满分压轴题：因式分解 优等生讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

满分压轴题：因式分解 优等生讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解因式分解的意义，掌握提公因式法、公式法、十字相乘法 · 熟练运用十字相乘法分解二次三项式x2+(p+q)x+pq · 掌握分组分解法，能根据多项式特点合理分组 · 会用配方法分解因式并求代数式最值 · 能运用因式分解解决整除、密码、几何面积等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.因式分解与提公因式法 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，与整式乘法互为逆运算 提公因式法：多项式各项都含有的公因式提到括号外，公因式系数取最大公约数，字母取最低次幂 分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止 常见错误：漏项（提取后括号内漏写1）、符号错误、分解不彻底 概念辨析例题：分解因式：2x2y-8xy+8y 解析：先提公因式2y，得2y(x2-4x+4)，再用完全平方公式=2y(x-2)2。 ☆ 2.十字相乘法 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，即将常数项拆成p×q，使p+q等于一次项系数 二次项系数不为1时，如ax2+bx+c，需十字交叉分解a和c 整体思想：把某个式子看作整体（如x2+5x），令A=x2+5x，对A二次三项式分解 看错系数问题：甲看错m说明n正确，乙看错n说明m正确，据此反推正确系数 概念辨析例题：若x2+kx+12=(x+a)(x+b)，a、b、k为整数，k不可能是？ 解析：ab=12，枚举整数对：(1,12)k=13、(2,6)k=8、(3,4)k=7、(-1,-12)k=-13等，6不在其中。 ☆ 3.分组分解法 四项式分组：二二分组（分组后提公因式）或三一分组（三项用完全平方，再与剩余项用平方差） 分组原则：分组后各组能提公因式或应用公式，且组间能继续分解 五项以上：先将二次项十字相乘，再与常数项继续十字相乘 分组分解常与公式法结合：a2-2ab+b2-c2=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c) 概念辨析例题：分解因式：x2-2xy+y2-1 解析：前三项一组=(x-y)2，再用平方差=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)。 ☆ 4.配方法与因式分解应用 配方法：加一项凑完全平方式再减该项，将多项式化为平方差形式分解 求最值：x2+px+q=(x+)2+q-，由平方项非负求最值 判断三角形形状：a2+b2+c2=ab+ac+bc两边乘2配方，得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 几何应用：a2-b2=(a+b)(a-b)（等面积法），a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)（等体积法） 概念辨析例题：用配方法分解x2-6x-27，并求最小值 解析：x2-6x-27=(x-3)2-36=(x-3+6)(x-3-6)=(x+3)(x-9)；当x=3时最小值-36。 📋 知识总结表 核心方法 公式/步骤 注意事项 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公因式要提尽，漏项补1 十字相乘法 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 拆常数项凑一次项，注意符号 分组分解法 二二分组或三一分组 分组后要能继续分解 公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2 先观察能否用公式 配方法 加项凑完全平方再减项 提取二次项系数后配方 立方差/和 a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2) 中间项符号与立方项相反 ⚠️ 核心考点 【考点1】十字相乘法（第1-12题） · x2+mx+n中，将n拆成p×q使p+q=m，结果=(x+p)(x+q) · 整数解问题：枚举n的所有整数因数对，计算p+q得m的所有可能值 · 看错系数题：甲看错m说明n正确（乙的常数项），乙看错n说明m正确（甲的一次项） · 整体换元：把(a2+3a)等看作整体A，对A二次三项式分解后再还原 1．（2025秋•黄浦区校级月考）若x2+kx+12＝（x+a）（x+b），且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．﹣13． 2．（2025•厦门自主招生）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　） A．1 B．4 C．11 D．12 3．（2025秋•上海校级期中）若x2+ax+16在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2025秋•杨浦区期中）已知p＝﹣m﹣n，q＝mn，那么关于x的整式x2+px+q因式分解的结果是（　　） A．（x+m）（x+n） B．（x﹣m）（x﹣n） C．（x+m）（x﹣n） D．（x﹣m）（x+n） 5．（2025秋•黄浦区校级月考）因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），那么x2+mx+n分解因式正确的结果为（　　） A．（x+3）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣3） C．（x+6）（x﹣2） D．（x+2）（x﹣6） 6．（2024秋•长宁区校级期中）已知x2+mx+n＝（x﹣a）（x+b），那么下列因式分解错误的是（　　） A．x2+mxy+ny＝（x﹣ay）（x+by） B．x2y2+mxy+n＝（xy﹣a）（xy+b） C．x4+mx2y+ny2＝（x2﹣ay）（x2+by） D．nx2+mx+1＝（﹣ax+1）（bx+1） 7．（2025秋•青浦区校级期中）如果2x2+px+q因式分解的结果为（x+3）（2x﹣1），那么p+q＝_____ ． 8．（2025秋•浦东新区校级期末）已知整式mx2+7x﹣20（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是2x+5，则另一个因式是_________ ． 9．（2025秋•闵行区校级期中）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为_______________ ． 10．（2025秋•黄浦区校级期末）因式分解：（a2+3a）2﹣9（a2+3a）+20． 11．（2025秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+5x）2+10（x2+5x）+24． 12．（2026春•二七区校级期中）阅读以下材料 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝_____________ ； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 【考点2】分组分解法（第13-24题） · 四项式二二分组：分组后各组提公因式，组间再提公因式 · 四项式三一分组：三项用完全平方，剩余一项写成平方，再用平方差 · 五项以上：先十字相乘分解二次项，再与常数项继续十字相乘 · 含字母指数：先提公因式yn，再对括号内十字相乘 13．（2025秋•黄浦区校级月考）用分组分解法将x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y） 14．（2024秋•宝山区期中）下列整式中不含有x+1这个因式的是（　　） A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1 C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1 15．（2026•松江区二模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝___________________ ． 16．（2025秋•闵行区期末）因式分解：1+2xy﹣x2﹣y2＝___________________ ． 17．（2025秋•虹口区校级期中）因式分解：2x2+9xy﹣5y2﹣2x+23y﹣12＝____________________ ． 18．（2025秋•闵行区校级期中）因式分解：yn+2﹣8yn+1+12yn＝_________________ ． 19．（2024秋•徐汇区校级同步）关于x，y的整系数二次多项式x2+xy﹣6y2﹣x﹣ky﹣6可以分解为两个一次多项式的积，则常数k＝ ___________ ． 20．（2025秋•金山区校级期末）因式分解： （1）x4﹣13x2+36； （2）6ab+4a+9b+6． 21．（2025秋•虹口区校级期中）因式分解：x2﹣3xz+6yz﹣4y2． 22．（2025秋•崇明区校级期中）因式分解： ①（a2+3a）2﹣8（a2+3a）+16； ②t4﹣4t2+4t﹣1． 23．（2024秋•嘉定区期末）分解因式：x3+3x2﹣4x﹣12． 24．（2024秋•静安区校级期中）因式分解：x2﹣8xy+16y2﹣3x+12y﹣10． 【考点3】因式分解的应用（第25-36题） · 整除问题：分解因式后观察因式中是否含固定因数（如(4x-3)2-1=8(2x-1)(x-1)） · 判断三角形形状：等式两边乘2配方，得平方和为0则三边相等 · 配方法求最值：化为a(x+m)2+k，a>0有最小值k，a<0有最大值k · 几何背景：等面积法验证平方差，等体积法验证立方差/和公式 25．（2025秋•闵行区校级期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取当x＝9，y＝9时，则各个因式的值是x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2取x＝11，y＝10时，用上述方法产生的密码不可能是（　　） A．113212 B．111232 C．123211 D．123011 26．（2025秋•浦东新区校级期中）对于任何正整数x，多项式（4x﹣3）2﹣1的值都能（　　） A．都能被x整除 B．都能被x+1整除 C．都能被2x+1整除 D．都能被8整除 27．（2024秋•宝山区期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC的形状为（　　） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 28．（2024秋•嘉定区校级期中）新定义：《a，b，c》为一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0，a，b，c为实数）的“共同体数”，如：x2+2x﹣1＝0的“共同体数”为《1，2，﹣1》，以下“共同体数”中能让一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根的是（　　） A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《n+1，2n，n﹣1》 D． 29．（2024秋•奉贤区期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b） 30．（2025秋•闵行区校级月考）阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 由上式可知：x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，因为不论x取何值，（x+1）2≥0，所以当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+2x﹣3的最小值是﹣4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27； （2）根据上面解题思路可知多项式x2﹣6x﹣27有最小值，即当x＝_____ 时，最小值是 ________ ． （3）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 31．（2025秋•黄浦区校级期末）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 原式＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． （1）用配方法分解因式：a2+2a﹣8； （2）当x为何值时，代数式﹣2x2﹣8x+5有最大值，并求出这个最大值； （3）求使得m2+m﹣5是完全平方数的所有整数m的积（直接写出答案）． 32．（2025秋•宝山区期末）【阅读理解】 如果一个正整数能表示成a2﹣b2（a、b是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： 22﹣12＝3， 32﹣12＝8，32﹣22＝5， 42﹣12＝15；42﹣22＝12；42﹣32＝7， … 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设m为正整数且m≥1，因为（m+1）2﹣m2＝m2+2m+1﹣m2＝2m+1， 所以2m+1这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16_____ “方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为2025＝（_________ ）2﹣（_________ ）2，所以2025是“方差数”； （2）已知M＝x2﹣y2+8x﹣6y+k（x、y是正整数且x≥y，k是常数），请写出k的值，使得不论x、y取何值，M都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 33．（2025秋•闵行区期末）材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式，可以计算： 因此，商式是5x2+3x﹣5，余式是﹣x+1． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若m＝n，则当x＝﹣1时，M的值为0；若m＝﹣n，则当x＝1时，M的值为0． 例如，对于一元整式x3﹣5x2+4，由m＝1、n＝﹣5+4＝﹣1得m＝﹣n，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0． 由此可以确定整式x3﹣5x2+4有因式x﹣1，于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）．分别确定p、q的值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就可以因式分解整式x3﹣5x2+4，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： （1）整式4x2+8x+3除以整式2x+1，商式是_________ ，余式是_____ ． （2）材料二中，p＝_______ ，q＝_______ ． （3）对于一元整式x3+8x2﹣11x﹣18，必定有当x＝_______ ，其值为0． （4）根据材料一和材料二，因式分解x3+8x2﹣11x﹣18＝____________________ ． 34．（2025秋•上海校级期中）阅读材料： 在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b）、ab（a﹣b）、a2（a﹣b）． （1）将图（3）中三块长方体体积和因式分解：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝ ____________________ ． （2）图（1）中立方体的体积和图（3）中三块长方体体积和相同，利用等体积法能得到等式：____________________ ． （3）利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣27＝ ___________________ ． （4）应用：若已知2a﹣3b＝3，ab＝1，则8a4b﹣27ab4的值． 35．（2025秋•普陀区期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为a的正方形，B种卡片是长、宽分别为a、b（a＞b）的长方形，C种卡片是边长为b的正方形． （1）小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解：2a2+5ab+2b2＝ _________________ ． （2）如图3，已知线段EF将长方形ABCD分成左右两个长方形，BE＝2a，EC＝3b． （i）小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形ABCD内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为S1，右下角的阴影部分面积为S2．当AB＞a时，S1﹣S2的值始终保持不变，a与b应满足怎样的数量关系？ （ii）小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形ABCD，求此时长方形ABCD的边长AB（用含a、b的代数式表示），并画出一种长方形ABCD内的卡片放置图． 36．（2025秋•松江区校级月考）[阅读材料] 进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位．十进制就是逢十进一，十六进制就是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．为了与十进制进行区分，我们常把X进制表示的数a写成（a）X． 类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数（1111）X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，所以（1111）X＝1×X0+1×X1+1×X2+1×X3即：（1111）X转化为的十进制表示的数为1×X0+1×X1+1×X2+1×X3如：（1111）2＝1×20+1×21+1×22+1×23＝15．（1111）5＝1×50+1×51+1×52+1×53＝156． 根据材料完成以下问题： （1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： （101011）2＝_______ ；（302）4＝_______ ；（257）8＝________ ； （2）若一个五进制的三位数（a4b）5与八进制三位数（ba4）8之和能被13整除（1≤a≤5，1≤b≤5，且a，b均为整数），求a的值； （3）若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，（mm1）6与（nn5）8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数，若不是，说明理由． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•双阳区校级期末）下列去括号或添括号的变形中，正确的一项是（　　） A．2a﹣（3b+c）＝2a﹣3b+c B．3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣1 C．a+2b﹣4c＝a+（2b﹣4c） D．m﹣n+b﹣a＝m（n+b﹣a） 【练习 2】（2026•蚌埠三模）分解因式：x3+x2﹣x﹣1＝（　　） A．（x﹣1）（x+1）2 B．（x+1）（x﹣1）2 C．（x﹣1）（x2﹣x+1） D．（x+1）（x2+x﹣1） 【练习 3】（2026秋•常宁市校级月考）因式分解x2﹣2xy﹣3y2，正确结果（　　） A．（x﹣3y）（x+y） B．（x+3y）（x﹣y） C．（x﹣3y）（x﹣y） D．（x+3y）（x+y） 【练习 4】（2025秋•上海期末）关于x的二次三项式x2+mx﹣6因式分解的结果为（x﹣3）（x+2），则m＝ _______ ． 【练习 5】（2025秋•虹口区校级月考）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得（x﹣1）（x+6）；小芳看错了n的值，分解得（x﹣2）（x+1），那么原式x2+mx+n正确分解为 _______________ ． 【练习 6】（2025秋•宝山区校级期中）因式分解：a2+3b﹣ab﹣3a＝_______________ ． 【练习 7】（2025秋•浦东新区期末）因式分解：x2﹣1﹣y2+2y． 【练习 8】（2025秋•松江区期末）因式分解：4﹣a2+4ab﹣4b2． 【练习 9】（2025秋•浦东新区校级期末）因式分解： （1）（4a+b）2﹣（3a﹣3b）2； （2）1﹣4x2﹣4y2+8xy； （3）（x2﹣x）2﹣10（x﹣x2）﹣24． 【练习 10】（2025秋•浦东新区校级期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值． 解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．因为（x﹣2）2≥0所以（x﹣2）2+1≥1 当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为_______ ； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米、（a+5）米，求这两块菜地的面积S甲和S乙的差并比较两块菜地的大小，并说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 因式分解步骤：一提（公因式）二套（公式）三分（组）四查（是否彻底） · 十字相乘关键：拆常数项凑一次项，注意正负号 · 分组分解优先尝试三一分组（完全平方+平方差） · 配方法：加上一次项系数一半的平方，再减去它 · 看错系数题：谁看错谁的那个系数不可信，另一个人的可信 【作业 1】（2024秋•杨浦区校级月考）下列各式因式分解正确的是（　　） A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 C． D．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2 【作业 2】（2025秋•虹口区校级月考）多项式x2﹣ax﹣10分解因式为（x+m）（x+n），其中a，m，n为整数，则a的取值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【作业 3】（2024秋•奉贤区期中）若x2+kx+16能分解成两个一次因式的积，且k为整数，那么k不可能是（　　） A．10 B．17 C．15 D．8 【作业 4】（2026春•裕华区校级期末）因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　） A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2 【作业 5】（2024秋•盐边县期末）下列因式分解正确的是（　　） A．3x3+2x2+x＝x（3x2+2x） B．9m2﹣1＝（9m+1）（9m﹣1） C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2 D．am﹣bm+2b﹣2a＝（m﹣2）（a﹣b） 【作业 6】（2025秋•浦东新区校级期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式x4﹣y4因式分解的结果为（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x＝9，y＝9时，各因式的值是x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式变9x3﹣xy2，取x＝12，y＝12时，密码不可能为（　　） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【作业 7】（2025秋•普陀区期末）因式分解： （1）（x2﹣3x）2﹣6（x2﹣3x）+8； （2）x2﹣x﹣3y﹣9y2． 【作业 8】（2025秋•金山区校级期中）因式分解： （1）2x2y﹣8xy+8y； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）； （3）a4﹣a2+4a﹣4； （4）（x2﹣2x）2﹣11（x2﹣2x）+24． 【作业 9】（2025秋•普陀区期末）因式分解：x2+2x2y﹣9﹣18y． 【作业 10】（2025秋•闵行区校级期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣a+3b． 【作业 11】（2025秋•虹口区校级期中）借助完全平方公式，可以将形如ax2+bx+c（a≠0）的关于x的整式变形为a（x+m）2+k的形式，a、b、c和m、k均为有理数，这种变形方法叫作对关于x的整式ax2+bx+c（a≠0）配方．如对整式2x2+4x﹣1配方，得2x2+4x﹣1＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1＝2（x+1）2﹣3． （1）对x2+38x﹣368配方，并利用配方结果因式分解； （2）借助配方，求当x取何值时整式3x2+9x+2有最小值，并写出最小值； （3）比较x2+4x﹣1和3x2﹣2x+4的大小，并说明理由． 【作业 12】（2025秋•杨浦区期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），这时就说（x﹣1）和（x+2）是x2+x﹣2的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断（x﹣a）这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式x2+x﹣2我们分别计算： 当x＝1时，原式＝12+1﹣2＝0，当x＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+（﹣2）﹣2＝0； 当我们把x＝1和x＝﹣2分别代入x2+x﹣2，整式x2+x﹣2的值都等于0，那么（x﹣1）和（x+2）就是整式x2+x﹣2的两个因式，通过归纳发现： 如果当x＝a时，一个整式的值等于0，那么（x﹣a）就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果（x﹣a）是整式的一个因式，那么当x＝a时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10． （1）请判断（x+1）是否是整式P的一个因式； （2）当整式P的一次项系数变为k时，而（x+1）仍是它的一个因式．求此时k的值； （3）请尝试将整式P进行因式分解． 【作业 13】（2025秋•普陀区校级期中）请完成以下题目： （1）如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①__________ ；方法②_______________ ．由此可以验证的乘法公式是 ____________________ ． （2）类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为b（b＜a）的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①__________ ；方法②____________________ ．由此可以得某个多项式因式分解的等式是 ____________________ ，并用所学过的知识说明这个等式成立． （3）结合并使用（2）得到的等式分解因式：8x3+y3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 满分压轴题：因式分解 优等生讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解因式分解的意义，掌握提公因式法、公式法、十字相乘法 · 熟练运用十字相乘法分解二次三项式x2+(p+q)x+pq · 掌握分组分解法，能根据多项式特点合理分组 · 会用配方法分解因式并求代数式最值 · 能运用因式分解解决整除、密码、几何面积等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.因式分解与提公因式法 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，与整式乘法互为逆运算 提公因式法：多项式各项都含有的公因式提到括号外，公因式系数取最大公约数，字母取最低次幂 分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止 常见错误：漏项（提取后括号内漏写1）、符号错误、分解不彻底 概念辨析例题：分解因式：2x2y-8xy+8y 解析：先提公因式2y，得2y(x2-4x+4)，再用完全平方公式=2y(x-2)2。 ☆ 2.十字相乘法 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，即将常数项拆成p×q，使p+q等于一次项系数 二次项系数不为1时，如ax2+bx+c，需十字交叉分解a和c 整体思想：把某个式子看作整体（如x2+5x），令A=x2+5x，对A二次三项式分解 看错系数问题：甲看错m说明n正确，乙看错n说明m正确，据此反推正确系数 概念辨析例题：若x2+kx+12=(x+a)(x+b)，a、b、k为整数，k不可能是？ 解析：ab=12，枚举整数对：(1,12)k=13、(2,6)k=8、(3,4)k=7、(-1,-12)k=-13等，6不在其中。 ☆ 3.分组分解法 四项式分组：二二分组（分组后提公因式）或三一分组（三项用完全平方，再与剩余项用平方差） 分组原则：分组后各组能提公因式或应用公式，且组间能继续分解 五项以上：先将二次项十字相乘，再与常数项继续十字相乘 分组分解常与公式法结合：a2-2ab+b2-c2=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c) 概念辨析例题：分解因式：x2-2xy+y2-1 解析：前三项一组=(x-y)2，再用平方差=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)。 ☆ 4.配方法与因式分解应用 配方法：加一项凑完全平方式再减该项，将多项式化为平方差形式分解 求最值：x2+px+q=(x+)2+q-，由平方项非负求最值 判断三角形形状：a2+b2+c2=ab+ac+bc两边乘2配方，得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 几何应用：a2-b2=(a+b)(a-b)（等面积法），a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)（等体积法） 概念辨析例题：用配方法分解x2-6x-27，并求最小值 解析：x2-6x-27=(x-3)2-36=(x-3+6)(x-3-6)=(x+3)(x-9)；当x=3时最小值-36。 📋 知识总结表 核心方法 公式/步骤 注意事项 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公因式要提尽，漏项补1 十字相乘法 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 拆常数项凑一次项，注意符号 分组分解法 二二分组或三一分组 分组后要能继续分解 公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2 先观察能否用公式 配方法 加项凑完全平方再减项 提取二次项系数后配方 立方差/和 a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2) 中间项符号与立方项相反 ⚠️ 核心考点 【考点1】十字相乘法（第1-12题） · x2+mx+n中，将n拆成p×q使p+q=m，结果=(x+p)(x+q) · 整数解问题：枚举n的所有整数因数对，计算p+q得m的所有可能值 · 看错系数题：甲看错m说明n正确（乙的常数项），乙看错n说明m正确（甲的一次项） · 整体换元：把(a2+3a)等看作整体A，对A二次三项式分解后再还原 1．（2025秋•黄浦区校级月考）若x2+kx+12＝（x+a）（x+b），且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．﹣13． 【分析】由等式右边展开得 x2+（a+b）x+ab，与左边比较系数，得 ab＝12 和 a+b＝k．由于 a、b 为整数，枚举所有整数对 （a，b） 满足 ab＝12，计算 k＝a+b，即可确定 k 的可能值． 【解答】解：若x2+kx+12＝（x+a）（x+b），且a、b、k均为整数， ∵x2+kx+12＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab， ∴比较系数，得 ab＝12，a+b＝k， ∵a、b 为整数，且 ab＝12， ∴所有整数对 （a，b） 为： （1，12），k＝13； （2，6），k＝8； （3，4），k＝7； （﹣1，﹣12），k＝﹣13； （﹣2，﹣6），k＝﹣8； （﹣3，﹣4），k＝﹣7． （其余对为重复值，略）， ∴k 的可能值为 13，8，7，﹣13，﹣8，﹣7． 选项A.6不在可能值中，故不可能． 故选：A． 【点评】本题考查的是多项式的整数解问题，灵活运用因式分解和整数的性质是解题的关键． 2．（2025•厦门自主招生）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　） A．1 B．4 C．11 D．12 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知m＝p+q，pq＝﹣12． 【解答】解：﹣12可以分成：﹣2×6，2×（﹣6），﹣1×12，1×（﹣12），3×（﹣4），﹣3×4， 而﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，3+（﹣4）＝﹣1，﹣3+4＝1， 因为11＞4＞1＞﹣1＞﹣4＞﹣11， 所以m最大＝p+q＝11． 故选：C． 【点评】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键． 3．（2025秋•上海校级期中）若x2+ax+16在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】利用十字相乘法进行求解即可． 【解答】解：当16＝1×16时，a＝1+16＝17， 当16＝﹣1×（﹣16）时，a＝﹣1﹣16＝﹣17， 当16＝2×8时，a＝2+8＝10， 当16＝﹣2×（﹣8）时，a＝﹣2+（﹣8）＝﹣2﹣8＝﹣10， 当16＝4×4时，a＝4+4＝8， 当16＝﹣4×（﹣4）时，a＝﹣4+（﹣4）＝﹣4﹣4＝﹣8， ∴a的值一共有6个． 故选：C． 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 4．（2025秋•杨浦区期中）已知p＝﹣m﹣n，q＝mn，那么关于x的整式x2+px+q因式分解的结果是（　　） A．（x+m）（x+n） B．（x﹣m）（x﹣n） C．（x+m）（x﹣n） D．（x﹣m）（x+n） 【分析】根据已知条件，将 p 和 q 代入多项式，然后利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：由条件可知多项式为x2+（﹣m﹣n）x+mn， ∴x2+px+q＝（x﹣m）（x﹣n）． 即x2+px+q因式分解结果为（x﹣m）（x﹣n）． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2025秋•黄浦区校级月考）因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），那么x2+mx+n分解因式正确的结果为（　　） A．（x+3）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣3） C．（x+6）（x﹣2） D．（x+2）（x﹣6） 【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m、n的值，最后求出答案即可． 【解答】解：（x﹣6）（x+2） ＝x2﹣6x+2x﹣12 ＝x2﹣4x﹣12， （x+8）（x﹣4） ＝x2﹣4x+8x﹣32 ＝x2+4x﹣32， ∵因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4）， ∴n＝﹣12，m＝4， ∴x2+mx+n ＝x2+4x﹣12 ＝（x+6）（x﹣2）， 故选：C． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等． 6．（2024秋•长宁区校级期中）已知x2+mx+n＝（x﹣a）（x+b），那么下列因式分解错误的是（　　） A．x2+mxy+ny＝（x﹣ay）（x+by） B．x2y2+mxy+n＝（xy﹣a）（xy+b） C．x4+mx2y+ny2＝（x2﹣ay）（x2+by） D．nx2+mx+1＝（﹣ax+1）（bx+1） 【分析】利用多项式乘多项式的运算法则进行计算，即可得出答案． 【解答】解：A．x2+mxy+ny＝（x﹣ay）（x+by）＝x2+（b﹣a）xy﹣aby2，故选项A错误； B．x2y2+mxy+n＝（xy﹣a）（xy+b）＝x2y2+（b﹣a）xy﹣ab，故选项B正确； C．x4+mx2y+ny2＝（x2﹣ay）（x2+by）＝x4+（b﹣a）x2y﹣aby2，故选项C正确； D．nx2+mx+1＝（﹣ax+1）（bx+1）＝﹣abx2+（b﹣a）x+1，故选项D正确． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘，多项式乘多项式的运算，熟练掌握因式分解的方法，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 7．（2025秋•青浦区校级期中）如果2x2+px+q因式分解的结果为（x+3）（2x﹣1），那么p+q＝　2　 ． 【分析】将（x+3）（2x﹣1）展开后与2x2+px+q比较求出p＝5，q＝﹣3，然后代入求解． 【解答】解：（x+3）（2x﹣1）＝2x2﹣x+6x﹣3＝2x2+5x﹣3， ∵2x2+px+q＝2x2+5x﹣3， ∴p＝5，q＝﹣3， ∴p+q＝5+（﹣3）＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2025秋•浦东新区校级期末）已知整式mx2+7x﹣20（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是2x+5，则另一个因式是　3x﹣4　 ． 【分析】设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【解答】解：设另一个因式为ax+b，则（2x+5）（ax+b）＝mx2+7x﹣20． ∴（2x+5）（ax+b）＝mx2+7x﹣20． ∴对于常数项，5b＝﹣20，解得b＝﹣4； 对于一次项系数，2b+5a＝7，代入b＝﹣4得﹣8+5a＝7，解得a＝3． ∴另一个因式为3x﹣4． 故答案为：3x﹣4． 【点评】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2025秋•闵行区校级期中）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为　（x﹣6）（x+2）　 ． 【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：因式分解x2+ax+b时， ∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2）， ∴b＝6×（﹣2）＝﹣12， 又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4）， ∴a＝﹣8+4＝﹣4， ∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12， 因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）， 故答案为：（x﹣6）（x+2）． 【点评】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键． 10．（2025秋•黄浦区校级期末）因式分解：（a2+3a）2﹣9（a2+3a）+20． 【分析】先将a2+3a看作一个整体，把原式转化为关于该整体的二次三项式，用十字相乘法分解；再对分解后得到的因式中可继续分解的部分，再次用十字相乘法分解，直至所有因式在有理数范围内均不能再分解． 【解答】解：（a2+3a）2﹣9（a2+3a）+20 ＝（a2+3a﹣4）（a2+3a﹣5） ＝（a+4）（a﹣1）（a2+3a﹣5）． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 11．（2025秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+5x）2+10（x2+5x）+24． 【分析】先把原式看作关于（x2+5x）的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式． 【解答】解：原式＝[（x2+5x）+6][（x2+5x）+4] ＝（x+3）（x+2）（x+4）（x+1）． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等，利用画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．熟练掌握x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解是解决问题的关键．也考查了提公因式法与公式法． 12．（2026春•二七区校级期中）阅读以下材料 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　（x﹣y﹣1）2 ； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 【分析】（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝A2﹣2A+1（A﹣1）2，再将“A”还原，得原式＝（x﹣y﹣1）2； （2）将“a2﹣4a”看成整体，令a2﹣4a＝A，则原式＝（A+2）（A+6）+4＝A2+8A+12+4＝（A+4）2，再将“A”还原，得：原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4； （3）先由（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17，运用整体思想，再即可得到式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 【解答】（1）解：令x﹣y＝A， 原式＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2， 将“A”还原，得原式＝（x﹣y﹣1）2； 故答案为：（x﹣y﹣1）2； （2）解：令 a2﹣4a＝A， 原式＝（A+2）（A+6）+4 ＝A2+8A+12+4 ＝（A+4）2， 将“A”还原，得： 原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4； （3）证明：令 n2﹣2n＝A， 原式＝（A﹣3）（A+5）+17 ＝A2+2A﹣15+17 ＝A2+2A+2 ＝（A+1）2+1， 将 A＝n2﹣2n 还原， 原式＝（n2﹣2n+1）2+1＝（n﹣1）4+1， 因为无论n为何值 （n﹣1）4≥0， 所以 （n﹣1）4+1≥1 即式子 （n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17 的值一定是一个不小于1的数． 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 【考点2】分组分解法（第13-24题） · 四项式二二分组：分组后各组提公因式，组间再提公因式 · 四项式三一分组：三项用完全平方，剩余一项写成平方，再用平方差 · 五项以上：先十字相乘分解二次项，再与常数项继续十字相乘 · 含字母指数：先提公因式yn，再对括号内十字相乘 13．（2025秋•黄浦区校级月考）用分组分解法将x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y） 【分析】根据分组分解法解决本题． 【解答】解：A．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣2x）+（2y﹣xy）＝x（x﹣2）﹣y（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣y），那么A分组正确，故A不符合题意． B．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣xy）+（2y﹣2x）＝（x2﹣xy）﹣（2x﹣2y）＝x（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣2），那么B分组正确，故B不符合题意． C．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2+2y）+（﹣xy﹣2x）无法进行分组分解，那么C分组错误，故C符合题意． D．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）＝x（x﹣2）﹣y（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣y），那么D分组正确，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解决本题的关键． 14．（2024秋•宝山区期中）下列整式中不含有x+1这个因式的是（　　） A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1 C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1 【分析】将每个选项进行因式分解，即可作出判断． 【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意； B、x4﹣x3+x2﹣1＝（x4﹣x3）+（x2﹣1）＝x3（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（x3+x+1），不含有因式x+1，故此选项符合题意； C、x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1），含有因式x+1，故此选项不符合题意； D、x4﹣x3﹣x2﹣1＝（x4﹣x2）﹣（x3+1）＝x2（x2﹣1）﹣（x3+1）＝x2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）（x2﹣x+1）＝（x+1）（x3﹣x2﹣x2+x﹣1）＝（x+1）（x3﹣2x2+x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 15．（2026•松江区二模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝　（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）　 ． 【分析】前三项一组，利用完全平方公式分解因式，然后再与第四项利用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：x2﹣2xy+y2﹣1， ＝（x2﹣2xy+y2）﹣1， ＝（x﹣y）2﹣1， ＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）． 【点评】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解． 16．（2025秋•闵行区期末）因式分解：1+2xy﹣x2﹣y2＝　（1+x﹣y）（1﹣x+y）　 ． 【分析】先分组，再根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 【解答】解：1+2xy﹣x2﹣y2 ＝1﹣（x2﹣2xy+y2） ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）； 故答案为：（1+x﹣y）（1﹣x+y）． 【点评】本题主要考查因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 17．（2025秋•虹口区校级期中）因式分解：2x2+9xy﹣5y2﹣2x+23y﹣12＝　（2x﹣y+4）（x+5y﹣3）　 ． 【分析】先把前三项用十字相乘法分解，再利用十字相乘法分解． 【解答】解：2x2+9xy﹣5y2﹣2x+23y﹣12 ＝（2x﹣y）（x+5y）﹣2x+23y﹣12 ＝（2x﹣y+4）（x+5y﹣3）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键． 18．（2025秋•闵行区校级期中）因式分解：yn+2﹣8yn+1+12yn＝yn（y﹣2）（y﹣6）　 ． 【分析】观察表达式，先提取公因式yn，再利用十字相乘法进行分解即可． 【解答】解：原式＝yn（y2﹣8y+12）＝yn（y﹣2）（y﹣6）． 故答案为：yn（y﹣2）（y﹣6）． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，因式分解﹣提公因式法，掌握因式分解的方法是关键． 19．（2024秋•徐汇区校级同步）关于x，y的整系数二次多项式x2+xy﹣6y2﹣x﹣ky﹣6可以分解为两个一次多项式的积，则常数k＝ 　﹣12或13　 ． 【分析】把二次项分一组，一次项分一组，常数项分一组，再把二次项分解和常数项分解，利用十字相乘法使x的系数为﹣1，从而得到y的系数．于是确定k的值． 【解答】解：x2+xy﹣6y2﹣x﹣ky﹣6＝（x+3y）（x﹣2y）﹣（x+ky）﹣6， ∵关于x，y的整系数二次多项式x2+xy﹣6y2﹣x﹣ky﹣6可以分解为两个一次多项式的积， ∴x2+xy﹣6y2﹣x﹣ky﹣6＝[（x+3y）﹣3][（x﹣2y）+2]或x2+xy﹣6y2﹣x﹣ky﹣6＝[（x+3y）+2][（x﹣2y）﹣3] ∴[（x+3y）﹣3][（x﹣2y）+2]＝x2+xy﹣6y2﹣x+12y﹣6或[（x+3y）+2][（x﹣2y）﹣3]＝x2+xy﹣6y2﹣x+12y﹣6， ∴k＝﹣12或13 故答案为：﹣12或13 【点评】本题考查了分解因式﹣分组分解：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 20．（2025秋•金山区校级期末）因式分解： （1）x4﹣13x2+36； （2）6ab+4a+9b+6． 【分析】（1）根据十字相乘法分解成（x2﹣4）（x2﹣9），再根据平方差公式分解即可； （2）先分组分解，再提取公因式即可． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣4）（x2﹣9） ＝（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）； （2）原式＝2a（3b+2）+3（3b+2） ＝（2a+3）（3b+2）． 【点评】本题考查了因式分解．熟练掌握该知识点是关键． 21．（2025秋•虹口区校级期中）因式分解：x2﹣3xz+6yz﹣4y2． 【分析】整式先一四、二三项分组，提取公因式，再利用提公因式法分解． 【解答】解：x2﹣3xz+6yz﹣4y2 ＝x2﹣4y2﹣3xz+6yz ＝（x+2y）（x﹣2y）﹣3z（x﹣2y） ＝（x﹣2y）（x+2y﹣3z）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和分组分解法是解决本题的关键． 22．（2025秋•崇明区校级期中）因式分解： ①（a2+3a）2﹣8（a2+3a）+16； ②t4﹣4t2+4t﹣1． 【分析】①先运用完全平方公式进行因式分解，然后运用十字相乘法进行因式分解即可． ②分组后，先利用完全平方公式进行因式分解，然后运用平方差公式进行因式分解，最后再运用完全平方公式进行因式分解． 【解答】解：①（a2+3a）2﹣8（a2+3a）+16； ＝（a2+3a﹣4）2 ＝（a+4）2（a﹣1）2． ②t4﹣4t2+4t﹣1 ＝t4﹣（4t2﹣4t+1） ＝t4﹣（2t﹣1）2 ＝（t2+2t﹣1）（t2﹣2t+1） ＝（t2+2t﹣1）（t﹣1）2． 【点评】本题主要考查了利用分组分解法进行因式分解，运用公式法进行因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 23．（2024秋•嘉定区期末）分解因式：x3+3x2﹣4x﹣12． 【分析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式． 【解答】解：x3+3x2﹣4x﹣12 ＝x2（x+3）﹣4（x+3） ＝（x+3）（x2﹣4） ＝（x+3）（x+2）（x﹣2）． 【点评】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键． 24．（2024秋•静安区校级期中）因式分解：x2﹣8xy+16y2﹣3x+12y﹣10． 【分析】前三项利用十字相乘法分解，再将（x﹣4y）看作整体，然后利用十字相乘法分解继续分解即可． 【解答】解：原式＝（x﹣4y）2﹣3（x﹣4y）﹣10 ＝（x﹣4y﹣5）（x﹣4y+2）． 【点评】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解的方法是关键． 【考点3】因式分解的应用（第25-36题） · 整除问题：分解因式后观察因式中是否含固定因数（如(4x-3)2-1=8(2x-1)(x-1)） · 判断三角形形状：等式两边乘2配方，得平方和为0则三边相等 · 配方法求最值：化为a(x+m)2+k，a>0有最小值k，a<0有最大值k · 几何背景：等面积法验证平方差，等体积法验证立方差/和公式 25．（2025秋•闵行区校级期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取当x＝9，y＝9时，则各个因式的值是x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2取x＝11，y＝10时，用上述方法产生的密码不可能是（　　） A．113212 B．111232 C．123211 D．123011 【分析】根据题中范例的提示，先提取公因式，再运用平方差公式因式分解，得到x（2x﹣y）（2x+y），可得到六种密码排列，即可判断答案． 【解答】解：∵4x3﹣xy2＝x（2x﹣y）（2x+y），且x＝11，y＝10， ∴x＝11，2x﹣y＝12，2x+y＝32， ∴组成的密码应包含11，12，32， ∴密码共有6种：111232，113212，121132，123211，321112，321211， ∴不能组成的密码为123011． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，用提取公因式法和平方差公式因式分解，熟练掌握用提取公因式法和平方差公式因式分解是解题的关键． 26．（2025秋•浦东新区校级期中）对于任何正整数x，多项式（4x﹣3）2﹣1的值都能（　　） A．都能被x整除 B．都能被x+1整除 C．都能被2x+1整除 D．都能被8整除 【分析】熟练运用平方差公式分解因式，然后提取公因式，发现多项式（4x﹣3）2﹣1的值都能被8整除． 【解答】解：（4x﹣3）2﹣1 ＝（4x﹣3+1）（4x﹣3﹣1） ＝（4x﹣2）（4x﹣4） ＝2（2x﹣1）×4（x﹣1） ＝8（2x﹣1）（x﹣1）， 所以（4x﹣3）2﹣1能被8整除． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用平方差公式计算． 27．（2024秋•宝山区期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC的形状为（　　） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】欲判断三角形的形状，不妨试着从边的关系出发，求出a、b、c之间的关系；给等式a2+b2+c2＝ab+ac+bc两边同时乘以2，再利用完全平方公式进行配方，可得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0；接下来根据非负数的性质可得答案． 【解答】解：∵a2+b2+c2＝ab+ac+bc， ∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc， ∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC的形状为等边三角形． 故选：B． 【点评】考查学生综合运用数学知识的能力．此题是一道把等边三角形的判定、因式分解和非负数的性质结合求解的综合题． 28．（2024秋•嘉定区校级期中）新定义：《a，b，c》为一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0，a，b，c为实数）的“共同体数”，如：x2+2x﹣1＝0的“共同体数”为《1，2，﹣1》，以下“共同体数”中能让一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根的是（　　） A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《n+1，2n，n﹣1》 D． 【分析】根据根的判别式判断即可． 【解答】解：A、当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程ax2+bx+c＝0为3x2+2x+1＝0， ∵Δ＝22﹣4×3×1＝﹣10＜0， ∴方程3x2+2x+1＝0无实数根，故不符合题意； B、当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程ax2+bx+c＝0为3x2+4x+5＝0， ∵Δ＝42﹣4×3×5＝﹣44＜0， ∴方程3x2+4x+5＝0无实数根，故不符合题意； C、当“共同体数”为《n+1，2n，n﹣1》时，一元二次方程ax2+bx+c＝0为（n+1）x2+2nx+（n﹣1）＝0， ∵Δ＝（2n）2﹣4×（n+1）（n﹣1）＝4＞0， ∴方程（n+1）x2+2nx+（n﹣1）＝0有两个不相等实数根，故符合题意； D、当“共同体数”为《m，m，m》时，一元二次方程ax2+bx+c＝0为mx2+mx+（m）＝0， ∵Δ＝m2﹣4×m（m）＝﹣3m2﹣4＜0， ∴方程mx2+mx+（m）＝0无实数根，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 29．（2024秋•奉贤区期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b） 【分析】第一个图形中阴影部分的面积是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等． 【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式． 30．（2025秋•闵行区校级月考）阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 由上式可知：x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，因为不论x取何值，（x+1）2≥0，所以当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+2x﹣3的最小值是﹣4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27； （2）根据上面解题思路可知多项式x2﹣6x﹣27有最小值，即当x＝　3　 时，最小值是 　﹣36　 ． （3）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到a＝b＝c，即可解答． 【解答】解：（1）x2﹣6x﹣27 ＝（x2﹣6x+9）﹣36 ＝（x﹣3）2﹣36 ＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6） ＝（x+3）（x﹣9）． （2）x2﹣6x﹣27 ＝（x2﹣6x+9）﹣36 ＝（x﹣3）2﹣36， 当x＝3时，x2﹣6x﹣27最小值为﹣36． 故答案为：3；﹣36； （3）△ABC的形状是等边三角形，理由如下： ∵2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0 ∴2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0， 利用拆项得：（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0， 即：（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是a﹣b＝0，a﹣c＝0， 所以可以得到a＝b＝c，即：△ABC的形状是等边三角形． 【点评】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． 31．（2025秋•黄浦区校级期末）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 原式＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． （1）用配方法分解因式：a2+2a﹣8； （2）当x为何值时，代数式﹣2x2﹣8x+5有最大值，并求出这个最大值； （3）求使得m2+m﹣5是完全平方数的所有整数m的积（直接写出答案）． 【分析】（1）通过配方法构造平方差形式，再利用平方差公式完成因式分解； （2）先提取二次项系数，对括号内式子配方后，结合二次项系数的正负判断最值的存在条件与取值； （3）通过设完全平方数为整数平方的形式，配方后转化为整数因数分解问题，枚举所有可能的因数对求出整数m，再计算乘积． 【解答】解：（1）a2+2a﹣8 ＝（a2+2a+1）﹣1﹣8 ＝（a+1）2﹣9 ＝（a+4）（a﹣2）； （2）﹣2x2﹣8x+5＝﹣2（x2+4x）+5 ＝﹣2[（x2+4x+4）﹣4]+5 ＝﹣2[（x+2）2﹣4]+5 ＝﹣2（x+2）2+13， ∴当（x+2）2＝0即x＝﹣2时，代数式有最大值，最大值为13； （3）设m2+m﹣5＝k2（k为非负整数）， 配方得：， 两边乘4整理得：（2m+1﹣2k）（2m+1+2k）＝21， ∴2m+1﹣2k和2m+1+2k均为整数，且为21的整数因数对，且2m+1﹣2k≤2m+1+2k， 21的整数因数对为：（1，21）、（3，7）、（﹣21，﹣1）、（﹣7，﹣3），分情况求解： ①当，两式相加得2（2m+1）＝22，解得m＝5； ②当，两式相加得2（2m+1）＝10，解得m＝2； ③当，两式相加得2（2m+1）＝﹣22，解得m＝﹣6； ④当，两式相加得2（2m+1）＝﹣10，解得m＝﹣3； 所有整数m为5、2、﹣6、﹣3，它们的积为5×2×（﹣6）×（﹣3）＝180． 【点评】本题考查配方法的综合应用，涵盖因式分解、代数式最值求解、完全平方数的整数解探究，关键是通过配方法将代数式转化为完全平方式，结合平方差公式、非负数性质或整数因数分解求解． 32．（2025秋•宝山区期末）【阅读理解】 如果一个正整数能表示成a2﹣b2（a、b是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： 22﹣12＝3， 32﹣12＝8，32﹣22＝5， 42﹣12＝15；42﹣22＝12；42﹣32＝7， … 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设m为正整数且m≥1，因为（m+1）2﹣m2＝m2+2m+1﹣m2＝2m+1， 所以2m+1这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16　是　 “方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为2025＝（　1013　 ）2﹣（　1012　 ）2，所以2025是“方差数”； （2）已知M＝x2﹣y2+8x﹣6y+k（x、y是正整数且x≥y，k是常数），请写出k的值，使得不论x、y取何值，M都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 【分析】根据“方差数”的定义进行解答即可． 【解答】解：（1）①∵52﹣32＝16， ∴16是“方差数”； ②∵2025＝10132﹣10122， ∴2025是“方差数”． 故答案为：①是；②1013，1012； （2）当k＝7时，不论x、y取何值，M都是“方差数”，理由如下： ∵x、y是正整数且x≥y， ∴x+4和y+3都是正整数，且x+4＞y+3． ∵M＝x2﹣y2+8x﹣6y+k ＝（x2+8x+16）﹣（y2+6y+9）+k﹣16+9 ＝（x+4）2﹣（y+3）2+k﹣7， 若不论x、y取何值，M都是“方差数”，则k﹣7＝0，即k＝7． 此时，M＝（x+4）2﹣（y+3）2满足“方差数”的定义， ∴当k＝7时，无论不论x、y取何值，M都是“方差数”； （3）能． 设m为正整数且m≥1，则（m+2）2﹣m2＝m2+4m+4﹣m2＝4m+4＝4（m+1）， 所以4（m+1）这样的数都是“方差数”，即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”． （4）由题意和（3）可知，所有奇数（1除外）都是“方差数”，所有4的倍数（4除外）都是“方差数”， 所以40到50之间（不包含40和50）的所有“方差数”是：41，43，44，45，47，48，49． 【点评】本题主要考查了新定义“方差数”的理解与应用，因式分解的应用，解题的关键是理解新定义运算． 33．（2025秋•闵行区期末）材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式，可以计算： 因此，商式是5x2+3x﹣5，余式是﹣x+1． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若m＝n，则当x＝﹣1时，M的值为0；若m＝﹣n，则当x＝1时，M的值为0． 例如，对于一元整式x3﹣5x2+4，由m＝1、n＝﹣5+4＝﹣1得m＝﹣n，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0． 由此可以确定整式x3﹣5x2+4有因式x﹣1，于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）．分别确定p、q的值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就可以因式分解整式x3﹣5x2+4，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： （1）整式4x2+8x+3除以整式2x+1，商式是　2x+3　 ，余式是　0　 ． （2）材料二中，p＝　﹣4　 ，q＝　﹣4　 ． （3）对于一元整式x3+8x2﹣11x﹣18，必定有当x＝　﹣1　 ，其值为0． （4）根据材料一和材料二，因式分解x3+8x2﹣11x﹣18＝　（x+1）（x+9）（x﹣2）　 ． 【分析】（1）根据长除法即可求解； （2）根据长除法确定整式x3﹣5x2+4除以整式x﹣1的商式，即可确定p、q的值； （3）根据材料二的内容即可求解； （4）由（3）得，整式x3+8x2﹣11x﹣18有因式x+1，再利用长除法确定整式x3+8x2﹣11x﹣18除以整式x+1的商式，得到x3+8x2﹣11x﹣18＝（x+1）（x2+7x﹣18），再利用十字相乘法因式分解x2+7x﹣18，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据长除法求解可得： 因此，商式是2x+3，余式是0． 故答案为：2x+3；0； （2）根据长除法求解可得： 因此，商式是x2﹣4x﹣4，余式是0． 则x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2﹣4x﹣4） 所以p＝﹣4，q＝﹣4． 故答案为：﹣4；﹣4； （3）对于一元整式x3+8x2﹣11x﹣18， 由m＝1﹣11＝﹣10、n＝8﹣18＝﹣10得m＝n， 所以把x＝﹣1代入整式x3+8x2﹣11x﹣18，得其值为0． 故答案为：﹣1； （4）由（3）得整式x3+8x2﹣11x﹣18有因式x+1， 整式x3+8x2﹣11x﹣18除以整式x+1的长除法如下： 因此，商式是x2+7x﹣18，余式是0． 则x3+8x2﹣11x﹣18＝（x+1）（x2+7x﹣18）， 又因为x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）， 所以x3+8x2﹣11x﹣18＝（x+1）（x+9）（x﹣2） 故答案为：（x+1）（x+9）（x﹣2）． 【点评】本题考查了整式的除法，因式分解的应用，理解题意是解题的关键． 34．（2025秋•上海校级期中）阅读材料： 在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b）、ab（a﹣b）、a2（a﹣b）． （1）将图（3）中三块长方体体积和因式分解：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝ 　（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ． （2）图（1）中立方体的体积和图（3）中三块长方体体积和相同，利用等体积法能得到等式：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ． （3）利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣27＝ 　（x﹣3）（x2+3x+9）　 ． （4）应用：若已知2a﹣3b＝3，ab＝1，则8a4b﹣27ab4的值． 【分析】（1）根据提公因式法可得； （2）由（1）可得，立体图形体积等于图3的三个立体图形的体积和，可得立体图形体积关系是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）； （3）根据a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），可进一步分解因式； （4）根据上述公式进行因式分解，同时运用完全平方公式进行变形可得． 【解答】解：（1）根据提公因式法，原式分解因式＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）； （2）图（1）中立方体的体积可表示为a3﹣b3； 图（1）中立方体的体积也可表示为a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b），即（a﹣b）（a2+ab+b2）； 则a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）； （3）x3﹣27＝x3﹣33＝（x﹣3）（x2+3x+9）； （4）因为2a﹣3b＝3，ab＝1， 所以8a4b﹣27ab4＝ab[（2a）3﹣（3b）3]＝ab（2a﹣3b）（4a2+6ab+9b2） ＝ab（2a﹣3b）[（2a﹣3b）2+18ab] ＝1×3×（32+18×1） ＝3×27＝81， 故答案为：81． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，立方差公式的几何背景，乘法公式在因式分解中的应用，正方体的体积公式等，理解题意，熟练掌握因式分解的方法与技巧，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． 35．（2025秋•普陀区期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为a的正方形，B种卡片是长、宽分别为a、b（a＞b）的长方形，C种卡片是边长为b的正方形． （1）小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解：2a2+5ab+2b2＝ 　（2a+b）（a+2b）　 ． （2）如图3，已知线段EF将长方形ABCD分成左右两个长方形，BE＝2a，EC＝3b． （i）小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形ABCD内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为S1，右下角的阴影部分面积为S2．当AB＞a时，S1﹣S2的值始终保持不变，a与b应满足怎样的数量关系？ （ii）小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形ABCD，求此时长方形ABCD的边长AB（用含a、b的代数式表示），并画出一种长方形ABCD内的卡片放置图． 【分析】（1）根据小部分的面积相加等于长方形整体面积来因式分解； （2）（i）根据面积公式表示S1﹣S2，由其值与x无关得x系数为 0，进而求解； （ii）设AB＝ma+nb，结合卡片数量列方程组求解． 【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）； 故答案为：（2a+b）（a+2b）； （2）设AB＝x， （i）由图4可知，，， ， 因为当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变， 即x的系数为0， 所以2a﹣3b＝0； （ii）设AB＝ma+nb， AB•BC＝（ma+nb）（2a+3b）＝2ma2+（3m+2n）ab+3nb2， 因为用了B种卡片7张，A、C种卡片共8张． ， ∴AB＝a+2b， 作图如图所示：． 【点评】本题考查因式分解的应用，多项式运算与代数方程应用，解题关键是通过面积分析和方程组求解建立关系． 36．（2025秋•松江区校级月考）[阅读材料] 进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位．十进制就是逢十进一，十六进制就是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．为了与十进制进行区分，我们常把X进制表示的数a写成（a）X． 类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数（1111）X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，所以（1111）X＝1×X0+1×X1+1×X2+1×X3即：（1111）X转化为的十进制表示的数为1×X0+1×X1+1×X2+1×X3如：（1111）2＝1×20+1×21+1×22+1×23＝15．（1111）5＝1×50+1×51+1×52+1×53＝156． 根据材料完成以下问题： （1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： （101011）2＝　43　 ；（302）4＝　50　 ；（257）8＝　175　 ； （2）若一个五进制的三位数（a4b）5与八进制三位数（ba4）8之和能被13整除（1≤a≤5，1≤b≤5，且a，b均为整数），求a的值； （3）若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，（mm1）6与（nn5）8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数，若不是，说明理由． 【分析】（1）（101011）2＝1×25+1×23+1×21+1×20＝43，（302）4＝3×42+2×40＝50，（257）7＝2×82+5×81+7×80＝175； （2）由（a4b）5＝a×52+4×51+b×50＝25a+20+b，（ba4）8＝b×82+a×81+4×80＝64b+8a+4，可得（a4b）5+（ba4）8＝25a+20+b+64b+8a+4＝33a+65b+24能被13整除，则33a+24能被13整除，由a的取值范围，确定a的具体值即可； （3）（mm1）6＝m×62+m×61+1×60＝42m+1，（nn5）8＝n×82+n×81+5×80＝72n+5，则有（mm1）6+（nn5）8＝42m+72n+6＝666，得到7m+12n＝110，在讨论m与n的值即可． 【解答】解：（1）（101011）2＝1×25+1×23+1×21+1×20＝43， （302）4＝3×42+2×40＝50， （257）8＝2×82+5×81+7×80＝175； 故答案为：43，50，175； （2）（a4b）5＝a×52+4×51+b×50＝25a+20+b， （ba4）8＝b×82+a×81+4×80＝64b+8a+4， ∴（a4b）5+（ba4）8＝25a+20+b+64b+8a+4＝33a+65b+24能被13整除， ∴33a+24能被13整除， ∵1≤a≤5， ∴a＝4； （3）不是，理由如下： （mm1）6＝m×62+m×61+1×60＝42m+1， （nn5）8＝n×82+n×81+5×80＝72n+5， ∴（mm1）6+（nn5）8＝42m+72n+6＝666， ∴7m+12n＝110， ∵1≤m≤5，1≤n≤7， ∴m＝2，n＝8， ∴（mm1）6与（nn5）8不互为“如意数”． 【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•双阳区校级期末）下列去括号或添括号的变形中，正确的一项是（　　） A．2a﹣（3b+c）＝2a﹣3b+c B．3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣1 C．a+2b﹣4c＝a+（2b﹣4c） D．m﹣n+b﹣a＝m（n+b﹣a） 【分析】直接利用去括号以及添括号法则，分别判断得出答案． 【解答】解：A.2a﹣（3b+c）＝2a﹣3b﹣c，故此选项不合题意； B.3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣2，故此选项不合题意； C．a+2b﹣4c＝a+（2b﹣4c），故此选项符合题意； D．m﹣n+b﹣a＝m﹣（n﹣b+a），故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了去括号以及添括号，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【练习 2】（2026•蚌埠三模）分解因式：x3+x2﹣x﹣1＝（　　） A．（x﹣1）（x+1）2 B．（x+1）（x﹣1）2 C．（x﹣1）（x2﹣x+1） D．（x+1）（x2+x﹣1） 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【解答】解：原式＝x2（x+1）﹣（x+1） ＝（x+1）（x2﹣1） ＝（x﹣1）（x+1）2． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 【练习 3】（2026秋•常宁市校级月考）因式分解x2﹣2xy﹣3y2，正确结果（　　） A．（x﹣3y）（x+y） B．（x+3y）（x﹣y） C．（x﹣3y）（x﹣y） D．（x+3y）（x+y） 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+y）． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 【练习 4】（2025秋•上海期末）关于x的二次三项式x2+mx﹣6因式分解的结果为（x﹣3）（x+2），则m＝ 　﹣1　 ． 【分析】把（x﹣3）（x+2）展开得到x2+mx﹣6＝x2﹣x﹣6，从而可确定m的值． 【解答】解：∵x2+mx﹣6＝（x﹣3）（x+2）， ∴x2+mx﹣6＝x2﹣x﹣6， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等，利用画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．熟练掌握x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解是解决问题的关键． 【练习 5】（2025秋•虹口区校级月考）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得（x﹣1）（x+6）；小芳看错了n的值，分解得（x﹣2）（x+1），那么原式x2+mx+n正确分解为 　（x﹣3）（x+2）　 ． 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可． 【解答】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∵小刚看错了m的值， ∴n＝﹣6； （x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2， ∵小芳看错了n的值， ∴m＝﹣1． ∴x2+mx+n ＝x2﹣x﹣6 ＝（x﹣3）（x+2）． 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键． 【练习 6】（2025秋•宝山区校级期中）因式分解：a2+3b﹣ab﹣3a＝　（a﹣3）（a﹣b）　 ． 【分析】利用分组分解法，将原式重新组合为（a2﹣3a）+（3b﹣ab），再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式﹣b，再应用提公因式法分解即可． 【解答】解：根据题意可知，根据分组分解法进行因式分解， 原式＝（a2﹣3a）+（3b﹣ab） ＝a（a﹣3）﹣b（a﹣3） ＝（a﹣3）（a﹣b）． 故答案为：（a﹣3）（a﹣b）． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 【练习 7】（2025秋•浦东新区期末）因式分解：x2﹣1﹣y2+2y． 【分析】先进行分组，再利用完全平方公式，平方差公式因式分解即可． 【解答】解：x2﹣1﹣y2+2y ＝x2﹣（y2﹣2y+1） ＝x2﹣（y﹣1）2 ＝（x﹣y+1）（x+y﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解的运用，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 【练习 8】（2025秋•松江区期末）因式分解：4﹣a2+4ab﹣4b2． 【分析】先分组，再完全平方公式分解因式、最后用平方差公式分解因式． 【解答】解：原式＝22﹣（a﹣2b）2 ＝（2+a﹣2b）（2﹣a+2b）． 【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，先分组，再分解因式，完全平方公式和平方差公式的熟练应用是解题关键． 【练习 9】（2025秋•浦东新区校级期末）因式分解： （1）（4a+b）2﹣（3a﹣3b）2； （2）1﹣4x2﹣4y2+8xy； （3）（x2﹣x）2﹣10（x﹣x2）﹣24． 【分析】（1）用平方差公式进行因式分解； （2）综合提取公因式法和公式法进行因式分解； （3）用十字相乘法进行因式分解． 【解答】解：（1）（4a+b）2﹣（3a﹣3b）2 ＝（4a+b）2﹣（3a﹣3b）2 ＝[（4a+b）+（3a﹣3b）][（4a+b）﹣（3a﹣3b）] ＝（4a+b+3a﹣3b）（4a+b﹣3a+3b） ＝（7a﹣2b）（a+4b）； （2）1﹣4x2﹣4y2+8xy ＝1﹣4x2﹣4y2+8xy ＝1﹣（4x2+4y2﹣8xy） ＝1﹣4（x2+y2﹣2xy） ＝1﹣4（x﹣y）2 ＝[1+2（x﹣y）][1﹣2（x﹣y）] ＝（2x﹣2y+1）（2y﹣2x+1）； （3）（x2﹣x）2﹣10（x﹣x2）﹣24 ＝（x2﹣x）2﹣10（x﹣x2）﹣24 ＝（x2﹣x）2+10（x2﹣x）﹣24 ＝[（x2﹣x）﹣2][（x2﹣x）+12] ＝（x2﹣x﹣2）（x2﹣x+12） ＝（x﹣2）（x+1）（x2﹣x+12）． 【点评】本题主要考查因式分解，选择合适的方法进行因式分解是解题的关键． 【练习 10】（2025秋•浦东新区校级期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值． 解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．因为（x﹣2）2≥0所以（x﹣2）2+1≥1 当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为　﹣5　 ； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米、（a+5）米，求这两块菜地的面积S甲和S乙的差并比较两块菜地的大小，并说明理由． 【分析】（1）仿照材料的方法将代数式x2+10x+20变形为（x+5）2﹣5，再利用非负数的性质即可求出最小值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论． 【解答】解：（1）A＝x2+10x+20＝x2+10x+25﹣5＝（x+5）2﹣5， ∵（x+5）2≥0， ∴（x+5）2﹣5≥﹣5 当x＝﹣5时，（x+5）2﹣5＝﹣5， 因此（x+5）2﹣5有最小值，最小值为﹣5， 即x2+10x+20的最小值为﹣5， ∴A的最小值为﹣5； 故答案为：﹣5； （2）乙菜地的面积， 甲菜地的面积， ， ∵（a﹣3）2≥0， ∴（a﹣3）2+1＞0， 即S甲一S乙＞0， ∴S甲＞S乙． 【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，非负数的性质，理解题意是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 因式分解步骤：一提（公因式）二套（公式）三分（组）四查（是否彻底） · 十字相乘关键：拆常数项凑一次项，注意正负号 · 分组分解优先尝试三一分组（完全平方+平方差） · 配方法：加上一次项系数一半的平方，再减去它 · 看错系数题：谁看错谁的那个系数不可信，另一个人的可信 【作业 1】（2024秋•杨浦区校级月考）下列各式因式分解正确的是（　　） A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 C． D．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2 【分析】根据因式分解的方法逐项判断即可． 【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，不是因式分解，不符合题意； B、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），不符合题意； C、x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），不符合题意； D、x2+6xy+9y2＝（x+3y）2，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查因式分解﹣十字相乘法和公式法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•虹口区校级月考）多项式x2﹣ax﹣10分解因式为（x+m）（x+n），其中a，m，n为整数，则a的取值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【分析】将﹣10分解为﹣1×10或1×（﹣10）或﹣2×5或2×（﹣5），即可求出a的值． 【解答】解：﹣10＝﹣1×10＝1×（﹣10）＝﹣2×5＝2×（﹣5）， ∴﹣a＝﹣1+10＝9或﹣a＝1﹣10＝﹣9或﹣a＝﹣2+5＝3或﹣a＝2﹣5＝﹣3， ∴a＝﹣9或9或﹣3或3， 即a的取值有4个， 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 【作业 3】（2024秋•奉贤区期中）若x2+kx+16能分解成两个一次因式的积，且k为整数，那么k不可能是（　　） A．10 B．17 C．15 D．8 【分析】那么我们看16能分解成哪些数：1×16，2×8，4×4，（﹣1）×（﹣16），（﹣2）×（﹣8），（﹣4）×（﹣4）．因此k就应该是±17，±10，±8；从而得出答案． 【解答】解：∵16可以分解成：1×16，2×8，4×4，（﹣1）×（﹣16），（﹣2）×（﹣8），（﹣4）×（﹣4）， ∴k的值是±17，±10，±8，故15不合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了因式分解中的十字相乘法．关键是看常数项16能分解成哪些因数的乘积． 【作业 4】（2026春•裕华区校级期末）因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　） A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【解答】解：原式＝（a3+a2b）﹣（ab2+b3） ＝a2（a+b）﹣b2（a+b） ＝（a2﹣b2）（a+b） ＝（a﹣b）（a+b）（a+b） ＝（a﹣b）（a+b）2； 故选：B． 【点评】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 【作业 5】（2024秋•盐边县期末）下列因式分解正确的是（　　） A．3x3+2x2+x＝x（3x2+2x） B．9m2﹣1＝（9m+1）（9m﹣1） C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2 D．am﹣bm+2b﹣2a＝（m﹣2）（a﹣b） 【分析】利用提取公因式法、分组分解法、公式法分别对每一个选项中的多项式进行因式分解，再进行判断即可． 【解答】解：3x3+2x2+x＝x（3x2+2x+1），故A不符合题意； 9m2﹣1＝（3m+1）（3m﹣1），故B不符合题意； x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，故C不符合题意； am﹣bm+2b﹣2a＝（m﹣2）（a﹣b），故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、分组分解法、公式法进行因式分解是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•浦东新区校级期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式x4﹣y4因式分解的结果为（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x＝9，y＝9时，各因式的值是x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式变9x3﹣xy2，取x＝12，y＝12时，密码不可能为（　　） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【分析】因为9x3﹣xy2＝x（3x+y）（3x﹣y），因为x＝12，y＝12时，所以3x+y＝48，3x﹣y＝24，因此密码可以是124824，241248，122448． 【解答】解：9x3﹣xy2 ＝x（9x2﹣y2） ＝x（3x+y）（3x﹣y）， 因为x＝12，y＝12时， 所以3x+y＝3×12+12＝48， 3x﹣y＝3×12﹣12＝24， 密码就可以为：124824，241248，122448，不可能是482124． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用、代数式求值、因式分解的意义，解决本题的关键是运用提公因式法、平方差公式分解因式． 【作业 7】（2025秋•普陀区期末）因式分解： （1）（x2﹣3x）2﹣6（x2﹣3x）+8； （2）x2﹣x﹣3y﹣9y2． 【分析】（1）先用换元法，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）先用分组分解法，再利用公式法分解因式即可． 【解答】解：（1）令t＝x2﹣3x，则t2﹣6t+8， t2﹣6t+8＝（t﹣4）（t﹣2）， ∴x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x﹣2）＝（x﹣4）（x+1）（x2﹣3x﹣2）， 故（x2﹣3x）2﹣6（x2﹣3x）+8＝（x﹣4）（x+1）（x2﹣3x﹣2）； （2）原式＝（x2﹣9y2）﹣（x+3y） ＝（x+3y）（x﹣3y）﹣（x+3y） ＝（x+3y）（x﹣3y﹣1）． 【点评】本题主要考查了因式分解．熟练掌握该知识点是关键． 【作业 8】（2025秋•金山区校级期中）因式分解： （1）2x2y﹣8xy+8y； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）； （3）a4﹣a2+4a﹣4； （4）（x2﹣2x）2﹣11（x2﹣2x）+24． 【分析】（1）先提取公因式2y，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式x﹣y，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先分组a4﹣（a2﹣4a+4），再利用乘法公式分解因式即可； （4）把x2﹣2x当成一个整体，利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2； （2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） ＝（9a2﹣4b2）（x﹣y） ＝（3a+2b）（3a﹣2b）（x﹣y）； （3）原式＝a4﹣（a2﹣4a+4） ＝a4﹣（a﹣2）2 ＝[a2+（a﹣2）][a2﹣（a﹣2）] ＝（a2+a﹣2）（a2﹣a+2） ＝（a﹣1）（a+2）（a2﹣a+2）； （4）原式＝[（x2﹣2x）﹣3][（x2﹣2x）﹣8] ＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x﹣8） ＝（x+1）（x﹣3）（x+2）（x﹣4）． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是关键． 【作业 9】（2025秋•普陀区期末）因式分解：x2+2x2y﹣9﹣18y． 【分析】将式子分成2组，提取公因式（x2﹣9），再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：x2+2x2y﹣9﹣18y ＝（x2﹣9）+2y（x2﹣9） ＝（1+2y）（x2﹣9） ＝（1+2y）（x+3）（x﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． 【作业 10】（2025秋•闵行区校级期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣a+3b． 【分析】先分组分解，再用提取公因式法分解． 【解答】解：原式＝（a2﹣6ab+9b2）﹣（a﹣3b） ＝（a﹣3b）2﹣（a﹣3b） ＝（a﹣3b）（a﹣3b﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 【作业 11】（2025秋•虹口区校级期中）借助完全平方公式，可以将形如ax2+bx+c（a≠0）的关于x的整式变形为a（x+m）2+k的形式，a、b、c和m、k均为有理数，这种变形方法叫作对关于x的整式ax2+bx+c（a≠0）配方．如对整式2x2+4x﹣1配方，得2x2+4x﹣1＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1＝2（x+1）2﹣3． （1）对x2+38x﹣368配方，并利用配方结果因式分解； （2）借助配方，求当x取何值时整式3x2+9x+2有最小值，并写出最小值； （3）比较x2+4x﹣1和3x2﹣2x+4的大小，并说明理由． 【分析】（1）利用完全平方公式将二次三项式配成平方差形式，再用平方差公式因式分解； （2）将二次三项式提取二次项系数后配方，根据平方项非负性求最小值； （3）两式作差后配方，由平方项非负性判断差的符号，从而比较大小． 【解答】解：（1）x2+38x﹣368 ＝x2+38x+192﹣192﹣368， ＝（x+19）2﹣361﹣368， ＝（x+19）2﹣729， ＝（x+19）2﹣272， ＝（x+19+27）（x+19﹣27）， ＝（x+46）（x﹣8）； （2）3x2+9x+2 ＝3（x2+3x）+2， ＝3（x2+3x）+2， ＝3（x）22， ＝3（x）2； ∵（x）2≥0， ∴3（x）2； ∴当x时，整式3x2+9x+2有最小值，最小值为； （3）x2+4x﹣1＜3x2﹣2x+4， 理由：（x2+4x﹣1）﹣（3x2﹣2x+4） ＝x2+4x﹣1﹣3x2+2x﹣4， ＝﹣2x2+6x﹣5， ＝﹣2（x2﹣3x）﹣5， ＝﹣2（x2﹣3x）﹣5， ＝﹣2（x）25， ＝﹣2（x）2， ∵（x）2≥0， ∴﹣2（x）2≤0， ∴﹣2（x）20； ∴x2+4x﹣1＜3x2﹣2x+4． 【点评】本题主要考查了配方法、完全平方公式及平方差公式，正确配方并利用平方项的非负性是解题的关键． 【作业 12】（2025秋•杨浦区期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），这时就说（x﹣1）和（x+2）是x2+x﹣2的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断（x﹣a）这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式x2+x﹣2我们分别计算： 当x＝1时，原式＝12+1﹣2＝0，当x＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+（﹣2）﹣2＝0； 当我们把x＝1和x＝﹣2分别代入x2+x﹣2，整式x2+x﹣2的值都等于0，那么（x﹣1）和（x+2）就是整式x2+x﹣2的两个因式，通过归纳发现： 如果当x＝a时，一个整式的值等于0，那么（x﹣a）就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果（x﹣a）是整式的一个因式，那么当x＝a时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10． （1）请判断（x+1）是否是整式P的一个因式； （2）当整式P的一次项系数变为k时，而（x+1）仍是它的一个因式．求此时k的值； （3）请尝试将整式P进行因式分解． 【分析】（1）根据题意，将x＝﹣1代入整式计算即可判断； （2）根据题意将x＝﹣1代入整式计算，然后解方程即可； （3）根据题意，分别将x＝﹣1、x＝2、x2＝5代入整式计算，然后求解即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时， P＝（﹣1）4﹣（﹣1）3﹣7×（﹣1）2+5×（﹣1）+10＝0， ∴（x+1）是整式P的一个因式； （2）当整式P的一次项系数变为k时， P＝x4﹣x3﹣7x2+kx+10， ∵（x+1）是它的一个因式， ∴P＝（﹣1）4﹣（﹣1）3﹣7×（﹣1）2+k×（﹣1）+10＝0， 解得：k＝5； （3）P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10， 当x＝﹣1时， P＝（﹣1）4﹣（﹣1）3﹣7×（﹣1）2+5×（﹣1）+10＝0； 当x＝2时， P＝24﹣23﹣7×22+5×2+10＝0； 当x2＝5时， P＝52﹣5x﹣7×5+5x+10＝0； ∴（x+1）和（x﹣2）、（x2﹣5）就是整式P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10的因式， ∴P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10＝（x+1）（x﹣2）（x2﹣5）． 【点评】本题主要考查因式分解、有理数的混合的运算，理解题意是解题关键． 【作业 13】（2025秋•普陀区校级期中）请完成以下题目： （1）如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①a2﹣b2 ；方法②　（a+b）（a﹣b）　 ．由此可以验证的乘法公式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ． （2）类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为b（b＜a）的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①a3﹣b3 ；方法②　（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ．由此可以得某个多项式因式分解的等式是 a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ，并用所学过的知识说明这个等式成立． （3）结合并使用（2）得到的等式分解因式：8x3+y3． 【分析】（1）大正方形边长为a，小正方形边长为b，阴影部分面积可以表示为a2﹣b2，也可看作两个矩形，长分别为a、b，宽均为（a﹣b），面积为a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），故验证的乘法公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． （2）大正方体棱长为a，小正方体棱长为b，余下体积为大正方体体积减小正方体体积，即a3﹣b3．余下部分的体积也可分割为三个长方体，体积分别为a2（a﹣b）、ab（a﹣b）、b2（a﹣b），总和为a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故因式分解等式为a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． （3）利用立方和公式分解因式8x3+y3． 【解答】解：（1）长方形的面积为：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）， 面积也可表示为a2﹣b2， 所以乘法公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． （2）余下几何体的体积是：a3﹣b3， 余下几何体的体积也可以表示为： a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b） ＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故因式分解等式为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故答案为：a3﹣b3，（a﹣b）（a2+ab+b2），a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． （3）8x3+y3 ＝（2x）3+y3 ＝（2x+y）[（2x）2﹣2x•y+y2] ＝（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式的几何背景，解决本题的关键是利用平方差公式与立方和公式，通过图形面积或体积的不同计算方法推导公式，再运用公式进行因式分解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $