12.1 因式分解的意义（题型专练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

12.1 因式分解的意义 题型一、从左到右为因式分解的判定 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D．2 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型二、整式乘法与因式分解的判断 5．对于①，②从左到右的变形，下列表述正确的是（   ） A．①②都是整式乘法 B．①②都是因式分解 C．①是整式乘法②是因式分解 D．①是因式分解②是整式乘法 6．对于下列两个自左向右的变形：甲：；乙：其中说法正确的是（   ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 7．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 题型一、已知因式分解的结果求参数 8．关于x的二次三项式因式分解的结果是，则b的值为 ． 9．多项式可以因式分解为，则系数 ． 10．多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 11．已知可以因式分解为，求的值． 题型二、根据几何图形写出因式分解 12．小颖用下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出了一个把某多项式因式分解的等式，这个等式是（    ） A． B． C． D． 13．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ． 14．小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解： ． 第13题图 第14题图 15．如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）． (1)用一个多项式表示图丁的面积． (2)用两个整式的积表示图丁的面积． (3)根据（1）（2）所得的结果，写一个表示因式分解的等式． 题型三、拼图游戏 16．有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为，的长方形有6张，边长为的正方形卡片有9张．用这16张卡片拼成一个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 17．如图，用张类正方形卡片、张类正方形卡片，张类长方形卡片，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为 ． 18．小刚同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形纸片若干张．        (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）． 根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式： (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张； (3)当他拼成如图3所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积，可以把多项式分解因式，其结果为 ； (4)动手操作：请你依照小刚的方法，画出拼图，利用拼图分解因式：． 19．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． (1)根据图B完成因式分解：___________： (2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； (3)现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； (4)若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 1．若多项式可分解成，则的值是（    ） A． B．13 C．1 D． 2．[类比思想]利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式： ． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你展开右边检验这个等式的正确性； （2）利用上面的式子计算：． 3．在学习第11章《整式的乘除》时，我们经常利用图形面积得到关于整式乘法或因式分解的等式． (1)如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为 ； (2)小巧用四个如图3所示的小长方形，拼成如图4所示的大正方形． ①根据图4的图形面积，可以得到的一个等式是 ； ②利用①中的等式，解决问题：若，求一个小长方形的周长． 4．[实践操作]王老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：______； (2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为．若，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）． 5．[素质拓展]【例题讲解】 因式分解：． ∵为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即，展开等式右边得：， ∴恒成立． ∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即，解得， ∴． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则__________； (2)若有一个因式是，求k的值及另一个因式． 试卷第1页，共3页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.1 因式分解的意义 题型一、从左到右为因式分解的判定 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A．，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B．，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C．，左右两边不相等，不是因式分解，不符合题意； D．，等式右边是乘积形式，是因式分解，符合题意； 故选：D． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； B、，原因式分解错误，不符合题意； C、，原因式分解错误，不符合题意； D、，属于因式分解，符合题意； 故选：D． 3．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解至每个因式都不能再分解为止． 根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，被分解的不是多项式，不属于因式分解； B．，不是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，不属于因式分解； C．，结果不是几个整式的乘积，不属于因式分解； D．，属于因式分解； 故选：D 4．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项不是因式分解，不符合题意； B. 该选项不是因式分解，不符合题意； C. 该选项是因式分解，符合题意； D. 该选项不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 题型二、整式乘法与因式分解的判断 5．对于①，②从左到右的变形，下列表述正确的是（   ） A．①②都是整式乘法 B．①②都是因式分解 C．①是整式乘法②是因式分解 D．①是因式分解②是整式乘法 【答案】D 【分析】本题主要考查了分解因式和整式乘法计算，观察可知，①是利用提公因式法分解因式，②是多项式乘以多项式的计算，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，①是利用提公因式法分解因式，②是多项式乘以多项式的运算， ∴①是因式分解②是整式乘法， 故选：D． 6．对于下列两个自左向右的变形：甲：；乙：其中说法正确的是（   ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，判断甲、乙变形是否符合将多项式分解为整式乘积的形式即可解答． 【详解】解：甲：中，因式分解的对象应为多项式，而是单项式，不符合因式分解的条件，因此甲不是因式分解； 乙：中，虽然左边是多项式，但右边括号中的是分式，导致整体结果不是整式的乘积，因此乙也不是因式分解； 综上，甲、乙均不是因式分解， 故选：B． 7．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 【答案】 ①②/②① ③④/④③ 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解，将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式相乘，根据各自的定义判断即可． 【详解】解：①是整式乘法， ②是整式乘法， ③是因式分解， ④是因式分解． 故答案为：①②；③④． 题型一、已知因式分解的结果求参数 8．关于x的二次三项式因式分解的结果是，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解的定义等知识点，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先用多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后进行比较得到a与b的值即可解答． 【详解】解：， ∵关于x的二次三项式因式分解的结果是， ∴. 故答案为：. 9．多项式可以因式分解为，则系数 ． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则将展开，即可得到k的值． 【详解】解：， ∵多项式可以因式分解为， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了因式分解的定义和整式乘法，利用多项式乘多项式法则将正确展开是解题关键． 10．多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 11．已知可以因式分解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值． 根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 题型二、根据几何图形写出因式分解 12．小颖用下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出了一个把某多项式因式分解的等式，这个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用拼接前后的面积相等，再结合因式分解的定义，对选项进行排除，即可得到正确结果． 【详解】解：根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式， 故可排除选项C，D； 由图中四个长方形的面积为：x2+x+2x+2=x2+3x+2， ∴可排除选项B； 故选：A． 【点睛】本题主要考查因式分解的定义，以及用几何图形解释因式分解的含义等内容，牢牢把握因式分解的定义是解决此题的关键． 13．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．    【答案】 【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式． 【详解】解：图形的面积， 又图形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键． 14．小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与几何图形面积的综合应用，解题的关键是将代数式转化为图形各部分面积的和，再通过整体观察图形的边长得到因式分解的结果． 长方形的面积长宽，所以 【详解】解：； 故答案为： 15．如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）． (1)用一个多项式表示图丁的面积． (2)用两个整式的积表示图丁的面积． (3)根据（1）（2）所得的结果，写一个表示因式分解的等式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）图丁是由1个甲，3个乙，2个丙组成，把面积相加即可得出答案； （2）图丁可以看作由长为，宽为的长方形，由此即可得到答案； （3）根据（1）（2）两种表示的图丁的面积相等列出等式即可． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：∵（1）（2）两种表示的图丁的面积相等， ∴ 【点睛】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． 题型三、拼图游戏 16．有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为，的长方形有6张，边长为的正方形卡片有9张．用这16张卡片拼成一个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 【详解】解：由题意得：大正方形的面积为：， 则大正方形的边长为． 故选：A． 17．如图，用张类正方形卡片、张类正方形卡片，张类长方形卡片，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．根据题意可得：拼成的大正方形的面积，即可解答． 【详解】解：由题意得：拼成的大正方形的面积， ∴拼成的大正方形的边长是， 故答案为：． 18．小刚同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形纸片若干张．        (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）． 根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式： (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张； (3)当他拼成如图3所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积，可以把多项式分解因式，其结果为 ； (4)动手操作：请你依照小刚的方法，画出拼图，利用拼图分解因式：． 【答案】(1) (2)2，5 (3) (4)见解析 【分析】本题考查了因式分解，用面积法验证代数等式，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用面积相等即可求解． （2）根据题意，，进而可求解． （3）根据小纸片面积之和与大纸片面积相等即可求解． （4）根据小刚的方法先画图，再根据小纸片的面积之和与大纸片的面积相等即可求解． 【详解】（1）这个乘法公式是， 故答案为：； （2）， 需要2号卡片2张，3号卡片5张； 故答案为：2，5； （3）由图③可知矩形面积为， 所以， 故答案为：； （4）， 如图， 故答案为：． 19．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． (1)根据图B完成因式分解：___________： (2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； (3)现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； (4)若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)1，3，4； (4)，理由见解析 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力和计算能力． （1）观察可知大长方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论； （2）画出图形，观察可知大长方形面积等于两个正方形面积加上两个长方形面积，即可得到结论； （3）根据画出的图形，即可得到结论； （4）由题意可知，，，则，由完全平方公式的非负性可得结论． 【详解】（1）解：大长方形的面积可以表示为四个图形之和，即，也可以利用面积公式表示为， 即， 故答案为：； （2）解：如图， ， 即这个大正方形的边长为， 故答案为： （3）解：如图， ， 即要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片1张，2号卡片4张，3号卡片3张， 故答案为：1，3，4； （4）解：由题意可知，，， ， ， ， ，即． 1．若多项式可分解成，则的值是（    ） A． B．13 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得，． ． ． ，，． ，． ． 故选：A 2．[类比思想]利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式： ． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你展开右边检验这个等式的正确性； （2）利用上面的式子计算： ． 【答案】（1）见解析；（2）3． 【分析】（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论； （2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值． 【详解】解：（1） 故正确； （2）对于，我们可以利用上述等式进行计算，令. 根据，则： 【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用． 3．在学习第11章《整式的乘除》时，我们经常利用图形面积得到关于整式乘法或因式分解的等式． (1)如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为 ； (2)小巧用四个如图3所示的小长方形，拼成如图4所示的大正方形． ①根据图4的图形面积，可以得到的一个等式是 ； ②利用①中的等式，解决问题：若，求一个小长方形的周长． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）用代数式，分表表示图1，图2中的面积，即可求解， （2）①用代数式，分表表示图3，图4中的面积，即可求解，②将，代入求出，根据长方形周长公式，即可求解， 本题考查了平方差公式，解题的关键是：用代数式表示出图形中的面积． 【详解】（1）解：由图1得：， 由图2得：， 根据面积相等，得到：， （2）解：①由图3得：， 由图4得：， 根据面积相等，得到：， ②∵，， ∴，解得：， 所以小长方形的周长为：． 4．[实践操作]王老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：______； (2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为．若，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，为定值 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用、整式的无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解答； （2）利用因式分解将化为，结合长方形面积公式画图即可；（3）设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关，据此求解即可． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为：， 方法2：图2中四部分的面积和为：， ∴． 故答案为：． （2）解：由，故如图所示： ； （3）解：设，设右上角阴影为，左下角阴影为， ∵， ∴ ＝， 若S为定值，则S将不随x的变化而变化， ∴时，即时，为定值． 5．[素质拓展]【例题讲解】 因式分解：． ∵为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即，展开等式右边得：， ∴恒成立． ∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即，解得， ∴． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则__________； (2)若有一个因式是，求k的值及另一个因式． 【答案】(1)1 (2)，另一个因式为：． 【分析】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键． （1）将展开，结合多项式的恒等关系即可求解； （2）设多项式另一个因式为，利用题干给出的待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， （2）设多项式另一个因式为， 则 ，，， ，， ，即另一个因式为：． 试卷第1页，共3页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $