精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区第四十九中学2021-2022学年九年级寒假模拟验收数学(五四制)学科试卷

四十九中初四寒假模拟验收数学试题 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 有理数﹣l的绝对值是（   ） A. 1 B. -l C. ±l D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、三象限 5. 在中，，，，则等于（ ）． A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC 边于点D，若AC=，则线段BD的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的直径和是它的两条切线，切点分别为切于E，交于，交于C，设，则与的函数图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 已知地球离月球表面约384000千米，这个距离用科学记数法表示为__________千米． 12. 函数的自变量x的取值范围是_________； 13. 把多项式分解因式的结果是_________． 14. 计算： =_________． 15. 不等式组的解集为______. 16. 如图，已知为的直径，过点的弦，，则________． 17. 在一个不透明的袋子里放有黑，白各两个小球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机摸出一个小球记下颜色后不放回，再随机摸一个，则摸出两个小球为同一颜色概率是________． 18. 一个扇形的半径长为12cm，面积为24πcm2，则这个扇形的圆心角为_____度． 19. 是的两条弦，且，又的直径为26，，则与间的距离为_________． 20. 如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落到点的位置，与交于点E，若，P为线段上的任意一点，于G，于H，若，则___________． 三、解答题（21-22题每题7分；23-24题每题8分；25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段、，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出钝角，为最长边，且的面积为4． （2）在方格纸中画出等腰直角且的面积为5，连接，直接写出线段的长． 23. 为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； （2）该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？ 24. 如图，在中，、分别是、的中点．且，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 25. 某生鲜超市用5000元购进一批新品种的桔子进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种桔子，但这次的进货数量是试销时的2倍，且单价每千克贵了元． （1）试销时该品种桔子的进货价是每千克多少元？ （2）如果超市将该品种桔子按每千克7元的定价出售，当部分桔子售出后，余下的桔子以每千克4元的定价售出，若超市在这两次销售中的利润不低于4100元，那么以每千克4元定价售出的桔子最多多少千克？ 26. 如图，是的直径，C、D为上不同于A、B的两点，并且C、D位于直径的两侧．． （1）如图1，求证：； （2）如图2，、交于点E，过点E作于点F，延长交于点M，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求线段的长． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴的正半轴于点，连接，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点为第一象限抛物线上一点，过点作于点，设，点的横坐标为，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，对称轴交轴于点，连接，过作交于点，点为对称轴左侧抛物线上一点，点为平面上一点且，当四边形为菱形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四十九中初四寒假模拟验收数学试题 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 有理数﹣l的绝对值是（   ） A. 1 B. -l C. ±l D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的定义即可得． 【详解】有理数-1的绝对值是1， 故选A． 【点睛】本题主要考查绝对值，掌握绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同类项法则以及积的乘方法则，完全平方公式以及同底数幂的乘除法法则分别计算即可． 【详解】A．，故此选项错误； B．，故此选项错误； C．，故此选项错误； D．，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项法则以及积的乘方运算，完全平方公式以及同底数幂的乘除法运算，准确掌握运算法则是解题的关键． 3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 4. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，k＝−2＜0， ∴函数图象过二、四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟知比例系数的符号与函数图象的关系是解题的关键． 5. 在中，，，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再利用定义求解即可．本题考查了锐角三角函数，解题关键是先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用正切的定义求解． 【详解】解：由题意，可得， ∴， 故选：C． 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的平移可直接进行求解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC 边于点D，若AC=，则线段BD的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD． 【详解】∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°， AD平分∠CAB， ∴∠BAD=30°， ∵AC=， ∵∠C=90°，∠CAD=30°， ∴AD=2， ∴BD=AD=2， 故选D． 【点睛】此题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线性质的应用，求出AD的长是解此题的关键． 8. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，，故A、B不符合题意，C符合题意； ∴， ∴，即，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键． 9. 如图，已知钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到，，等边对等角求出的度数，平行线的性质，得到的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 10. 如图，的直径和是它的两条切线，切点分别为切于E，交于，交于C，设，则与的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质及切线长定理，熟练应用切线长定理是解题的关键．过点D作，又因为和与相切于点A、B，可证四边形是矩形，再由切线长定理可得，在中，由勾股定理即可求出与的函数关系． 【详解】解：过点D作，垂足为F， 和与相切于点A、B， ， ， 四边形是矩形， ， 切于E， ， ， 在中，由勾股定理得， 化简得，， ， 结合选项可知，B选项符合题意， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 已知地球离月球表面约384000千米，这个距离用科学记数法表示为__________千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：384000千米千米； 故答案为：． 12. 函数的自变量x的取值范围是_________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件分母不为零求解即可 【详解】解：有意义， 不能为零，即，解得． 故答案为： 13. 把多项式分解因式的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解决问题的关键．先提公因式，再运用平方差公式即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 14. 计算： =_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减法，掌握算理是解决问题的关键．先化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 15. 不等式组的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可． 【详解】， 解不等式①得，x<5； 解不等式②得，x>2； ∴不等式组的解集为：. 故答案为. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求得两个不等式的解集是解决问题的关键． 16. 如图，已知为的直径，过点的弦，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：， ， 由圆周角定理得，， 故答案为：． 17. 在一个不透明的袋子里放有黑，白各两个小球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机摸出一个小球记下颜色后不放回，再随机摸一个，则摸出两个小球为同一颜色概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到相同颜色的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次都摸到相同颜色的结果数为4， 所以两次都摸到相同颜色的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件的结果数目m，然后根据概率公式求出事件的概率． 18. 一个扇形的半径长为12cm，面积为24πcm2，则这个扇形的圆心角为_____度． 【答案】60 【解析】 【分析】设这个扇形的圆心角是n°，根据S扇形=πR2，求出这个扇形的圆心角为多少即可． 【详解】设这个扇形的圆心角是n°． ∵24π=π×122，∴n=60，∴这个扇形的圆心角为60度． 故答案为60． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）． 19. 是的两条弦，且，又的直径为26，，则与间的距离为_________． 【答案】7或17 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线． 首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离． 【详解】解：连接，过点O作于点M， ∵， ∴直线，设垂足为点， ， ，， ， ∴在中，， 在中，， ①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为， ②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为， ． 综上所述，，之间的距离为7或17． 故答案为： 7或17． 20. 如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落到点的位置，与交于点E，若，P为线段上的任意一点，于G，于H，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的折叠、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的性质是关键．证明，求出，，延长交于点M，得到，，证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 由折叠的性质可知，，， ∵， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， 延长交于点M， ∵于H， ∴，， ∴，， ∵于G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于G，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为： 三、解答题（21-22题每题7分；23-24题每题8分；25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给分式化简，然后把x化简后代入计算． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段、，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出钝角，为最长边，且的面积为4． （2）在方格纸中画出等腰直角且的面积为5，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析， 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据钝角三角形、三角形高的性质分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据勾股定理及其逆定理，得为等腰直角三角形，再通过勾股定理计算得，即可得到答案． 【详解】（1）如下图，为钝角三角形，且为最长边 ∵每个小正方形的边长均为1的方格纸 ∴，的边对应的高为4 ∴ ∴图中钝角即为所求； （2）如下图， 根据题意，得： ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ 连接 ∴． 【点睛】本题考查了三角形、勾股定理、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解． 23. 为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； （2）该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？ 【答案】（1）10（人），见解析；（2）估计该校九年级共有200名学生的数学成绩可以达到优秀． 【解析】 【分析】（1）先根据成绩类别为“差”的人数和所占的百分比计算出样本容量为50，然后用成绩类别为“中”的人数所占百分比乘以50即可，再将条形统计图补充完整； （2）先计算出成绩类别为“中”的人数所占的百分比，然后乘以2000即可． 【详解】解：（1）样本容量为8÷16%＝50， 所以成绩类别为“中”的人数等于50×20%＝10（人）； 补充条形统计图如图； （2）1000××100%＝200， 所以估计该校九年级共有200名学生的数学成绩可以达到优秀． 【点睛】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了用样本估计总体和扇形统计图． 24. 如图，在中，、分别是、的中点．且，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：、分别是、的中点， 且， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】此题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．三角形的中位线，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由、分别是、的中点，，易证得，，即可判定四边形是平行四边形，又由，即可证得四边形是菱形； （2）由，易证得是等边三角形，又由，即可求得菱形的高，继而求得菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，且在菱形中，， ， ∵， 是等边三角形， ，即菱形的边长为4， 过点E作于点H， 则， 由勾股定理得：， 菱形的面积为：． 25. 某生鲜超市用5000元购进一批新品种的桔子进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种桔子，但这次的进货数量是试销时的2倍，且单价每千克贵了元． （1）试销时该品种桔子的进货价是每千克多少元？ （2）如果超市将该品种桔子按每千克7元的定价出售，当部分桔子售出后，余下的桔子以每千克4元的定价售出，若超市在这两次销售中的利润不低于4100元，那么以每千克4元定价售出的桔子最多多少千克？ 【答案】（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克5元 （2）以每千克4元定价售出的桔子最多300千克 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元，根据这次的进货数量是试销时的2倍，列出分式方程，再检验，即可解答． （2）根据盈利等于总售价减去总进价，进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：(1) 设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元 解得x= 5 经检验：x= 5是原方程的解，并满足题意 答：试销时该品种苹果的进货价是每千克5元． 【小问2详解】 解：以每千克4元定价售出的桔子a千克，依题意，得， 解得 ， 答：以每千克4元定价售出的桔子最多300千克． 26. 如图，是的直径，C、D为上不同于A、B的两点，并且C、D位于直径的两侧．． （1）如图1，求证：； （2）如图2，、交于点E，过点E作于点F，延长交于点M，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1中，连接、．由，先证明，OC∥BD，可得，由此即可解决问题． （2）如图2中，连接．只要证明，即可推出，，由，推出，即可证明，推出． （3）如图3中，连接、，延长交于．则，．易知，推出，设，求出OH的长度，推出，由，推出，推出，由，推出，，由，推出，，，推出AD、AB，推出，由，可得，由此即可解决问题． 【小问1详解】 如图1中，连接、． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 如图2中，连接． ， ， 是直径， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【小问3详解】 如图3中，连接、，延长交于．则，． 易知， ，设， 则，，，， ， ， ， ， ，， ，， ， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，第三个问题的突破点是求出，题目比较难，属于中考压轴题． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴的正半轴于点，连接，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点为第一象限抛物线上一点，过点作于点，设，点的横坐标为，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，对称轴交轴于点，连接，过作交于点，点为对称轴左侧抛物线上一点，点为平面上一点且，当四边形为菱形，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出A、B坐标，根据，可得点C的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）如图2中，作于T，交于R．设．首先证明是等腰三角形，可得，由此即可解决问题； （3）四边形是菱形，点H在对称轴上，推出D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上，设交于Q，作于K．由，设，，则，推出，，在中，，推出，由，推出，可得，由，可得，由此列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：对于抛物线，令，得到， 解得或3， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 如图2中，作于T，交于R．设． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得，，， 设直线的解析式为：， 则， 解得， 直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图3中， ∵四边形是菱形，点H在对称轴上， ∴D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上， 设交于Q，作于K． ∵，设，则， ∴，，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵抛物线的顶点，， ∴， ∴ ， 解得或（不合题意舍去）， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰直角三角形的判定和性质、菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $