精品解析：广东省中山市华辰实验中学2020-2021学年八年级下学期数学期中考试卷

广东省中山市华师附中2020−2021八年级下学期数学期中考试 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≥4 B. x=4 C. x≤4 D. x≠4 2. 在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　） A. a＝4，b＝5，c＝6 B. a＝12，b＝5，c＝13 C. a＝6，b＝8，c＝10 D. a＝7，b＝24，c＝25 3. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 4. 已知在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 对顶角相等 B. 如果a=b，那么|a|=|b| C. 全等三角形的对应角相等 D. 两直线平行，同位角相等 7. 如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸（）剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠得，与交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 小明步行从家出发去学校，步行了5分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快（　　） A. 200 B. 80 C. 140 D. 120 10. 如图，四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到，再以对角线为边作第四个正方形，连接．得到，…设，，，…，的面积分别为，，，…，如此下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共28分） 11. 比较大小： ______ （填 、或） 12. 如图，，，，为中点，则______． 13. 等边三角形的边长是8，这个三角形的面积为 _____． 14. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则四边形的周长为________． 15. 如图，点在平行四边形的边上，.若，，则的度数为________． 16. 如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为，当_____s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 17. 如图，在平行四边形中，，作于点，点是的中点，连接，，关于下列四个结论：；；； 则所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF， （1）求证：BE=BF； （2）求BE的长． 20. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 正方形网格中的每个小正方形边长都为，每个小正方形的顶点叫做格点．以格点为顶点按下列要求画三角形． （1）使三角形的三边长分别为，，（保留作图痕迹，不写作法） （2）求所画三角形的面积． 22. 如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处， （1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离； （2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？ 23. 如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，在平面直角坐标系中，有一些边长为的小正方形组成了正方形网格，小正方形的顶点为格点，点，均在格点上 （1）求线段的长； （2）点在轴上，且是等腰三角形，求满足条件的点的坐标； （3）请在如图所示的网格中，只借助无刻度的直尺作出的角平分线，保留作图痕迹，并说明理由 25. 已知平行四边形，如图，已知点的坐标为，其中，满足，与轴交点于点 （1）求点坐标； （2）如图，点、分别为轴，轴上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，过作轴交于点，求证：； （3）如图，等腰，，连接，取的中点，连接，，探究，的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市华师附中2020−2021八年级下学期数学期中考试 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≥4 B. x=4 C. x≤4 D. x≠4 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：代数式有意义，则， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟悉相关性质是解题关键． 2. 在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　） A. a＝4，b＝5，c＝6 B. a＝12，b＝5，c＝13 C. a＝6，b＝8，c＝10 D. a＝7，b＝24，c＝25 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证较短的两边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、，所以该三角形不是直角三角形，故该选项符合题意； B、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意； C、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意； D、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．已知三角形三边的长，判断三角形是否为直角三角形，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定、矩形和平行四边形和直角三角形斜边上的中线性质进行判定即可． 【详解】A、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意； B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意； C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，说法正确，不符合题意； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形和菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质定理是解题的关键． 4. 已知在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质（邻角互补、对角相等），解题的关键是根据平行四边形中角的关系列出等式，求出未知角的度数． 利用平行四边形邻角互补，结合，列方程求出的度数；再根据平行四边形对角相等得到的度数． 【详解】解：在平行四边形中， ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵， ∴，即，解得． ∵平行四边形对角相等， ∴． 故选：B． 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母．以此逐项判断即可． 【详解】选项，被开方数，其中4是完全平方数，可化简为，故A不是最简二次根式． 选项，被开方数，含平方因式，可化简为，故B不是最简二次根式． 选项，被开方数含分母2，需通过分母有理化变形为，故C不是最简二次根式． 选项，被开方数为多项式，无法分解为平方因式或提取平方因子，且不含分母，故D是最简二次根式． 故选：D． 6. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 对顶角相等 B. 如果a=b，那么|a|=|b| C. 全等三角形的对应角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】 【详解】选项A、对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，为假命题；选项B、如果a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b，为假命题；选项C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，为假命题； 选项D、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题．故选D. 点睛：本题考查逆命题的真假性，是易错题．本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真． 7. 如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸（）剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答． 【详解】解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形， 运用勾股定理得： BC2=（15-3）2+（20-4）2=122+162=400， 所以BC=20． 则剪去的直角三角形的斜边长为20cm． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长AB、DC相交于F，构造直角三角形，用勾股定理进行计算． 8. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠得，与交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．设，由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，可得，在中，根据，可得方程，可求，，即可求解． 【详解】解：设， ∵将矩形沿折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故选：B． 9. 小明步行从家出发去学校，步行了5分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快（　　） A. 200 B. 80 C. 140 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据小明步行了5分钟，走了400米，求得小明步行的速度，由小明以同样的速度回家取作业，可得小明回家花的时间，由此得出小明骑车花的时间，用骑车的路程÷时间求得小明骑车的速度，即可得出结论． 【详解】解：由图像知： 步行了5分钟，走了400米， ∴小明步行的速度为：400÷5＝80米/分钟， ∵又以同样的速度回家取作业， ∴又花了5分钟， 后面骑车用的时间为：16－5－5＝6分钟， ∴小明骑车的速度为：1200÷6＝200米/分钟， ∴小明骑车比步行的速度每分钟快200－80＝120米/分钟， 故选：D 【点睛】本题是一次函数的综合题，也考查了行程问题：路程＝速度×时间的运用，解题时理解函数图像是关键． 10. 如图，四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到，再以对角线为边作第四个正方形，连接．得到，…设，，，…，的面积分别为，，，…，如此下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查找图形面积规律问题，正确理解题意是解题的关键．通过连续构建正方形的过程，利用正方形的边长与对角线的关系，以及三角形的面积公式，找出三角形面积的规律，从而求解的值． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求：，，…， ， 的值为． 故选：A． 二、填空题（每题4分，共28分） 11. 比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 12. 如图，，，，为中点，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形等边对等角的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：，，，为中点， ， ， ， 故答案为：． 13. 等边三角形的边长是8，这个三角形的面积为 _____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据等边三角形三线合一和勾股定理即可求出该等边三角形的高，即可求出其面积． 【详解】如图， ∵等边三角形高线即中点，且边长为8， ∴， 在中，． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用．二次根式的化简，根据题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键． 14. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则四边形的周长为________． 【答案】18 【解析】 【分析】先由矩形的性质得到，再由勾股定理得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点O和点M分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵O是矩形的对角线的中点， ∴， ∵M是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴四边形的周长为：， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，勾股定理，解题的关键在于灵活运用所学知识． 15. 如图，点在平行四边形的边上，.若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD、∠B=∠D、ABCD，结合B+∠D=80°可得∠B的度数；然后再说明AB=AE，可得∠BAE的度数，进一步求得∠BAC的度数，最后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D，ABCD ∵∠B+∠D=80°， ∴∠B=∠D=40°， ∵BE=CD， ∴AB=BE， ∴∠BAE=70°， ∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=70°+20°=90° ∵ABCD， ∴∠ACD=∠BAC=90°． 故答案为：90°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，证得△ABE是等腰三角形求得∠BAE=70°是解答本题的关键． 16. 如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为，当_____s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或6 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当时，以为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案 【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：，， 则， ∵， ∴当是，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点F在C的右侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当是，四边形是平行四边形 即， 解得：； 综上所述：当或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． 17. 如图，在平行四边形中，，作于点，点是的中点，连接，，关于下列四个结论：；；； 则所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 先根据平行四边形的性质证明，再由证明，则，即可等量代换证明①；延长，交于点，证明，根据直角三角形斜边中线得到，即可证明②；根据互余关系证明③；由，得到，由为中点，得到，即可证明④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ，故正确； 延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ，故正确； ，， ， ， 即， ， ， ，故正确； ∵， ∴， ∵为中点， ∴，故④正确 故答案为： 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则将分式化简，再将a的值，代入计算即可． 【详解】解： 把代入得：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，根据分式混合运算法则求出化简结果，是解题的关键． 19. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF， （1）求证：BE=BF； （2）求BE的长． 【答案】（1） 证明：在长方形ABCD中，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，根据等角对等边即可得出结论； （2）在Rt△BAE中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在长方形ABCD中，，由折叠知， 设，那么， 在Rt△BAE中，， 即． 解得，即， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 20. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 正方形网格中的每个小正方形边长都为，每个小正方形的顶点叫做格点．以格点为顶点按下列要求画三角形． （1）使三角形的三边长分别为，，（保留作图痕迹，不写作法） （2）求所画三角形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，利用网格求三角形的面积： （1）根据三边长结合勾股定理画出三角形即可； （2）借助网格求面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求 由图可知：，符合题意； 【小问2详解】 解：由图可知：． 22. 如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处， （1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离； （2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？ 【答案】（1）蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是cm； （2）蚂蚁的平均速度是5米/秒 【解析】 【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可； （2）作点E关于点B的对称点，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm， ∴， ∴． 答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是cm； 【小问2详解】 解：4秒钟后蜂蜜下滑了4cm到点E， 作点E关于点B的对称点， ∴蚂蚁所走的最短路程就是， ∵，， ∴蚂蚁所走的路程， ∴蚂蚁的平均速度（米/秒）． 答：蚂蚁的平均速度为5米/秒． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． 23. 如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等角对等边、全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、勾股定理是解题的关键． （1）先证明，利用证明，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过点作于点，由菱形的性质得出，，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的长为． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，在平面直角坐标系中，有一些边长为的小正方形组成了正方形网格，小正方形的顶点为格点，点，均在格点上 （1）求线段的长； （2）点在轴上，且是等腰三角形，求满足条件的点的坐标； （3）请在如图所示的网格中，只借助无刻度的直尺作出的角平分线，保留作图痕迹，并说明理由 【答案】（1）5 （2），，， （3） 证明：如图，射线即为所求， ∵四边形为矩形，且对角线相交于点， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴为顶角的平分线， ∴射线为的角平分线． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线的作法，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据以线段两端点为圆心的圆和线段中垂线确定点的坐标即可； （3）利用矩形的对角线互相平分，确定中点，构造出等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一即可确定角平分线． 【小问1详解】 解：由勾股定理得； 【小问2详解】 解：如图所示， ①如果以点为圆心，长为半径，交轴于两点， 即，； ②如果以点为圆心，长为半径，交轴于一点， 此时，， ∴； ③作线段的垂直平分线，交轴于点， 此时，，则， ∴， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴； 综上，点的坐标为，，，； 【小问3详解】 略 25. 已知平行四边形，如图，已知点的坐标为，其中，满足，与轴交点于点 （1）求点坐标； （2）如图，点、分别为轴，轴上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，过作轴交于点，求证：； （3）如图，等腰，，连接，取的中点，连接，，探究，的关系． 【答案】（1） （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用算术平方根，以及平方式的非负性求解，即可解题； （2）结合折叠的性质，推出，，然后证明四边形是平行四边形，得到，，进而推出，可知，推出，进而利用线段的和差即可证明； （3）延长至，使，连接，，延长交于点，利用三角形中位线定理得到，，证明，结合全等三角形性质推出，再结合角之间的数量关系代换推出，最后结合平行线性质即可得到的位置关系． 【小问1详解】 解：， ， 即， 解得， 点坐标为； 【小问2详解】 证明：将沿折叠， ，， ∵平行四边形， ， 又∵， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ，即； 【小问3详解】 解：， 理由如下： 如图3，延长至，使，连接，，延长交于点， ，点是的中点， ，， ∵等腰，， ∴， ，，， ∴， ，， ∴为等腰直角三角形，， 点， ， ， ，即， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方式的非负性，折叠的性质，平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，全等三角形性质和判定，解题的关键在于作出合适的辅助线并灵活运用相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $