精品解析：重庆市秀山土家族苗族自治县2020-2021学年八年级下学期期末考试数学试题

2021年春期学生期末考试 八年级数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）请将答题卡上对应题号的正确答案标号涂黑． 1. 要使有意义，必须满足（ ）． A. B. C. 为非负数 D. 为任何实数 2. 数据2，3，4，1，2，4，3，3的众数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 有两条线段，，且，，若使线段与线段、构成直角三角形，则线段的长可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 5. 下面关于平行四边形的说法中错误的是（ ） A. 平行四边形的两条对角线相等 B. 平行四边形的两条对角线互相平分 C. 平行四边形的对角相等 D. 平行四边形的对边相等 6. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 7. 如图：已知，平行四边形中，，为垂足，如果，则度数是（ ） A. B. C. D. 8. 估计的值（ ） A. 在2和3之间 B. 在3和4之间 C. 在4和5之间 D. 在5和6之间 9. 第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示．则下列说法中正确的是（ ） A. ，应该选取B选手参加比赛 B. ，应该选取A选手参加比赛 C. ，应该选取B选手参加比赛 D. ，应该选取A选手参加比赛 10. 如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为81，则第2021次输出的结果为（　　） A. 27 B. 9 C. 3 D. 1 11. 观察下列各式：，，，…请你找出其中规律，则第2021个等式为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，边的长为3，点、，分别在上，连接，，，，若四边形是菱形，且，则边的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将你认为正确的答案填在答题卡相应位置的横线上． 13. 与大小关系是______． 14. 把直线向下平移3个单位得到一条新的直线，则这条新直线的解析式为______． 15. 为考查甲、乙两个品种西瓜的甜度，每个品种随机选取4个西瓜进行检测，得到甲品种西瓜甜度数据：34，26，31，25；乙品种西瓜甜度数据：33，32，30，22．则甜度平均数较小的一个品种是______． 16. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______． 17. 如图，从电线杆离地面12m处向地面拉一条长为13m的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为_____． 18. 我县推出、、三种土特产竹笋、黄花、芽菜组合成的礼盒，A种礼盒含竹笋4袋、黄花8袋；B种礼盒含竹笋3袋，黄花8袋，芽菜1袋；C种礼盒含竹笋2袋，黄花6袋，芽菜1袋．已知竹笋每袋20元，黄花每袋15元，芽菜每袋100元，某天卖这三种礼盒共9440元，其中竹笋的销售额为2320元，则芽菜的销售袋数为______． 三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，四边形ABCD是平行四边形． （1）尺规作图，作的平分线交于点E，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的度数． 21. 为合理高效使用水资源，某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过10吨，按每吨2.7元收费．如果超过10吨，未超过的部分按每吨2.7元收费，超过的部分按每吨4.6元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元． （1）写出y与x之间的函数关系式． （2）若该城市某户5月份水费平均为每吨3.84元，求该户5月份用水多少吨？ 22. 某中学在开展“群文阅读、畅游书海”读书活动中，为了解八年级500名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，如统计表所示： 册数 1 2 3 4 5 人数 2 13 14 18 3 （1）这50个样本数据的众数为______，中位数是______． （2）求这50个样本数据的平均数； （3）根据样本数据，估计该校八年级500名学生在本次活动中读书多于2册人数． 23. 小甘根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小甘的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量x可以是 ； （2）如表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … ①______； ②若，为该函数图象上不同的两点，则______； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； 根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②已知直线与函数图象交于C、D两点，当时x的取值范围是______． 24. 把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“归一数”，例如： 所以31和19都是“归一数”． （1）32______（填“是”或“不是”）“归一数”；最小的三位“归一数”是______； （2）若一个两位“归一数”经过两次运算后结果为1，求出这个“归一数”； （3）请证明任意一个“归一数”经过若干次运算后都不可能得到16． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求、的值； （2）设一次函数的图象与轴交于点，求的面积； （3）直接写出使函数的值小于函数的值的自变量的取值范围． 四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 26. 已知，在中． （1）如图1，平分交于点，于点，交于点，连接．求证：四边形菱形； （2）如图2，连接，，过点作，垂足为，延长与交于点． ①若，，求的长． ②若，过点作于点，连接、．请用等式表式线段之间的数量关系（直接写出结果，不需证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年春期学生期末考试 八年级数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）请将答题卡上对应题号的正确答案标号涂黑． 1. 要使有意义，必须满足（ ）． A. B. C. 为非负数 D. 为任何实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 2. 数据2，3，4，1，2，4，3，3的众数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．根据众数的概念求解即可． 【详解】解：这组数据中3出现次数最多， 所以这组数据的众数为3， 故选：C． 3. 有两条线段，，且，，若使线段与线段、构成直角三角形，则线段的长可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，关键掌握当三角形中三边的关系为：时，三角形为直角三角形． 根据直角三角形的判定，符合即可；反之不符合的不能构成直角三角形． 【详解】解：A、因为，故不能构成直角三角形，不符合题意； B、因为，故不能构成直角三角形，不符合题意； C、因，故能构成直角三角形，符合题意； D、因为，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 4. 表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的一般形式（k，b为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是①④， 故选：D． 5. 下面关于平行四边形的说法中错误的是（ ） A. 平行四边形的两条对角线相等 B. 平行四边形的两条对角线互相平分 C. 平行四边形的对角相等 D. 平行四边形的对边相等 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分， B、C、D说法正确； 平行四边形的对角线不一定相等，故A说法错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据一次函数中，即可得出所经过象限． 【详解】解：函数中， ∴一次函数经过第一、三、四象限． 故选：C． 7. 如图：已知，平行四边形中，，为垂足，如果，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 8. 估计的值（ ） A. 在2和3之间 B. 在3和4之间 C. 在4和5之间 D. 在5和6之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是无理数的估算，首先求出的估算值，从而得出的估算值，得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即的值在2和3之间， 故选：A． 9. 第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示．则下列说法中正确的是（ ） A. ，应该选取B选手参加比赛 B. ，应该选取A选手参加比赛 C. ，应该选取B选手参加比赛 D. ，应该选取A选手参加比赛 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 【详解】解：根据统计图可得出：A选手的成绩更稳定，则， 故应该选取A选手参加比赛； 故选：B． 10. 如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为81，则第2021次输出的结果为（　　） A. 27 B. 9 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用程序图进行计算，通过观察计算结果找出规律，利用规律即可求得结论． 【详解】解：由题意得， 第一次输入x的值为81，输出的数值为， 第二次输入x的值为27，输出的数值为， 第三次输入x的值为9，输出的数值为， 第四次输入x的值为3，输出的数值为， 第五次输入x的值为1，输出的数值为， 第六次输入x的值为9，输出的数值为， 第七次输入x的值为3，输出的数值为， ••••••， 所以，从第二次开始，输出的数值为9，3，1的循环， ∵， ∴2021次输出的结果与第二次输出的结果相同， ∴2021次输出的结果为9， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，本题是操作型题目，依据程序图找出输出数值的规律是解题的关键． 11. 观察下列各式：，，，…请你找出其中规律，则第2021个等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是数字的变化规律，根据所给等式，可得出一般规律，即第n个等式为，其中n为正整数，当时，代入计算即可． 【详解】解：根据上述等式，可知：第n个等式为，其中n为正整数， ∴第2021个等式为， 故选：C． 12. 如图，在矩形中，边的长为3，点、，分别在上，连接，，，，若四边形是菱形，且，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，根据矩形的性质和菱形的性质得，，因为四边形是菱形，所以可求出，，进而可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将你认为正确的答案填在答题卡相应位置的横线上． 13. 与的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小关系，利用估算法比较实数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 把直线向下平移3个单位得到一条新的直线，则这条新直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图象平移的规则．根据函数图象平移的规则“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：把直线向下平移3个单位得到一条新的直线， 则这条新直线的解析式为， 故答案为：． 15. 为考查甲、乙两个品种西瓜的甜度，每个品种随机选取4个西瓜进行检测，得到甲品种西瓜甜度数据：34，26，31，25；乙品种西瓜甜度数据：33，32，30，22．则甜度平均数较小的一个品种是______． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查平均数，根据平均数的计算公式，求出两种西瓜甜度的平均数，进行判断即可． 【详解】解：甲品种西瓜甜度数据的平均数为：； 乙品种西瓜甜度数据的平均数为：； 因为， 故甜度平均数较小的一个品种是甲； 故答案为：甲． 16. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理的运用，因为为边上的高，要求的面积，求得即可，求证，得，设，则在中，根据勾股定理求x，可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠得，， ∴，， 又， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解之得：， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，从电线杆离地面12m处向地面拉一条长为13m的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为_____． 【答案】5m． 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到结果． 【详解】解：在Rt△ABC中BC=12，AC=13，AB2+BC2=AC2 ∴AB2=AC2-BC2=132-122=25 ∴AB=5 答:地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为5米． 考点：本题考查勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方． 18. 我县推出、、三种土特产竹笋、黄花、芽菜组合成的礼盒，A种礼盒含竹笋4袋、黄花8袋；B种礼盒含竹笋3袋，黄花8袋，芽菜1袋；C种礼盒含竹笋2袋，黄花6袋，芽菜1袋．已知竹笋每袋20元，黄花每袋15元，芽菜每袋100元，某天卖这三种礼盒共9440元，其中竹笋的销售额为2320元，则芽菜的销售袋数为______． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出三元一次方程组，是解题的关键：设A、B、C三种礼盒的销售数量分别为 x、y、z，根据竹笋的销售额为2320元，求出卖出竹笋的袋数，进而得到销售的三个礼盒中竹笋的总袋数，再结合卖这三种礼盒共9440元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设A、B、C三种礼盒的销售数量分别为 x、y、z， ∵竹笋的销售额为2320元， ∴卖出竹笋的袋数为， ∴①， ∵卖这三种礼盒共9440元， ∴， 整理，得：②， ，得：， ∴， ∴芽菜的销售袋数为； 故答案为：28． 三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则，是解题的关键： （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）先进行乘除运算再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 20. 如图，四边形ABCD是平行四边形． （1）尺规作图，作的平分线交于点E，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的度数． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据平行线的性质结合角平分线，求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21. 为合理高效使用水资源，某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过10吨，按每吨2.7元收费．如果超过10吨，未超过的部分按每吨2.7元收费，超过的部分按每吨4.6元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元． （1）写出y与x之间的函数关系式． （2）若该城市某户5月份水费平均为每吨3.84元，求该户5月份用水多少吨？ 【答案】（1）当时，，当时，； （2）25吨． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，得到用水超过10吨的水费的关系式的解决本题的关键． （1）未超过10吨时，水费相应吨数；超过10吨时，水费超过10吨的吨数； （2）先由某户5月份水费平均为每吨3.84元大于2.7元，判断出该户5月份用水超过10吨，再根据等量关系式：用水吨数超过10吨的吨数列出方程即可． 【小问1详解】 当时，，当时，，即； 【小问2详解】 该户5月份水费平均为每吨3.84元， 该户5月份用水超过的10吨． 设该户5月份用水吨数为a吨， 得， 解得． 答：该户5月份用水25吨． 22. 某中学在开展“群文阅读、畅游书海”读书活动中，为了解八年级500名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，如统计表所示： 册数 1 2 3 4 5 人数 2 13 14 18 3 （1）这50个样本数据众数为______，中位数是______． （2）求这50个样本数据的平均数； （3）根据样本数据，估计该校八年级500名学生在本次活动中读书多于2册的人数． 【答案】（1）4，3 （2） （3）估计该校八年级500名学生在本次活动中读书多于2册的人数为350 【解析】 【分析】本题考查求众数，中位数和平均数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的确定方法进行计算即可； （2）根据加权平均数计算公式进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：读4册的人数最多，故众数为4， 数据排序后，第25和第26个数据均为3，故中位数为3； 故答案为：4，3 【小问2详解】 ； 故这50个样本数据的平均数为； 【小问3详解】 （人）； 答：估计该校八年级500名学生在本次活动中读书多于2册的人数为350． 23. 小甘根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小甘的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量x可以是 ； （2）如表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … ①______； ②若，为该函数图象上不同的两点，则______； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； 根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②已知直线与函数的图象交于C、D两点，当时x的取值范围是______． 【答案】（1）任意实数 （2）①0② （3）①② 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想，正确画出函数的图象是解题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可以判断得解； （2）①把代入，即可求出m； ②把代入，即可求出n； （3）①画出该函数的图象即可求解； ②在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据图象即可求出时x的取值范围，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意得，结合一次函数的性质可知，自变量可以是任意实数， 故答案为：任意实数 【小问2详解】 解：①由题意，把把代入， 得， 即； ②把代入， 得 ∴ 解得 ∵，为该函数图象上不同的两点， 即； 【小问3详解】 解：①函数的图象如图所示： 观察图象，该函数的最小值为； ②依题意，函数图象如图所示： ∵直线与函数的图象交于C、D两点， ∴当时x的取值范围是． 24. 把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“归一数”，例如： 所以31和19都是“归一数”． （1）32______（填“是”或“不是”）“归一数”；最小的三位“归一数”是______； （2）若一个两位“归一数”经过两次运算后结果为1，求出这个“归一数”； （3）请证明任意一个“归一数”经过若干次运算后都不可能得到16． 【答案】（1）是，100 （2）13、31、68或86 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查新定义下的规律探索： （1）根据新定义，进行判断和求解即可； （2）根据一个两位“归一数”经过两次运算后结果为1，得到经过一次运算后结果为10或100，将10和100拆分成两个平方数相加的格式即可得出结论； （3）证明16不归一数即可． 【小问1详解】 解：； 故32是“归一数”； ∵； 故最小的三位“归一数”是； 【小问2详解】 ∵一个两位“归一数”经过两次运算后结果为1， ∴该两位数经过一次运算为10或100， ∵，， ∴这个“归一数”为13、31、68或86． 【小问3详解】 ∵ ， 故16不是“归一数”， ∵任意一个“归一数”经过若干次运算后得到的数均为归一数， ∴任意一个“归一数”经过若干次运算后都不可能得到16． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与正比例函数的图象交于点． （1）求、的值； （2）设一次函数的图象与轴交于点，求的面积； （3）直接写出使函数的值小于函数的值的自变量的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（）把代入正比例函数解析式可求出的值，即得到点的坐标，再代入一次函数解析式可求出的值； （）求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的几何应用，一次函数与不等式，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入正比例函数，得， ∴， ∴， 把代入一次函数，得， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴一次函数， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，函数的值小于函数的值． 四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 26. 已知，在中． （1）如图1，平分交于点，于点，交于点，连接．求证：四边形是菱形； （2）如图2，连接，，过点作，垂足为，延长与交于点． ①若，，求的长． ②若，过点作于点，连接、．请用等式表式线段之间的数量关系（直接写出结果，不需证明）． 【答案】（1）见解析 （2）①② 【解析】 【分析】（1）平行结合角平分线，推出，三线合一推出，进而推出，得到，得到四边形是平行四边形，再根据，即可得出结论； （2）①线段的和差求出的长，进而得到的长，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，根据平行四边形的性质，得到，即可； ②易证为等腰直角三角形，得到，，证明为等腰三角形，进而得到，推出，等边对等角求出的度数，证明，求出的度数，进而求出，得到，作，交的延长线于点，证明，进而得到，求出，进而推出，得到，再根据线段的和差，等量代换即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， 作，交的延长线于点， 则：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $