精品解析：上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2025-2026学年高三上学期9月测试数学试题

上外云间高三数学练习试卷 2025.09 一､填空题 1. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 2. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数列出方程，解出即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故答案为：1. 3. 二项式的展开式中常数项的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得到展开式的常数项. 【详解】二项式的展开式的通项公式， 令，得，则常数项为， 故答案为： 4. 记为等差数列的前n项和．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案. 【详解】是等差数列，且， 设等差数列的公差 根据等差数列通项公式： 可得 即： 整理可得： 解得： 根据等差数列前项和公式： 可得： . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5. 已知圆锥的底面半径为2，底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥的侧面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可以求出母线长，进而可以求出结果. 【详解】 如图所示，为底面圆心，，，则， 在中由等面积可知， 即， 又因为，即， 则， 则该圆锥的侧面积为， 故答案为：. 6. 若事件与事件相互独立，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用对立事件概率公式和独立事件乘法公式求得，再利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故答案为： 7. 已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 8. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围. 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 9. 已知中，，且，，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出三角形外接圆半径，确定点的轨迹，借助圆的性质求出最大值. 【详解】以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 由，，得， 外接圆半径，令圆心为，则， ，点在以为圆心，为半径所含圆周角为的圆弧（不含端点）上， 显然，当且仅当点在线段上时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 10. 已知，，且，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】把“”写成，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为3． 故答案为：3 11. 已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，求得的取值范围，由此列不等式，由此求得离心率的取值范围. 【详解】，即， ， 当且仅当时等号成立. ， 由于，所以当或时， 有最小值为， 所以，则，即， 即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点睛： 椭圆焦点和离心率的应用：通过利用椭圆的焦半径和离心率关系，结合椭圆上的点条件，推导出离心率的范围，这是解题的关键步骤. 不等式解的准确性：通过解不等式，得出离心率的范围，确保计算过程中的符号处理正确，是确保结论正确的关键. 12. 已知（a，b，，），若不等式对任意恒成立，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后代入不等式得对任意恒成立，转化为，再分与，两种情况，后一种令，则，由判别式可求出的范围，进一步可得的取值范围. 【详解】， 所以，即对任意恒成立， 当时，若趋近于正无穷时，趋近于正无穷，不合题意； 当时，若趋近于负无穷时，趋近于正无穷，不合题意； 所以，又，所以. 所以对任意恒成立， 当b=0时，c=0， 当，有，即且， 令，则，所以，即, 所以，得， 所以， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 二､单选题 13. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依题意举反例可得不能推出且，可得结论. 【详解】因为且能推出； 但不能推出且（如，）， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象都经过点和； B. 幂函数的图象不经过第三象限； C. 若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D. 当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【详解】选项A，当时，幂函数不过原点，故A错误； 选项B，当时，幂函数过第三象限，故B错误； 选项C，若幂函数的图象过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故C错误. 选项D，当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故D正确； 故选：D 15. 已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性结合二次函数性质列式求解即可. 【详解】若函数在定义域上是减函数， 则,解得, 故选：B 16. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 三､解答题 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且． （1）求证：CE⊥平面PBD； （2）求二面角P－CE－A的余弦值． 【答案】（1） 设BD与CE相交于点H， 因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以， 由，，得， 因此，， 可得， 因为， 所以，即， 又因为，，平面, 所以CE⊥平面PBD； （2） 【解析】 【分析】（1）结合三角函数的定义证明，然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系D-xyz， 则，，， 所以，， 设平面PCE的一个法向量， 则，即， 令，则，，于是， 平面ACE的一个法向量为， 则， 由图形可知二面角P－CE－A为锐角， 所以二面角P－CE－A的余弦值是． 18. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2），使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可； （2）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可. 【小问1详解】 设二次函数， 因为， 则，解得，即， 又因为，可得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由题意可得：，则在内单调递增， 则在内的最小值为， 若使得成立，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 19. 某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数； （2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？ 【答案】（1）， （2）6.25万元，4.0625万元 【解析】 【分析】（1）设，，代入点的坐标，求出解析式； （2）设B产品的投资额为x万元，创业团队获得的利润为y万元，列出，换元后，配方得到时，y取得最大值4.0625. 【小问1详解】 因为A产品的利润与投资额成正比，故设， 将代入，解得：， 故， 因为B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设， 将代入，解得：，解得：， 故； 【小问2详解】 设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为万元，创业团队获得的利润为y万元， 则. 令，可得， 即. 当，即时，y取得最大值4.0625. 答：当B产品的投资额为6.25万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.0625万元. 20. 已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为. （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若，求直线的方程； （3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程确定、，利用解出即可求解； （2）设直线的方程，直曲联立根据韦达定理得：，结合为中点解出坐标，再利用，解出，即可求解； (3)分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时，设出方程，直曲联立，利用韦达定理，结合已知条件，求出直线过定点；斜率不存在时，设出、两点坐标，根据中点坐标公式，求出、坐标，结合已知条件，求出直线过定点，两种情况综合即可求解. 【小问1详解】 由得，所以焦距，离心率 . 【小问2详解】 ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：. 【小问3详解】 ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于设分斜率存在与不存在两种情况设出直线方程， 利用直曲联立得到方程，结合韦达定理解决问题. 21. 已知，对于函数，，设集合，，记. （1）若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； （2）设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； （3）设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 【答案】（1）有2个元素，理由如下： 由. 当时，； 当时，. 所以有2个元素. （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）求的解即可得到答案. （2）根据两曲线的位置关系，先求的值，再结合导数的几何意义求曲线的切线方程. （3）先把问题转化成恒成立，再求函数的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将代入圆， 由相切. 此时，， 又，所以，所以， 切线方程，即. 【小问3详解】 对于任意的，皆有成立，即函数的图象与圆系：无交点，所以恒成立. 因为，，所以，. 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，且. 由. 当时，设，则，所以在上单调递增， 所以. 即当时，； 又，所以. 所以. 设，，则， 所以在上单调递增，所以. 由. 综上，实数的取值范围为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上外云间高三数学练习试卷 2025.09 一､填空题 1. 函数的定义域为______. 2. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数__________. 3. 二项式的展开式中常数项的值为________． 4. 记为等差数列的前n项和．若，则__________． 5. 已知圆锥的底面半径为2，底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥的侧面积为___． 6. 若事件与事件相互独立，，，则______. 7. 已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是______． 8. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为_________. 9. 已知中，，且，，则的最大值为______. 10. 已知，，且，则的最小值为______． 11. 已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________. 12. 已知（a，b，，），若不等式对任意恒成立，则的取值范围为________. 二､单选题 13. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象都经过点和； B. 幂函数的图象不经过第三象限； C. 若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D. 当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 15. 已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 三､解答题 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且． （1）求证：CE⊥平面PBD； （2）求二面角P－CE－A的余弦值． 18. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2），使得成立，求的取值范围. 19. 某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数； （2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？ 20. 已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为. （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若，求直线的方程； （3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 21. 已知，对于函数，，设集合，，记. （1）若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； （2）设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； （3）设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $