2026届高考物理一轮复习讲义：功和功率

功和功率 课前必备知识 1．功 (1)定义：物体受到力的作用，并在力的方向上发生一段位移，就说力对物体做了功。 (2)做功的两个必要条件：①有力作用在物体上；②物体在力的方向上发生了位移。 (3)公式：W＝Fl cos α，其中F是恒力，l是位移，α是力F和位移l的夹角。 (4)单位：焦耳(J)。 (5)标矢性：功是标量，没有方向，但有正、负。根据W＝Fl cos α可知， ①当0°≤α<90°时，力对物体做正功，是动力，物体获得动能。 ②当90°<α≤180°时，力对物体做负功。 ③当α＝90°时，力对物体不做功。 2．功率 (1)定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。 (2)物理意义：描述力对物体做功的快慢。 (3)公式 ①P＝，P为时间t内的平均功率。 ②P＝Fv a．v为平均速度，则P为平均功率。 b．v为瞬时速度，则P为瞬时功率。 c．当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解。 概念辨析 1．只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。(　×　) 2．作用力做正功时，反作用力一定做负功。(　×　) 3．力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。(　√　) 4．摩擦力对物体一定做负功。(　×　) 5．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。(　√　) 6．当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。(　×　) 7．汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。(　√　) 课堂核心考点 考点一　恒力做功的分析与计算 1．功的正负的判断方法 (1)恒力做功的判断，依据力与位移方向的夹角来判断。 (2)曲线运动中功的判断 (3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。 2．恒力做功的计算方法 3．合力做功的计算方法 方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1。 考向1正负功的判断 【典例1】　如图所示，用电梯将两箱相同的货物从一楼运送到二楼，其中图甲是用台阶式电梯运送，图乙是用履带式自动电梯运送，假设两种情况下电梯都是匀速运行，下列说法正确的是(　D　) A．两种情况下电梯对货物的支持力都对货物做正功 B．图乙中电梯对货物的支持力对货物做正功 C．图甲中电梯对货物的支持力对货物不做功 D．图乙中电梯对货物的支持力对货物不做功 【解析】　在题图甲中，货物随电梯匀速上升时，货物受到的支持力竖直向上，与货物位移方向的夹角小于90°，故此种情况下支持力对货物做正功，C错误；题图乙中，货物受到的支持力与电梯接触面垂直，此时货物受到的支持力与货物位移方向垂直，故此种情况下支持力对货物不做功，A、B错误，D正确。 考向2恒力做功的计算 【典例2】　(多选)如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中，g取10 m/s2，则(　AC　) A．斜面对物体的支持力做功300 J B．斜面对物体的摩擦力做功－100 J C．物体克服重力做功400 J D．合力对物体做功25 J 【解析】　物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示。由平衡条件得Ffcos θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋FNcos θ－G＝0，代入数据解得Ff＝10 N，FN＝10 N，x＝vt＝20 m，斜面对物体的支持力所做的功WN＝FNx cos θ＝300 J，A正确；斜面对物体的摩擦力所做的功Wf＝Ffx cos (90°－θ)＝100 J，B错误；物体重力做的功WG＝Gx cos 180°＝－400 J，即物体克服重力做功400 J，C正确；合力对物体做的功W合＝WN＋Wf＋WG＝0，D错误。 变式训练 1．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左匀加速运动一段距离，运动中物体与斜面体始终相对静止。关于物体，下列说法正确的是(　C　) A．摩擦力一定不做功 B．摩擦力一定做负功 C．支持力一定做正功 D．合力做功可能为零 解析：当物体与斜面间的摩擦力为零时，则mg tan θ＝ma0，即当a＝a0＝g tan θ时，物体与斜面之间无摩擦力，此时摩擦力不做功；若当a>g tan θ时，物体所受摩擦力沿斜面向下，此时摩擦力与位移方向夹角小于90°，摩擦力做正功；若当a<g tan θ时，物体所受摩擦力沿斜面向上，此时摩擦力与位移方向夹角大于90°，摩擦力做负功，故A、B错误；支持力方向与斜面垂直，与位移方向夹角小于90°，则支持力一定做正功，故C正确；合力为ma，不为零，方向水平向左，可知合力做功不可能为零，故D错误。 2．如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢。在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是(　A　) A．人对车的推力F做的功为FL B．人对车做的功为maL C．车对人的作用力大小为ma D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L 解析：根据功的公式可知，人对车的推力做的功为W＝FL，故A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F′＝ma，由牛顿第三定律可知人对车的作用力为－ma，人对车做的功为W＝－maL，故B错误；人在水平方向受到车的作用力为ma，竖直方向上车对人还有支持力，故车对人的作用力为FN＝＝m，故C错误；对人，由牛顿第二定律可得Ff－F＝ma，则Ff＝ma＋F，车对人的摩擦力做的功为W＝FfL＝(F＋ma)L，故D错误。 考点二　变力做功的分析与计算 方法 情境说明 方法总结 微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功为Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 等效转 换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的功为W＝F 平均 力法 弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2的过程中，克服弹簧弹力做的功为W＝Δx＝(x2－x1) 图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功 动能定 理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ) 【典例3】　(多选)力F对物体所做的功可由公式W＝Fl cos α求得。公式中力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图所示，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是(　AB　) A．甲图中，若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W＝F(lOA－lOC) B．乙图中，全过程中F做的总功为72 J C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRf D．丁图中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Fl sin θ 【解析】　甲图中，因力对绳做的功等于绳对物块做的功，则物块从A到C过程中绳对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)，故A正确；乙图中，F－x图线与坐标轴围成的面积代表功，则全过程中F做的总功W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B正确；丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，方向始终与运动方向相反，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝－f·＝－πRf，故C错误；丁图中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W＝Fl sin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能直接用力乘以位移计算，要根据动能定理求解力F做的功，即W′＝mgl(1－cos θ)，故D错误。 变式训练 3．某同学用水桶从水井里提水，井内水面到井口的高度为20 m。水桶离开水面时，桶和水的总质量为10 kg。由于水桶漏水，在被匀速提升至井口的过程中，桶和水的总质量随着上升距离的变化而变化，其关系如图所示。水桶可以看成质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。由图像可知，在提水的整个过程中，拉力对水桶做的功为(　B　) A．2 000 J B．1 800 J C．200 J D．180 J 解析：由于水桶匀速上升，故拉力大小等于水和桶的总重力，由于水和桶的总质量随位移均匀减小，故拉力与位移满足线性关系，所以可用平均力法求解变力做功。结合题图可知，F1＝m1g＝100 N，F2＝m2g＝80 N，则在提水的整个过程中，拉力对水桶做的功为W拉＝h＝1 800 J，故B正确。 4．水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力， g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　A　) A．拉力F对小球做的功为16π J B．拉力F对小球做的功为8π J C．小球克服摩擦力做的功为16π J D．小球克服摩擦力做的功为4π J 解析：将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功分别为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Fln cos 37°，故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝F cos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝F cos 37°·＝16π J，故A正确，B错误；同理可得小球克服摩擦力做的功为Wf＝μmg·＝8π J，故C、D错误。 考点三　功率的分析和计算 1．平均功率的计算方法 (1)利用P＝。 (2)利用P＝Fv cos α，其中v为物体运动的平均速度。 2．瞬时功率的计算方法 (1)利用公式P＝Fv cos α，其中v为t时刻的瞬时速度。 (2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。 (3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。 【典例4】　如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速直线运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(重力加速度g取10 m/s2)(　C　) A．物体的加速度大小为2 m/s2 B．F的大小为21 N C．4 s末F的功率为42 W D．4 s内F的平均功率为42 W 【解析】　由题图乙可知，v－t图像的斜率表示物体的加速度，即a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得F＝10.5 N，A、B错误；4 s末F的作用点的速度大小为vF＝2v物＝4 m/s，故4 s末F的功率为P＝FvF＝42 W，C正确；由题图乙可知，4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移大小l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故4 s内F的平均功率为＝＝21 W，D错误。 求解功率时应注意的三个问题 (1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。 (2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。 (3)计算瞬时功率时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。 变式训练 5．(多选)质量为m的物体从距地面H高处自由下落(不计空气阻力)，经过时间t，则下列说法中正确的是(　ACD　) A．t时间内重力对物体做的功为mg2t2 B．t时间内重力的平均功率为mg2t C．时刻重力的瞬时功率与t时刻重力的瞬时功率之比为1∶2 D．前时间内重力做功的平均功率与后时间内重力做功的平均功率之比为1∶3 解析：物体自由下落，t时间内物体下落的高度h＝gt2，则t时间内重力对物体做的功为Wt＝mgh＝mg2t2，A正确；t时间内重力的平均功率为P＝＝＝mg2t，B错误；物体从静止开始自由下落，时刻与t时刻物体的速度大小之比为1∶2(因v＝gt∝t)，又P＝mgv∝v，故时刻与t时刻重力的瞬时功率之比为1∶2，C正确；物体前时间与后时间下落的位移大小之比为1∶3，则重力做功之比为1∶3，故重力做功的平均功率之比为1∶3，D正确。 考点四　机车启动问题 1．两种启动方式 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P－t图像和v－t图像 OA 段 过程 分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变，v↑⇒P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1 运动 性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB 段 过程 分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动 BC 段 过程 分析 — F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ 运动 性质 — 以vm做匀速直线运动 2.三个重要关系 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力大小F阻)。 (2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝＜vm＝。 (3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小或时间。 【典例5】　超级电容车在运行中无需连接电缆，只需在乘客上车间隙充电30 s到1 min，就能行驶3到5 km。假设有一辆超级电容车，质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，当超级电容车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力Ff是车重的，g取10 m/s2。 (1)求超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？ (2)若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求这一过程能维持多长时间？ (3)若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，求此过程中超级电容车的位移。 思路点拨　(1)当超级电容车速度达到最大时，超级电容车的牵引力与阻力等大、反向。 (2)超级电容车以恒定加速度启动，匀加速运动结束时，超级电容车刚好达到额定功率，应满足P＝Fv。 (3)超级电容车以恒定功率启动过程，牵引力所做的功应用W＝Pt求解。 【解析】　(1)当超级电容车速度达到最大时牵引力与阻力平衡，即F＝Ff，Ff＝kmg＝2 000 N，P＝Ffvm，解得vm＝＝30 m/s。 (2)超级电容车做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得F1－Ff＝ma，解得F1＝3 000 N，设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1，则有P＝F1v1，解得v1＝＝20 m/s，设超级电容车匀加速运动的时间为t，则有v1＝at，解得t＝＝40 s。 (3)从静止到最大速度的过程中只有牵引力与阻力做功，由动能定理得Pt2－Ffx＝mvm2，解得x＝1 050 m。 【答案】　(1)30 m/s　(2)40 s　(3)1 050 m 变式训练 6．(2024·广东深圳高三检测)质量为m的列车，以大小为v0的初速度在长直轨道上做匀加速直线运动，经过时间t后，列车的速度大小为v，此时牵引力的功率为P。假设列车行驶过程所受的阻力大小恒为F，则列车在时间t内(　B　) A．牵引力逐渐减小 B．牵引力的大小为F牵＝ C．阻力所做的功为W阻＝Ft(v0＋v) D．牵引力所做的功为W牵＝mv2－mv 解析：根据题意可知，列车以恒定加速度在平直轨道上运动，由牛顿第二定律得F牵－F＝ma，可知牵引力大小不变，由P＝F牵v可得F牵＝，故A错误，B正确；根据题意可知，列车以恒定加速度在平直轨道上运动，则经过时间t后，运动的距离为x＝t，阻力所做的功为W＝－Fx＝－Ft(v0＋v)，故C错误；在t时间内，根据动能定理有W牵－W阻＝mv2－mv，则牵引力所做的功为W牵＝mv2－mv＋W阻，故D错误。 7．一辆汽车在平直公路上由静止开始启动，汽车先保持牵引力F0不变，当速度为v1时达到额定功率P额，此后以额定功率继续行驶，最后以最大速度vm匀速行驶。若汽车所受的阻力f为恒力，汽车运动过程中的速度为v、加速度为a、牵引力为F、牵引力的功率为P，则下列图像中可能正确的是(　C　) 解析：汽车先保持牵引力F0不变，由牛顿第二定律可得F0－f＝ma，汽车所受的阻力f为恒力，所以开始阶段汽车做匀加速直线运动，v－t图像中O～v1段图像应为一段倾斜的直线，故A错误；当速度为v1时达到额定功率P额，此后以额定功率继续行驶，则满足P额＝Fv，即F与v成反比，F与成正比，所以F－v图像中v1～vm段图像应为曲线，F－图像中～段图像应为直线，故B错误，C正确；当速度为v1之前，保持牵引力F0不变，则功率满足P＝F0v，即P与v成正比，所以P－v图像中O～v1段图像应为过原点的直线，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $ 功和功率 课前必备知识 1．功 (1)定义：物体受到力的作用，并在力的方向上发生一段位移，就说力对物体做了功。 (2)做功的两个必要条件：①有力作用在物体上；②物体在力的方向上发生了位移。 (3)公式：W＝Fl cos α，其中F是恒力，l是位移，α是力F和位移l的夹角。 (4)单位：焦耳(J)。 (5)标矢性：功是标量，没有方向，但有正、负。根据W＝Fl cos α可知， ①当0°≤α<90°时，力对物体做正功，是动力，物体获得动能。 ②当90°<α≤180°时，力对物体做负功。 ③当α＝90°时，力对物体不做功。 2．功率 (1)定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。 (2)物理意义：描述力对物体做功的快慢。 (3)公式 ①P＝，P为时间t内的平均功率。 ②P＝Fv a．v为平均速度，则P为平均功率。 b．v为瞬时速度，则P为瞬时功率。 c．当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解。 概念辨析 1．只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。(　×　) 2．作用力做正功时，反作用力一定做负功。(　×　) 3．力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。(　√　) 4．摩擦力对物体一定做负功。(　×　) 5．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。(　√　) 6．当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。(　×　) 7．汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。(　√　) 课堂核心考点 考点一　恒力做功的分析与计算 1．功的正负的判断方法 (1)恒力做功的判断，依据力与位移方向的夹角来判断。 (2)曲线运动中功的判断 (3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。 2．恒力做功的计算方法 3．合力做功的计算方法 方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1。 考向1正负功的判断 【典例1】　如图所示，用电梯将两箱相同的货物从一楼运送到二楼，其中图甲是用台阶式电梯运送，图乙是用履带式自动电梯运送，假设两种情况下电梯都是匀速运行，下列说法正确的是(　　) A．两种情况下电梯对货物的支持力都对货物做正功 B．图乙中电梯对货物的支持力对货物做正功 C．图甲中电梯对货物的支持力对货物不做功 D．图乙中电梯对货物的支持力对货物不做功 考向2恒力做功的计算 【典例2】　(多选)如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中，g取10 m/s2，则(　　) A．斜面对物体的支持力做功300 J B．斜面对物体的摩擦力做功－100 J C．物体克服重力做功400 J D．合力对物体做功25 J 变式训练 1．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左匀加速运动一段距离，运动中物体与斜面体始终相对静止。关于物体，下列说法正确的是(　　) A．摩擦力一定不做功 B．摩擦力一定做负功 C．支持力一定做正功 D．合力做功可能为零 2．如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢。在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是(　　) A．人对车的推力F做的功为FL B．人对车做的功为maL C．车对人的作用力大小为ma D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L 考点二　变力做功的分析与计算 方法 情境说明 方法总结 微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功为Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 等效转 换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的功为W＝F 平均 力法 弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2的过程中，克服弹簧弹力做的功为W＝Δx＝(x2－x1) 图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功 动能定 理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ) 【典例3】　(多选)力F对物体所做的功可由公式W＝Fl cos α求得。公式中力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图所示，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是(　　) A．甲图中，若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W＝F(lOA－lOC) B．乙图中，全过程中F做的总功为72 J C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRf D．丁图中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Fl sin θ 变式训练 3．某同学用水桶从水井里提水，井内水面到井口的高度为20 m。水桶离开水面时，桶和水的总质量为10 kg。由于水桶漏水，在被匀速提升至井口的过程中，桶和水的总质量随着上升距离的变化而变化，其关系如图所示。水桶可以看成质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。由图像可知，在提水的整个过程中，拉力对水桶做的功为(　　) A．2 000 J B．1 800 J C．200 J D．180 J 4．水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力， g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　) A．拉力F对小球做的功为16π J B．拉力F对小球做的功为8π J C．小球克服摩擦力做的功为16π J D．小球克服摩擦力做的功为4π J 考点三　功率的分析和计算 1．平均功率的计算方法 (1)利用P＝。 (2)利用P＝Fv cos α，其中v为物体运动的平均速度。 2．瞬时功率的计算方法 (1)利用公式P＝Fv cos α，其中v为t时刻的瞬时速度。 (2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。 (3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。 【典例4】　如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速直线运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(重力加速度g取10 m/s2)(　　) A．物体的加速度大小为2 m/s2 B．F的大小为21 N C．4 s末F的功率为42 W D．4 s内F的平均功率为42 W 求解功率时应注意的三个问题 (1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。 (2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。 (3)计算瞬时功率时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。 变式训练 5．(多选)质量为m的物体从距地面H高处自由下落(不计空气阻力)，经过时间t，则下列说法中正确的是(　　) A．t时间内重力对物体做的功为mg2t2 B．t时间内重力的平均功率为mg2t C．时刻重力的瞬时功率与t时刻重力的瞬时功率之比为1∶2 D．前时间内重力做功的平均功率与后时间内重力做功的平均功率之比为1∶3 考点四　机车启动问题 1．两种启动方式 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P－t图像和v－t图像 OA 段 过程 分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变，v↑⇒P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1 运动 性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB 段 过程 分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动 BC 段 过程 分析 — F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ 运动 性质 — 以vm做匀速直线运动 2.三个重要关系 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力大小F阻)。 (2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝＜vm＝。 (3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小或时间。 【典例5】　超级电容车在运行中无需连接电缆，只需在乘客上车间隙充电30 s到1 min，就能行驶3到5 km。假设有一辆超级电容车，质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，当超级电容车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力Ff是车重的，g取10 m/s2。 (1)求超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？ (2)若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求这一过程能维持多长时间？ (3)若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，求此过程中超级电容车的位移。 变式训练 6．(2024·广东深圳高三检测)质量为m的列车，以大小为v0的初速度在长直轨道上做匀加速直线运动，经过时间t后，列车的速度大小为v，此时牵引力的功率为P。假设列车行驶过程所受的阻力大小恒为F，则列车在时间t内(　　) A．牵引力逐渐减小 B．牵引力的大小为F牵＝ C．阻力所做的功为W阻＝Ft(v0＋v) D．牵引力所做的功为W牵＝mv2－mv 7．一辆汽车在平直公路上由静止开始启动，汽车先保持牵引力F0不变，当速度为v1时达到额定功率P额，此后以额定功率继续行驶，最后以最大速度vm匀速行驶。若汽车所受的阻力f为恒力，汽车运动过程中的速度为v、加速度为a、牵引力为F、牵引力的功率为P，则下列图像中可能正确的是(　　) 学科网（北京）股份有限公司 $