年陕西省西安市莲湖区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 汉中市今年3月份某日的最高气温为19℃，最低气温为3℃，则当天汉中市气温t（℃）的变化范围是（ ） A. 3＜t＜19 B. 3≤t＜19 C. 3＜t≤19 D. 3≤t≤19 2. 下列环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列哪个数是不等式的一个解？（ ） A. -3 B. C. D. 2 4. 如图，平移得到，其中点A的对应点是点D，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（　　） A. OA＝OD B. AB＝CD C. ∠ABO＝∠DCO D. ∠ABC＝∠DCB 8. 如图，是等边底边上的中线，的垂直平分线交于点交于点若则长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点P，已知点P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（ ）． A. 2+ B. C. D. 3 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 11. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 12. 若不等式组 无解，则m的取值范围为________． 13. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是_____． 14. 如图，在中，，AD是的平分线，若点P是AD上一动点，且作于点N，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共11个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 16. 请用尺规作图法在直线上作－点，连接，使得是以为底边的等腰三角形． 17. 解不等式组 18. 如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，且与关于原点O成中心对称． （1）画出，并写出的坐标． （2）将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出平移后的． 20. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 21. 如图，在中，的平分线与边的垂直平分线相交于点P，过点P作（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：． 22. 若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＜0，y＞0，求k的取值范围． 23. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，于点E． （1）求证：为直角三角形． （2）求的长． 24. 某工厂准备用图甲所示的型正方形板材和型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． （1）若现有型板材150张，型板材300张，为节约成本，需将板材全部用完，且不能切割板材，则可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？ （2）若该工厂准备用不超过24000元资金去购买、两种型号板材，制作竖式、横式箱子共100个．已知型板材每张20元，型板材每张60元，问最多可以制作竖式箱子多少个？ 25. 将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，现将绕A点按逆时针方向旋转．如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． （1）若是等腰三角形，则旋转角的度数为______． （2）在旋转过程中，连接AP，CE，求证：AP所在的直线是线段CE的垂直平分线． （3）在旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $