专题12.3 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题12.3 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义） 【华东师大版2024】 【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 2 【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】 3 【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】 4 【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】 5 【题型5 三角形的稳定性】 6 【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】 8 【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】 9 【题型8 二次证明三角形全等】 11 知识点1 基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点2 基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点4 基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点5 三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 知识点6 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对． 【变式1-1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025九年级下·云南·学业考试）如图，在和中，，，（点，，，在同一条直线上）．求证：． 【变式1-3】（2025·安徽·一模）在中，平分，则 ． 【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】 【例2】如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在和中，，，．求证：． 【变式2-3】如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】 【例3】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·重庆万州·期中）如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【变式3-3】如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．    【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】 【例4】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 【变式4-1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式4-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，，，于，求的度数． 【题型5 三角形的稳定性】 【例5】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【变式5-1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【变式5-2】如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是 ． 【变式5-3】（2025·广东江门·一模）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上 根木条． 【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】 【例6】（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【变式6-1】如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，，，为边延长线上的一点，点在上，且．求证：． 【变式6-3】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】 【例7】（24-25八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 【变式7-1】（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式7-2】（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 【变式7-3】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【题型8 二次证明三角形全等】 【例8】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【变式8-2】如图，在四边形中，，，．求证：． 【变式8-3】在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路． 如：在图1中，若C是的平分线上一点，点A在上，此时，在射线上截取，连结，根据三角形全等的判定方法______（简称），容易构造出全等三角形和，参考上面的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是的平分线，E、F分别为上的点，且．求证：．（两个内角相等的三角形是等腰三角形） （2）如图3，在非等边中，，分别是、的平分线，且交于点F，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.3 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义） 【华东师大版2024】 【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 2 【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】 6 【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】 8 【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】 11 【题型5 三角形的稳定性】 14 【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】 15 【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】 18 【题型8 二次证明三角形全等】 24 知识点1 基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点2 基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点4 基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点5 三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 知识点6 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．首先利用角平分线定义可得，然后利用可判定，根据全等三角形的性质可得，，再判定，最后证明即可． 【详解】解： 平分， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 共对全等三角形， 故答案为． 【变式1-1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理或基本事实是“”， 故选：A． 【变式1-2】（2025九年级下·云南·学业考试）如图，在和中，，，（点，，，在同一条直线上）．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．根据“”判定即可． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 【变式1-3】（2025·安徽·一模）在中，平分，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线－截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 从而， 又， ∴，从而， ∴， ∴， 故答案为：9． 【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】 【例2】如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 【答案】 【分析】根据证明，即可． 【详解】解：添加，理由如下： ∵，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定； 根据即可解答． 【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合． 故选D． 【变式2-2】（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定； 先求出，再根据即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式2-3】如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【答案】14 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【详解】解：， ． 在和中， ∴， ， ， ， 故答案为：14． 【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】 【例3】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一般三角形全等的判定方法有、、，，直角三角形的判定方法还有，全等三角形对应边相等，对应角相等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由，可得，进而可得．又由可得，进而可得．再根据可得，则可得，，进而可求得的长． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级上·重庆万州·期中）如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知得到，，再根据选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 选项中只有当时，，添加其它选项都不能证明． 故选：D． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证． 【详解】解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．    【答案】 【分析】由于， 于，得，则，可判断正确；根据“同角的余角相等”推导出，即可证明， 可判断正确；由垂线段最短可证明， ，则，可判断错误；由， ，且，得，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】∵，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴，故错误； ∵， ∴，， ∵， ∴，故正确； 故答案为： ． 【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】 【例4】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析. 【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行. 【详解】（1）∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. （2）成立.理由如下： ∵AF=CE， ∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. （3）AD与CB不一定平行，理由如下： ∵只给了两组对应相等的边， ∴不能判定△ADE≌△CBF， ∴不能判定∠A与∠C的大小关系， ∴AD与CB不一定平行， 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角. 【变式4-1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出即可解答． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：D． 【变式4-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 由即可证明即可． 【详解】证明：在和中， ∴． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，，，于，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能根据性质求出的度数． 证明，可得，由和三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 【题型5 三角形的稳定性】 【例5】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故选：D． 【变式5-1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形， ∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 【变式5-2】如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是 ． 【答案】③ 【详解】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性可知最好的加固方案是③． 【变式5-3】（2025·广东江门·一模）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上 根木条． 【答案】2 【分析】本题考查三角形具有稳定性，多边形的对角线．要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有2条对角线， ∴至少要钉上2根木条， 故答案为：2． 【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】 【例6】（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 【变式6-1】如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 在和中 ， ∴． 故选：B 【变式6-2】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，，，为边延长线上的一点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意得到，，即可证明． 【详解】证明： ，为边延长线上的一点， ， ， ． 在和中，， ． 【变式6-3】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得，证明，即可证明； （2）证明，得到即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】 【例7】（24-25八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）直接利用定理得出 ； （2）首先得出，则，进而得出 ，再求出； （3）①利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案； ②利用①中方法可得出当或 【详解】（1）解：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， 故答案为：； （2）证明：在和 ，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， 且都是钝角， 在和 在 和 在和中 ； （3）解：①在和中，，且都是锐角，如图，和不全等； ②由①图可知，， ∴当时，就唯一确定了， 则． 当时， 即， 在和中， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方式解题的关键． 【变式7-1】（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解题关键． 根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可． 【详解】解：A、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； B、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； C、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，符合题意； 故选：D． 【变式7-2】（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 【答案】② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形的判定和性质进行判定即可求解． 【详解】解：①，，，，不能画出三角形； ②，，，根据“”能画出唯一的； ③，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的； ④，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的； 综上所述，能画出唯一的的有②， 故答案为：②． 【变式7-3】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或②或③ (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， （1）添加①或②或③均可证明全等； （2）由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等． 【详解】（1）解：选择①或②或③ （2）选择①，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择②，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 【题型8 二次证明三角形全等】 【例8】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键； 根据已知条件得出，得，在和中，利用即可得出结论. 【详解】解：不正确，正确步骤为： 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 【变式8-2】如图，在四边形中，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】连接，证明，得出， 再证，即可． 【详解】连接，BD 在与中，， ∴， ， 在与中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键． 【变式8-3】在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路． 如：在图1中，若C是的平分线上一点，点A在上，此时，在射线上截取，连结，根据三角形全等的判定方法______（简称），容易构造出全等三角形和，参考上面的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是的平分线，E、F分别为上的点，且．求证：．（两个内角相等的三角形是等腰三角形） （2）如图3，在非等边中，，分别是、的平分线，且交于点F，求证：． 【答案】（1）见解析；(2)见解析 【分析】本题考查了角的平行线，三角形全等的判定和性质，探索线段之间的关系． 阅读中的判定方法为 (1)在上截取，连结，证明，再利用等腰三角形的判定证明即可． (2)在上截取，连结，证明，即可． 【详解】根据题意，得判定方法为， 故答案为：． (1)在上截取，连结， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）在上截取，连结， ∵， ∴， ∴，， ∵，分别是、的平分线，且交于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $