精品解析：福建省福州市第十九中学2025-2026学年九年级上学期九月份阶段测试数学试卷

福州第十九中学2025-2026学年第一学期9月份校本练习 九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的判定，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键，根据中心对称图形定义判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 2. 样本方差，数字20表示样本的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 数据的个数 D. 平均数 【答案】D 【解析】 【分析】写出方差公式，对比，即可得到答案 【详解】方差公式： 其中是~的平均数 故选：D 【点睛】本题考查方差的计算方法，注意公式的正确记忆 3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得到的新抛物线的解析式为：； 故选A． 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接对应点AA1、CC1，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心E点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：如图，连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点． ∴E（3，−1）． 故选：A． 【点睛】此题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．确定E点位置是解决问题的关键． 6. 某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%，小刚的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小刚这学期的数学成绩是（　　） A. 87分 B. 82分 C. 80分 D. 86分 【答案】A 【解析】 【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案． 【详解】解：小明这学期的数学成绩是80×30%+90×70%=87分， 故选：A． 【点睛】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的公式 是解题的关键． 7. 已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A. y的值随x的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象必经过点 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A.由于一次函数的，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项错误，不符合题意； B.由于一次函数的，，所以图象经过第一、二、四象限，故该选项错误，不符合题意； C.将代入中得，等式成立，所以图象必经过点，故该选项正确，符合题意； D. 由于一次函数的，所以y的值随x的值增大而减小，所以当时，，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 8. 小马在解关于x的一元二次方程时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个根是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，相反数的定义，根据题意得有两个相等的实数根得出，进而求出c的值，代入原方程，再利用根的判别式即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴原方程为， 此时， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 9. 如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，，，，则DE的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分可得，在中由勾股定理可得，由可得，然后在中运用勾股定理即可求得DE的长． 【详解】∵四边形ABCD为菱形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质及勾股定理，灵活运用菱形对角线垂直平分的性质结合勾股定理是解题关键． 10. 已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： 若时，则 若方程有四个根，且四个根和为，则 已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是 其中结论正确的结论有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，通过，两点，则，由，从而可判断；当时，抛物线为，，，然后代入即可判断；由方程有四个根，则或，可得每个方程的根和为，然后由，则，，即，再通过，即可判断；由，则，可得点在对称轴处，即顶点，然后通过二次函数对称轴即可判断；掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵过，两点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，故正确； 当时，抛物线为， ∴，， ∴，故错误； ∵方程有四个根， ∴，各有两个根， ∴每个方程的根的和为， ∴四个根总和， 由抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴点在对称轴处，即顶点， ∴为最大值，故且， 要满足，由，则需比离对称轴更近， ∴，解得，故错误； 综上，正确结论为， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题） 11. 点P（﹣4，6）与Q（2m，﹣6）关于原点对称，则m＝____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数解答． 【详解】解：∵点P（-4，6）与Q（2m，-6）关于原点对称， ∴-4=-2m， 解得：m=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查关于原点对称点的性质，熟记关于原点对称点两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键． 12. 某学校要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加跳高比赛，在最近的几次训练中，他们两人的平均成绩相同，方差分别是．若该校要选择一名成绩较稳定的学生，则应该选择______．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定． 根据方差越小越稳定进行判断即可得出答案． 【详解】解：， ， 应该选择甲， 故答案为：甲． 13. 如图，直线与直线交于点，则关于x，y二元一次方程组的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键，根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 14. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，以及整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键．先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法．先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值1，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，y有最小值为1， 把代入表达式，得， 解得：， ∵当时，有最大值5，最小值1， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，P是射线上的一个动点，把沿折叠，点A的对应点为．当直线恰好经过点C时，的长为_____． 【答案】2或32 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，勾股定理是关键．根据矩形与折叠的性质，数形结合，分类讨论，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ∴， 由折叠得：， 如图所示，当点P在线段上且射线恰好经过点C时， ∴， 在中，， 设，则， ， ∴， 解得：， ∴； 如图所示，当点P在射线上且射线恰好经过点C时， 同理，， 由折叠知，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述，的长为2或32； 故答案为：2或32． 三、解答题（本大题共9题） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原方程根据公式法求解即可； （2）原方程利用分解因式法求解． 【小问1详解】 方程中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 原方程可变形为， ∴或， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和分解因式法解方程的方法是解题的关键． 18. 如图，在中，点、在对角线上，连接、，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明，得到，即可得证． 【详解】略 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根． （2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ，，， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2）0或6 【解析】 【分析】（1）由，可知，，，根据，证明即可； （2）由，可得，，由该方程两个实数根的差为3，可得，即，，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵该方程两个实数根的差为3， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴m的值为0或6． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20. 小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与证明： （1）（尺规作图）在菱形中，交于点O．在右侧作，在上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图所示即为所求作： （2） 证明：四边形是菱形， ，． ． ， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，作一个角等于已知角，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意用尺规在右侧作，在上截取，连接，即可求解． （2）根据菱形的性质，先证明四边形是平行四边形，再根据即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 直线经过点，与直线交于点． （1）求直线的函数关系式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线解析式为，把点代入，即可求解； （2）可求，，，从而可求，再求，可求，由，即可求解． 【小问1详解】 解：设直线解析式为， 把点代入得： ， 解得：， 直线解析式为； 【小问2详解】 解：对于直线， 令，得到； 令，得到， 即 ， ， ，， ， ， 联立得：， 解得：， ， ， 则 ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数图形围成图形面积，掌握解法是解题的关键． 22. 福州第十九中学初一年段在进行数学单元测试后，从两个班级中各随机抽取了10名学生按班级分成两队，整理成绩如下（成绩用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．．） 甲队成绩是：95，95，80，95，97，97，91，99，90，81． 乙队成绩在C组中的数据是：94，90，92． 通过数据分析，甲队、乙队的成绩统计图表如下： 队伍 平均数 中位数 众数 方差 甲队 92 35.5 乙队 92 93 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出m，n，k的值：_____，_____，_____； （2）两个班共有100人参加了本次数学测试，估计两个班此次数学测试成绩优秀的学生总人数是多少． 【答案】（1）95；95；40 （2）两个班此次数学测试成绩优秀的学生总人数是50人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图、中位数、平均数、众数及方差，解题的关键是数据的处理； （1）根据中位数、众数的定义可进行求解m、n，根据扇形统计图可知乙队C组的百分比，进而问题可求解； （2）分别得出甲、乙两队优秀率，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：把甲队成绩从小到大排列为80，81，90，91，95，95，95，97，97，99，所以中位数是第5和第6个数据和的平均数，即为；众数为95； 由题意可知：乙队C组的百分比为， ∴； 故答案为95；95；40； 【小问2详解】 解：由题意可知：甲乙两队成绩优秀的学生人数为（人）， ∴（人）； 答：两个班此次数学测试成绩优秀的学生总人数是50人． 23. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设，． （1）求y与x的关系式，并写出x的取值范围； （2）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值． 【答案】（1）， （2）当，时矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确列出方程． （1）根据栅栏总长列式得出表达式，再根据，及外墙长列不等式组解决即可； （2）利用矩形面积公式及二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设，， ∴， ∵外墙长且， ∴， 解得：； ∴y与x的关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵， ∴当时，S最大，此时，， ∴当，时矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为． 24. 如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． （1）求此抛物线的解析式． （2）在线段上存在点，使得取得最小值，求此时点坐标及的最小值． （3）在（2）条件下，点为直线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为; （2）点坐标为，的最小值为； （3）存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点，点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把点和点的坐标代入，可得和，即可得抛物线的解析式； （2）在线段上取点，作于点，根据勾股定理可得，由垂线段最短可知当于点，交于点时，取得最小值，由等腰三角形的性质，可得点坐标，结合勾股定理和，从而可得，即为的最小值； （3）把点和点的坐标代入，可得直线的解析式，根据题意可知，，若点，，，是平行四边形的四个顶点，则，设，则，根据点和点的位置关系，进行分类讨论，列方程求解，可得每种情况对应的的值，从而可得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：在令，得或， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴，且 ∴， 在线段上取点，作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最小值，最小值为的长度，点为与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为，的最小值为． 【小问3详解】 解：∵直线都经过，两点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 根据题意可知，， 若点，，，是平行四边形的四个顶点，则， 设，则， 若点在点的上方，则， 解得或， 当时，，， 当时，，， 若点在点的下方，则， 解得或， 当时，，， 当时，，， ∴存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，勾股定理，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质． 25. 如图1，在正方形中，点E是上的一点，将线段绕点A逆时针旋转90度得到，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）如图2，连接，点G是中点，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ； （2） （3） 解：，理由如下： 延长到M，使，连接， 是中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据得出，根据“”进而得出结论； （2）设，则，得出，根据勾股定理求出，即可求解． （3）延长到M，使，连接，根据三角形中位线的性质得出，可证得，从而，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设，则， ， ， ， ，四边形是正方形， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十九中学2025-2026学年第一学期9月份校本练习 九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 样本方差，数字20表示样本的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 数据的个数 D. 平均数 3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 5. 如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%，小刚的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小刚这学期的数学成绩是（　　） A. 87分 B. 82分 C. 80分 D. 86分 7. 已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A. y的值随x的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象必经过点 D. 当时， 8. 小马在解关于x的一元二次方程时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个根是 9. 如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，，，，则DE的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： 若时，则 若方程有四个根，且四个根和为，则 已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是 其中结论正确的结论有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题） 11. 点P（﹣4，6）与Q（2m，﹣6）关于原点对称，则m＝____． 12. 某学校要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加跳高比赛，在最近的几次训练中，他们两人的平均成绩相同，方差分别是．若该校要选择一名成绩较稳定的学生，则应该选择______．（填“甲”或“乙”） 13. 如图，直线与直线交于点，则关于x，y二元一次方程组的解是_______． 14. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是_____． 15. 已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____． 16. 如图，在矩形中，，，P是射线上的一个动点，把沿折叠，点A的对应点为．当直线恰好经过点C时，的长为_____． 三、解答题（本大题共9题） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，点、在对角线上，连接、，，求证：． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根． （2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值． 20. 小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与证明： （1）（尺规作图）在菱形中，交于点O．在右侧作，在上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 21. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 直线经过点，与直线交于点． （1）求直线的函数关系式； （2）连接，求的面积． 22. 福州第十九中学初一年段在进行数学单元测试后，从两个班级中各随机抽取了10名学生按班级分成两队，整理成绩如下（成绩用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．．） 甲队成绩是：95，95，80，95，97，97，91，99，90，81． 乙队成绩在C组中的数据是：94，90，92． 通过数据分析，甲队、乙队的成绩统计图表如下： 队伍 平均数 中位数 众数 方差 甲队 92 35.5 乙队 92 93 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出m，n，k的值：_____，_____，_____； （2）两个班共有100人参加了本次数学测试，估计两个班此次数学测试成绩优秀的学生总人数是多少． 23. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设，． （1）求y与x的关系式，并写出x的取值范围； （2）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值． 24. 如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． （1）求此抛物线的解析式． （2）在线段上存在点，使得取得最小值，求此时点坐标及的最小值． （3）在（2）条件下，点为直线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 如图1，在正方形中，点E是上的一点，将线段绕点A逆时针旋转90度得到，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）如图2，连接，点G是中点，用等式表示与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $