12.3　等腰三角形 教学设计 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦等腰三角形的性质与判定，涵盖等边对等角、三线合一及等角对等边等核心知识点。通过回顾等腰三角形定义与对称性导入性质探究，结合等角对等边的猜想引入判定学习，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料以探究式教学为特色，通过折叠纸片直观感知性质培养几何直观，证明过程强化推理能力，例题融入方程思想与实际应用发展模型意识。助力学生提升探究能力与思维品质，为教师提供清晰教学流程与反思指导，提升课堂效率。

12.3　等腰三角形 1.等腰三角形的性质 课题 1.等腰三角形的性质 授课人 教 学 目 标 1.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的性质. 2.经历等腰三角形性质和等边三角形性质的探究过程,能初步运用等腰三角形和等边三角形的性质解决有关问题. 3.培养大胆分析、敢于求异、勇于探索的精神和能力,形成良好的思维品质,提高独立解决问题的能力. 4.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力,发展应用意识. 5.学生通过对图形的观察、发现,激发起好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的体验、建立学习的自信心;通过合作交流,培养团结协作的精神. 教学 重点 　　理解并掌握等腰三角形和等边三角形的性质. 教学 难点 　　“三线合一”与整体思想在解题中的运用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 [温故而知新] 什么样的三角形是等腰三角形?它是轴对称图形吗?如果是,对称轴是什么? [学生活动] 讨论交流. [教师点拨] 除了两腰相等,等腰三角形还有许多特殊性质,本节课我们就一起来研究等腰三角形的特殊性质. 　　通过学生对等腰三角形的定义及对称性的回顾,激发学生探究新知识的欲望,从而引入新课. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 剪一张等腰三角形的半透明纸片,每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样,如图12-3-12,把纸片对折,让两腰AB,AC重叠在一起,折痕为AD.你能发现什么现象吗? 图12-3-12 [学生活动] 学生自主探究,并与同学进行交流. [教师点拨] 由翻折可知,等腰三角形是轴对称图形,你能指出等腰三角形的对称轴吗?(教师也可以用几何画板软件展示动画过程) 师生合作交流,得到如下结论. 等腰三角形的性质: 1.等腰三角形是轴对称图形,其底边上的中线所在的直线是它的对称轴. [教师点拨] 等腰三角形的对称轴也可以说成是顶角的平分线所在的直线或底边上的高所在的直线. 2.定理1:等腰三角形的两个底角相等.简写成“等边对等角”. 用几何语言表示为: 在△ABC中,∵AB=AC, ∴∠B=∠C(等边对等角). 　　通过操作探究、思维提升等活动的设计,有效地引导学生进行探究交流活动,使学生探究出等腰三角形的性质. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 [思维提升] 你能用推理的方法来证明“等边对等角”这一性质吗? [教师点拨] 命题的证明应画出图形,写出“已知”“求证”和证明过程.由线段相等证明角相等常利用全等三角形来证明. [学生活动] 学生自主探究出答案,并进行交流. 例 如图12-3-13,在△ABC中,AB=AC. 图12-3-13 求证:∠B=∠C. 证明:作∠BAC的平分线AD. 在△ABD和△ACD中, ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SAS), ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 另外两种方法为:(1)作三角形的高AE;(2)作BC边上的中线AF. [教师点拨] 从上面的证明方法和证明过程中,你还能得出等腰三角形有什么特殊性质? [学生活动] 学生自主探究,并与同学进行交流. 定理2:等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.简写成“等腰三角形的三线合一”. 用几何语言表示为: 图12-3-14 如图12-3-14,(1)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. (2)∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD. (3)∵AB=AC,∠BAD=∠CAD, ∴BD=CD,AD⊥BC. [小试牛刀] 若△ABC是等边三角形,求证:∠A=∠B=∠C=60°. [教师点拨] 三条边都相等的三角形叫做等边三角形,它是特殊的等腰三角形. [学生活动] 学生探究出答案. 证明:∵△ABC是等边三角形(已知), ∴AB=AC=BC(等边三角形的定义). 在△ABC中,∵AB=AC(已证),∴∠B=∠C(等边对等角). 在△ABC中,∵AB=BC(已证), ∴∠A=∠C(等边对等角),∴∠A=∠B=∠C(等量代换). ∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和是180°), ∴∠A+∠A+∠A=180°(等量代换), ∴∠A=60°(等式的性质),∴∠A=∠B=∠C=60°(等量代换). [教师点拨] 由此我们得到一个重要的结论: 等边三角形的各个角都相等,并且每一个角都等于60°. 　　例题和小试牛刀的设计是为了巩固所学的新知识,使学生理解并掌握等腰三角形的性质定理及其推论. 【应用举例】 例1　如图12-3-15,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D,E是底边上两点,且BD=AD,CE=AE,求∠DAE的度数. 图12-3-15 [教师点拨] 求一个角的度数,可以把这个角放入三角形中,利用三角形的内角和或内外角的关系来解决,或者利用其他角的和或差来表示. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 [师生活动] 师生合作交流得出答案. 解:∵AB=AC, ∴∠B=∠C. 又∵∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠B=∠C=×(180°-∠BAC)=30°. ∵BD=AD,CE=AE, ∴∠BAD=∠B=30°,∠CAE=∠C=30°, ∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=60°. [思维拓展] 去掉AB=AC这个条件,能否求得∠DAE的度数?本题给你怎样的启示? [师生活动] 师生合作交流得到答案. 启示:当无法单独求∠B,∠C的度数时,可以求∠B+∠C的度数. [教师点拨] 整体思想是数学中的一个很重要的思想方法. 例2　如图12-3-16,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.判断直线AO与BC的位置关系,并说明理由. 图12-3-16 [教师点拨] 考虑到△ABC中AB=AC,故可利用“三线合一”. [学生活动] 学生自主探究,得出答案. 解:AO垂直平分BC.理由如下: 延长AO交BC于点D. 在△ABO和△ACO中, ∵AB=AC,OB=OC,AO=AO, ∴△ABO≌△ACO, ∴∠BAO=∠CAO. 在△ABD和△ACD中, ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD, ∴BD=CD,∠ADB=∠ADC. 又∵∠ADB+∠ADC=180°,∴∠ADB=∠ADC=90°,∴AD⊥BC, ∴AO垂直平分BC. 　　例2是进一步巩固所学的新知识,同时拓展和提升学生的思维能力. 【拓展提升】 例3　如图12-3-17,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且AD=BD=BC,求∠A和∠C的度数. 图12-3-17 [教师点拨] 可采用设未知数列方程的方法来解决问题. [学生活动] 学生自主探究出答案,并与同学进行交流. [教师活动] 组织引导学生进行自主探究与合作交流活动. 解:设∠A=x. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C. ∵AD=BD=BC,∴∠ABD=∠A=x,∠BDC=∠C. 又∵∠BDC=∠A+∠ABD=2x,∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 　　例3是体会方程思想在几何计算题中的应用. 活动 二: 探究 与 应用 在△ABC中,∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴5x=180°,∴x=36°, ∴∠A=36°,∠C=2x=72°. [教师点拨] 适当地设出未知数,利用方程思想来解题是几何计算题中的一种常用方法. 活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.谈谈本节课的收获. 2.本节课的主要内容有:等腰三角形的性质、等边三角形的性质. 3.解题方法:设辅助未知数法与拼凑法. 4.重要的数学思想方法:方程思想、整体思想和转化思想. 　　培养学生对数学知识的归纳能力以及对知识点概括的语言表达能力,鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价. 【达标检测】 1.教材P94中的练习. 2.教材P100习题12.3中的第1,4题. 　　当堂检测,及时反馈学习效果. 【板书设计】 等腰三角形 等边三角形的性质:三边相等,三角相等. 　　 提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课主要采用了学生自主探究、分组讨论以及师生合作交流等活动方式和学习方式来组织教学,从而有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣,促进了学生思维能力和解题能力的提高.不足之处是部分学生的综合分析能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高. ②[讲授效果反思] 本节课采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻,还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　   错题题号　  　　反思,更进一步提升. 2.等腰三角形的判定 课题 2.等腰三角形的判定 授课人 教 学 目 标 1.理解并掌握等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定定理. 2.经历等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定定理的探究过程,能运用所学的新知识解决有关问题. 3.经历思考、猜想以及对操作活动的合理性进行证明的过程,不断感受证明的必要性,同时积累数学活动经验. 4.使学生充分经历新知识的探究过程,进一步培养学生自主探究与合作交流的能力. 5.经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程,体验数学的应用价值. 教学 重点 　　理解并掌握等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定定理. 教学 难点 　　能探究出等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定定理. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 我们知道,等腰三角形的两个底角相等,反过来,在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它是等腰三角形吗?画画看,你发现了什么? 教师活动:组织引导学生进行分组讨论活动. 学生活动:学生分组讨论,探究出答案. 师生合作交流:师生通过合作交流得到下列结论. 定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.简写成“等角对等边”. 　　通过分组讨论和师生合作交流活动的开展,引导学生探究出等腰三角形的判定定理,从而引入新课. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 我们称上述活动一中的定理为等腰三角形的判定定理,用几何语言表示为:如图12-3-31,在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC. 图12-3-31 [思维提升] 同学们能从推理的角度证明这个定理吗? [学生活动] 学生自主探究出答案,并与同学进行交流. 已知:如图12-3-32,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC. 图12-3-32 证明:过点A作AD⊥BC,垂足为D. ∵AD⊥BC(已作), ∴∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义). 在△ABD与△ACD中, ∵∠B=∠C(已知),∠ADB=∠ADC(已证),AD=AD(公共边), ∴△ABD≌△ACD(AAS), ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). 另外一种方法为作角平分线AE. [思考并交流] 请思考下列问题的答案,并与同学交流: (1)三个角都相等的三角形是什么三角形? (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗? [教师活动] 组织引导学生进行自主探究与交流活动. [学生活动] 学生自主探究出答案,并与同学进行交流. 师生合作交流,得到下列结论: (1)三个角都相等的三角形是等边三角形; (2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 　　用不同的方法证明这个定理,提高学生添加辅助线的能力. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　如图12-3-33,一艘轮船从A处出发,以10海里/时的速度向正北方向航行,从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.这艘船上午8:00从A处出发,10:00到达B处,从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上. 图12-3-33 (1)画出礁石C的位置; (2)求从B处到礁石C的距离. [教师活动] 组织引导学生进行自主探究与交流活动. [学生活动] 学生自主探究出答案,并与同学进行交流. 图12-3-34 解:(1)如图12-3-34,以点B为顶点,向北偏西作60°角,角的一边与AP交于点C,则点C为礁石所在地. (2)由题意,得∠ACB=60°-30°=30°(三角形的外角性质). 又∵∠BAC=30°,∴∠ACB=∠BAC,∴BC=BA. ∵BA=10×(10-8)=20(海里),∴BC=20海里. 答:从B处到礁石C的距离为20海里. 　　本题考查了等腰三角形的判定与性质,其目的是培养学生分析问题、解决问题的能力以及综合思维的能力. 【拓展提升】 例2　如图12-3-35,在△ABC中,已知D是BC的中点,DF⊥AB于点F,DE⊥AC于点E,且DF=DE,那么AB=AC吗?为什么? 图12-3-35 思考:若添加一个条件,使得△ABC是等边三角形,不再添加字母和辅助线,看你能说出多少个不同的条件. 　　巩固学生所学知识,培养学生的发散思维能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.学生谈谈本节课的收获. 2.本节课的主要内容有:等腰三角形的判定定理,等边三角形的判定定理. 　　培养学生对数学知识的归纳能力以及对知识点概括的语言表达能力,鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.教材P97练习. 2.教材P101习题12.3中的第5,6,7题. 　　当堂检测,及时反馈学习效果. 【板书设计】 等腰三角形的判定 等边三角形的判定 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课借助于“思考与交流”“思维提升”“探究并交流”以及“思维拓展”等活动的开展,有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣,从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动方式和学习方式探究并归纳出本节课所学新知识,促进了学生思维能力的提高.不足之处是部分学生综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高. ②[讲授效果反思] 等腰三角形的判定与等腰三角形的性质两节课的课堂结构基本类似,学生学习效果好一些,但学生的探究能力和几何的说理意识不够好. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　   错题题号　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $