专题01 相似性（期中复习讲义）九年级数学上学期北京版

专题01 相似性（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例线段的基本性质 掌握比例线段的定义（a:b=c:d）和基本性质（交叉相乘相等ad=bc）5，并能运用性质进行相关计算和证明。 易错点：比例式计算中交叉相乘时符号错误。 命题趋势：常与实际问题结合（如地图比例尺计算5），要求根据比例关系求线段长度。 平行线分线段成比例定理 理解定理及其推论134，并能在复杂图形中准确识别基本模型（A型、X型5），进行比例推理。 易错点：对应线段找错，导致比例关系错误。 命题趋势：多用于证明线段平行或成比例，常作为综合题的中间步骤。 相似三角形的判定  熟练运用相似三角形的4种判定方法134（两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例、直角三角形的斜边直角边对应成比例），并能根据条件选择恰当的判定方法。 易错点： 1. 忽略夹角条件：使用“两边对应成比例”时，必须确保夹角相等134。 2. 对应关系错误：找错对应边、对应角。 命题趋势：判定定理是期中考试的核心考点，常以解答题形式出现，证明两个三角形相似。 相似三角形的性质 掌握相似三角形的性质123（对应角相等、对应线段成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方），并能用于计算角度、线段长度、周长和面积。 易错点： 1. 混淆“相似比”与“面积比”的关系（面积比是相似比的平方）。 2. 求面积时漏掉平方步骤。 命题趋势：常与四边形、圆、函数等知识结合，求图形的面积或线段长度。 相似三角形的实际应用 能将实际问题抽象为相似三角形模型（如测量高度、宽度等27），并利用相似性质解决实际问题。 易错点：无法从实际问题中准确抽象出几何图形，或建立正确的比例关系。 命题趋势：关注数学与实际生活的联系，这类应用问题是考试热点。 知识点01比例的基本性质 核心概念：如果两个比相等，那么这四个量就组成一个比例。 公式/法则： 基本性质：如果 a:b = c:d，那么 ad = bc（交叉相乘相等） 合比性质：如果 a:b = c:d，那么 (a+b):b = (c+d):d 分比性质：如果 a:b = c:d，那么 (a-b):b = (c-d):d 等比性质：如果 a:b = c:d = ... = m:n，那么 (a+c+...+m):(b+d+...+n) = a:b 示例： 已知 2:3 = 4:x，求 x 的值。 解：根据交叉相乘：2x = 3×4 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6 易错点：注意比例中项的顺序，a:b = c:d 中，a 和 d 是外项，b 和 c 是内项。 知识点02 成比例线段 核心概念：在同一单位下，四条线段长度为 a、b、c、d，如果 a:b = c:d，那么这四条线段叫做成比例线段。 示例： 判断下列四组线段是否成比例： ① 2cm, 4cm, 3cm, 6cm 解：2:4 = 1:2, 3:6 = 1:2，所以成比例 易错点：必须先统一单位再比较，且要注意顺序对应。 知识点03 黄金分割 核心概念：把一条线段分成两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比。 公式：若线段 AB 被点 C 黄金分割（AC > BC），则 AC:AB = BC:AC ≈ 0.618:1 示例： 线段 AB 长为 10cm，求黄金分割点 C 的位置。 解：AC = 10 × 0.618 ≈ 6.18cm 知识点04 平行线分线段成比例推论 核心概念：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 两种基本图形： A 字型：DE∥BC ⇒ AD:AB = AE:AC = DE:BC X 字型：DE∥BC ⇒ AD:DB = AE:EC 易错点：容易混淆对应线段，要特别注意起点和终点的一致性。 知识点05 相似三角形的定义 核心概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 表示方法：△ABC ∽ △A'B'C' 相似比：k = AB:A'B' = BC:B'C' = CA:C'A' 知识点06 相似三角形的判定 判定方法（重要！）： 两角相等    两个角对应相等    只需两个角相等即相似 两边成比例且夹角相等    两组边对应成比例，且夹角相等    注意：必须是夹角！ 三边成比例    三组边对应成比例     直角三角形相似    一组锐角相等或两组直角边成比例或斜边直角边对应成比例     示例： 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=50°，∠B=∠E=70°，判断是否相似。 解：∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴∠C=∠F=60°，∴△ABC∽△DEF 易错点： 使用"两边对应成比例"时，必须确保夹角相等 要注意对应关系，顶点要对应写 知识点07 相似三角形的性质 性质总结： 对应角相等    ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C' 对应边成比例    AB:A'B' = BC:B'C' = CA:C'A' = k 对应高、中线、角平分线成比例    都等于相似比 k 周长比等于相似比    C:C' = k 面积比等于相似比的平方    S:S' = k² 示例： 两个相似三角形相似比为 2:3，小三角形面积为 12cm²，求大三角形面积。 解：面积比 = (2:3)² = 4:9 设大三角形面积为 S，则 12:S = 4:9 ⇒ S = 27cm² 易错点：最容易出错的是面积比是相似比的平方，很多学生忘记平方 符号错误，当分式前有负号或分子是多项式时，去括号时符号出错。 知识点08 相似三角形实际应用 测量问题：利用相似三角形测量高度、距离等 示例：利用影子测量树高 易错点：要确保测量时太阳光线是平行的，且测量要在同一时间进行。 题型一 平行线分线段成比例中的辅助线构造 解｜题｜技｜巧 当题目中给出的比例关系不直接或难以直接应用时，添加平行线是关键的突破手段。通过构造平行线，可以建立A字型或X字型相似模型，从而将已知比例关系转移到目标线段上。 具体操作时，应分析比例式中涉及的点，选择过关键点作平行线。常见的做法是过比例点或线段端点作平行线，使其与已知直线产生新的交点，从而构造出相似三角形。 【典例1】已知在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD:DB=AE:EC=1:2，连接DE并延长交BC的延长线于点F，求CF:BC的值。 【解析】 过点C作CG∥AB交DE于点G ∵ CG∥AB ∴ △ECG ∽ △EAD（AA相似） ∴ EC:EA = CG:AD = EG:ED 又∵ AE:EC=2:1 ∴ CG:AD = 1:2 ∵ CG∥AB ∴ △FCG ∽ △FDB（AA相似） ∴ CF:BF = CG:BD 已知AD:DB=1:2，设AD=x，则DB=2x，AB=3x ∴ CG = (1/2)AD = x/2 BD = 2x ∴ CF:BF = (x/2):2x = 1:4 设CF=y，则BF=4y，BC=BF-CF=3y ∴ CF:BC = y:3y = 1:3 【变式1】在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD:DB=1:3，AE:EC=2:1。连接BE、CD交于点F。求EF:FB的值。 【详解】 过点E作EG∥CD交AB于点G ∵ EG∥CD ∴ △AEG ∽ △ACD ∴ AG:AD = AE:AC = 2:3 设AD=x，则AG=2x/3，DB=3x ∴ GD=AD-AG=x-2x/3=x/3 ∵ EG∥CD ∴ △GEF ∽ △CBF ∴ EF:FB = EG:BC 又∵ △AEG ∽ △ACD ∴ EG:CD = AE:AC = 2:3 设EG=2k，CD=3k 在△BCD中，EG∥CD ∴ BG:BD = EG:CD = 2:3 BG=BD×2/3=3x×2/3=2x GD=BD-BG=3x-2x=x ∴ EF:FB = EG:BC = 2k:4k = 1:2 【变式2】梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O。过点O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F。若AD=4，BC=6，求EF的长度。 【详解】 ∵ AD∥BC，EF∥AD ∴ EF∥BC 在△ABC中，∵ EO∥BC ∴ AE:AB = EO:BC 在△ABD中，∵ EO∥AD ∴ BE:BA = EO:AD 设AE:EB = x:y 则EO/BC = x/(x+y)，EO/AD = y/(x+y) ∴ EO = BC×x/(x+y) = AD×y/(x+y) ∴ 6x/(x+y) = 4y/(x+y) 6x = 4y x:y = 2:3 ∴ EO = 6×2/5 = 12/5 = 2.4 同理可求OF = 2.4 ∴ EF = EO+OF = 4.8 题型二 相似三角形判定中的多解问题 解｜题｜技｜巧 当题目条件不能唯一确定相似对应关系时，必须进行分类讨论。首先要明确相似三角形的各种判定条件，然后根据已知条件分析所有可能的对应方式。 对于每个可能的对应情况，都要验证是否满足相似条件。特别注意两边成比例时，必须验证夹角是否相等；三边成比例时，要注意边的对应顺序。 【典例1】在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=50°，AB=6，AC=8，DE=9，DF=12，判断两三角形是否相似。如果相似，求相似比。 【详解】 情况一：假设AB对应DE，AC对应DF AB:DE = 6:9 = 2:3 AC:DF = 8:12 = 2:3 且夹角∠A=∠D=50° ∴ 满足两边成比例且夹角相等 ∴ △ABC ∽ △DEF，相似比为2:3 情况二：假设AB对应DF，AC对应DE AB:DF = 6:12 = 1:2 AC:DE = 8:9 ≠ 1:2 ∴ 不满足两边成比例的条件 ∴ 这种情况不成立 综上，两三角形相似，相似比为2:3 【变式1】 在△ABC和△DEF中，∠B=∠E=60°，AB=8，BC=6，DE=12，EF=9。判断两三角形是否相似。 【详解】 情况一：假设AB对应DE，BC对应EF AB:DE = 8:12 = 2:3 BC:EF = 6:9 = 2:3 且夹角∠B=∠E=60° ∴ 满足两边成比例且夹角相等 ∴ △ABC ∽ △DEF 情况二：假设AB对应EF，BC对应DE AB:EF = 8:9 BC:DE = 6:12 = 1:2 8:9 ≠ 1:2 ∴ 不成立 综上，两三角形相似，相似比为2:3 【变式2】两个三角形的边长分别为：① 4,5,6 ② 8,10,12。判断它们是否相似 【详解】 将三边按从小到大排列： 第一个三角形：4,5,6 第二个三角形：8,10,12 计算对应边的比值： 4:8=1:2 5:10=1:2 6:12=1:2 三组对应边都成相同比例（1:2） ∴ 两个三角形相似 题型三 动态相似问题 解｜题｜技｜巧 处理动点问题时，要先用变量表示动点的位置和相关线段的长度。然后根据相似三角形的判定条件，列出包含变量的方程。 要特别注意动点的运动范围，以及相似对应关系的多种可能性。每个可能的情况都要单独讨论，列出对应的方程并求解。最后要检验解是否在允许范围内。 【典例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点P从A出发沿AB向B运动，速度为2单位/秒。求何时△APC与△ABC相似。 【详解】 首先计算AB=√(6²+8²)=10 设运动时间为t秒，则AP=2t（0≤t≤5） 情况一：当∠APC=∠ACB=90°时 此时△APC ∽ △ACB ∴ AP:AC = AC:AB 2t:6 = 6:10 20t = 36 t = 1.8秒 情况二：当∠ACP=∠ACB=90°时 此时△ACP ∽ △ACB ∴ AP:AB = AC:AC = 1 2t = 10 t = 5秒 检验：t=1.8和t=5都在0≤t≤5范围内，都是合理解 【变式1】在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。点P从点A出发，沿AB-BC-CD运动，速度为1单位/秒。当点P运动到何处时，△APD与△ABC相似？ 【详解】 设运动时间为t秒 分三种情况： 情况一：P在AB上（0≤t≤6） AP=t，AD=8 △APD ∽ △ABC 则AP:AB = AD:BC t:6 = 8:8 ⇒ t=6 此时P与B重合 情况二：P在BC上（6＜t≤14） BP=t-6，PC=14-t △APD是直角三角形，但△ABC也是直角三角形 要使△APD ∽ △ABC，需要对应边成比例 但△APD的边不断变化，无解 情况三：P在CD上（14＜t≤20） DP=20-t，AD=8 △APD ∽ △ABC 则AD:BC = DP:AB 8:8 = (20-t):6 ⇒ 20-t=6 ⇒ t=14 此时P与C重合 ∴ 当t=6（P在B点）或t=14（P在C点）时相似 【变式2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。点P从C出发沿CA运动，速度为1单位/秒；点Q从C出发沿CB运动，速度为2单位/秒。何时△CPQ与△ABC相似？ 【详解】 设运动时间为t秒 CP=t，CQ=2t（0≤t≤2） 情况一：当∠CPQ=∠CAB时 △CPQ ∽ △CAB 则CP:CA = CQ:CB t:3 = 2t:4 ⇒ 1:3 = 1:2（不成立） 情况二：当∠CPQ=∠CBA时 △CPQ ∽ △CBA 则CP:CB = CQ:CA t:4 = 2t:3 ⇒ 1:4 = 2:3（不成立） 情况三：当∠CQP=∠CAB时 △CQP ∽ △CAB 则CQ:CA = CP:CB 2t:3 = t:4 ⇒ 2:3 = 1:4（不成立） 情况四：当∠CQP=∠CBA时 △CQP ∽ △CBA 则CQ:CB = CP:CA 2t:4 = t:3 ⇒ 1:2 = 1:3（不成立） ∴ 无解，说明在此运动方式下两三角形不可能相似 题型四 比例式证明中的等线段代换 解｜题｜技｜巧 当直接证明比例式困难时，可以通过添加辅助线构造新的相似三角形，建立中间比例关系。然后利用等量代换原理，将多个比例式连接起来。 关键是要找到合适的中间量，通常通过作平行线来构造相似三角形，产生需要的比例关系。代换过程中要保持等式的等价性。 【典例1】证明：在△ABC中，AD是角平分线，则AB:AC=BD:DC 【详解】 过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E ∵ CE∥AD ∴ ∠1 = ∠E（同位角相等） ∠2 = ∠3（内错角相等） ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠1 = ∠2 ∴ ∠E = ∠3 ∴ AE = AC ∵ CE∥AD ∴ AB:AE = BD:DC（平行线分线段成比例） ∴ AB:AC = BD:DC 【变式1】在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC。F是BC上一点，连接AF交DE于点G。求证：DG:GE = BF:FC 【详解】 ∵ DE∥BC ∴ △ADG ∽ △ABF，△AGE ∽ △AFC ∴ DG:BF = AG:AF，GE:FC = AG:AF ∴ DG:BF = GE:FC ∴ DG:GE = BF:FC 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解，熟知比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故选：C． 2．如图，交于点D，，，，，则的长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得 ，再根据AD：DE=3：5，AE=8，可得AD、DE的长，根据比例的性质，可得答案． 【详解】∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE， ∴△ADC∽△BDE， ∴， 又∵AD:DE=3:5，AE=8， ∴AD=3，DE=5， ∵BD=4， ∴,即 . ∴DC=. 故选A. 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理. 3．如图,若果∠1＝∠2，那么添加下列任何一个条件：（1），（2），（3）∠B＝∠D，（4）∠C＝∠AED， 其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC， ∴（1）当添加条件“”时，可由“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE； （2）当添加条件“”时，不能证明：△ABC∽△ADE； （3）当添加条件“∠B＝∠D”时，可由“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE； （4）当添加条件“∠C＝∠AED”时，可由“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE； 综上所述，添加上述条件中的1个后，能证明△ABC∽△ADE的共有3个. 故选C. 4．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，把原式变形为，再由比例的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 5．如图所示，图中 ． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，由相似三角形的判定定理可判断出，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：中，，， ， ，， ， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题涉及到三角形内角和定理、相似三角形的判定及性质，比较简单． 6．如图所示，在四边形ABCD中，，点E是对角线BD上一点，，求证． 【答案】证明见解析 【分析】利用已知条件证明，，即可证得． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，以及相似三角形的判定，解题关键是根据已知条件找到与两个对应角相等，即可求证． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，已知直线，，，，则的长为（    ） A．2 B．4.5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由直线，根据平行线分线段成比例定理，则，即可求得EF的长度. 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选择：B. 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 2．如图，身高为的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，于是得出树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵小明与大树都与地面垂直， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 3．如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，则凉亭的高度约为（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴凉亭的高度约为， 故选：C． 4．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸．问井深几何？”意思是：如图，井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为 尺． 【答案】27 【分析】根据，得到，进而得到，代入数值，求出，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故井深为27尺． 故答案为：27 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据得到． 5．如图，在△中，∠°，，在斜边上取一点，使，过作⊥交于点，则 . 【答案】3 【详解】分析：首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB=AM：MN，由勾股定理求出AB的值，进而求出AM的值，然后代入所得比例式求解即可． 详解：∵∠C=∠AMN=90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角， ∴△ACB∽△AMN， ∴AC：CB=AM：MN， 在直角△ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2，即AB=10； 又∵AC=8，CB=6，AM=AB -BM=10-6=4， ∴8:6=4:MN，即MN=3． 故答案为3. 点睛：本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键. 6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB＝BD＝DE＝EC，求证： （1）△ADE∽△CDA； （2）∠1＋∠2＋∠3＝90° 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）先根据，得出，再根据即可得出； （2）根据得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：（1），， ， ，， ， ； （2）， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，关键是能在较复杂图形中找出相似三角形． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似性（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例线段的基本性质 掌握比例线段的定义（a:b=c:d）和基本性质（交叉相乘相等ad=bc）5，并能运用性质进行相关计算和证明。 易错点：比例式计算中交叉相乘时符号错误。 命题趋势：常与实际问题结合（如地图比例尺计算5），要求根据比例关系求线段长度。 平行线分线段成比例定理 理解定理及其推论134，并能在复杂图形中准确识别基本模型（A型、X型5），进行比例推理。 易错点：对应线段找错，导致比例关系错误。 命题趋势：多用于证明线段平行或成比例，常作为综合题的中间步骤。 相似三角形的判定  熟练运用相似三角形的4种判定方法134（两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例、直角三角形的斜边直角边对应成比例），并能根据条件选择恰当的判定方法。 易错点： 1. 忽略夹角条件：使用“两边对应成比例”时，必须确保夹角相等134。 2. 对应关系错误：找错对应边、对应角。 命题趋势：判定定理是期中考试的核心考点，常以解答题形式出现，证明两个三角形相似。 相似三角形的性质 掌握相似三角形的性质123（对应角相等、对应线段成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方），并能用于计算角度、线段长度、周长和面积。 易错点： 1. 混淆“相似比”与“面积比”的关系（面积比是相似比的平方）。 2. 求面积时漏掉平方步骤。 命题趋势：常与四边形、圆、函数等知识结合，求图形的面积或线段长度。 相似三角形的实际应用 能将实际问题抽象为相似三角形模型（如测量高度、宽度等27），并利用相似性质解决实际问题。 易错点：无法从实际问题中准确抽象出几何图形，或建立正确的比例关系。 命题趋势：关注数学与实际生活的联系，这类应用问题是考试热点。 知识点01比例的基本性质 核心概念：如果两个比相等，那么这四个量就组成一个比例。 公式/法则： 基本性质：如果 a:b = c:d，那么 ad = bc（交叉相乘相等） 合比性质：如果 a:b = c:d，那么 (a+b):b = (c+d):d 分比性质：如果 a:b = c:d，那么 (a-b):b = (c-d):d 等比性质：如果 a:b = c:d = ... = m:n，那么 (a+c+...+m):(b+d+...+n) = a:b 示例： 已知 2:3 = 4:x，求 x 的值。 解：根据交叉相乘：2x = 3×4 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6 易错点：注意比例中项的顺序，a:b = c:d 中，a 和 d 是外项，b 和 c 是内项。 知识点02 成比例线段 核心概念：在同一单位下，四条线段长度为 a、b、c、d，如果 a:b = c:d，那么这四条线段叫做成比例线段。 示例： 判断下列四组线段是否成比例： ① 2cm, 4cm, 3cm, 6cm 解：2:4 = 1:2, 3:6 = 1:2，所以成比例 易错点：必须先统一单位再比较，且要注意顺序对应。 知识点03 黄金分割 核心概念：把一条线段分成两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比。 公式：若线段 AB 被点 C 黄金分割（AC > BC），则 AC:AB = BC:AC ≈ 0.618:1 示例： 线段 AB 长为 10cm，求黄金分割点 C 的位置。 解：AC = 10 × 0.618 ≈ 6.18cm 知识点04 平行线分线段成比例推论 核心概念：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 两种基本图形： A 字型：DE∥BC ⇒ AD:AB = AE:AC = DE:BC X 字型：DE∥BC ⇒ AD:DB = AE:EC 易错点：容易混淆对应线段，要特别注意起点和终点的一致性。 知识点05 相似三角形的定义 核心概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 表示方法：△ABC ∽ △A'B'C' 相似比：k = AB:A'B' = BC:B'C' = CA:C'A' 知识点06 相似三角形的判定 判定方法（重要！）： 两角相等    两个角对应相等    只需两个角相等即相似 两边成比例且夹角相等    两组边对应成比例，且夹角相等    注意：必须是夹角！ 三边成比例    三组边对应成比例     直角三角形相似    一组锐角相等或两组直角边成比例或斜边直角边对应成比例     示例： 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=50°，∠B=∠E=70°，判断是否相似。 解：∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴∠C=∠F=60°，∴△ABC∽△DEF 易错点： 使用"两边对应成比例"时，必须确保夹角相等 要注意对应关系，顶点要对应写 知识点07 相似三角形的性质 性质总结： 对应角相等    ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C' 对应边成比例    AB:A'B' = BC:B'C' = CA:C'A' = k 对应高、中线、角平分线成比例    都等于相似比 k 周长比等于相似比    C:C' = k 面积比等于相似比的平方    S:S' = k² 示例： 两个相似三角形相似比为 2:3，小三角形面积为 12cm²，求大三角形面积。 解：面积比 = (2:3)² = 4:9 设大三角形面积为 S，则 12:S = 4:9 ⇒ S = 27cm² 易错点：最容易出错的是面积比是相似比的平方，很多学生忘记平方 符号错误，当分式前有负号或分子是多项式时，去括号时符号出错。 知识点08 相似三角形实际应用 测量问题：利用相似三角形测量高度、距离等 示例：利用影子测量树高 易错点：要确保测量时太阳光线是平行的，且测量要在同一时间进行。 题型一 平行线分线段成比例中的辅助线构造 解｜题｜技｜巧 当题目中给出的比例关系不直接或难以直接应用时，添加平行线是关键的突破手段。通过构造平行线，可以建立A字型或X字型相似模型，从而将已知比例关系转移到目标线段上。 具体操作时，应分析比例式中涉及的点，选择过关键点作平行线。常见的做法是过比例点或线段端点作平行线，使其与已知直线产生新的交点，从而构造出相似三角形。 【典例1】已知在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD:DB=AE:EC=1:2，连接DE并延长交BC的延长线于点F，求CF:BC的值。 【变式1】在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD:DB=1:3，AE:EC=2:1。连接BE、CD交于点F。求EF:FB的值。 【变式2】梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O。过点O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F。若AD=4，BC=6，求EF的长度。 题型二 相似三角形判定中的多解问题 解｜题｜技｜巧 当题目条件不能唯一确定相似对应关系时，必须进行分类讨论。首先要明确相似三角形的各种判定条件，然后根据已知条件分析所有可能的对应方式。 对于每个可能的对应情况，都要验证是否满足相似条件。特别注意两边成比例时，必须验证夹角是否相等；三边成比例时，要注意边的对应顺序。 【典例1】在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=50°，AB=6，AC=8，DE=9，DF=12，判断两三角形是否相似。如果相似，求相似比。 【变式1】 在△ABC和△DEF中，∠B=∠E=60°，AB=8，BC=6，DE=12，EF=9。判断两三角形是否相似。 【变式2】两个三角形的边长分别为：① 4,5,6 ② 8,10,12。判断它们是否相似 题型三 动态相似问题 解｜题｜技｜巧 处理动点问题时，要先用变量表示动点的位置和相关线段的长度。然后根据相似三角形的判定条件，列出包含变量的方程。 要特别注意动点的运动范围，以及相似对应关系的多种可能性。每个可能的情况都要单独讨论，列出对应的方程并求解。最后要检验解是否在允许范围内。 【典例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点P从A出发沿AB向B运动，速度为2单位/秒。求何时△APC与△ABC相似。 【变式1】在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。点P从点A出发，沿AB-BC-CD运动，速度为1单位/秒。当点P运动到何处时，△APD与△ABC相似？ 【变式2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。点P从C出发沿CA运动，速度为1单位/秒；点Q从C出发沿CB运动，速度为2单位/秒。何时△CPQ与△ABC相似？ 题型四 比例式证明中的等线段代换 解｜题｜技｜巧 当直接证明比例式困难时，可以通过添加辅助线构造新的相似三角形，建立中间比例关系。然后利用等量代换原理，将多个比例式连接起来。 关键是要找到合适的中间量，通常通过作平行线来构造相似三角形，产生需要的比例关系。代换过程中要保持等式的等价性。 【典例1】证明：在△ABC中，AD是角平分线，则AB:AC=BD:DC 【变式1】在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC。F是BC上一点，连接AF交DE于点G。求证：DG:GE = BF:FC 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，交于点D，，，，，则的长等于（    ）    A． B． C． D． 3．如图,若果∠1＝∠2，那么添加下列任何一个条件：（1），（2），（3）∠B＝∠D，（4）∠C＝∠AED， 其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，则 ． 5．如图所示，图中 ． 6．如图所示，在四边形ABCD中，，点E是对角线BD上一点，，求证． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，已知直线，，，，则的长为（    ） A．2 B．4.5 C．6 D．8 2．如图，身高为的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，于是得出树的高度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，则凉亭的高度约为（      ）    A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸．问井深几何？”意思是：如图，井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为 尺． 5．如图，在△中，∠°，，在斜边上取一点，使，过作⊥交于点，则 . 6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB＝BD＝DE＝EC，求证： （1）△ADE∽△CDA； （2）∠1＋∠2＋∠3＝90° 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $