专题02 一元二次方程7考点（期中真题汇编，湖南专用）九年级数学上学期湘教版

专题02 一元二次方程 7大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 选择合适的方法解一元二次方程 考点03 由一元二次方程的解求参数 考点04 利用配方法求最值 考点05 一元二次方程根的判别式 考点06 一元二次方程根与系数的关系 考点07 一元二次方程的应用 地 城 考点01 一元二次方程的概念 1．(24-25八下·湖南长郡教育集团·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据形如的方程为一元二次方程，进而可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义可知：是一元二次方程，故D符合题意； A、B、C都不是一元二次方程，故不符合题意； 故选D． 2．(24-25九上·湖南怀化溆浦县圣达学校·期中)下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 当时是一元一次方程不符合题意， 含分式不是一元二次方程，不符合题意， 是一元二次方程，符合题意， 是二元二次方程，不符合题意， 故选：C． 3．(24-25九上·湖南邵阳新邵县新邵县思源实验学校、新邵县陈家坊镇中学·期中)下列方程中是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A． 由得：，未知数的最高次数是1不是2，故A选项错误，不符合题意； B． 当时，方程就不是一元二次方程，故B选项错误，不符合题意； C．由得：，满足一元二次方程的条件，故C选项正确，符合题意； D． 含两个未知数，不是一元二次方程，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．(24-25九上·湖南长沙明德教育集团·期中)下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：含有一个未知数且未知数的次数是的等式是一元二次方程， A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、未知数的次数为，不符合题意； D、不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 5．(24-25九上·湖南永州新田县·期中)下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、方程化简后不含未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化简后不含有2次项，不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 6．(24-25九上·湖南益阳沅江第四中学·期中)关于x的方程是一元二次方程，则a满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如（都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：B 7．(24-25九上·湖南郴州桂阳县·期中)一元二次方程的二次项系数为2，则一次项系数是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为2，一次项系数是，常数项是1． 故选C． 8．(24-25九上·湖南常德第四中学·期中)若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关知识点，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，要求二次项系数不为零即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：B． 9．(24-25九上·湖南岳阳岳阳县岳阳经济技术开发区长岭中学·期中)一元二次方程化为一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式，进行整理式子，即可作答． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 10．(24-25九上·湖南永州道县·期中)一元二次方程化为一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，属于基础题．通过移项即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， 去括号：， 移项得：， 合并得：． 故答案为：． 11．(24-25九上·湖南岳阳湘阴县岭北五校联考·期中)将方程化为的形式后， ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是，本题中首先根据多项式乘以多项式的法则把方程左边展开，然后再移项合并同类项，把一元二次方程化为一般形式，再确定各项系数． 【详解】解：， 整理得：， 移项合并同类项得： 化为的形式后，，，． 故答案为： ，，． 12．(24-25九上·湖南永州蓝山县·期中)方程的二次项系数、一次项系数及常数项的和是 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的一般式，解答此题的关键在于掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义解答此题． 【详解】解：原方程去括号整理得：， 则二次项系数，一次项系数及常数项的和是． 故答案为：． 13．(24-25九上·湖南娄底娄星区·期中)若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，由定义得即可求解；理解一元二次方程的一般形式为（）及各项是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 14．(24-25九上·湖南湘潭岳塘区·期中)若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． 15．(24-25九上·湖南岳阳岳阳县岳阳经济技术开发区长岭中学·期中)若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数最高次是次的整式方程，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：1． 地 城 考点02 选择合适的方法解一元二次方程 1．(24-25九上·湖南邵阳邵东振华中学·期中)解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 2．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)用公式法解方程： 【答案】， 【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数、、，再计算判别式，最后代入求根公式求解．本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式是解题的关键． 【详解】解： ，，， ， ∴， ∴，． 3．(24-25九上·湖南常德石门县·期中)解方程（用配方法解一元二次方程）： 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：或， ∴，． 4．(24-25八下·湖南长郡教育集团·期中)用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键。 （1）运用平方差公式因式分解，化为两个一元一次方程，求解即可； （2）利用因式分解法，即可解答； （3）利用配方法，即可解答； （4）提公因式后利用因式分解法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解： ∴或 ∴，； （2）解： ∴或 ∴，； （3）解： ∴或 ∴，； （4）解： ∴或 ∴，； 5．(24-25九上·湖南益阳赫山区箴言龙光桥学校·期中)用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活运用适当的方法解方程是解题的关键． （1）先移项，用因式分解的方法解方程，即可得到答案； （2）用因式分解的方法解方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 整理得， 因式分解得，即， ∴，， ∴，； （2）解：， 因式分解得， ∴，， ∴，． 6．(24-25九上·湖南湘潭岳塘区·期中)解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题关键是掌握因式分解的方法． （1）根据因式分解法即可求解； （2）根据因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：原方程左边因式分解可得， ， 即 或， ∴ ，； （2）解：原方程左边因式分解可得， ， 即 或， ∴ ，． 7．(24-25九上·湖南永州李达中学·期中)解方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握解方程的方法是解本题的关键； （1）直接利用因式分解的方法解方程即可； （2）先把方程化为，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，． 8．(24-25九上·湖南麻阳苗族自治县锦江中学·期中)用适当的方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用公式法即可解答； （2）直接利用开方法即可解答． 【详解】（1）解： ∵，，， ∴， ∴，； （2）解： 或 解得：，或 ∴原方程的解为，． 9．(24-25九上·湖南岳阳岳阳县岳阳经济技术开发区长岭中学·期中)用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用直接开平方法解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ∴， ，． 10．(24-25九上·湖南郴州桂阳县·期中)用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）整理后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴或 ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴． 地 城 考点03 由一元二次方程的解求参数 1．(24-25八下·湖南长郡教育集团·期中)若关于的一元二次方程的一个实数根为0，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程得到关于的方程，再解关于的方程即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， 故选：B． 2．(24-25九上·湖南常德第四中学·期中)若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，由题意可得，再代入到代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．(24-25九上·湖南永州蓝山县·期中)若方程有一根是3，那么 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解题意． 将3代入求解即可． 【详解】解：∵方程有一根是3， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．(24-25九上·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属滨江学校·期中)若m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义可得，即，整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 故答案为：． 5．(24-25九上·湖南衡南县冠联合学校·期中)若是方程的一个解，则代数式的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，将代入，得到，再将作为整体代入即可． 【详解】解： 是方程的一个解， ， ， ， 故答案为：12． 6．(24-25九上·湖南长沙长沙县·期中)已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据是已知方程的解，将代入方程即可求出的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 7．(24-25九上·湖南岳阳·期中)若m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2027 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式的求值等知识点，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 把m代入方程变形可得，然后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案是：2027． 8．(24-25九上·湖南邵阳新邵县新邵县思源实验学校、新邵县陈家坊镇中学·期中)若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，进而得到，利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：2024 地 城 考点04 利用配方法求最值 1．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 2．(23-24七下·湖南岳阳岳阳县·期中)问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴所以的最小值为， 故选：B． 3．(24-25九上·湖南娄底·期中)代数式的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，整理，则当时，代数式的最大值是，据此即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，， ∴代数式的最大值是， 故答案为：． 4．(24-25九上·湖南株洲荷塘区·期中)求的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用，把原式化为，再进一步解答即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 5．(23-24九上·湖南永州冷水滩区·期中)为实数，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查配方法的应用，主要应用有：用配方法分解因式；用配方法化简求值；用配方法确定代数式的最值；用配方法证明等式；用配方法解方程有关问题；用配方法求函数最值；利用完全平方公式把含有x的项化成平方的形式，再进一步求解． 【详解】解：原式， 因为， 所以， 则代数式的最小值是5， 故答案是：5． 地 城 考点05 一元二次方程根的判别式 1．(24-25九上·湖南永州第九中学·期中)关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式的值，即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程为， ， 该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．(24-25九上·湖南永州道县·期中)一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断即可． 【详解】一元二次方程根的判别式： 方程有两个不相等的实数根 故选：D． 3．(24-25九上·湖南长沙湖南师大附中梅溪湖中学·期中)已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元二次方程根的判别式，一元二次方程（为常数，且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， ， 故选：C． 4．(24-25九上·湖南长沙长沙县·期中)关于x的一元二次方程没有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．根据一元二次方程没有实数根的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴，解得． 故选D． 5．(24-25九上·湖南邵阳洞口县·期中)方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．两个根分别为一个正根，一个负根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，根据求出判别式的值，然后根据判别式的值判断即可． 【详解】解：方程，整理为：， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：B． 6．(24-25九上·湖南湘西州花垣县·期中)若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， 故选：B． 7．(24-25九上·湖南长沙明德教育集团·期中)关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ）． A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．因为是一元二次方程，所以，因为一元二次方程有实数根，所以，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得： 的取值范围是且． 故选：C． 8．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)把直线的图象向下平移个单位，与反比例函数的图象只有一个交点，则的值为（    ） A．1 B．5 C．2或4 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，先求出平移后得到新直线，联立得出，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将直线向下平移个单位后，得到新直线， 联立该直线与反比例函数，消去得：， 两边乘以并整理为二次方程：， 令判别式， 解得或， 因此，的值为1或5， 故选：D． 9．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)若一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象经过第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了反比例函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，解题的关键是首先根据方程根的情况判定实数的取值范围． 本题根据反比例函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，进行作答，即可求解； 【详解】∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限． 10．(24-25九上·湖南邵阳洞口县·期中)关于x的一元二次方程有实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后即可求解． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 11．(24-25九上·湖南邵阳武冈·期中)已知为实数，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程、根的判别式等知识点，运用根的判别式验证x的存在性是解此题的关键． 设，则原方程化为，解方程求出a的值，再根据根的判别式判定即可解答． 【详解】解：设，则原方程化为， 解得：或1， 当时，，即， ∴，此方程无解； 当时，，即， ∴，此方程有实数解； 综上，． 故答案为：1． 12．(24-25九上·湖南岳阳云溪区九校联考·期中)已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为 ，，且满足，求m的值 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系： （1）利用判别式进行证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，结合，列出关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：． 13．(24-25九上·湖南湘西州花垣县·期中)已知关于的方程 (1)求证：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求该方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）设方程的另一个根为，利用根和系数的关系可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：， 又        ， 即， 不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为， 根据根与系数关系得，， 解得， ∴方程的另一个根为． 14．(24-25九上·湖南长沙明德教育集团·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况以及根与系数的关系．熟记相关结论即可． （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则．据此即可求解． 【详解】（1）解： 恒成立， 此方程总有实数根 （2）解：根据韦达定理得：，， ∴； 解得： 地 城 考点06 一元二次方程根与系数的关系 1．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)已知方程有两个实数根，其中一个根是（），则方程的另一个根是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设另一个根为，结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得解，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：设另一个根为， ∵方程有两个实数根，其中一个根是（）， ∴， ∴， 故选：D． 2．(24-25九下·湖南娄底涟源·期中)已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：C． 3．(24-25九上·湖南岳阳云溪区九校联考·期中)对于一元二次方程，有下列说法： ①若方程有两实数根为1，，则分解因式得； ②若，则方程有两个不相等的实数根； ③若，则方程一定有一个根为； ④若方程有两个不等于0的实数根，则方程一定有两实数根．其中正确的有（　　）， A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，根据方程的根和十字相乘法因式分解，判断①，根的判别式判断②，方程的解判断③，根与系数的关系，判断④． 【详解】解：若方程有两实数根为1，，则分解因式得，故①错误； 若，则：，则方程有两个不相等的实数根；故②正确； 当时，， ∴若，则方程一定有一个根为；故③正确； ∵方程有两个不等于0的实数根， ∴， ∴， ∴方程为一元二次方程， ∵， ∴， ∴方程一定有两实数根．故④正确； 故选C． 4．(24-25八下·湖南长郡教育集团·期中)设，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的两根关系，理解两根之和为，是解答关键． 根据一元二次方程的两根关系来求解． 【详解】解： ，是方程的两个根， ． 故答案为：． 5．(24-25九下·湖南长沙湖南师大附中·期中)关于的一元二次方程有两根，其中一根为，则两根之和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：设方程的另一个根为，则：， ∴，， 即：两根之和为2； 故答案为：2． 6．(24-25九上·湖南湘西州溶江中学·期中)设，是一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系进行计算即可得． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两实数根， ∴， 故答案为：． 7．(24-25上·湖南长沙华益中学·期中)已知、是一元二次方程的两个根，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，结合，据此求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．(24-25九上·湖南岳阳岳阳县·期中)已知m、n是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程有两，，则，是解题的关键． 先由根与系数的关系求得，，再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 9．(24-25九上·湖南湘潭雨湖区·期中)已知、是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系为：，进行求解即可． 【详解】解：由题意，； 故答案为：3． 10．(24-25九上·湖南衡阳县五校联考·期中)方程的两根都是非零整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元二次方程根与系数的关系，设方程的两非零整数根分别为，，，利用根与系数的关系得到①，②，则②①得，，然后变形得到，利用整数的性质得到，，或，，从而题目要求得到，，最后计算出． 【详解】解：设方程的两非零整数根分别为，，， ①，②， ②①得，， 而， ， ， ，，或，， 而方程的两根都是非零整数， ，， ． 11．(24-25九上·湖南娄底第二中学·期中)设，是关于x的方程的两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1)实数k的取值范围为； (2)的值为1． 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况、一元二次方根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，学会利用判别式判别一元二次方程的根的情况是解题的关键． （1）由题意得，方程有两个不相等的实数根，利用判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得，，结合公式，代入数据再求解方程得出k的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 整理得：， 解得：， 实数k的取值范围为． （2）根据题意得：，， ，， ， 解得，，， 由（1）得，， ， 的值为1． 12．(24-25九上·湖南张家界桑植县·期中)阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_____，______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）由题意得：a，b是的两个根， ， 故答案为：； （2）由题意，得：， 即， 解得； ， ， ， 当时，，解得：， ， ， ； 当时，，解得：， ， ， ； 综上：或． 13．(24-25九上·湖南湘潭岳塘区·期中)综合与探究 已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，求m的值； (3)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质． （1）根据判别式即可解答； （2）根据根与系数的关系得，，接着利用得到，进行求解即可； （3）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得； （2）解：，， ，即， ，即， 解得，， 而， 的值为6； （3）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， 所以， 方程化为， 解得，则，故舍去， 这个三角形的周长为17． 14．(24-25九上·湖南永州第九中学·期中)我们约定：在平面直角坐标系中，若点满足，我们就说点是该平面直角坐标系内的“大九中”点，若函数图象上存在一个或以上的“大九中”点的函数我们称之为“幸福函数”．根据约定请解决以下问题： (1)若反比例函数是“幸福函数”，请问是否是该函数图象上的“大九中”点？（填“是、否”即可） (2)若函数是“幸福函数”且函数图象上有两个“大九中”点，求的取值范围； (3)若反比例函数的图象上存在两个“大九中”点为，且，求的值． 【答案】(1)是函数图象上的“大九中”点 (2)，且 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键掌握相关知识，并理解“幸福函数”和“大九中”点的定义． （1）根据“大九中”点的定义判断即可； （2）由函数是“幸福函数”，可得，整理可得，根据题意可得：，即可求解； （3）根据题意可得：，，整理得：，，推出，是方程的两个根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解： ，， 是函数图象上的“大九中”点； （2）函数是“幸福函数”， ，即， 整理得：， 函数是“幸福函数”且函数图象上有两个“大九中”点， 关于的方程有两个不相等的实数根， 即， 解得：， ， ， ，且； （3）反比例函数的图象上存在两个“大九中”点为，， ，，，， ，， 整理得：，， ，是方程的两个根， ，， 整理得：， 解得：或， 当时，方程为， ，即方程有两个实数根，符合题意； 当时，方程为， ，即方程有两个实数根，符合题意； 综上，或． 地 城 考点07 一元二次方程的应用 1．(24-25九上·湖南邵阳邵东振华中学·期中)某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为元，则第二次降价后的售价为，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2．(24-25九上·湖南郴州桂阳县·期中)有一名初中生，前两年学习不够努力．进入初三后，在老师和同学的帮助下，逐渐意识到学习的重要性和紧迫性，勤奋苦读，成绩突飞猛进．已知他初二下学期期末考试数学成绩为73分，初三第一次和第二次测试成绩均进步明显，第二次成绩为118分．假定两次增长率相同，设每次平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每次平均增长率为x，根据增长率问题列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设每次平均增长率为x，根据题意得， ， 故选：C 3．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)今年10月份以来，我国经济得到回升，股某一支股票指数由两周前的2700点涨到3600点，设两周平均每周上涨的百分率为，可根据题意列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设两周平均每周上涨的百分率为，根据两周的增长情况列出方程即可． 【详解】解：设两周平均每周上涨的百分率为，依题意得， ， 故答案为：． 4．(24-25九上·湖南永州冷水滩区永州第十六中学·期中)为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今年9月份阅读公园中有藏书5000册，到今年11月份其中藏书数量增长到7200册，设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意，请列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确抽象出一元二次方程是解题关键．设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意列一元二次方程即可． 【详解】解：设该校这两个月藏书的月均增长率为， 根据题意得，， 故答案为：． 5．(24-25九上·湖南岳阳岳阳县·期中)岳阳县工业园区今年九月份提供就业岗位200个，并按计划逐月增长，预计十一月份将提供岗位242个．设十、十一两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据今年九月份提供就业岗位200个，预计十一月份将提供岗位242个．设十、十一两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，则列方程为，即可作答． 【详解】解：∵今年九月份提供就业岗位200个，并按计划逐月增长，预计十一月份将提供岗位242个．设十、十一两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为， ∴， 故答案为：． 6．(24-25九上·湖南长沙长沙县·期中)长沙县金井茶叶享誉三湘大地，若金井茶叶2022年茶叶总产量约为1.5万吨，预计2024年茶叶总产量达到2.25万吨，求茶叶总产量的年平均增长率．设茶叶总产量的年平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程应用题，解题的关键是根据题意正确分析题目中的等量关系．金井茶叶2022年茶叶总产量约为1.5万吨，预计2024年茶叶总产量达到2.25万吨，列出一元二次方程即可． 【详解】解: 设茶叶总产量的年平均增长率为x， ∵金井茶叶2022年茶叶总产量约为1.5万吨，预计2024年茶叶总产量达到2.25万吨， ∴依题意，得：． 故答案为：． 7．(24-25九上·湖南长沙浏阳·期中)有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．根据“转发两轮后共有91人被邀请参与该活动”列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 8．(24-25九上·湖南湘西州溶江中学·期中)数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 9．(24-25九上·湖南长沙浏阳·期中)为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调，某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，求改药品平均每次降价的百分率？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率（或下降率）问题，解题关键是熟知增长率（或下降率）问题的数量关系，结合题意列方程． 设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意列方程得：， 解得：（舍去）， 则该药品平均每次降价的百分率为， 答：该药品平均每次降价的百分率为． 10．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 【答案】长为，宽为，高为 【分析】通过设长方体纸盒的高为未知数，根据矩形纸张的尺寸表示出长方体纸盒底面的长和宽，再结合底面积列出方程求解．本题主要考查一元二次方程的实际应用（长方体的折叠问题 ），熟练掌握根据图形折叠关系表示出长方体的长、宽、高，以及利用面积公式列出方程求解是解题的关键． 【详解】设长方体纸盒高为，则长为，宽为， 依题意得：， 解得：，（舍去） 答：长方体纸盒高为，则长为，宽为． 11．(24-25九上·湖南长沙湖南师大附中梅溪湖中学·期中)为迎接湖南师大附中梅溪湖中学办学十周年庆，某校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为元，经过校友意见征集后，连续两次降价，最终每件的售价为元，并且每次降价的百分率相同． (1)求该文化衫每次降价的百分率； (2)若该文化衫每件的成本价为元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于元？ 【答案】(1)该文化衫每次降价的百分率为； (2)至少要售出件，总利润才能不低于元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该文化衫每次降价的百分率为，根据题意得到，解得，（舍去），即可得到答案； （2）设至少要售出件，总利润才能不低于元，得到，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该文化衫每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：该文化衫每次降价的百分率为； （2）解：设至少要售出件，总利润才能不低于元， 根据题意得， 解得， 答：至少要售出件，总利润才能不低于元． 12．(24-25九上·湖南永州李达中学·期中)2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨2元，就少卖20个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)售价应定为每个元 (2)这两周的平均增长率为 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为每个元，则 ， 整理得：， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元． （2）解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个）， 设这两周的平均增长率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 13．(24-25九上·湖南邵阳洞口县·期中)据调查，2022年国庆假某景点累计接待游客为36万人次，2024年国庆假该景点接待游客为81万人次． (1)求2022年国庆假期到2024年国庆假期该景点累计接待游客的年平均增长率； (2)该景点某商户购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件，据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 【答案】(1)累计接待游客的年平均增长率为； (2)该纪念品的售价单价应定为每件50元． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用； （1）设该景点国庆假期累计接待游客的年平均增长率为，根据2024年国庆假该景点接待游客为81万人次，再建立方程求解即可； （2）设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件，由题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：设该景点国庆假期累计接待游客的年平均增长率为，则 ， ∴， 解得：，（舍去）， ∴累计接待游客的年平均增长率为； （2）设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， ∵，要让利给顾客， ∴该纪念品的售价单价应定为每件50元． 14．(24-25九上·湖南永州第九中学·期中)暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开展乒乓球拍促销活动． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，8月共销售副，求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率； (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降1元，则每天可多售4副，在每副降价幅度不超过元的情况下，如果每天要盈利元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 【答案】(1)该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为； (2)每副乒乓球拍应降价元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每月增长率为x，利用8月销售量6月销售量增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润每副的销售利润日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）解：设平均每月增长率为x， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 答：该增长率为； （2）解：设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副， 根据题意得：， 即， 解得：或（舍去）， 答：每副乒乓球拍应降价元． 15．(24-25九上·湖南永州蓝山县·期中)党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动．已知一根跳绳的进价为20元，商场确定其售价为40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每根40元进行两次调价，已知每根跳绳现价为32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根．已知售价40元时，每月可销售500根，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳应定价为多少元？ 【答案】(1)这个降价率为 (2)每根跳绳应定价为32元 【分析】本题考查了一元二次方程应用-增长率与销售，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． （1）设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （2）设跳绳的降价元，根据该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：设跳绳的降价率为， 根据题意得：， 解得：（舍去），， 答：这个降价率为． （2）解：设跳绳降价元， 根据题意得：， 解得：，， 因为要尽可能扩大销售量，所以降价要多，因此降价8元，， 答：每根跳绳应定价为32元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02一元二次方程 ☆？大高频烤点概览 考点01一元二次方程的概念 考点02选择合适的方法解一元二次方程 考点03由一元二次方程的解球参数 考点04利用配方法求最值 考点05一元二次方程根的判别试 考点06一元二次方程根与系数的关系 考点07一元二次方程的应用 目目 考点01 一元二次方程的概念 1.(24-25八下·湖南长郡教育集团·期中下列方程中，是一元二次方程的是() A.7x3-8=0 B.3x+4=0 C.5y-6x=0 D.x2-2x=0 2.(24-25九上湖南怀化溆浦县圣达学校·期中下列方程中，是关于x的一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.x2+京-2=0 C.x2-x-2=0 D.2x2-y=1 3.(24-25九上·湖南邵阳新邵县新邵县思源实验学校、新邵县陈家坊镇中学·期中)下列方程中是关于x的一 元二次方程的是() A.x2-2x=x2+1 B.ax2+bx+c=0 C.(x-1x+2=1 D.x2-2xy-3y2=0 4.(24-25九上湖南长沙明德教育集团·期中下列方程中，属于一元二次方程的是()· A.y=x B.2x2-3x+1=0C.2x+5=8 D.x=是 5.(24-25九上·湖南永州新田县期中)下列方程是一元二次方程的是（) A.ax2+bx+c=0 B.(x-1)2-1=0 C.-3x3+6x+1=-3x3+6x+12-12+1D.3x2-2x=3(x2-2 6.(24-25九上湖南益阳沅江第四中学.期中)关于x的方程(a+1)x2+x+4=0是一元二次方程，则a 满足() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.a≠1 B.a≠-1 C.a≠±1 D.a<-1 7.(24-25九上·湖南郴州桂阳县·期中)一元二次方程2x2-4x+1=0的二次项系数为2，则一次项系数是 () A.1 B.4 C.-4 D.-1 8.(24-25九上湖南常德第四中学期中)若关于x的方程(k一1)x2+3x一2=0是一元二次方程，则k的 取值范围是() A.k=1 B.k≠1 C.k≠0 D.k>1 9.(24-25九上·湖南岳阳岳阳县岳阳经济技术开发区长岭中学.期中)一元二次方程2(x2-3)=5x化为一 般形式是一 10.(24-25九上·湖南永州道县期中)一元二次方程x(2x一1)=4x+1化为一般形式是 11.(24-25九上湖南岳阳湘阴县岭北五校联考期中)将方程(x-1)(x+3)=12化为ax2+bx+c=0 的形式后，a=一，b=一，C=—, 12.(24-25九上湖南永州蓝山县期中)方程2x(x一3)+3=0的二次项系数、一次项系数及常数项的和 是■ 13.(24-25九上湖南娄底娄星区·期中)若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0的常数项为 0,则m的值是一 14.(24-25九上湖南湘潭岳塘区期中若(m+1)xm+1+4x+4=0是关于x的一元二次方程，则m的 值是一 15.(24-25九上湖南岳阳岳阳县岳阳经济技术开发区长岭中学期中)若方程(m+3)x+1一2x=1是关 于x的一元二次方程，则m的值为一 目目 考点02 选择合适的方法解一元二次方程 1.(24-25九上湖南邵阳邵东振华中学期中)解方程：x2-6x一6=0 2.(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校期中)用公式法解方程：5x2一4x一1=0 3.(24-25九上湖南常德石门县·期中)解方程（用配方法解一元二次方程）：x2+8x一1=0 4.(24-25八下·湖南长郡教育集团·期中)用适当的方法解下列方程： (1)(x+5)2=25; (2)x2+10x+16=0; 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)x2-6x+2=0; (4)4x(x-1)=3(x-1). 5.(24-25九上·湖南益阳赫山区箴言龙光桥学校期中)用适当的方法解下列方程 (0(3x-1)2=(x+1)2 (2)x2-2x-3=0 6.(24-25九上·湖南湘潭岳塘区·期中)解下列方程： (1)x2+3x=0 (2)x2+2x-3=0 7.(24-25九上·湖南永州李达中学期中)解方程。 (1)2x2+3x=0 (2)(x-5)(2x+1)=x+1 8.(24-25九上·湖南麻阳苗族自治县锦江中学期中用适当的方法解方程. (1)2x2-4x+1=0; (2)(2x-1)2=(3-x)2, 9.(24-25九上·湖南岳阳岳阳县岳阳经济技术开发区长岭中学期中)用适当的方法解下列方程： (1)x2-2x=8; (2)(x+3)2-5=0. 10.(24-25九上·湖南郴州桂阳县·期中)用适当方法解下列方程： (1)x2+4x-12=0; (2)x+5=x2-25, 目目 考点03 由一元二次方程的解求参数 1.(24-25八下·湖南长郡教育集团期中)若关于x的一元二次方程x2+3x+m2一1=0的一个实数根为0， 则m等于() A.1 B.±1 C.-1 D.0 2.(24-25九上湖南常德第四中学·期中)若a是关于x的方程3x2-x一1=0的一个根，则2024-3a2+a的 值是() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2026 B.2025 C.2023 D.2022 3.(24-25九上湖南永州蓝山县期中)若方程x2-4x-a=0有一根是3，那么a=, 4.(24-25九上·湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属滨江学校期中)若m是方程x2一3x一1=0的一个根， 则-2m2+6m+19的值为 5.(24-25九上湖南衡南县冠联合学校期中)若x=a是方程2x2-x一6=0的一个解，则代数式4a2一2a 的值为 6.(24-25九上湖南长沙长沙县期中)已知一3是关于x的一元二次方程x2一mx+3=0的一个解，则m的 值为 7.(24-25九上湖南岳阳期中)若m是方程2x2-3x一1=0的一个根，则6m2-9m+2024的值为一 8.(24-25九上·湖南邵阳新邵县新邵县思源实验学校、新邵县陈家坊镇中学期中)若α是方程 x2-x-1=0的一个根，则a3-a2-a+2024的值为 目目 考点04 利用配方法求最值 1.(24-25九上湖南益阳益阳师专附属学校期中)对于x取任意实数，多项式x2-一4x+a的值是一个正数， 则a的取值范围是() A.a>4 B.a>-4 C.a24 D.a≥8 2.(23-24七下·湖南岳阳岳阳县·期中)问题：聪明的你知道代数式x2一4x+5的最小值为多少吗？解：因为 x2-4x+5=x2-4x+4+1=x2-4x+22+1=(x-2)2+1,又因为(x-2)2≥0，所以 (x-2)2+1≥1，所以x2-4x+5的最小值为1.请用上述方法，解决代数式x2+6x+6的最小值为() A.3 B.-3 C.6 D.-6 3.(24-25九上·湖南娄底期中)代数式-3x2+6x-4的最大值是」 4.(24-25九上湖南株洲荷塘区·期中)求x2一x+3的最小值是 5.(23-24九上湖南永州冷水滩区期中)a为实数，则a2-4a+9的最小值是」 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 一元二次方程根的判别式 1.(24-25九上·湖南永州第九中学期中)关于x的一元二次方程x2-3x-2=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个实数根 D.没有实数根 2.(24-25九上·湖南永州道县·期中)一元二次方程3x2一2x-1=0的根的情况为() A.无实数根 B.有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 3.(24-25九上·湖南长沙湖南师大附中梅溪湖中学期中)己知关于x的一元二次方程x2+2x一m+3=0有 实数根，则m的取值范围是() A.m>2 B.m<2 C.m22 D.m≤2 4.(2425九上湖南长沙长沙县期中)关于x的一元二次方程2x2一3x+k=0没有实数根，则实数k的取 值范围是() A.k<司 B.k≤昌 C.k≥号 D.k>号 5.(24-25九上湖南邵阳洞口县期中)方程2x2+3=2N6x的根的情况是() A.没有实数根 B.两个相等的实数根 C.两个不相等的实数根 D.两个根分别为一个正根，一个负根 6.(24-25九上·湖南湘西州花垣县期中)若方程x2一4x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围 是() A.m>4 B.m<4 C.m>-4 D.m<-4 7.(24-25九上湖南长沙明德教育集团期中)关于x的一元二次方程kx2一4x十1=0有实数根，则k的取 值范围是()· A.k<4且k≠0B.k≤4 C.k≤4且k≠0D.k≤-4 8.(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校期中)把直线y=一x+3的图象向下平移m个单位，与反比例 函数y=袁的图象只有一个交点，则m的值为() A.1 B.5 C.2或4 D.1或5 9.(24-25九上湖南益阳益阳师专附属学校期中)若一元二次方程x2+2x十k=0无实数根，则反比例函数 y=会的图象经过第象限， 10.(24-25九上·湖南邵阳洞口县·期中)关于x的一元二次方程kx2一5x+2=0有实数根，那么k的取值范 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 围是 11.(24-25九上湖南邵阳武冈期中)已知x为实数，若(x2+x)2+2(x2+x)-3=0,则 x2十X= 12.(24-25九上湖南岳阳云溪区九校联考期中)已知关于x的方程x2-(m+2x+(2m一1)=0 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程两根为x1,x2,且满足+X号=15，求m的值 13.(24-25九上湖南湘西州花垣县期中)已知关于x的方程x2+(k-1)x-5=0 (1)求证：不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根： (2)若该方程的一个根为-5，求该方程的另一个根. 14.(24-25九上·湖南长沙明德教育集团期中已知关于x的一元二次方程x2+(m+4)x+4m=0. (1)求证：无论m取何值，此方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根x1,X2,且x1十x2十X1x2=8,求m的值. 目目 考点06 一元二次方程根与系数的关系 1.(24-25九上湖南益阳益阳师专附属学校期中)己知方程x2+mx+2n=0有两个实数根，其中一个根是 一n(n≠0)，则方程的另一个根是() A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.(24-25九下·湖南娄底涟源·期中)已知m,n是一元二次方程x2+x-2025=0的两个实数根，则代数式 m2+2m+n的值是() A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 3.(24-25九上湖南岳阳云溪区九校联考期中对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列说法： ①若方程有两实数根为1，-2，则ax2+bx+c分解因式得a(x+1)(x-2): ②若ac<0,则方程有两个不相等的实数根； ③若a一b十c=0,则方程一定有一个根为-1： ④若方程有两个不等于0的实数根xx2,则方程cx2+bx+a=0一定有两实数根安，是，其中正确的有 (）, A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 4.(24-25八下-湖南长郡教育集团期中)设x1,x2是方程x2+7x+1=0的两个根，则 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 X1+X2= 5.(24-25九下·湖南长沙湖南师大附中.期中)关于x的一元二次方程x2-mx-3=0有两根，其中一根为 x=一1，则两根之和为 6.(24-25九上·湖南湘西州溶江中学·期中)设x1,X2是一元二次方程x2+2x一3=0的两实数根，则 x1十X2的值为 7.(24-25上湖南长沙华益中学期中)已知m、n是一元二次方程ax2-2x-3=0的两个根，若m+n=2 ,则mn=一 8.(2425九上湖南岳阳岳阳县期中)已知m、n是方程x2+2x一1=0的两个根，则(m+2)(n+2)的 值为一 9.(24-25九上湖南湘潭雨湖区·期中)已知x1、x2是一元二次方程x2-3x一5=0的两根，则 81十X2= 10.(2425九上浏南衡阳县五校联考期中)方程x2+Px+9=0的两根都是非零整数，且p十q=198, 则p=一· 11.(2425九上湖南娄底第二中学期中)设x1,x2是关于x的方程x2-(k+2)x+寺k2+1=0的两个不 相等的实数根. (1)求实数k的取值范围； (2)若x+x3=号，求k的值. 12.(24-25九上·湖南张家界桑植县期中)阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系， 提出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的两根x1x2有如下的关系（韦达定理）： x1十x2=-台，X1x2=; 材料2：如果实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n一1=0，且m≠n,则可利用根的定义构造一元二 次方程x2-x一1=0，然后将m,n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a,b满足：a2+3a-5=0,b2+3b-5=0(a≠b),则a+b=，ab=; (2)若x1X2是方程x2-6x+k十3=0两个不等实数根，且满足5|x1=X2十6，求k的值. 13.(24-25九上·湖南湘潭岳塘区·期中)综合与探究 已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若方程有实数根，求m的取值范围 (2)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值： (3)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1,X2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长， 14.(24-25九上湖南永州第九中学期中)我们约定：在平面直角坐标系中，若点P(x,y)满足x+y=9, 我们就说P点是该平面直角坐标系内的“大九中”点，若函数图象上存在一个或以上的“大九中”点的函数我们 称之为“幸福函数”.根据约定请解决以下问题： (1)若反比例函数y=-碧是“幸福函数”，请问（一3,12）是否是该函数图象上的“大九中”点？（填“是、否” 即可) (2)若函数y=警是“幸福函数”且函数图象上有两个“大九中”点，求k的取值范围： (3)若反比例函数y=受的图象上存在两个“大九中”点为(xy1),(X2y2)且安+京：=m-8,求m的 值。 目目 考点07 一元二次方程的应用 1.(24-25九上湖南邵阳邵东振华中学期中)某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，己知 两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，根据题意列方程得() A.188(1+x)2=108 B.188(1-x)2=108 C.188(1-2x)=108 D.188(1-x2)=108 2.(24-25九上·湖南郴州桂阳县·期中)有一名初中生，前两年学习不够努力，进入初三后，在老师和同学的 帮助下，逐渐意识到学习的重要性和紧迫性，勤奋苦读，成绩突飞猛进.己知他初二下学期期末考试数学 成绩为73分，初三第一次和第二次测试成绩均进步明显，第二次成绩为118分.假定两次增长率相同，设 每次平均增长率为x,可列方程为() A.73+2x=118 B.73(1+x2)=118 C.73(1+x)2=118 D.1+x+x2=118 3.(24-25九上湖南益阳益阳师专附属学校期中)今年10月份以来，我国经济得到回升，A股某一支股票指 数由两周前的2700点涨到3600点，设两周平均每周上涨的百分率为x,可根据题意列方程为」 4.(24-25九上湖南永州冷水滩区永州第十六中学期中为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 不断完善藏书数量，今年9月份阅读公园中有藏书5000册，到今年11月份其中藏书数量增长到7200册， 设该校这两个月藏书的月均增长率为x,根据题意，请列出方程 5.(24-25九上·湖南岳阳岳阳县期中)岳阳县工业园区今年九月份提供就业岗位200个，并按计划逐月增长， 预计十一月份将提供岗位242个.设十、十一两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x,根据题意，可 列方程为 6.(24-25九上·湖南长沙长沙县·期中)长沙县金井茶叶享誉三湘大地，若金井茶叶2022年茶叶总产量约为 1.5万吨，预计2024年茶叶总产量达到2.25万吨，求茶叶总产量的年平均增长率.设茶叶总产量的年平均 增长率为x,则可列方程为 7.(24-25九上·湖南长沙浏阳·期中有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案 在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动.小明被邀请参加一次“微信点 名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人， 且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动.设参与该活动后规定“@x人，则可列出的 方程为」 8.(24-25九上·湖南湘西州溶江中学·期中)数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、 乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程1(c)与时间 t(S)满足关系：1=专t2+t(t≥0)，乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm.甲、乙从开始 运动到第三次相遇时，它们运动了秒 甲A B乙 9.(24-25九上·湖南长沙浏阳·期中为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调， 某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，求改药品平均每次降价的百分率？ 10.(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是 80cm2的有盖的长方体纸盒，他把一张长26cm,宽20cm的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如 图①)，剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）·求长方体纸盒的长、宽、高 各是多少？ 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20cm- 底面 26cm 图① 图② 11.(24-25九上·湖南长沙湖南师大附中梅溪湖中学期中)为迎接湖南师大附中梅溪湖中学办学十周年庆，某 校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为60元，经过校友意见征集后，连续两次降价， 最终每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同 (1)求该文化衫每次降价的百分率： (2)若该文化衫每件的成本价为40元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于4300元？ 12.(24-25九上·湖南永州李达中学.期中2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱， 一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调 查发现，价格每涨2元，就少卖20个 (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)商场改变销售策略，在不改变(1)的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个， 求这两周的平均增长率 13.(24-25九上·湖南邵阳洞口县·期中)据调查，2022年国庆假某景点累计接待游客为36万人次，2024年 国庆假该景点接待游客为81万人次， (1)求2022年国庆假期到2024年国庆假期该景点累计接待游客的年平均增长率； (2)该景点某商户购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元.如果销售单价定为每件40元， 那么日销售量将达到100件，据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件.要使每天销售这 种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 14.(24-25九上湖南永州第九中学期中暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开 展乒乓球拍促销活动。 (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，己知6月共销售乒乓球拍500副， 每月的月销售增长率相同，8月共销售720副，求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率； (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售20副，每副盈利30元，每下降1元，则每天可多售4副，在 每副降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1000元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 15.(24-25九上·湖南永州蓝山县·期中)党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”