专题01 分式（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材北京版

专题01 分式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律  分式概念与意义 识别与判断： 能准确判断代数式是否为分式，并能根据给定分式求出其有意义的条件。 【易错点】 • 求解分母≠0时，解方程出错或漏解（如 x²-4≠0 的解集是 x≠2 且 x≠-2）。 【命题趋势】 • 常与二次根式、绝对值等结合，考查复合型有意义条件。 分式基本性质 理解与应用： 能熟练运用分式的基本性质对分式进行变形、约分和通分。 【易错点】 • 滥用性质： 错误认为  a/b = (a+c)/(b+c) • 约分不彻底： 约分后结果不是最简分式 分式的乘除（含乘方）  准确计算： 能熟练进行分式的乘法、除法、乘方运算，并将结果化为最简形式。 【易错点】 • 运算顺序错误： 先算乘除后算乘方。 • 乘方时漏乘： 对分子、分母中的多项式进行乘方时，漏乘某项。 分式的加减 准确计算： 能准确确定最简公分母，并熟练进行同分母和异分母分式的加减运算。 【易错点】 • 通分错误： 最简公分母找错。 • 分子漏乘： 通分后，分子忘记乘相应的因式。 • 符号错误： 当分式前有负号时，去括号后符号处理错误。 分式的混合运算 规范化简： 能按照正确的运算顺序进行分式的混合运算，并能对复杂分式进行化简和求值。 【易错点】 • 顺序混乱： 违反先乘方、再乘除、后加减的顺序。 【命题趋势】 • 化简求值题是必考题型，常给定一个特殊条件（如 a²+2a=1），考查整体代入思想。 分式方程的解法 熟练求解： 掌握去分母、解整式方程、检验三步骤，能独立求出分式方程的根。 【易错点】 • 忘记检验： 这是最核心、最高频的失分点。 • 去分母漏乘： 方程两边乘以公分母时，常数项或整式项漏乘。 分式方程的应用 解决应用： 能分析实际问题（工程、行程、销售等），通过列表等方式找等量关系，列出分式方程并求解，验证结果的合理性。 【易错点】 • 单位不统一或设未知数时单位错误。 • 检验时只检验是否是增根，而未检验是否符合实际意义（如速度不能为负）。 【命题趋势】 • 分式方程应用题是期中压轴题的热门选择，综合性强，难度较高。 知识点01分式的定义 概念： 一般地，用A，B表示两个整式，A÷B（B≠0）可以表示为 A/B 的形式。如果B中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。 要点： 分式是两个整式相除的商，其中分母是含有字母的整式。 示例： 1/x, (x+1)/(x-2), 3m²n/(2m-n) 都是分式。a/2 因为分母不含字母，所以是整式，不是分式。 知识点02 分式有意义的条件 法则： 分式的分母不能等于零。 求法： 令分母≠0，解方程或不等式。 示例： 分式 (x-5)/(x²-9) 有意义的条件是 x²-9 ≠ 0，即 x ≠ 3 且 x ≠ -3。 易错点： 忽略“且”的关系。例如上例中，x不能取3和-3两个值，而非只不能取一个。 与“分式的值为零”的条件混淆（见下一点）。 知识点03 分式的值为零的条件： 法则： 分式的值为零，需同时满足两个条件：①分子等于零；②分母不等于零。 求法： 先令分子=0，求出所有值，再逐个代入分母检验，使分母≠0的值才是最终答案。 示例： 若分式 (x²-4)/(x-2) 的值为0，则 x²-4=0 解得 x=±2。代入分母检验：当 x=2 时，分母 x-2=0，舍去；当 x=-2 时，分母 -2-2=-4≠0。故 x=-2。 易错点： 只看到分子为零就下结论，忽略分母不能为零的前提，导致出现增根。 知识点04 分式的基本性质 法则： 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 即：A/B = (A·M)/(B·M), A/B = (A÷M)/(B÷M) （其中M是不等于零的整式）。 主要应用： 约分： 把一个分式的分子与分母的公因式约去。 关键： 先将分子、分母因式分解，再约去公因式。- 示例： (6a³b⁴c)/(8a²b⁵c³) = (3a)/(4b c²) （约去公因式 2a²b⁴c） 通分： 把几个异分母的分式化为同分母的分式。 关键： 确定最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积）。 示例： 分式 1/(2x²y) 和 3/(4xyz) 的最简公分母是 4x²yz。 1/(2x²y) = (2z)/(4x²yz) 3/(4xyz) = (3x)/(4x²yz) 易错点： 约分时，只能约去公因式，不能约去分子分母中的“和”项。例如，(x+1)/(x(x+1)) = 1/x 是对的，但 (x+1)/(x+2) 已是最简，无法约分。 滥用性质，错误认为 a/b = (a+c)/(b+c)。 知识点05 分式的乘除 乘法法则： a/b · c/d = (a·c)/(b·d) 除法法则： a/b ÷ c/d = a/b · d/c = (a·d)/(b·c) （除以一个分式等于乘以它的倒数） 乘方法则： (a/b)^n = a^n / b^n （n为正整数） 步骤： ①将除法转为乘法；②分子、分母分别相乘；③约分化为最简。 示例： (x²-4)/(x²-4x+4) ÷ (x+2)/(x-2) = [(x+2)(x-2)]/(x-2)² · (x-2)/(x+2) = 1 知识点06 分式的加减： 同分母分式： 分母不变，把分子相加减。a/c ± b/c = (a±b)/c 异分母分式： 先通分，化为同分母分式，再加减。a/b ± c/d = (ad ± bc)/(bd) 步骤： ①通分（关键找最简公分母）；②按同分母法则运算；③合并分子；④约分。 示例： 1/(x-1) - 2/(x²-1) = 1/(x-1) - 2/[(x+1)(x-1)] = (x+1)/(x²-1) - 2/(x²-1) = (x-1)/(x²-1) = 1/(x+1) 知识点07 分式的混合运算： 法则： 遵循实数运算同样的顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内的。 示例： [1/(x+2) - 1/(x-2)] · (x²-4)/x = { [(x-2) - (x+2)] / [(x+2)(x-2)] } · (x²-4)/x = [-4 / (x²-4)] · (x²-4)/x = -4/x 易错点： 运算顺序错误，尤其是乘除和加减同时存在时。 通分时分子漏乘，例如通分后，分子忘记乘相应的因式。 符号错误，当分式前有负号或分子是多项式时，去括号时符号出错。 知识点08 分式方程 定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 解分式方程的步骤： 去分母： 方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程。 解整式方程： 解这个转化后的整式方程。 检验： 将求得的整式方程的解代入最简公分母中检验。 若最简公分母的值不为0，则该解是原分式方程的根。 若最简公分母的值为0，则该解是增根，必须舍去。 写结论： 写出原分式方程的根。 示例： 解方程 2/(x-3) = 3/x 解： 两边同乘最简公分母 x(x-3)： 2x = 3(x-3) 解整式方程： 2x = 3x - 9 => x = 9 检验： 当 x=9 时，最简公分母 x(x-3)=9×(9-3)=54≠0。 结论： ∴ x=9 是原方程的根。 易错点： 忘记检验！ 这是解分式方程最核心、最容易失分的一步。 去分母时漏乘：方程两边的每一项都要乘以最简公分母，常数项切勿忘记乘。 题型一 分式运算中的“整体约分”与“连锁约分” 解｜题｜技｜巧 观察结构： 不要急于计算。先观察分子和分母，看是否是积的形式，或者能否通过因式分解变成积的形式。 寻找公因式： 寻找分子和分母中完全相同或仅差一个符号的因式。（注意：(a-b) 和 (b-a) 是相反数，约分后得 -1）。 整体思想： 将分子或分母中一个复杂的部分看作一个“整体”，这个整体可能作为一个公因式被约掉。 易错点拨： 错误： 只能约掉“乘”起来的因子，不能约掉“加”起来的项。例如，(x+1)/(x+2) 中的 x 或 1、2 都不能单独约掉。 陷阱： 忽略符号变化。约分后，负号要妥善处理。 【典例1】12．将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【变式1】完成下列各题： （1） （2） 【变式2】约分：． 题型二 分式方程中的“增根”与“无解”问题 解｜题｜技｜巧 明确概念： 增根： 使分式方程的最简公分母等于0的根。 无解： 分式方程的所有根都是增根，或者转化得到的整式方程本身无解（例如 0x=5）。 解题步骤： a. 按正常步骤去分母，解整式方程。 b. 让解出的根等于“使公分母为0的值”，解出参数（如 m）。 c. 将求得的参数值代回原方程验证，看是否整式方程无解或所有根都是增根。 易错点拨： 错误： 认为“无解”就是“有增根”，概念混淆。 陷阱： 只考虑了增根的情况，忽略了整式方程本身无解的情况。 【典例1】若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式1】 关于x的方程会产生增根，那么k的值（   ） A．3 B． C．1 D． 【变式2】若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 题型三 分式与不等式（组）的结合问题 解｜题｜技｜巧 独立求解： 分别解出分式方程和不等式（组）。解分式方程务必检验。 交集： 将分式方程的解（一个或几个具体的数值）代入不等式（组）的解集中，看哪些值满足条件。 规范作答： 最终答案应是满足所有条件的方程解的集合。 易错点拨： 忽略前提： 在解分式方程时已经检验过的解，在与不等式结合时，依然要再次确认它是否在不等式的解集内。 思维定势： 认为方程的解一定满足不等式，直接写出答案，缺乏代入验证的步骤。 【典例1】不等式的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 【变式2】不等式组的解集是（　　） A．x＞2 B．x≥3 C．2＜x≤3 D．x≥2 题型四 分式应用题 解｜题｜技｜巧 列表分析法： 用表格梳理三个基本量： 行程问题： 路程、速度、时间。 工程问题： 工作量、工作效率、工作时间。 （通常设工作总量为“1”） 找等量关系： 聚焦“时间”或“工作量”的差值（如“提前xx天”、“多完成xx”），或“速度”、“效率”的变化关系（如“提高到原来的几倍”）。 合理设元： 通常设所求的原始量（如原计划速度、原工作效率）为未知数 x。 双重检验： 解出方程后，既要检验是否为增根，也要检验答案是否符合实际意义（如速度、时间不能为负数）。 易错点拨： 单位不统一： 审题时未注意单位，如千米/小时与米/分钟的混用。 等量关系找错： 混淆“实际比计划快”和“计划比实际快”等表述，导致方程列反。 【典例1】王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 【变式1】小欣和小军周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，已知路线总长为，小欣骑行速度比小军快，小军完成全部行程所用的时间比小欣多5分钟．设小军这次骑行速度为，依题意，可列方程为 ． 【变式2】一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要 小时． 题型五 “新定义”型分式运算问题 解｜题｜技｜巧 理解“新定义”： 耐心、仔细地阅读题目给出的新运算符号（如 ※、★）或新概念（如“和谐分式”）的规则，模仿示例进行操作。 转化为旧知识： 将新定义的操作，转化为我们熟悉的分式运算法则（通分、约分、乘除等）。 按部就班： 严格按照新定义的运算顺序和规则进行计算或推理，不要和已有的知识混淆。 易错点拨： 误读规则： 没有正确理解新运算的优先级和操作方式，想当然地按老方法做。 缺乏耐心： 被题目冗长的描述吓到，未能静下心来理解其本质。 【典例1】我们定义：若两个分式与的和为常数，且，则称是的“和约分式”，称为关于的“和约分式值”．如分式，，，则是的“和约分式”，．已知分式，，且是为的“和约分式”，则关于的“和约分式值”是（   ） A． B． C． D． 【变式1】定义新运算：，若，则的值是 ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．某商店销售一种休闲上装，月份的营业额为元．为了扩大销售，在月份将每件上装按原价的折销售，销售量比月份增加了件，营业额比月份增加了元．设月份每件上装的售价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．若，则的值为 ． 5．计算： ． 6．先化简，再求值：，其中． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 2．将分式中的同时扩大为原来的3倍，分式的值将（    ） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 3．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 4．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 5．若，则的值为 ． 6．若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”． (1)若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为，求m，n的值； (2)若“好分式”的“好整式”为，请判断是否是“好分式”，并说明理由． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律  分式概念与意义 识别与判断： 能准确判断代数式是否为分式，并能根据给定分式求出其有意义的条件。 【易错点】 • 求解分母≠0时，解方程出错或漏解（如 x²-4≠0 的解集是 x≠2 且 x≠-2）。 【命题趋势】 • 常与二次根式、绝对值等结合，考查复合型有意义条件。 分式基本性质 理解与应用： 能熟练运用分式的基本性质对分式进行变形、约分和通分。 【易错点】 • 滥用性质： 错误认为  a/b = (a+c)/(b+c) • 约分不彻底： 约分后结果不是最简分式 分式的乘除（含乘方）  准确计算： 能熟练进行分式的乘法、除法、乘方运算，并将结果化为最简形式。 【易错点】 • 运算顺序错误： 先算乘除后算乘方。 • 乘方时漏乘： 对分子、分母中的多项式进行乘方时，漏乘某项。 分式的加减 准确计算： 能准确确定最简公分母，并熟练进行同分母和异分母分式的加减运算。 【易错点】 • 通分错误： 最简公分母找错。 • 分子漏乘： 通分后，分子忘记乘相应的因式。 • 符号错误： 当分式前有负号时，去括号后符号处理错误。 分式的混合运算 规范化简： 能按照正确的运算顺序进行分式的混合运算，并能对复杂分式进行化简和求值。 【易错点】 • 顺序混乱： 违反先乘方、再乘除、后加减的顺序。 【命题趋势】 • 化简求值题是必考题型，常给定一个特殊条件（如 a²+2a=1），考查整体代入思想。 分式方程的解法 熟练求解： 掌握去分母、解整式方程、检验三步骤，能独立求出分式方程的根。 【易错点】 • 忘记检验： 这是最核心、最高频的失分点。 • 去分母漏乘： 方程两边乘以公分母时，常数项或整式项漏乘。 分式方程的应用 解决应用： 能分析实际问题（工程、行程、销售等），通过列表等方式找等量关系，列出分式方程并求解，验证结果的合理性。 【易错点】 • 单位不统一或设未知数时单位错误。 • 检验时只检验是否是增根，而未检验是否符合实际意义（如速度不能为负）。 【命题趋势】 • 分式方程应用题是期中压轴题的热门选择，综合性强，难度较高。 知识点01分式的定义 概念： 一般地，用A，B表示两个整式，A÷B（B≠0）可以表示为 A/B 的形式。如果B中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。 要点： 分式是两个整式相除的商，其中分母是含有字母的整式。 示例： 1/x, (x+1)/(x-2), 3m²n/(2m-n) 都是分式。a/2 因为分母不含字母，所以是整式，不是分式。 知识点02 分式有意义的条件 法则： 分式的分母不能等于零。 求法： 令分母≠0，解方程或不等式。 示例： 分式 (x-5)/(x²-9) 有意义的条件是 x²-9 ≠ 0，即 x ≠ 3 且 x ≠ -3。 易错点： 忽略“且”的关系。例如上例中，x不能取3和-3两个值，而非只不能取一个。 与“分式的值为零”的条件混淆（见下一点）。 知识点03 分式的值为零的条件： 法则： 分式的值为零，需同时满足两个条件：①分子等于零；②分母不等于零。 求法： 先令分子=0，求出所有值，再逐个代入分母检验，使分母≠0的值才是最终答案。 示例： 若分式 (x²-4)/(x-2) 的值为0，则 x²-4=0 解得 x=±2。代入分母检验：当 x=2 时，分母 x-2=0，舍去；当 x=-2 时，分母 -2-2=-4≠0。故 x=-2。 易错点： 只看到分子为零就下结论，忽略分母不能为零的前提，导致出现增根。 知识点04 分式的基本性质 法则： 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 即：A/B = (A·M)/(B·M), A/B = (A÷M)/(B÷M) （其中M是不等于零的整式）。 主要应用： 约分： 把一个分式的分子与分母的公因式约去。 关键： 先将分子、分母因式分解，再约去公因式。- 示例： (6a³b⁴c)/(8a²b⁵c³) = (3a)/(4b c²) （约去公因式 2a²b⁴c） 通分： 把几个异分母的分式化为同分母的分式。 关键： 确定最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积）。 示例： 分式 1/(2x²y) 和 3/(4xyz) 的最简公分母是 4x²yz。 1/(2x²y) = (2z)/(4x²yz) 3/(4xyz) = (3x)/(4x²yz) 易错点： 约分时，只能约去公因式，不能约去分子分母中的“和”项。例如，(x+1)/(x(x+1)) = 1/x 是对的，但 (x+1)/(x+2) 已是最简，无法约分。 滥用性质，错误认为 a/b = (a+c)/(b+c)。 知识点05 分式的乘除 乘法法则： a/b · c/d = (a·c)/(b·d) 除法法则： a/b ÷ c/d = a/b · d/c = (a·d)/(b·c) （除以一个分式等于乘以它的倒数） 乘方法则： (a/b)^n = a^n / b^n （n为正整数） 步骤： ①将除法转为乘法；②分子、分母分别相乘；③约分化为最简。 示例： (x²-4)/(x²-4x+4) ÷ (x+2)/(x-2) = [(x+2)(x-2)]/(x-2)² · (x-2)/(x+2) = 1 知识点06 分式的加减： 同分母分式： 分母不变，把分子相加减。a/c ± b/c = (a±b)/c 异分母分式： 先通分，化为同分母分式，再加减。a/b ± c/d = (ad ± bc)/(bd) 步骤： ①通分（关键找最简公分母）；②按同分母法则运算；③合并分子；④约分。 示例： 1/(x-1) - 2/(x²-1) = 1/(x-1) - 2/[(x+1)(x-1)] = (x+1)/(x²-1) - 2/(x²-1) = (x-1)/(x²-1) = 1/(x+1) 知识点07 分式的混合运算： 法则： 遵循实数运算同样的顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内的。 示例： [1/(x+2) - 1/(x-2)] · (x²-4)/x = { [(x-2) - (x+2)] / [(x+2)(x-2)] } · (x²-4)/x = [-4 / (x²-4)] · (x²-4)/x = -4/x 易错点： 运算顺序错误，尤其是乘除和加减同时存在时。 通分时分子漏乘，例如通分后，分子忘记乘相应的因式。 符号错误，当分式前有负号或分子是多项式时，去括号时符号出错。 知识点08 分式方程 定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 解分式方程的步骤： 去分母： 方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程。 解整式方程： 解这个转化后的整式方程。 检验： 将求得的整式方程的解代入最简公分母中检验。 若最简公分母的值不为0，则该解是原分式方程的根。 若最简公分母的值为0，则该解是增根，必须舍去。 写结论： 写出原分式方程的根。 示例： 解方程 2/(x-3) = 3/x 解： 两边同乘最简公分母 x(x-3)： 2x = 3(x-3) 解整式方程： 2x = 3x - 9 => x = 9 检验： 当 x=9 时，最简公分母 x(x-3)=9×(9-3)=54≠0。 结论： ∴ x=9 是原方程的根。 易错点： 忘记检验！ 这是解分式方程最核心、最容易失分的一步。 去分母时漏乘：方程两边的每一项都要乘以最简公分母，常数项切勿忘记乘。 题型一 分式运算中的“整体约分”与“连锁约分” 解｜题｜技｜巧 观察结构： 不要急于计算。先观察分子和分母，看是否是积的形式，或者能否通过因式分解变成积的形式。 寻找公因式： 寻找分子和分母中完全相同或仅差一个符号的因式。（注意：(a-b) 和 (b-a) 是相反数，约分后得 -1）。 整体思想： 将分子或分母中一个复杂的部分看作一个“整体”，这个整体可能作为一个公因式被约掉。 易错点拨： 错误： 只能约掉“乘”起来的因子，不能约掉“加”起来的项。例如，(x+1)/(x+2) 中的 x 或 1、2 都不能单独约掉。 陷阱： 忽略符号变化。约分后，负号要妥善处理。 【典例1】12．将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【答案】，， 【分析】根据约分的定义，先将，的分子分母分别分解因式，再约去它们的公因式，将两个分式化成最简分式，再根据通分的定义，将两个分式化成同分母的分式，最后根据同分母分式相加减的法则，将两个分式相加，把最后结果化成最简分式即可；本题考查了分式的约分、通分以及同分母分式相加减，熟练掌握约分、通分的概念以及同分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以这两个分式的最简公分母是， 所以， 所以． 【变式1】完成下列各题： （1） （2） 【答案】（1）；（2）x+1． 【分析】（1）先对分式的分子分母因式分解，然后再约分即可； （2）先通分、然后再加减运算、最后化简即可． 【详解】解：（1） = =； （2） = = = =x+1． 【变式2】约分：． 【答案】 【分析】根据提公因式、平方差公式、完全平方公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：原式， ， ． 题型二 分式方程中的“增根”与“无解”问题 解｜题｜技｜巧 明确概念： 增根： 使分式方程的最简公分母等于0的根。 无解： 分式方程的所有根都是增根，或者转化得到的整式方程本身无解（例如 0x=5）。 解题步骤： a. 按正常步骤去分母，解整式方程。 b. 让解出的根等于“使公分母为0的值”，解出参数（如 m）。 c. 将求得的参数值代回原方程验证，看是否整式方程无解或所有根都是增根。 易错点拨： 错误： 认为“无解”就是“有增根”，概念混淆。 陷阱： 只考虑了增根的情况，忽略了整式方程本身无解的情况。 【典例1】若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题．先将方程两边乘以最简公分母化为整式方程，再将增根代入整式方程求解参数． 【详解】解：， 去分母得：， 即， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】 关于x的方程会产生增根，那么k的值（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 【变式2】若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先把去分母整理得，结合，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， 整理得， ∴去分母得， 整理得， 即， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 故， ∴ ∴， 故答案为： 题型三 分式与不等式（组）的结合问题 解｜题｜技｜巧 独立求解： 分别解出分式方程和不等式（组）。解分式方程务必检验。 交集： 将分式方程的解（一个或几个具体的数值）代入不等式（组）的解集中，看哪些值满足条件。 规范作答： 最终答案应是满足所有条件的方程解的集合。 易错点拨： 忽略前提： 在解分式方程时已经检验过的解，在与不等式结合时，依然要再次确认它是否在不等式的解集内。 思维定势： 认为方程的解一定满足不等式，直接写出答案，缺乏代入验证的步骤。 【典例1】不等式的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式组的解集．由题意得到或，再分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 对于，解得； 对于，解得，无解； 故选：B． 【变式1】不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】找出两个不等式的公共解集即可得出答案． 【详解】∵两个不等式解集的公共解集为， ∴不等式组的解集为． 故选：C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确找出两个解集的公共解集是解题关键． 【变式2】不等式组的解集是（　　） A．x＞2 B．x≥3 C．2＜x≤3 D．x≥2 【答案】B 【详解】分析：先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求出两个解集的公共部分即可. 详解：， 解①得， x≥3; 解②得， x>2; ∴原不等式组的解集是x≥3. 故选B. 题型四 分式应用题 解｜题｜技｜巧 列表分析法： 用表格梳理三个基本量： 行程问题： 路程、速度、时间。 工程问题： 工作量、工作效率、工作时间。 （通常设工作总量为“1”） 找等量关系： 聚焦“时间”或“工作量”的差值（如“提前xx天”、“多完成xx”），或“速度”、“效率”的变化关系（如“提高到原来的几倍”）。 合理设元： 通常设所求的原始量（如原计划速度、原工作效率）为未知数 x。 双重检验： 解出方程后，既要检验是否为增根，也要检验答案是否符合实际意义（如速度、时间不能为负数）。 易错点拨： 单位不统一： 审题时未注意单位，如千米/小时与米/分钟的混用。 等量关系找错： 混淆“实际比计划快”和“计划比实际快”等表述，导致方程列反。 【典例1】王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 【变式1】小欣和小军周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，已知路线总长为，小欣骑行速度比小军快，小军完成全部行程所用的时间比小欣多5分钟．设小军这次骑行速度为，依题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系：小军完成全部行程所用的时间比小欣多5分钟是解题的关键．根据“小军完成全部行程所用的时间比小欣多5分钟”列出方程即可． 【详解】解：5分钟小时． 设小军这次骑行速度为，则小欣骑行速度为， 依题意，可列方程得：， 故答案为：． 【变式2】一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要 小时． 【答案】 【分析】该题考查了分式除法的应用，甲单独做一小时可完成工程总量的，乙单独做一小时可完成工程总量的，二人合作一小时可完成工程总量的．工程总量除以二人合作一小时可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需时间． 【详解】解：设该工程总量为1，二人合作完成该工程所需小时． 故答案为：． 题型五 “新定义”型分式运算问题 解｜题｜技｜巧 理解“新定义”： 耐心、仔细地阅读题目给出的新运算符号（如 ※、★）或新概念（如“和谐分式”）的规则，模仿示例进行操作。 转化为旧知识： 将新定义的操作，转化为我们熟悉的分式运算法则（通分、约分、乘除等）。 按部就班： 严格按照新定义的运算顺序和规则进行计算或推理，不要和已有的知识混淆。 易错点拨： 误读规则： 没有正确理解新运算的优先级和操作方式，想当然地按老方法做。 缺乏耐心： 被题目冗长的描述吓到，未能静下心来理解其本质。 【典例1】我们定义：若两个分式与的和为常数，且，则称是的“和约分式”，称为关于的“和约分式值”．如分式，，，则是的“和约分式”，．已知分式，，且是为的“和约分式”，则关于的“和约分式值”是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的新定义，分式的加法运算，根据分式的加法运算法则求出的值即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴关于的“和约分式值”是， 故选：． 【变式1】定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确理解新定义运算，掌握运算法则． 根据新定义的运算得出，然后将原式化简，最后代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题，抽象出分式方程．设设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元，根据用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，列方程即可． 【详解】解：设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元， 根据题意可得． 故选：A． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用通分，约分计算即可． 本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 3．某商店销售一种休闲上装，月份的营业额为元．为了扩大销售，在月份将每件上装按原价的折销售，销售量比月份增加了件，营业额比月份增加了元．设月份每件上装的售价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列分式方程． 设月份每件上装的售价为元，则月份每件上装的售价为元，根据销售量增加件和营业额增加元的条件，列方程即可． 【详解】解：设月份每件上装的售价为元，则月份每件上装的售价为元， 月份的销售量为件，月份销售量为件， 根据题意得， 故选：D． 4．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，理解相关知识是解答关键． 先将变形为，再将代入求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的约分，将原式分子和分母约去3即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程-去分母，将原方程两边同乘最简公分母进行去分母即可． 【详解】解：原方程两边同乘得：， 故选：D． 2．将分式中的同时扩大为原来的3倍，分式的值将（    ） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质．熟练掌握分式的性质是解题的关键． 将分式中的m、n同时扩大为原来的3倍，分别代入计算新分式，并与原分式比较即可得出结果． 【详解】解：原分式为，当m、n同时扩大3倍后，变为， 因此，新分式为， 这表明分式的值缩小为原来的， 故选D． 3．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 原方程去分母得，整理得，然后根据题意分类讨论即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得：， 当，即时， 无解，则原分式方程无解，符合题意， 当时， 若原方程无解，那么它有增根， 把代入整式方程， 得：， 解得：， 综上，或， 故选：D． 4．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解分两种情况，分别求的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程无解， 当分式方程有增根时，，则， 此时， 解得：； 当整式方程无解时，， 解得：， 综上可知，的值为或， 故答案为：或． 5．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，由题可得，然后代入分式化简解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”． (1)若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为，求m，n的值； (2)若“好分式”的“好整式”为，请判断是否是“好分式”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解，二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“好分式”的定义． （1）根据“好分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （2）根据给出的“好分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：分式（m，为常数）是一个“好分式”， 它的“好整式”为， ， ， ∴， 解得：； （2）解：分式的“好整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“好分式”． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $