江苏省南京市中华中学2025-2026学年高三上学期9月训练数学试卷

高三数学 一､选择题:本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|x2－3x－10＜0}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z} ，则A∩B的子集的个数是（       ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．复数z满足(1＋i)z＝|－i|，则＝（ ） A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 3．已知向量a＝(2，4)，b＝(1，x)，若(a＋b)∥(a－2b)，则a·b＝（    ） A． B．10 C．8 D．2 4．函数f(x)＝(2－x－2x)cosx在[－2，2]上的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   5．函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A．(－∞，0] B．(－∞，0) C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 6．已知cosα－sin(α＋)＝，则sin(2α＋)＝（    ） A．－ B． C． D．－ 7. 已知函数f(x)＝ex＋e－x，若a＝log30.6，b＝30.01，c＝log53，则有（ ） A. f(a)＞f(b)＞f(c) B. f(b)＞f(c)＞f(a) C. f(b)＞f(a)＞f(c) D. f(c)＞f(a)＞f(b) 8．已知双曲线C:－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，离心率为e，直线y＝kx(k≠0)分别与C的左､右两支交于点M，N．若△MF1N的面积为，∠MF1N＝60°，则e2＋3a2的最小值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 二､选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（     ） A．若随机变量X服从二项分布B(6，p)，且E(X)＝2，则D(X)＝ B．若P(AB)＝0.34，P(B)＝0.71，则P(B)＝0.37 C．设随机变量ξ服从正态分布N(0，4)，若P(ξ＞2)＝p，则P(－2＜ξ＜0)＝－p D．某人在10次射击中，击中目标的次数X服从二项分布B(10，0.8)，则当X＝8时概率最大 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若A＞B，则sinA＞sinB B．若A＝30°b＝4，a＝5，则△ABC有两解 C．若(＋)·＝0，且·＝，则△ABC为等边三角形 D．若tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC可以是钝角三角形 11．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为a，M是CC1的中点，则（       ） A．对任意a＞0，都有A1M⊥BD B．存在a＞0，使得直线A1C1与直线BM相交 C．平面A1BM与底面A1B1C1D1交线长为定值 D．当a＝2时，三棱锥B1－A1BM外接球的表面积为3π 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an＝　 　． 13．某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是___________． 14．不等式(ea－b)2＋(a－b－1)2≥m2－m对任意实数a，b恒成立，则实数m的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共38分． 15．(本题12分) 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝． (1) 若AC＝，求△ABC的面积； (2) 若∠ADC＝，CD＝4，求AD的长． 16．(本题13分) 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且对任意正整数n≥3有an＝3an－1－2an－2，数列{bn}满足b1＝1，bn＝an－an－1(n≥2) (1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)设cn＝，数列{cn}的前n项和Sn； ①求Sn； ②若不等式(－1)nλ＜Sn＋对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围． 17．(本题13分) 已知点C(x，y)与定点F(，0)的距离和它到直线l:x＝的距离的比是常数． (1)求点C的轨迹； (2)设A，B是轨迹C上的两点，且直线OA与OB的斜率之积为－（O为坐标原点），D为射线OA上一点，且|OA|＝|AD|，线段DB与轨迹C交于点E，|BE|＝|ED|，求四边形OAEB的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级限时作业 数学 一､选择题:本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|x2－3x－10＜0}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z} ，则A∩B的子集的个数是（       ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 因为A＝{x|x2－3x－10＜0}＝(－2，5)，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}， 所以A∩B＝{－1，1，3}，所以A∩B的子集的个数是23＝8 , 故选:D． 2．复数z满足(1＋i)z＝|－i|，则＝（ ） A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 【答案】A 【详解】 ∵(1＋i)z＝|－i|＝2，∴z＝＝1－i，∴＝1＋i，故选A. 3．已知向量a＝(2，4)，b＝(1，x)，若(a＋b)∥(a－2b)，则a·b＝（    ） A． B．10 C．8 D．2 【答案】B 【分析】根据平面向量平行的坐标表示结合数量积运算即可. 【详解】由题意可知：a＋b＝(3，4＋x)，a－2b＝(0，4－2x)， 因为(a＋b)∥(a－2b)，故3×(4－2x)＝0×(4＋x)x＝2. 所以a·b＝4x＋2＝10. 故选：B 4．函数f(x)＝(2－x－2x)cosx在[－2，2]上的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据奇偶性排除B、D，再取特值x＝1排除C. 【详解】因为f(x)＋f(－x)＝(2－x－2x)cosx＋(2x－2－x)cos(－x)＝(2－x－2x)cosx－(2－x－2x)cosx＝0， 所以函数f(x)为奇函数，故B、D错误； 又因为1∈(0，)，则f(1)＝(2－1－2)cos1＝－cos1＜0，故C错误； 故选：A. 5．函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A．(－∞，0] B．(－∞，0) C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 【答案】C 【分析】对函数求导，根据单调性列出不等式，进而求出结果. 【详解】f(x)＝ax－，求导得f'(x)＝a＋≥0在(0，＋∞)上恒成立， 则a≥－，因为－＜0，所以要使得不等式恒成立， 则a≥0. 故选：C． 6．已知cosα－sin(α＋)＝，则sin(2α＋)＝（    ） A．－ B． C． D．－ 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式、辅助角公式及二倍角公式求解. 【详解】依题意，cosα－(sinα＋cosα)＝cosα－sinα＝cos(α＋)＝， 所以sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝－cos2(α＋)＝1－2cos2(α＋)＝1－2×()2＝. 故选：B 7. 已知函数f(x)＝ex＋e－x，若a＝log30.6，b＝30.01，c＝log53，则有（ ） A. f(a)＞f(b)＞f(c) B. f(b)＞f(c)＞f(a) C. f(b)＞f(a)＞f(c) D. f(c)＞f(a)＞f(b) 【答案】B 【详解】因为函数f(x)＝ex＋e－x且定义域为R，则f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 因a＝log30.6＝log3＜0， 则f(log30．6)＝f(－log30.6)＝f(－log3)＝f(log3)， 又log3＜log3＝，log3＞log31＝0，b＝30．01＞30＝1， c＝log53＞log5＝，c＝log53＜log55＝1， 则＜c＜1，所以30．01＞log53＞log3， 当x＞0时，因为f'(x)＝ex－e－x＞0，所以f(x)为单调递增函数， 所以f(b)＞f(c)＞f(a). 故选：B. 8．已知双曲线C:－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，离心率为e，直线y＝kx(k≠0)分别与C的左､右两支交于点M，N．若△MF1N的面积为，∠MF1N＝60°，则e2＋3a2的最小值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】D 连接NF2，MF2，有对称性可知：四边形MF1NF2为平行四边形，故|NF2|＝|MF1|，|NF1|＝|MF2|，∠F1NF2＝120°，S＝S＝， 由面积公式得：|NF1|·|NF2|sin120°＝，解得：|NF1|·|NF2|＝4， 由双曲线定义可知：|F1N|－|F2N|＝2a， 在三角形F1NF2中，由余弦定理得：cos120°＝＝ ＝＝－， 解得：|F1N|·|F2N|＝， 所以＝4，解得：b2＝3， 故e2＋3a2＝1＋＋3a2≥1＋2＝7， 当且仅当＝3a2，即a2＝1时，等号成立. 故选：D 二､选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（     ） A．若随机变量X服从二项分布B(6，p)，且E(X)＝2，则D(X)＝ B．若P(AB)＝0.34，P(B)＝0.71，则P(B)＝0.37 C．设随机变量ξ服从正态分布N(0，4)，若P(ξ＞2)＝p，则P(－2＜ξ＜0)＝－p D．某人在10次射击中，击中目标的次数X服从二项分布B(10，0.8)，则当X＝8时概率最大 答案：BCD 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若A＞B，则sinA＞sinB B．若A＝30°，b＝4，a＝5，则△ABC有两解 C．若(＋)·＝0，且·＝，则△ABC为等边三角形 D．若tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC可以是钝角三角形 【答案】AC 【详解】A选项，在△ABC中，由A＞B得a＞b，即2RsinA＞2RsinB，所以sinA＞sinB，A正确； B选项，由正弦定理得＝即＝，解得sinB＝， 又因为a＞b，所以A＞B，所以B只能是锐角，所以△ABC只有一解，B错误； C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由(＋)·＝0结合菱形性质知∠BAC的角平分线与BC垂直， 所以△ABC是等腰三角形且AB＝AC， 又因为cos∠BAC＝cos<，>＝＝，且∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝， 所以△ABC是等边三角形，C正确； D选项，因为(A＋B)＋C＝π， 所以tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－＝， 所以tanAtanBtanC－tanC＝tanA＋tanB，即tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC， 因为tanA＋tanB＋tanC＞0，所以tanAtanBtanC＞0， 又因为A，B，C∈(0，π)，A＋B＋C＝π， 所以tanA，tanB，tanC＞0，所以△ABC是锐角三角形，D错误； 故选：AC. 11．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为a，M是CC1的中点，则（       ） A．对任意a＞0，都有A1M⊥BD B．存在a＞0，使得直线A1C1与直线BM相交 C．平面A1BM与底面A1B1C1D1交线长为定值 D．当a＝2时，三棱锥B1－A1BM外接球的表面积为3π 【答案】AC 对于选项A，BD⊥AC，BD⊥AA1，AA1∩AC，AA1，AC平面ACC1A1， ∴BD⊥平面ACC1A1，A1M平面ACC1A1，∴BD⊥A1M，A对； 对于B：B∈平面A1BC1，M∈平面A1BC1，∴BM∈平面A1BC1，∴BM、A1C1异面，B错； 对于选项C，延长BM，B1C1交于N点，M为CC1中点，△NC1M△BCM， ∴C1N＝BC，∴B1N＝2，A1B1＝1，∴A1N＝， 平面 A1BM∩平面A1B1C1D1＝A1N，平面A1BM与底面A1B1C1D1交线为A1P， 其中P为C1D1中点，A1P＝，C对； 对于选项D，a＝2，△AB1B是直角三角形，外接圆是以A1B为直径的圆， 半径＝，此时三棱锥B1－A1BM外接球的半径R≥， 可知外接球表面积应大于等于5π≠3π，可知D错； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an＝　 　． 【解析】解：（1） Sn＝3n2－2n＋1，∴n＝1时，a1＝S1＝2； 时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5． 由n＝1时，6n－5＝1≠2，． 13．某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是___________ 【详解】设学校为A，B，C，先把甲乙两人安排到不同学校，有A＝6种， 不妨设甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可， 利用间接法计算，有33－23＝19种不同安排方法， 根据分步乘法计数原理可知，共有6×19＝114种不同安排方法. 14．不等式(ea－b)2＋(a－b－1)2≥m2－m对任意实数a，b恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】[－1，2] 【分析】设P(a，ea)，Q(b＋1，b)，则可得|PQ|2≥m2－m，而P，Q分别在曲线f(x)＝ex和直线y＝x－1上，将直线y＝x－1平移恰好与曲线f(x)＝ex相切时，可求出|PQ|的最小值，从而可解关于m的不等式可得答案. 【详解】由题意设P(a，ea)，Q(b＋1，b)，则|PQ|2＝(ea－b)2＋(a－b－1)2，所以|PQ|2≥m2－m， 因为P，Q分别在曲线f(x)＝ex和直线y＝x－1上， 所以将直线y＝x－1平移恰好与曲线f(x)＝ex相切时，切点到直线y＝x－1的距离最小，此时|PQ|最小， 设切线为y＝x＋m，切点为(x0，y0)，则f(x)＝ex，得f'(x)＝ex， 所以e＝1，得x0＝0，则y0＝1， 所以|PQ|的最小值为点(0，1)到直线y＝x－1的距离d，d＝＝， 即|PQ|的最小值为， 所以2≥m2－m，即m2－m－2≤0，解得－1≤m≤2， 所以实数m的取值范围是[－1，2]， 故答案为：[－1，2] 四、解答题：本题共5小题，共38分． 15．(本题12分) 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝． (1) 若AC＝，求△ABC的面积； (2) 若∠ADC＝，CD＝4，求AD的长． 【详解】（1）因为∠ABC＝π，AB＝，AC＝， 所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即BC2＋2BC－3＝0， 所以BC＝1 ………………………3分 所以S△ABC＝×1××＝. ………………………5分 （2）设∠BAC＝θ(0＜θ＜)，AC＝x，则∠CAD＝－θ， 在ΔABC中，由正弦定理得：＝， 所以x＝； 在ΔACD中，＝，所以x＝. 即＝，化简得：tanθ＝， ……………………………………………..8分 所以sin∠CAD＝cosθ＝， 所以AC＝x＝＝，cos∠CAD＝， …………………………………….10分 所以在ΔACD中，CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD. 即AD2－2AD－22＝0，解得AD＝＋2或AD＝－2（舍）………………..12分 16．(本题13分) 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且对任意正整数n≥3有an＝3an－1－2an－2，数列{bn}满足b1＝1，bn＝an－an－1(n≥2) (1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)设cn＝，数列{cn}的前n项和Sn； ①求Sn； ②若不等式(－1)nλ＜Sn＋对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围． 【详解】（1）证明：因为an＝3an－1－2an－2(n≥3)，bn＝an－an－1(n≥2)， ∴an－an－1＝2(an－1－an－2) ∴bn＝2bn－1(n≥2) 因为a1＝1，a2＝3，所以b2＝a2－a1＝2． 所以＝＝＝2(n≥3)．………………….2分 又b1＝1，所以＝2，………………….3分 即证得{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．………………….4分 （2）①由（1）可得，则cn＝＝， Sn＝＋＋＋＋…＋＋， Sn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得：Sn＝＋＋＋＋…＋＋－， 即Sn＝1＋1＋＋＋…＋＋－， 所以Sn＝1＋－，则Sn＝6－．………………….8分 ②因为不等式(－1)nλ＜Sn＋对任意的正整数n恒成立， 即(－1)nλ＜6－对任意的正整数n恒成立， 当n为偶数时，因为f(n)＝6－在[1，＋∞为增函数， 所以λ＜f(2)＝； ……………….10分 当n为奇数时，－λ＜6－对任意的正整数n恒成立， 所以－λ＜f(1)＝3，解得λ＞－3． ………………….12分 综上，实数λ的取值范围为(－3，)． ………………….13分 17．(本题13分) 已知点C(x，y)与定点F(，0)的距离和它到直线l:x＝的距离的比是常数． (1)求点C的轨迹． (2)设A，B是轨迹C上的两点，且直线OA与OB的斜率之积为－（O为坐标原点），D为射线OA上一点，且|OA|＝|AD|，线段DB与轨迹C交于点E，|BE|＝|ED|，求四边形OAEB的面积． 【详解】（1）设点C(x，y)到直线l的距离为d，依题意，＝， 于是＝，化简得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1．…………………………3分 所以点C的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆．…………………4分 （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又kOA·kOB＝－，则＝－x1x2＋4y1y2＝0． 由|BE|＝|ED|，|OA|＝|AD|，可得S△ABE＝S△ABD＝S△OAB， 则四边形OAEB面积为S△OAB．………………………………………………………5分 当直线AB斜率为0时，易知kOA＝－kOB，又kOA·kOB＝－，则kOA＝±． 根据对称性不妨取kOA＝，y1＞0，由得 则A(，)，B(－，)，得此时S△OAB＝×2×＝1；………………….7分 当直线斜率不为0时，设AB的方程为x＝my＋t， 将直线方程与椭圆方程联立有： 消去x得：(m2＋4)y2＋2mty＋t2－4＝0． Δ＝4m2t2－4(m2＋4)(t2－4)＞0， 由韦达定理，y1＋y2＝，y1y2＝．………………………………….8分 所以x1x2＋4y1y2＝(my1＋t)(my2＋t)＋4y1y2＝0 (m2＋4)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0(m2＋4)－＋t2＝0 2t2－m2－4＝02t2＝m2＋4，m2＝2t2－4，…………………………………..10分 代入Δ＞0可得4(2t2－4)t2－4×2t2(t2－4)＞0，解得t≠0， |AB|＝·＝ ＝＝， 又原点到直线AB距离为，则此时S△OAB＝××＝1．………….12分 综上可得，S△OAB＝1，四边形OAEB面积为. ………….13分 学科网（北京）股份有限公司 $