精品解析：江苏省南京市2025－2026学年九年级上学期阶段性模拟练习数学试卷

2025～2026学年度第一学期阶段性练习九年级数学 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1. 如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 平行 D. 相离 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相离， 故选：D． 2. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 3. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 4. 如图，是的直径，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆周角定理;利用圆周角定理求出可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积连接，，由题意得，，，进而可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 故选A． 6. 如图，已知⊙O的直径为10，将⊙O沿折叠，使弧与直径相切于点E，则折痕的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理和勾股定理，切线的性质，作辅助线是解题的关键．如图，设，，设弧的圆心为，连接交于F，连接，，根据垂径定理以及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设，，设弧的圆心为， 连接交于F，连接，， 由折叠得，，⊙的半径为5， ∴， ∴， ， 垂直平分， ， ∴， ∵弧与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，的值最大，最大值为， 当时，的值最小，最小值为， ∴． 故选：C． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7. 关于x的一元二次方程的解是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法．移项可得，再用直接开平方法求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 8. 已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为_______． 【答案】11或9 【解析】 【分析】本题考查利用求根公式求方程，熟练掌握求根公式以及平方数的定义是解题的关键．本题由求根公式可得：，结合方程的根都是整数以及为平方数进行分析求解即可． 【详解】解：由可知， ， 由题意知方程有实数根， 所以由求根公式可得：， 化简得：， 方程的根都是整数， 为平方数， 设（为正整数）， ，则， 为正整数，为正整数， 和为24的正整数因数，且， ∵， 当时，（舍去）， 当时，，代入验证方程的根是整数，满足条件， 当时，（舍去）， 当时，，代入验证方程的根是整数，满足条件， 正整数的值为11或9． 故答案为：11或9． 9. 以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】作轴，连结，根据勾股定理计算出，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的的取值为且． 【详解】作轴，连结，如图， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点， ∴过点或者与轴相切， ∴或． 故答案为或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：①直线和相交⇔；②直线和相切⇔；③直线和相离⇔．也考查了坐标与图形性质． 10. 用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥，若圆锥底面圆的半径为，则扇形的半径为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形和圆锥的有关计算，解题关键是明确扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，然后由弧长公式和圆的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为， ∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴，解得：． 答：扇形的半径为． 故答案为：6． 11. 已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆的半径为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形面积公式，设该圆半径为，根据等边三角形的性质得到；，根据三角形的面积公式得到正三角形的面积；根据勾股定理得到，求得圆的内接正六边形，解方程即可得到结论． 【详解】解：设该圆半径为， 如图1，∵为等边三角形， ∵， ∴；， ∴内接正三角形的面积； 如图2，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴圆的内接正六边形的面积， ∵一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：4． 12. 如图，内接于，若，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，先利用平行线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的性质得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵ 即 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式因式分解，非负数性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由是的中点可想到垂径定理以及弧相等则弧所对的弦相等，进而作辅助线、、，可得到等腰三角形和直角三角形，由矩形的性质，同角或等角的余角相等可推出，又有，可得，利用相似三角形的性质可求出，设，在中，用勾股定理列方程即可求出． 【详解】解：如图，连接、、， ∵是的中点，点是圆心， ∴，（垂径定理）， ∴， 作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴（等边对等角），（等腰三角形三线合一）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴：：， ∴， ∴在中，， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的圆心角、弧、弦的性质、垂径定理，矩形的性质以及勾股定理．相似三角形的性质和判定，是一道几何综合题，需要熟练掌握相关的性质并能熟练应用． 15. 如果一元二次方程有一个根为0，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有一个根为0，得到计算即可． 【详解】∵一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程定义及其根，熟练掌握定义即形如的方程，使得方程左右两边相等的未知数的值是方程的根是解题的关键． 16. 如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题；如图，连接、．在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， ∵是直径， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴当、E、B共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分） 17. 解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和公式法，因式分解方法先把方程右边是0的形式，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求解；公式法先把方程化成一般形式，分别写出，再根据公式即可求解； （1）先移项得到，然后利用因式分解法解方程； （2）利用求根公式法解方程． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， ， 所以， ． 18. 已知关于的方程． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论取何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴，，（） ∵斜边长， ∴， ∴，即， 整理得（负值舍去）， ∴， ∴的周长为； ∴的周长为． 19. 如图，点A，B，C，D在上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查弦和弧的关系，根据等弧对等弦得到，进而求解即可． 【详解】证明：∵在上，， ∴， ∴， ∴． 20. 有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示． （1）求被剪掉阴影部分的面积： （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ 【答案】（1）平方米；（2）米； 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理可得弦BC为直径，即可得到AB=AC，根据特殊角的锐角三角函数值可求得AB的长，最后根据扇形的面积公式即可求得结果； （2）设圆锥底面圆的半径为r，而弧BC的长即为圆锥底面的周长，根据弧长公式及圆的周长公式即可求得结果. 【详解】（1）∵∠BAC=90° ∴弦BC为直径 ∴AB=AC ∴AB=AC=BC·sin45°= ∴S阴影=S⊙O-S扇形ABC=()2-； （2）设圆锥底面圆的半径为r，而弧BC的长即为圆锥底面的周长，由题意得 2r=，解得r= 答：（1）被剪掉的阴影部分的面积为；（2）该圆锥的底面圆半径是. 【点睛】圆周角定理，特殊角的锐角三角函数值，扇形的面积公式，弧长公式，计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意. 21. 已知：如图点A、B为定点． 求作：优弧AB上点C使得等于定长保留作图痕迹，并将你的构图思维用简要文字加以说明 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，定弦定角模型，等腰三角形的性质，垂径定理等知识点，求出点E的位置是解题的关键． 先确定点以A为圆心d为半径的圆，求出到点A距离为的点E的轨迹，然后根据等腰三角形的性质得出为定角，并根据等腰三角形的性质推出，判定点E在以点D为圆心为半径的圆上，由两圆交点确定出点E的位置，即可得出点C的位置． 【详解】解：如图，作的垂直平分线OD交弧于点D，以点D为圆心为半径作交于点F，以点A为圆心d为半径作，与交于点E，连接并延长交于点根据轴对称的性质，同理在另一侧得到点点C和即为所求． 由于，构造，在等腰中， 由于，，则，， 由于为定角，则也为定角，点E的轨迹为以点D为圆心，为半径的圆． 因点E又在以点A为圆心d为半径的圆上． 故两圆交点即为点E，连接并延长，即可找到点 22. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 【详解】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， =． ∴∠A=∠2． 又∵OA=OC， ∴∠1=∠A． ∴∠1＝∠2． （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6 ∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3． 设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2 ∵在Rt△OEC中， 解得： ∴⊙O的半径是． 【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算． 23. 某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元． 领队：超过25人怎样优惠呢？ 导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游共有多少人． 【答案】该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有30人． 【解析】 【分析】先根据支付给旅行社的钱数得到旅游的人数超过25人，设该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有人，根据题意找到等量关系列出方程即可求解. 【详解】解：因为元元，所以旅游的人数超过25人． 设该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有人，则平均每人的费用为元． 根据题意，得， 解得，． 又因为人均费用不低于70元，得． 解不等式得，所以不合题意；舍去， =30． 答：该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有30人． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系进行求解. 24. 如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，，于点E，交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理得到等腰三角形，再根据等腰三角形的性质，可得，根据角的换算即可解答； （2）根据且是半径，即可得到,根据直径所对的圆周角是直角可得平行，进而得是的中位线，然后证明A字模型相似三角形，利用相似三角形的性质，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在中，， ∴设，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及切线的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，已知是的直径，是弦，过点作于，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）及三角形内角和定理，根据题意得出是的中位线是解答此题的关键． （1）先得出为的中点，再由得出是的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论； （2）连接，先根据等边对等角得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 是的直径， 为的中点， 又，即为的中点， ∴是的中位线， ； 【小问2详解】 如图所示，连接， ，且， ， ． 26. 若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值． 【答案】（1） （2）m的值是0，该方程的“快乐数”是 （3）n的值为3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，熟练掌握题目中“快乐方程”，“快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，此为完全平方数，根据，得到，即可求出的值为16或25，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【小问1详解】 的“快乐数”为， 故答案为： 【小问2详解】 ∵一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”， ∴， ∵， ∴， ∵为平方数， ∴，或， ∴（舍去），或， ∴原方程为， ∴“快乐数”为； 【小问3详解】 ∵x的一元二次方程（m为正整数）是“快乐方程”， ∴设（a整数）， ∴， ∴， ∵两因式同奇同偶， ∴，或，或，或， 解得，或(舍去)， ∴， ∴ ∵x的一元二次方程（n为正整数）是“快乐方程”， ∴， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得，，（舍去）． 故n的值是3． 27. 综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 【答案】（1）圆心到弦的距离；（2）①证明见解析，②；（3）． 【解析】 【分析】（1）连接，过点作于点，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解； （2）过点作于点，延长交于点，则，由平称的性质可得，，则四边形是平行四边形，再证明四边是矩形，得到，即可得出结论； ②连接，过点分别作于点，于点，则，由（1）知，，由（2）同理可得，得到四边形是矩形，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出，即可求解； （3）由题意，对称轴经过圆心，翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，得到为矩形，且，易得或，所以点在以为圆心，或为半径的圆上，当时，，当时，，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∴， 在中，， ∴圆心到弦的距离； （2）过点作于点，延长交于点，则，如图： 由平称的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形； ②连接，过点分别作于点，于点，则，如图： 由（1）知，，由（2）同理可得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）由题意，对称轴经过圆心， ∴翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，所得图形如图1和图2， 由（2）同理可得：为矩形，且， ∴或， ∴点在以为圆心，或为半径的圆上， 当时，， 当时，， 综上：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期阶段性练习九年级数学 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1. 如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 平行 D. 相离 2. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 3. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，，则（　　） A. B. C. D. 5. 如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 6. 如图，已知⊙O的直径为10，将⊙O沿折叠，使弧与直径相切于点E，则折痕的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7. 关于x的一元二次方程的解是_______． 8. 已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为_______． 9. 以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为__________． 10. 用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥，若圆锥底面圆的半径为，则扇形的半径为_____． 11. 已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆的半径为_____． 12. 如图，内接于，若，则的度数是________． 13. 若，则___________． 14. 如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为______． 15. 如果一元二次方程有一个根为0，则的值为_________． 16. 如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是_______． 三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分） 17. 解下列方程： （1） （2）． 18. 已知关于的方程． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 19. 如图，点A，B，C，D在上，．求证：． 20. 有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示． （1）求被剪掉阴影部分的面积： （2）用所留扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ 21. 已知：如图点A、B为定点． 求作：优弧AB上点C使得等于定长保留作图痕迹，并将你构图思维用简要文字加以说明 22. 如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 23. 某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元． 领队：超过25人怎样优惠呢？ 导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人． 24. 如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，，于点E，交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 如图，已知是的直径，是弦，过点作于，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 26. 若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值． 27. 综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $