精品解析：2021年江苏省淮安市淮阴区开明中学中考数学第一次模拟试卷

2021年江苏省淮安市淮阴区开明中学中考数学第一次模拟试卷 一、选择题：（每题3分，共24分，请将答案涂在答题卡上） 1. 4的绝对值是（ ） A. 4 B. ﹣4 C. ±4 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 4. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用22纳米米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）. A. B. C. D. 6. 如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（   ） A. 24° B. 59° C. 60° D. 69° 7. 要从甲、乙、丙、丁四名射击选手中选择一个成绩优秀且发挥稳定的人参加射击比赛，抽取了四人平时10次的射击测试成绩，发现四人10次射击的平均成绩都是环，方差分别是，则应该选择参加比赛的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，向容器甲中匀速注水，容器甲中水的高度与时间的函数关系可用下面哪一个图象大致刻画（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题3分，共24分，请将答案填在答题卡上） 9. 不等式：的解集是_____． 10. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 11. 如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可） 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 13. 已知，，计算的值为_________． 14. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是_____． 15. 如图，四边形是的内接四边形，，则__________． 16. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作第个正方形；延长交轴于点，作第个正方形，…，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积是______． 三、解答题：（共11小题，共102分，请将答案填在答题卡上） 17. 计算： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形中，，平分，交的延长线于点，，求证：四边形是平行四边形． 20. 2021年体育中考前夕，我校为了了解男生的体育情况随机调查了九年级50名男生“1分钟跳绳”的次数，并将调查所得的数据整理如下： 1分钟跳绳次数的频数、频率分布表： 成绩段 频数 频率 5 10 a b m c 12 n 根据以上图表信息，解答下列问题： （1）表中的　 　，　 　； （2）请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应的数据）． （3）我校九年级共有600名男生，按当前情况请你估计我校九年级男生“1分钟跳绳”有多少人能达满分（次数次达满分）． 21. 如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． （1）从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率　 　； （2）小明先从中随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，求两人摸出的牌面图形都是轴对称图形的概率(纸牌用A、B、C、D表示)． 22. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）． 23. 如图，直线与轴，轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）过轴上的点作平行于轴的直线，分别与直线和双曲线交于两点，且，求点的坐标． 24. 如图，在中，，以为直径的⊙O交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且． （1）求证：是⊙O的切线； （2）当时，求的长． 25. 在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫，已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，)满足一次函数的关系，部分数据如表： x（元/件） 12 13 14 15 16 y （件） 1200 1100 1000 900 800 （1）求y与x的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，则该商家最多可以捐赠给社区多少钱用于抗疫？ 26. 【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目： 如图1，在中，，AD平分交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作交AC的延长线于点F，当时，试说明：； 【方法探究】 社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路： 在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS证明，从而得到…， （1）请接着完成剩下的说理过程： 【方法运用】 （2）在图1中，若，则线段AF、EF、AB之间的数量关系为______（用含k的式子表示，不需要证明）； （3）如图2，若，，，，求出BD的长； 【拓展提升】 （4）如图3，若，连接AE，已知，，，且，则边EF的长＝______． 27. 如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于另一点A． （1）求出点B的坐标和抛物线的解析式； （2）如图1，点F是抛物线的顶点，连接，，试求出的面积； （3）如图2，点P是线段下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作轴交于点D，作于，则的周长的最大值　 　． （4）当（3）中的周长取得最大值时，将绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，点P、D、E的对应点分别记为． ①点到点A距离的最大值　 　． ②当点恰好落在坐标轴上时，请直接写出相应的点E′坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年江苏省淮安市淮阴区开明中学中考数学第一次模拟试卷 一、选择题：（每题3分，共24分，请将答案涂在答题卡上） 1. 4的绝对值是（ ） A. 4 B. ﹣4 C. ±4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：4的绝对值是4． 故选A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方和完全平方式相关知识判断即可． 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意； B．，故错误，不符合题意； C．，故错误，不符合题意； D．，正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方式，合并同类项和幂的乘方，掌握基础知识是关键． 3. 下列四个图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 4. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用22纳米米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考用科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键． 用科学记数法表示较小数时的形式是，其中为原数中从左边起第一个非零数字前面所有零的个数（包含小数点前面的零)，即可确定的值． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． 5. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用待定系数法确定反比例函数的解析式，再验证选项中的点是否满足解析式即可，若满足函数解析式，则在函数图像上. 【详解】解：将点代入， ∴， ∴， ∴点在函数图象上， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式的求法及根据解析式确定点在函数图形上，会求反比例函数的解析式是解题的关键. 6. 如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（   ） A. 24° B. 59° C. 60° D. 69° 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC. 【详解】∵∠A=35°，∠C=24°， ∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°， 又∵DE∥BC， ∴∠D=∠DBC=59°， 故选B. 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键. 7. 要从甲、乙、丙、丁四名射击选手中选择一个成绩优秀且发挥稳定的人参加射击比赛，抽取了四人平时10次的射击测试成绩，发现四人10次射击的平均成绩都是环，方差分别是，则应该选择参加比赛的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定． 根据方差的意义作答即可． 【详解】∵， ∴， ∴成绩最稳定的是丙，应该选择丙参加比赛． 故选：C 8. 如图，向容器甲中匀速注水，容器甲中水的高度与时间的函数关系可用下面哪一个图象大致刻画（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由容器的形状可知，注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始陡峭，后来趋于平缓，结合选项可得答案． 【详解】解：由容器的形状可知： 注入水的高度随着时间的增长越来越高， 但增长的速度越来越慢， 即图象开始陡峭，后来趋于平缓， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象，注意理解函数图象的变化趋势是解题的关键． 二、填空题：（每题3分，共24分，请将答案填在答题卡上） 9. 不等式：的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】不等式移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集． 【详解】解：移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 10. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】∵代数式有意义，分母不能为0，可得，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键． 11. 如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可） 【答案】∠ADE=∠ACB（答案不唯一） 【解析】 【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，由此可得出可添加的条件． 【详解】解：由题意得，（公共角）， 则可添加：或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB； 添加：，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB． 故答案可为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两点的横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 13. 已知，，计算的值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】将代数式化简，然后直接将，代入即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简是解题关键． 14. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是_____． 【答案】27π 【解析】 【详解】试题分析：设扇形的半径为r．则，解得r=9，∴扇形的面积==27π．故答案为27π． 考点：扇形面积的计算． 15. 如图，四边形是的内接四边形，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：130． 16. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作第个正方形；延长交轴于点，作第个正方形，…，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解 再证明 再利用相似三角形的性质求解 同理可得： 从而可得答案． 【详解】解： 正方形， 正方形， 同理可得： 所以第个正方形的面积是 故答案为： 【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，坐标规律的探究，掌握由具体到一般的探究方法是解题的关键． 三、解答题：（共11小题，共102分，请将答案填在答题卡上） 17. 计算： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、负整数次幂、绝对值、解分式方程等知识点，灵活运用相关运算法则和方法成为解题的关键． （1）先运用负整数次幂、特殊角三角函数值、绝对值化简，然后再计算即可； （2）先把方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【小问1详解】 解： ＝ ＝ ＝3． 【小问2详解】 解：， ， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先将分式进行化简，再将代入求值即可． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 19. 如图，四边形中，，平分，交的延长线于点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，平行线的判定，平行四边形的判定． 由等边对等角可得，由平分可得，等量代换可得，从而可得，结合，即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 20. 2021年体育中考前夕，我校为了了解男生的体育情况随机调查了九年级50名男生“1分钟跳绳”的次数，并将调查所得的数据整理如下： 1分钟跳绳次数的频数、频率分布表： 成绩段 频数 频率 5 10 a b m c 12 n 根据以上图表信息，解答下列问题： （1）表中的　 　，　 　； （2）请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应的数据）． （3）我校九年级共有600名男生，按当前情况请你估计我校九年级男生“1分钟跳绳”有多少人能达满分（次数次达满分）． 【答案】（1），16 （2）见解析 （3）336人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数与频率分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数可求出a、b的值，进而可求出m的值； （2）根据（1）所求补全统计图即可； （3）用600乘以样本中满分的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：人， ∴估计我校九年级男生“1分钟跳绳”有336人能达满分． 21. 如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． （1）从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率　 　； （2）小明先从中随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，求两人摸出的牌面图形都是轴对称图形的概率(纸牌用A、B、C、D表示)． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据题意结合概率公式作答即可； （2）列出表格，找出符合题意的情况，进而根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表得： A B C D A B C D 共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，除了平四四边形，其他的都是轴对称图形，故其中两人摸出的牌面图形都是轴对称图形的有6种， 则两人摸出的牌面图形都是轴对称图形的概率是 22. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）． 【答案】约为12.3m 【解析】 【分析】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC=MN=16m，DE=CN=BM=1.6m，求得CE=AE，设AE=CE=x，得到BE=16+x，解直角三角形即可得到答案． 【详解】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E， 则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形， ∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m， ∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴CE＝AE， 设AE＝CE＝x， ∴BE＝16+x， ∵∠ABE＝22°， ∴tan22°＝＝≈0.40， 解得：x≈10.7（m）， 经检验x≈10.7是原分式方程的解 ∴AD≈10.7+1.6＝12.3（m）， 答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 23. 如图，直线与轴，轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）过轴上的点作平行于轴的直线，分别与直线和双曲线交于两点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（）先求出一次函数解析式，进而求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）由题意可得，，进而根据得到，解方程即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴一次函数解析式为， 把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵轴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或． 24. 如图，在中，，以为直径的⊙O交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且． （1）求证：是⊙O的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，，   ∵是直径， ∴． ∴．                                                     ∵， ∴， ∴， ∴．                                                     ∵， ∴． ∵， ∴．                                              ∴，即． 又是的半径， ∴是的切线．                                          （2）10 【解析】 【分析】（1）连接，，由是直径可得到，然后通过题中角的关系可推出，即可得证； （2）通过，得到，然后设，列分式方程即可解得，从而得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 设，∵，， ∴，，，． ∴． 解得． 经检验是所列分式方程的解． ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 25. 在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫，已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，)满足一次函数的关系，部分数据如表： x（元/件） 12 13 14 15 16 y （件） 1200 1100 1000 900 800 （1）求y与x的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，则该商家最多可以捐赠给社区多少钱用于抗疫？ 【答案】（1） （2）该商家最多可以捐赠给社区7300元用于抗疫 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的性质． （1）设y与x的函数关系式为，将表中数据代入计算即可； （2）设总利润为w元，求出w的函数解析式，进而根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 设y与x的函数关系式为， 则， 解得：， 即y与x的函数关系式是； 【小问2详解】 设总利润为w元， ， ∵，， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴该商家最多可以捐赠给社区7300元用于抗疫． 26. 【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目： 如图1，在中，，AD平分交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作交AC的延长线于点F，当时，试说明：； 【方法探究】 社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路： 在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS证明，从而得到…， （1）请接着完成剩下的说理过程： 【方法运用】 （2）在图1中，若，则线段AF、EF、AB之间的数量关系为______（用含k的式子表示，不需要证明）； （3）如图2，若，，，，求出BD的长； 【拓展提升】 （4）如图3，若，连接AE，已知，，，且，则边EF的长＝______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）8；（4）． 【解析】 【分析】（1）当BD：DE=1时，DE=BD，再根据∠BDA=∠EDM，BD=ED，可证△ABD≌△MED，得出AB=ME，又∠BAD=∠DAC，则∠FMD=∠DAC，AF= MF，即可证出结论； （2）当BD：DE=k时，同(1)可得，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （3）根据(2)的结论代入数值计算即可； （4）延长AD、EF交点为G，由(1) (2)可知GE= 18，过点A作AH⊥GE，在中，，则，设，则，，在中，由勾股定理可得，解得，当时，在中，，解得，，成立；当时，因，所以不成立. 【详解】（1）证明：当时，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵AD平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； 理由：当时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：， 又∵AD平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； （4）如图，延长AD、EF交点为G， 由(1) (2)可知：， ∴GE=18， 过点A作AH⊥GE， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理可得， 解得， 当时，在中，， 解得，，成立； 当时，同理可得：， ∵， ∴不成立. 综上所述，． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等，解题的关键是根据相似三角形的性质列出方程，要注意的是（4）中要进行分类求解. 27. 如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于另一点A． （1）求出点B的坐标和抛物线的解析式； （2）如图1，点F是抛物线的顶点，连接，，试求出的面积； （3）如图2，点P是线段下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作轴交于点D，作于，则的周长的最大值　 　． （4）当（3）中的周长取得最大值时，将绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，点P、D、E的对应点分别记为． ①点到点A距离的最大值　 　． ②当点恰好落在坐标轴上时，请直接写出相应的点E′坐标． 【答案】（1）， （2） （3） （4）①；②或或 【解析】 【分析】（1）先求出，，再运用待定系数法即可求得函数解析式； （2）如图1，过点作轴交于点，运用配方法可求得顶点，进而可得，再运用，即可求得答案； （3）设，则，可得，再利用，得出，进而可得，运用二次函数最值即可求得答案； （4）①如图3，以为圆心，的长为半径作，则点在上，当点为的延长线与的交点时，点到点距离最大，运用两点间距离公式求得，即可得出答案； ②分三种情况讨论：当点在轴上时；当点在轴上，，时；当点在轴上，时；分别求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点，与轴交于点， ，， 抛物线经过、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图1，过点F作轴交于点G， ∵， ∴顶点， 的横坐标为， 代入直线解析式可得， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图2， ，， ，， 在中，， 的周长， 设，则， ， 轴， ， ， ， ， ，即， ， 当时，取得最大值； 故答案为：； 【小问4详解】 解：①由（3）知：当时，取得最大值， ，， ， 如图3，以为圆心，的长为半径作，则点在上， 当点为的延长线与的交点时，点到点距离最大， 此时，， 在中，令， 则， 解得：或4， ， ， ， 故答案为：． ②当点恰好落在轴上时，如图4，过点作于点， 由（3）知：， ，即， ，， 由旋转知：，，，， ，即， ， ，， △， ，即， ， ， 点到轴的距离为2，即轴于点， ； 当点恰好落在轴上时，如图5，延长交轴于点， 则，，， 由旋转知：， ， 或， 当时，过点作于，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， 设，则，，，， ， ，， ，， ； 当，时，如图6，过点作轴垂线， 设， ，， ， 在中，， ， ， ，， ，； 综上所述：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数性质的运用，勾股定理，三角形面积，两点间距离公式，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质等；熟练掌握二次函数的图象及性质，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $