精品解析：北京市延庆区2022-2023学年高一下学期2月统一测试数学试题

延庆区2022—2023学年第二学期统一测试 高 一 数 学 2023.2 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据解析式，利用求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 2. 命题“任意，都有”的否定为（ ） A. 存在，使得 B. 不存在，使得 C. 存在，使得 D. 对任意，都有 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词，否结论，即得答案. 【详解】命题“任意，都有”的否定为“存在，使得”， 故选：A 3. 国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（ ） 随机数表如下： A. 13 B. 24 C. 33 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】随机数表进行读数时，确定开始的位置以及位数，逐一往后即可，遇到超出范围或重复的数字跳过即可. 【详解】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，所以第一组数字为32，作为第一个号码；第二组数字58，舍去；第三组数字65，舍去；第四组数字74，舍去；第五组数字13，作为第二个号码；第六组数字36，作为第三个号码，所以选取的第三个号码为36 故选：D 4. 已知；对任意实数恒成立，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 利用绝对值三角不等式求出的最小值，结合绝对值不等式的解法可得等价于或，再根据包含关系判断即可. 【详解】因为， 所以对任意实数恒成立等价于， 即或，则或， 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件， 故选：B. 【点睛】方法点睛：判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 5. 三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数对数函数的性质可以判定,从而做出判定. 【详解】因为指数函数是单调增函数，是单调减函数，对数函数是单调减函数，所以， 所以， 故选：A 6. 已知函数与的图像关于对称，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解. 【详解】由题知是的反函数，所以，所以. 故选：B. 7. 下列各选项中，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的定义，若两个函数的定义域和对应法则均相同，则两个函数为同一函数 【详解】选项A中，的定义域为,的定义域为，所以不是同一函数；选项B中，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数；选项C中，的定义域均为，且，所以为同一函数；选项D中，，定义域均为，所以为同一函数 故选：CD 8. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件第二次掷出的点数是偶数，设事件第一次掷出的点数是5，设事件至少出现一个奇数点，下列说法不正确的是（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设依次列举出对应事件，应用古典概型的概率求法求对应概率，结合互斥、对立、独立事件的定义和判定判断各项的正误. 【详解】若中依次表示第一、二次对应点数，所有情况有种， 由题意，事件的基本事件有，共4种， 事件的基本事件有，共18种， 所以有，共2种， 事件的基本事件有，共6种， 事件的基本事件有，共27种， 由上，与互斥，，A、B对， ，，，则，D对， 显然与不互斥，更不对立，C错. 故选：C 9. 已知集合，若对于任意时，都存在使得成立，则称集合为“理想集合”.下列集合是“理想集合”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题设中条件，结合选项，根据定义和曲线的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于任意时，都存在使得成立， 即对于上任意一点，在上存在一点，使得成立, 对于A中，是以轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为， 在同一支上，任意，不存在，满足集合为“理想集合”的定义， 对于任意，再另一支上也不存在，使得成立， 所以不满足理想集合的定义，故不是理想集合. 对于B中，中，如点，设， 若满足理想集合，则，即， 又由与无交点，所以集合不是理想集合； 对于C中，由，解得，又由，解得， 此时和使得成立，所以是理想集合； 对于D中，在集合中，取，设， 若满足成立，可得，此时不满足函数的定义域， 所以不是理想集合. 故选：C. 【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、根据集合的新定义，可通过举出反例，说明不正确； 3、正确理解新定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解. 10. ，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”. 例如：，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得，根据高斯函数知，即可求范围. 【详解】由，故， 所以，则，故. 故选：A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 下列一组数据的分位数是___________. 【答案】26 【解析】 【分析】根据百分位数的定义即可得到结果. 【详解】解：，该组数据的第分位数为从小到大排序后第2与3个数据的平均数， 第2与3个数据分别是25、27， 故该组数据的第分位数为， 故答案为：26． 12. 不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把不等式x2﹣2x＞0化为x（x﹣2）＞0，求出解集即可． 【详解】不等式x2﹣2x＞0可化为 x（x﹣2）＞0， 解得x＜0或x＞2； ∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞2}． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目． 13. 计算：=_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算得解. 【详解】 . 故答案为： 14. 若函数过点，则的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数过点可求得参数a的值，进而解对数不等式即可解决. 【详解】由函数过点可得， ，则，即，此时 由可得即 故答案为： 15. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】需要满足两个不等式和对都成立. 【详解】 和对 都成立, 令，得在上恒成立， 当时，只需即可，解得； 当时，只需即可，解得（舍）； 综上 故答案为： 三、解答题共6小题，共85分． 16. 已知集合，______ 作答前，请试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并按要求完成解答． 条件（ⅰ）：函数的定义域为集合； 条件（ⅱ）：不等式的解集为． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）若选条件（ⅰ），或；若选条件（ⅱ），或. 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据所选的条件求出后可求； （2）根据题设条件可得，结合（1）的结果就是否为空集分类讨论后可得关于参数的不等式组，从而可求实数a的取值范围. 【小问1详解】 ，故. 若选条件（ⅰ），则， 故. 若选条件（ⅱ），则， 故. 【小问2详解】 因为，故， 若选条件（ⅰ），则， 若，则即， 若，则即， 故或. 若选条件（ⅱ），则， 若，则即， 若，则即， 故或. 17. 袋子里有6个大小､质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球. （1）写出样本空间； （2）求取出两球颜色不同的概率； （3）求取出两个球中至多一个黑球的概率. 【答案】（1）将1个红球记为个白球记为个黑球记为，则样本空间. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将1个红球记为个白球记为个黑球记为，进而列举出所有可能性，进而得到样本空间； （2）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，共三大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率； （3）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，共四大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知，样本空间共15个样本点， 记A事件为“取出两球颜色不同”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑， 则包含11个样本点， 所以. 【小问3详解】 记事件为“取出两个球至多有一个黑球”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，2白， 则包含12个样本点， 所以. 18. 某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为2-10分．根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人． （1）求餐厅满意指数频率分布直方图中a，b的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； 【答案】（1），； （2） 的平均数， 所以的方差为， 的平均数， 所以的方差为. 【解析】 【分析】（1）根据已知及直方图、频率和为1列方程求参数值； （2）根据频率直方图中平均数的求法依次求出餐厅满意指数的平均值，再由方差公式求对应方差. 【小问1详解】 由题设，餐厅满意指数在中有30人，则， 由，可得. 【小问2详解】 略. 19. 已知点在函数的图象上 （1）求函数的解析式并用定义法证明在区间(0,1)上的单调性； （2）判断函数的奇偶性，并求函数在区间上的值域. 【答案】（1） 由题设，，可得，故， 令，则， 又，，，， 所以，故， 则在区间(0,1)上的单调递减. （2）为奇函数，在上值域为. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入求参数k，令应用作差法判断的大小判断单调性； （2）利用奇偶性定义判断的奇偶性，再结合奇函数、单调性求区间值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设，定义域为，关于原点对称， ，故为奇函数， 由（1）知：在(0,1)上的单调递减，又为奇函数， 所以在上递减，即上递减，且，， 故在区间上的值域为. 20. 已知函数为偶函数. （1）求的值； （2）求的最小值； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用偶函数的定义和对数的运算性质，结合恒等式的性质可得所求值； （2）运用对数运算性质及均值不等式即可得到结果； （3）先证明函数的单调性，化抽象不等式为具体不等式，转求函数的最值即可. 【小问1详解】 因为为偶函数， 所以，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以最小值为. 【小问3详解】 ， 任取且， 所以， 因为且， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以在上为增函数， 又因为为偶函数，所以， 当时，， 当时，，所以， 设 （当且仅当时，等号成立）， 因为，所以等号能成立， 所以， 所以， 所以， 综上，. 21. 对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即 （1）设函数，求A和B； （2）请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； （3）若，且，求实数a的取值范围. 【答案】（1），； （2），证明如下： 由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标， 若与有交点，则横纵坐标相等，则， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据不动点、稳定点定义，令、求解，即可得结果； （2）问题化为与有交点，根据交点横纵坐标的关系知，即可证. （3）问题化为有实根、中无实根，或与有相同的实根，求参数a范围. 【小问1详解】 令，可得，故； 令，可得，故. 【小问2详解】 ，证明略； 【小问3详解】 由，则： 令，即有实根， 当时，，符合题设； 当时，，可得. 令，即有实根， 所以， 因为，则无实根，或有与相同的实根， 当无实根，有且，可得且； 当有实根，此时，即， 所以，则，代入得：，可得. 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为、与的交点理解，注意交点横纵坐标性质；第三问，化为有实根、中无实根或与的实根相同. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延庆区2022—2023学年第二学期统一测试 高 一 数 学 2023.2 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“任意，都有”的否定为（ ） A. 存在，使得 B. 不存在，使得 C. 存在，使得 D. 对任意，都有 3. 国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（ ） 随机数表如下： A. 13 B. 24 C. 33 D. 36 4. 已知；对任意实数恒成立，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数与的图像关于对称，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 7. 下列各选项中，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件第二次掷出的点数是偶数，设事件第一次掷出的点数是5，设事件至少出现一个奇数点，下列说法不正确的是（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 9. 已知集合，若对于任意时，都存在使得成立，则称集合为“理想集合”.下列集合是“理想集合”的是（ ） A. B. C. D. 10. ，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”. 例如：，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 下列一组数据的分位数是___________. 12. 不等式的解集为_____． 13. 计算：=_________． 14. 若函数过点，则的解集为___________. 15. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是___________. 三、解答题共6小题，共85分． 16. 已知集合，______ 作答前，请试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并按要求完成解答． 条件（ⅰ）：函数的定义域为集合； 条件（ⅱ）：不等式的解集为． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 17. 袋子里有6个大小､质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球. （1）写出样本空间； （2）求取出两球颜色不同的概率； （3）求取出两个球中至多一个黑球的概率. 18. 某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为2-10分．根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人． （1）求餐厅满意指数频率分布直方图中a，b的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； 19. 已知点在函数的图象上 （1）求函数的解析式并用定义法证明在区间(0,1)上的单调性； （2）判断函数的奇偶性，并求函数在区间上的值域. 20. 已知函数为偶函数. （1）求的值； （2）求的最小值； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 21. 对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即 （1）设函数，求A和B； （2）请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； （3）若，且，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $