精品解析：2022年浙江省宁波外国语学校强基计划数学试卷

2022年浙江省宁波外国语学校强基计划数学试卷 一、选择题 1. 若是关于x的一元二次方程的两个实根，则（ ） A. B. C. D. 2. 四个实数：1，2，3，x的极差等于这4个数之和，则这四个数的中位数是（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 2 D. 3 3. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为腰、上的点，且．若线段平分梯形的面积，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 2022年是宁波外国语学校建校31周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 2021年是我们师大附中建校116周年．在建校n周年时正整数n能整除当年年份，则这样的n有______个． 6. 如图，在四边形中，，，对角线和交于点E，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角三角形中，为边上一点（不含端点），分别是和的外心，下列结论：；与相似；．其中正确结论的序号是（ ） A B. C. D. 只有 二、填空题 8 已知，，，则______． 9. 如图，一个边长为10的正方形，被2条平行于一组对边的直线，和2条平行于另一组对边的直线分成9个矩形，若中间矩形（标有“中”字样）的周长为10，则四个角落的矩形（阴影部分）面积之和的最大值为______． 10. 已知点落在反比例函数的图象上，直线l与直线垂直（O为坐标原点），若点关于直线l的对称点C恰好落在该反比例函数的图象上，则点C的坐标为______． 11. 将1，2，3，…，2022这2022个自然数按顺时针方向围成一个圆圈，然后从1开始，按顺时针方向依次隔一个数拿走，即依次拿走1，3，5，…，这个过程一直进行下去，直到剩下最后一个数字，则最后剩下的数字是______． 三、解答题 12. 阅读材料：对于多项式，我们有如下结论，称为因式定理： 若，则多项式必定含有因式；反过来，如果含有因式，那么． 运用以上定理，我们可以对多项式进行因式分解： 因，所以含有因式，用待定系数法，设，对比系数可得，， 可得因式分解：． 请你解决以下问题：已知关于x方程有实根1和． （1）用a表示c； （2）若除了和以外，方程没有其他数值实根，求a的值． 13. 对于平面直角坐标系中的点和点，称为M、N两点的“宁波距离”，记作．已知点，点Q是直线上的动点，点R是抛物线上的动点． （1）求所有满足的点Q的坐标； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年浙江省宁波外国语学校强基计划数学试卷 一、选择题 1. 若是关于x的一元二次方程的两个实根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的根关系，作出与的图像，是图像交点的横坐标，数形结合即可求解． 【详解】解：如图： 是与图像交点的横坐标， 故， 故选：C． 2. 四个实数：1，2，3，x的极差等于这4个数之和，则这四个数的中位数是（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中位数和极差，分类讨论最大数与最小数的情况，列出方程求出符合题意的的值，再依据中位数的定义求解即可，解题的关键是掌握极差的概念，并据此求出的值． 【详解】解：若最大数为，则，此时方程不成立； 所以最大数为3， 若最小数为1，则，解得，这与最小数为1相矛盾，舍去； 若最小数为，则，解得， 此时数据为、1、2、3， 所以这四个数的中位数为， 故选：A． 3. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为腰、上的点，且．若线段平分梯形的面积，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，延长相交于点，利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方来求解的长度． 【详解】如图，延长相交于点， 设，则， ∴梯形的面积为， 又∵线段平分梯形的面积， ∴梯形的面积为， ∴梯形的面积 ， 即 解得， 故选：D． 4. 2022年是宁波外国语学校建校31周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的值为整数，根据题意求出建校n周年对应年份为，列出式子，化为，则要使得能够整除，则n为1991的因数，据此即可解答． 【详解】由题可知，建校n周年对应年份为， 则年份除以建校周年n为， 要使得能够整除，则n为1991的因数， ∵， ∴或或或，共4个， 故选：B． 5. 2021年是我们师大附中建校116周年．在建校n周年时正整数n能整除当年年份，则这样的n有______个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，先求出建校周年时，当年的年份为：．根据在建校周年时正整数能整除当年年份，列出分式，该分式的值为正整数，求出满足题意的的值即可求解． 【详解】∵2021年建校116周年， ∴建校周年时，当年的年份为：， 在建校周年时正整数能整除当年年份， 为正整数， ， 为1905的正因数． ， 的正因数有：，一共8个． 满足题意的正整数的的个数为8． 故答案为：8． 6. 如图，在四边形中，，，对角线和交于点E，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形中位线，圆周角的性质，相似三角形的判定与性质：由，可作于，交于点，证明O是中点，根据几何关系求出，利用求出，从而可求出，设再由写出比例关系即可求解． 【详解】作于，交于点，如图： ∴点是的中点， ∴， ∴O是中点， ∴是的中位线， ∴． ∴在以为圆心，以为直径的圆上． 又 设 即， 解得 故选：D． 7. 在锐角三角形中，为边上一点（不含端点），分别是和的外心，下列结论：；与相似；．其中正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 只有 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了外接圆的性质，垂直平分线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，由外接圆的性质，垂直平分线的判定与性质可判断，通过相似三角形的判定判断，由相似三角形性质可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵分别是和的外心， ∴，， ∴分别在的垂直平分线上， ∴，故结论正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴与相似，故正确； 连接，如图， ∵与相似， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不正确， ∴正确的结论的序号为：， 故选：． 二、填空题 8. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，把整理后得到，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 9. 如图，一个边长为10的正方形，被2条平行于一组对边的直线，和2条平行于另一组对边的直线分成9个矩形，若中间矩形（标有“中”字样）的周长为10，则四个角落的矩形（阴影部分）面积之和的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用周长和面积考查二次函数的性质．设中间矩形的邻边长为a和b，则，由题意知四个角落的矩形可以拼接成一个邻边长为和的矩形，则面积之和为，代入利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】解：设中间矩形的邻边长为a和b， ∵中间矩形的周长为10， ∴，即， 又∵四个角落矩形可以拼接成一个邻边长为和的矩形， ∴四个角落的矩形（阴影部分）面积之和为， 又∵， ∴， 则当时，S有最大值为， 故答案为：． 10. 已知点落在反比例函数的图象上，直线l与直线垂直（O为坐标原点），若点关于直线l的对称点C恰好落在该反比例函数的图象上，则点C的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，两条直线平行其关系式的特征以及轴对称，根据反比例函数、正比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数关系式以及直线的关系式，再求出过点且与平行的直线的关系式，再与反比例函数联立方程组求出交点坐标即可． 【详解】解：∵点落在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 设直线的关系式为， 把代入得， ∴直线的关系式为， ∵直线l与直线垂直，点关于直线l的对称点C恰好落在该反比例函数的图象上， ∴，直线与反比例函数交点即为点， ∴设直线的关系式为， ∵， ∴， 即， ∴直线的关系式为， 联立， 解得，， ∴或， 故答案为：或． 11. 将1，2，3，…，2022这2022个自然数按顺时针方向围成一个圆圈，然后从1开始，按顺时针方向依次隔一个数拿走，即依次拿走1，3，5，…，这个过程一直进行下去，直到剩下最后一个数字，则最后剩下的数字是______． 【答案】1996 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，观察每轮操作后剩余数字，可得每次操作后都会形成新等差数列，公差成倍增加，首项可能变化，由此可解． 【详解】解：第1圈拿取后留下的是，即首项为2，公差为2的数列； 第2圈拿取后留下的是，即首项为4，公差为4的数列； 第3圈拿取后留下的是，即首项为4，公差为8的数列； 第4圈拿取后留下的是，即首项为12，公差为16的数列； 第5圈拿取后留下的是，即首项为12，公差为32的数列； 第6圈拿取后留下的是，即首项为12，公差为64的数列； 第7圈拿取后留下的是，即首项为76，公差为128的数列； 第8圈拿取后留下的是，即首项为204，公差为256的数列； 第9圈拿取后留下的是，即首项为460，公差为512的数列； 第10圈拿取后留下的是， 第11圈拿取后留下的是， 故答案为：1996 ． 三、解答题 12. 阅读材料：对于多项式，我们有如下结论，称为因式定理： 若，则多项式必定含有因式；反过来，如果含有因式，那么． 运用以上定理，我们可以对多项式进行因式分解： 因为，所以含有因式，用待定系数法，设，对比系数可得，， 可得因式分解：． 请你解决以下问题：已知关于x的方程有实根1和． （1）用a表示c； （2）若除了和以外，方程没有其他数值实根，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解和一元二次方程，根据题中所给的“待定系数法”即可求解： （1）由题可知因式分解后含有因式，设，将方程右边展开，根据方程左右两边同次数项系数相等即可列出方程组求解； （2）由题可知，或，或，其中无实数根，即；m是大于0小于5的整数．将方程右边展开，根据方程左右两边同次数项系数相等即可列出方程组求解． 【小问1详解】 化为． ∵已知关于的方程有实根1和， 又，则多项式必定含有因式， ∴因式分解后含有因式， 设 ； 【小问2详解】 ∵， ∵方程除了和以外，没有其他的实根， ∴①， 或②， 或③， 其中无实数根，即；m是大于0小于5的整数． ① 则，解得，且满足， 故； ② ， 则，解得， 此时不符合题意； ③， 无论取大于0小于5的任何整数，方程右边展开后都有项，故方程不可能成立． 综上，． 13. 对于平面直角坐标系中的点和点，称为M、N两点的“宁波距离”，记作．已知点，点Q是直线上的动点，点R是抛物线上的动点． （1）求所有满足的点Q的坐标； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 【答案】（1）或 （2）2 （3）1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． （1）（2）设则，分，，三种情况讨论即可求解； （3）当与直线平行的直线为与抛物线有唯一交点时，可求使最小的的坐标，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：设 当时，，解得， 当时，，解得，不满足，故舍去； 当时，，解得， 综上所述，点坐标为或； 小问2详解】 解：设， 当时，， ； 当时，， ； 当时，， ∴的最小值为2； 【小问3详解】 解：如图， 过作y轴垂线，过Q作x轴垂线，两垂线交于S 则，当且仅当R和Q横坐标相同，或纵坐标相同时，等号成立． 设与直线平行的直线为， 由，得①， 当直线与抛物线有唯一交点时， 解得， ∴此直线为， 方程①为，解得． ∴直线与抛物线的唯一交点为， 如图，当R为M时，过M作x轴，y轴的平行线，与直线分别交于N，T， 数形结合可知，中较小的即为的最小值， 易知N为，则，T为，， ∴的最小值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $