专题12.2 全等三角形的常用判定（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题12.2 全等三角形的常用判定 1.全等三角形五个判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）的理解与记忆，明确每个定理的 “核心条件”（如 SAS 的 “夹角”、HL 的 “斜边 + 直角边”）（重点） 2.准确识别 “对应边、对应角”：能根据图形结构（如公共边、对顶角、图形位置关系）或对应顶点标注，确定全等判定所需的 “对应相等关系”，避免 “边对非对应边、角对非对应角”（重点） 3.规范书写全等证明过程：掌握 “先列条件、再定定理、最后结论” 的书写逻辑，确保每个判定条件都有依据（如已知、公共边、对顶角相等）（重点） 4.理解 “SSA、AAA 为何不能判定一般三角形全等”（难点） 5.直角三角形中 HL 与 SAS 的区分（难点） 知识点1 全等三角形的判定条件 1.全等 若两个三角形的三条边与三个角都分别相等，那么这两个三角形一定可以互相重合，即全等 2.判定条件 对于两个三角形的六个元素(三个角和三条边)至少需要三个元素(必有一边)分别相等，这两个三角形才能全等 三个角和三条边对应相等的两个三角形全等，反过来也成立，即全等三角形的性质 知识点2 边角边 1.基本事实 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS” 2．几何语言 如图，在 和 中， 在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列，一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧。 知识点3 角边角 1.基本事实 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA” 2．几何语言 如图，在 和 中， 1.相等的元素:两角及两角的夹边 2.书写顺序:角→边→角 3.夹边即两个角的公共边 知识点4 角角边 1.定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS” 2．几何语言 如图，在 和 中， 3.“ASA”与“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角 的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定 理 可 知AAS”可由AAS “ASA”推导得出 AAS “S”是其中一 角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 1.判定两个三角形全等的三个条件中，边是必不可少的。 2.由于“角角边”和“角边角”是可以互相转化的，故能用“角角边”证明的问题，一般也可以用“角边角”证明 知识点5 边边边 1.基本事实 三边分别相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS” 2．几何语言 如图，在 和 中， 在两个三角形的六个元素(三条边和三个角)中，由已知的三个元素可判定两个三角形全等的组合有4个:“SSS,“SAS“ASA”和“AAS”，不能判定两个三角形全等的组合是“AAA”和“SSA” 知识点6 斜边直角边 1.定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等简写成“斜边直角边”或“HL” 2．几何语言 如图，在Rt 和Rt 中， ， 3.判定两个三角形全等常用的思路方法如下表 已知对应相等的元素 可选择的 判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或ASA或AAS 可证已知角的另一邻边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA） ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证其中一己知角的对边对应相等 直角三角形 一锐角(A) ASA或AAS 可证直角与己知锐角的夹边对应相等或已知锐角（或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL 或SAS 或 ASA 或AAS 可证斜边对应相等或证另一直角边对应相等或证与己知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等 1.应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt” 2.“HL”只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用， 3.判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用 4.在用一般方法证明直角三角形全等时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可 题型一、全等三角形的概念 例1（24-25八年级上·福建漳州·期中）下列命题中，真命题的是（   ） A．若，则． B．对应角相等的三角形全等 C．若，则． D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用有理数的乘法，全等三角形的判定，等式的性质，两点之间线段最短逐项判断后即可确定正确的选项． 【详解】A. 若，则故该选命题是假命题，不符合题意．   B. 对应角相等的三角形不一定全等，故该选命题是假命题，不符合题意． C. 若，则，故该选命题是假命题，不符合题意．     D. 两点之间，线段最短，是真命题，符合题意； 故选：D． 1-1（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的对应角是， 故选：B． 1-2（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．全等的两个三角形的面积相等 B．两个等腰直角三角形全等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形是全等三角形 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理以及性质是解题关键．根据全等三角形的性质和判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、全等的两个三角形的面积相等，说法正确，符合题意； B、两个等腰直角三角形角度相等，三边不一定相等，所以不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意； D、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意； 故选：A． 1-3（24-25八年级上·陕西西安·期末）“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等．”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义，判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的定义是解题的关键．根据全等三角形的定义，即可求解． 【详解】解：周长相等，无法判定三角形全等， 则“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等，”是假命题． 故答案为：假． 1-4（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念判断即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 题型二、全等三角形的性质 例2（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，利用全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，将阴影部分面积转化为只含一个未知数的表达式，从而确定所需条件． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴图中阴影部分的面积 ∴若想求出图中阴影部分的面积，只需知道的长， 故选B． 2-1（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴ 又∵， ∴ 故选：C． 2-2（24-25八年级上·四川泸州·期末）四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，全等三角形的性质，正确得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积是解题的关键． 根据阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察图形，得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积 即阴影部分的面积等于， 故选：C 2-3（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知，的周长为，如果，， ． 【答案】13 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，可得，再根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：13． 2-4（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，，的延长线经过点，交于，，，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质等知识，根据全等三角形的性质求出，根据平角定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为∶ ． 题型三、尺规作图--作三角形 例3（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，，用尺规求作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段的方法是解答本题的关键．作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，根据作一个角等于已知角的方法作，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． 【详解】解：如图，即为所求． 作法：作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； 根据作一个角等于已知角的方法作； 以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； 再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． 3-1（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： (1)已知：线段h，a，b．求作：，使得，，边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．若一定，请说明理由；若不一定．请作出符合条件的其他三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)不一定，见解析 【分析】本题考查了尺规作图，以及三角形的全等． （1）根据解题思路作图即可； （2）通过题意画出相对应的线段即可得到不同的三角形． 【详解】（1）解：如图所示： （2）不一定，如图所示： 3-2（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知线段和，作一个三角形，使，，． 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作三角形，作射线，在上截取线段，作，在射线上截取，连接，则三角形即为所求． 【详解】解：如图，三角形即为所求． 题型四、用SAS证明三角形全等(SAS) 例4（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据推出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 4-1（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ， 用“”证明，则还需添加 故选： 4-2（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分交于点，，，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 在上截取，连接，则，证明和全等得，，进而可证明，据此得． 【详解】在上截取，连接，如图所示： ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：5． 题型五、用SAS间接证明三角形全等(SAS) 例5（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 5-1（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 5-2（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， 题型六、全等的性质和SAS综合(SAS) 例6（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，与都是等腰三角形，，且，交于点E，点A、M、B在同一条直线上，若，则α和β之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，先根据“边角边”证明，可得，再根据三角形外角的性质得，进而得出，最后根据平角定义得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴. ∵是的外角， ∴， 即, ∴， ∴， 即. 故选：A． 6-1（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，，B，D，E三点在一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及外角性质等知识点，解题的关键在证明．先证明．然后利用全等三角形的性质得出，再结合三角形内角和定理计算出的具体度数． 【点睛】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：B． 6-2（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，有一池塘，要测池塘两端，间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点和的点，连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接．若量出米，则、间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质（），解题关键是掌握全等三角形的判定与性质（）． 先利用证明，再根据全等三角形的性质得出结果． 【详解】解：∵，，， ， ∴(米)， ∴、间的距离为米， 故选：B． 6-3（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，，，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】在和中， ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 6-4（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质及平角的定义推出是解题的关键．由，，可得，根据已知条件可推出，从而可知，再根据平角的定义及三角形内角和推出，即可得解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 题型七、用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 例7（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 7-1（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？ 如果可以，带哪块去合适？（　　） A．1 B．2 C．3 D．任意一块 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：由图形可知，号有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形；号没有完整的边或角，号只有一个完整的角，根据全等三角形的判定方法，号和号都不可以作出与原三角形全等的三角形， 故选：． 7-2（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）九年班小颖同学不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有、、 、的四块），他只拎第块去玻璃店，他这么做的数学原理是（  ） A．第块面积最大 B．三角形具有稳定性 C．有两个角相等并且这两个角的夹边也相等的两个三角形全等 D．三角形内角和为度 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理即可得解． 【详解】解：由图得：第块含有三角形的两个角和被两个角夹住的边， 则根据全等三角形的判定原理可知，通过“角边角”可找到一块一模一样的三角形． 故选：． 7-3（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，一块三角形玻璃板，不小心摔成三块，小亮要想得到一块与原来一样的三角形玻璃板，需要带着第 块去商店． 【答案】③ 【分析】本题考查了全等三角形的应用，显然第③中有完整的三个条件，用易证需要的三角形与原三角形全等，学会把实际问题数学化为正确解答本题的关键． 【详解】解：因为第③块中有完整的两个角以及它们的夹边，利用易证三角形全等，故应带第③块． 故答案为：③． 题型八、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 例8（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】在上取一点，使，延长交于，结合平行线性质、角平分线定义、全等三角形判定与性质及三角形三边关系，对每个结论逐一分析判断即可． 【详解】解：， ， 分别平分， ， ， ，故正确； 在上取一点，使， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，故②正确； 无关联， 不一定成立，故③错误； 延长交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 不一定相等， 不一定成立，故④错误； 如上图，， ， ，即， ，故⑤正确． 综上，结论①②⑤正确, 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线性质、角平分线定义，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，通过构造辅助线证三角形全等是解题的关键． 8-1（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中白色部分的面积为（   ） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，如图，延长交于M，证明出，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图，延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 8-2（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分交于D，若，则的长为（    ） A．9 B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用平方根解方程，正确构造全等三角形是解题的关键．延长至点，使得，连接，延长交于点，先证明，再证明，得到，设，则，由，得到，再根据平方根的意义解方程求出，即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴，而， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（舍负）， ∴； 故选：B． 8-3（23-24八年级上·全国·期中）如图，，，，于D，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，根据证明，可得，再结合得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 8-4（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知：，，请写出一个与点D有关的正确结论： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由已知条件，加上是公共角，可得三角形全等，根据全等三角形的性质即可得出，题目是一道开放结论的试题，它有利于考查学生的发散思维能力和创新意识． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 题型九、用SSS证明三角形全等(SSS） 例9（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．作图过程可得，，利用判定，可得． 【详解】解：由作图得，， 在和中， ∴， ∴． 故选：B． 9-1（24-25八年级上·浙江丽水·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．若，则 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．同角的补角相等 D．一个锐角和一个钝角的和等于一个平角 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的解法、全等三角形的判定方法、补角的性质、平角的定义判断即可． 【详解】解：A．若，则，故不正确，是假命题； B．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如边长为1的等边1三角形与边长为5的等边三角形，故不正确，是假命题； C．同角的补角相等，正确，是真命题； D．一个锐角和一个钝角的和不一定等于一个平角，如一个角为30度．另一个角为100度，故不正确，是假命题； 故选C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 9-2（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（   ）判定三角形全等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由三边相等得，即由判定三角形全等． 【详解】解：根据题意，， 又，为公共边， ， 故选：B． 9-3（23-24八年级上·江苏泰州·期中）三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 【答案】3 【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 【详解】解：如图，    图中与全等的格点三角形是，共3个， 故答案为：3． 9-4（24-25八年级上·全国·期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知，， ， 故答案为：． 题型十、全等的性质和SSS综合(SSS) 例10（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知五边形中，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．16 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算．可延长至F，使，利用可证明，连接，再利用证明，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求解即可． 【详解】解：延长至F，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴五边形的面积是：． 故选：B． 10-1（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（    ） A．边边边 B．边角边 C．角角边 D．角边角 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质的应用，掌握全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键. 根据题中条件证出和全等,利用全等三角形的性质即可说明. 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴就是的平分线. 故选：A 10-2（24-25八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，进而可求出的大小． 【详解】解： 理由：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 10-3（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，则 ． 【答案】/55度 【分析】先证明，可得，再根据题意即可求出结果． 本题考查全等三角形的判定与性质，掌握证明三角形全等的方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ∴， ∴， ∵， ， 故答案为：． 10-4（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，，，若，则 ．    【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的知识点，解题的关键是证明是的垂直平分线． 通过证明和全等得到，再结合利用等腰三角形三线合一性质得出与的关系，进而求出的长度． 【详解】在和中， ， ，即是的平分线， 又，在等腰三角形中，根据等腰三角形三线合一的性质，可知也是边上的中线， ， ， ． 故答案为：3． 题型十一、用HL证全等(HL) 例11（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项C正确． 【详解】解：由图示知，嘉淇第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故选：C． 11-1（23-24八年级上·四川广安·阶段练习）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 11-2（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是推出≌． 证明≌，根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：A：， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵和互余， ∴与也互余，正确，故该选项不合题意； B：由A选项可知，正确，故该选项不合题意； C：由A选项可知≌，正确，故该选项不合题意； D：，， ∴，但不一定与相等，故该选项符合题意． 故选：D． 11-3（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，题目比较典型，难度适中． 根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 11-4（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（或） 【分析】本题主要考查的是直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据两个直角三角形全等的判定方法HL，即“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， ，， 当或时，． 故答案为：（或）． 题型十二、全等的性质和HL综合(HL） 例12（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在和中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据判定后可得，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 则中，． 故选：． 12-1（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，P，Q两点分别在上和过点A且垂直的射线上运动，且．当的值为多少时，与全等？（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，分情况讨论：①，此时，可据此求出的值．②，此时，P、C重合，据此求出的值． 【详解】解：， ， 根据三角形全等的判定方法可知： ①当P运动到时， ∵， 在与中， ， ∴， 即； ②当P运动到与C点重合时，， 在与中， ， ∴， 即， 综上所述，当的值为或时，与全等， 故选：D． 12-2（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求解，再证明得到即可； 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故选：B． 12-3（24-25八年级上·重庆·期末）如图所示，在中，平分，点E在的延长线上，且，且交延长线于点F，H为上的一点，且，，，若．则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质．先证得，根据得，则，设，，则，，，，根据得①，进而得，再根据得②，然后得，据此可得n的值． 【详解】解：∵，， ∴和均为直角三角形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 在中，， ∴， ∴①， 在中，， 将①代入，得：， ∵， ∴②， ，得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 易错点1 误用 “SSA” 判定一般三角形全等(混淆 SSA 与 SAS) 例1如图，已知点是线段上一点，，，是上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ． 易错点2直角三角形全等判定中误用 HL(混淆“斜边”与“直角边”) 例2如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可解答． 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 1．下列命题中，逆命题是真命题的个数有（   ） ①全等三角形的对应角相等；②若，则；③面积相等的两个三角形全等；④若与是对顶角，则；⑤0没有算术平方根． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握逆命题的概念是解题的关键．根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、实数的平方、全等三角形的性质、对顶角、算术平方根的概念判断即可． 【详解】解：①“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，逆命题是假命题； ②“若，则”的逆命题是“若，则”，逆命题是真命题； ③“面积相等的两个三角形全等”的逆命题是“两个全等三角形的面积相等”，逆命题是真命题； ④“若与是对顶角”的则”的逆命题是“若，则与是对顶角”，逆命题是假命题； ⑤“0没有算术平方根”的逆命题“是没有算术平方根的数是0”，逆命题是假命题； 故选：C． 2．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 在上截取，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后根据直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，如图，当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，，分别平分，，若，，则（   ） A．17 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，设交于点，作平分，证明，，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：设交于点，作平分， ∵， ∴， ∵分别平分，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 故选A． 4．如图，在平行四边形中，点F是边上任意一点，分别连接交于E，则下列各组三角形中面积不一定相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形对边相等且平行是解题的关键． 根据平行四边形得到对边相等且平行，继而得到平行线间的距离处处相等，那么根据共高三角形面积问题化为底的问题即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴和面积相等； ∵，， ∴和等底等高，因此面积相等； ∵， ∴和共底等高， ∴和面积相等， ∵和含有公共部分， ∴和面积相等， 对于和的面积证明不了相等， ∴A、B、D正确，不符合题意，C错误，符合题意， 故选：C． 5．如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据正方形的性质求线段长，直角三角形全等的判定定理，灵活运用勾股定理，熟练掌握直角三角形全等的判定定理和勾股定理是解题的关键． 根据题意先求出的值，再逐个去判断． 【详解】解：设，则， 在正方形中， ， ， 由题意可知， 在正方形中， ， 在和中 ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 解得，， ，， ， ， A、，不是定值，故A不符合题意； B、，不是定值，故B不符合题意； C、，不是定值，故C不符合题意； D、，是定值，故D符合题意； 故选：D． 6．如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答． 【详解】解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 7．如图，在中，，点为边上一点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，由可得，可得，由平角的性质和三角形内角和定理可得，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，中，，，分别过点作过点的直线的垂线，垂足分别为，，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案，掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，，D，E是边上的点，连接，作关于直线对称的，连接，若，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称图形的性质和三角形全等的判定是解题的关键． 根据对称得出，根据全等三角形判定的“”定理即可证得，得出，求出，根据对称得出，代入求出即可． 【详解】解：与是关于的轴对称图形， ， 在和中， ， ， ， ， 与是关于的轴对称图形， ， 即， 故答案为：． 10．如图，在中，，于点E，，且，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，，求得，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，已知点C是线段上一点，，，E是AC上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ． 12．如图1，点在y轴正半轴上，点分别在x轴上，平分与y轴交于D点，． (1)求证：； (2)如图2，点C的坐标为，点E为上一点，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）由题意，可知，平分与y轴交于D点，所以可由定理证明，由全等三角形的性质可得； （2）过D作于N点，可证明，因此，，所以，，即可得的长． 【详解】（1）证明：在直角坐标系中， 轴轴， ， ． 在和中 ， ． ； （2）由（1）知， ,， ， 过D作于N点，如图所示： ，， ， 在和中 ， ， ． 在和中， ， ； ． 2 / 54 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.2 全等三角形的常用判定 1.全等三角形五个判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）的理解与记忆，明确每个定理的 “核心条件”（如 SAS 的 “夹角”、HL 的 “斜边 + 直角边”）（重点） 2.准确识别 “对应边、对应角”：能根据图形结构（如公共边、对顶角、图形位置关系）或对应顶点标注，确定全等判定所需的 “对应相等关系”，避免 “边对非对应边、角对非对应角”（重点） 3.规范书写全等证明过程：掌握 “先列条件、再定定理、最后结论” 的书写逻辑，确保每个判定条件都有依据（如已知、公共边、对顶角相等）（重点） 4.理解 “SSA、AAA 为何不能判定一般三角形全等”（难点） 5.直角三角形中 HL 与 SAS 的区分（难点） 知识点1 全等三角形的判定条件 1.全等 若两个三角形的三条边与三个角都分别相等，那么这两个三角形一定可以互相重合，即全等 2.判定条件 对于两个三角形的六个元素(三个角和三条边)至少需要三个元素(必有一边)分别相等，这两个三角形才能全等 三个角和三条边对应相等的两个三角形全等，反过来也成立，即全等三角形的性质 知识点2 边角边 1.基本事实 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS” 2．几何语言 如图，在 和 中， 在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列，一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧。 知识点3 角边角 1.基本事实 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA” 2．几何语言 如图，在 和 中， 1.相等的元素:两角及两角的夹边 2.书写顺序:角→边→角 3.夹边即两个角的公共边 知识点4 角角边 1.定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS” 2．几何语言 如图，在 和 中， 3.“ASA”与“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角 的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定 理 可 知AAS”可由AAS “ASA”推导得出 AAS “S”是其中一 角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 1.判定两个三角形全等的三个条件中，边是必不可少的。 2.由于“角角边”和“角边角”是可以互相转化的，故能用“角角边”证明的问题，一般也可以用“角边角”证明 知识点5 边边边 1.基本事实 三边分别相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS” 2．几何语言 如图，在 和 中， 在两个三角形的六个元素(三条边和三个角)中，由已知的三个元素可判定两个三角形全等的组合有4个:“SSS,“SAS“ASA”和“AAS”，不能判定两个三角形全等的组合是“AAA”和“SSA” 知识点6 斜边直角边 1.定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等简写成“斜边直角边”或“HL” 2．几何语言 如图，在Rt 和Rt 中， ， 3.判定两个三角形全等常用的思路方法如下表 已知对应相等的元素 可选择的 判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或ASA或AAS 可证已知角的另一邻边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA） ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证其中一己知角的对边对应相等 直角三角形 一锐角(A) ASA或AAS 可证直角与己知锐角的夹边对应相等或已知锐角（或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL 或SAS 或 ASA 或AAS 可证斜边对应相等或证另一直角边对应相等或证与己知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等 1.应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt” 2.“HL”只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用， 3.判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用 4.在用一般方法证明直角三角形全等时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可 题型一、全等三角形的概念 例1（24-25八年级上·福建漳州·期中）下列命题中，真命题的是（   ） A．若，则． B．对应角相等的三角形全等 C．若，则． D．两点之间，线段最短 1-1（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 1-2（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．全等的两个三角形的面积相等 B．两个等腰直角三角形全等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形是全等三角形 1-3（24-25八年级上·陕西西安·期末）“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等．”是 命题．（填“真”或“假”） 1-4（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 题型二、全等三角形的性质 例2（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 2-1（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2-2（24-25八年级上·四川泸州·期末）四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 2-3（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知，的周长为，如果，， ． 2-4（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，，的延长线经过点，交于，，，，则 °． 题型三、尺规作图--作三角形 例3（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，，用尺规求作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 3-1（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： (1)已知：线段h，a，b．求作：，使得，，边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．若一定，请说明理由；若不一定．请作出符合条件的其他三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 3-2（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知线段和，作一个三角形，使，，． 题型四、用SAS证明三角形全等(SAS) 例4（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 4-1（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 4-2（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分交于点，，，，则的长为 ． 题型五、用SAS间接证明三角形全等(SAS) 例5（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5-1（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 5-2（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． ∵平分， 题型六、全等的性质和SAS综合(SAS) 例6（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，与都是等腰三角形，，且，交于点E，点A、M、B在同一条直线上，若，则α和β之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 6-1（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，，B，D，E三点在一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6-2（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，有一池塘，要测池塘两端，间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点和的点，连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接．若量出米，则、间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6-3（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，，，，，则的长为 ． 6-4（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则 ． 题型七、用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 例7（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 7-1（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？ 如果可以，带哪块去合适？（　　） A．1 B．2 C．3 D．任意一块 7-2（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）九年班小颖同学不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有、、 、的四块），他只拎第块去玻璃店，他这么做的数学原理是（  ） A．第块面积最大 B．三角形具有稳定性 C．有两个角相等并且这两个角的夹边也相等的两个三角形全等 D．三角形内角和为度 7-3（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，一块三角形玻璃板，不小心摔成三块，小亮要想得到一块与原来一样的三角形玻璃板，需要带着第 块去商店． 题型八、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 例8（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8-1（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中白色部分的面积为（   ） A．54 B．60 C．100 D．110 8-2（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分交于D，若，则的长为（    ） A．9 B．6 C．3 D． 8-3（23-24八年级上·全国·期中）如图，，，，于D，，，则 ． 8-4（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知：，，请写出一个与点D有关的正确结论： ． 题型九、用SSS证明三角形全等(SSS） 例9（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 9-1（24-25八年级上·浙江丽水·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．若，则 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．同角的补角相等 D．一个锐角和一个钝角的和等于一个平角 9-2（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（   ）判定三角形全等． A． B． C． D． 9-3（23-24八年级上·江苏泰州·期中）三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 9-4（24-25八年级上·全国·期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 题型十、全等的性质和SSS综合(SSS) 例10（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知五边形中，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．16 C．12 D．10 10-1（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（    ） A．边边边 B．边角边 C．角角边 D．角边角 10-2（24-25八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 10-3（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，则 ． 10-4（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，，，若，则 ．    题型十一、用HL证全等(HL) 例11（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．嘉淇同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ） A． B． C． D． 11-1（23-24八年级上·四川广安·阶段练习）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 11-2（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 11-3（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 11-4（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 题型十二、全等的性质和HL综合(HL） 例12（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在和中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 12-1（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，P，Q两点分别在上和过点A且垂直的射线上运动，且．当的值为多少时，与全等？（    ） A． B． 或 C． D．或 12-2（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 12-3（24-25八年级上·重庆·期末）如图所示，在中，平分，点E在的延长线上，且，且交延长线于点F，H为上的一点，且，，，若．则 ． 易错点1 误用 “SSA” 判定一般三角形全等(混淆 SSA 与 SAS) 例1如图，已知点是线段上一点，，，是上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ． 易错点2直角三角形全等判定中误用 HL(混淆“斜边”与“直角边”) 例2如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可解答． 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 1．下列命题中，逆命题是真命题的个数有（   ） ①全等三角形的对应角相等；②若，则；③面积相等的两个三角形全等；④若与是对顶角，则；⑤0没有算术平方根． A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，分别平分，，若，，则（   ） A．17 B．16 C． D． 4．如图，在平行四边形中，点F是边上任意一点，分别连接交于E，则下列各组三角形中面积不一定相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（   ）． A． B． C． D． 6．如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 7．如图，在中，，点为边上一点，，，则 ． 8．如图，中，，，分别过点作过点的直线的垂线，垂足分别为，，，则 ． 9．如图，在中，，D，E是边上的点，连接，作关于直线对称的，连接，若，则 ． 10．如图，在中，，于点E，，且，则的度数为 ． 11．如图，已知点C是线段上一点，，，E是AC上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．如图1，点在y轴正半轴上，点分别在x轴上，平分与y轴交于D点，． (1)求证：； (2)如图2，点C的坐标为，点E为上一点，且，求的长． 2 / 54 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $