专题01 有理数（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材北京版

专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正数与负数 准确判断正负数在具体情境（如盈亏、温度、海拔）中所表示的意义。 选择题、填空题：给出实际背景，选择或填写具有相反意义的量。 核心易错点： 忽略“0”的特殊性，误将0归为正数或负数。 有理数分类 熟练完成有理数的两种方式分类，做到不重不漏。 选择题：概念辨析，如“下列说法错误的是？”“下列各数中，是分数的是？”。 分类混淆：误认为小数（如0.5）不是分数；混淆“非正数”（负数和零）和“负数”。 数轴 规范画出数轴，并准确标出有理数对应的点。 利用数轴比较一组有理数的大小。 填空题：在数轴上标出数。 选择题：比较数轴上点所表示数的大小。 数形结合错误：在数轴上，误认为离原点越远的点表示的数和越大（应为“右边大于左边”）。 相反数 快速求出任意一个有理数的相反数。 理解相反数的几何意义。 选择题、填空题：直接求一个数的相反数。 求一个式子的相反数时忘记加括号，如“a-b的相反数是 -a-b”（正确应为 -(a-b) = -a+b）。 绝对值 理解绝对值的非负性和几何意义。 熟练求出任意有理数的绝对值。 选择题、填空题：求绝对值；与数轴结合考距离。 创新题：|a| 的综合讨论（如 |a|=a, 则a≥0）。 意义不清：认为绝对值就是去掉负号，忽略 |a| = a (a≥0) 或 -a (a<0) 的讨论；不会处理 |a-b|（表示a与b的距离）。 加法运算 熟练应用加法法则进行计算，确保符号和结果正确。 计算题：融入混合运算中考查。 异号相加错误：符号取错；绝对值“大减小”算错。 减法运算 掌握减法转加法的核心步骤 计算题：融入混合运算中考查。 符号错误：减法变加法时，减号变加号，减数变其相反数这一步出错率极高，常只做一步。 乘除运算 熟练应用乘除法法则，特别是符号法则。 掌握除法转乘法的运算技巧。  计算题：融入混合运算中考查。 符号法则混淆：乘除法中“同号得正，异号得负”的应用不熟练。 倒数求错：求一个数的倒数时出错，导致除法转换错误。 运算律的应用  灵活运用运算律，特别是分配律，进行简便计算。 计算题：简算题是必考题型，尤其是分配律的正向与逆向使用。 分配律使用错误：如 a(b+c) = ab + c （漏乘a）； -a(b-c) = -ab - ac （括号内c的符号未变）。 乘方的意义与符号  准确理解aⁿ的含义，能区分 -aⁿ 与 (-a)ⁿ。 符号法则确定幂的符号。 选择题、填空题：概念辨析，如比较(-2)⁴与-2⁴的值。 混淆 -2²（=-4）与 (-2)²（=4）。 混淆乘方与乘法：如将3²误算为3×2=6。 科学计数法 掌握科学计数法的表示方法，能在大数和小数之间进行准确转换。  填空题：必考内容，要求用科学计数法表示大数（如光速）或较小数（如细胞直径）。  a的值错误：a的绝对值不符合 1 ≤ |a| < 10 的规定。 指数n错误：n的正负和数值确定错误。 混合运算顺序 严格遵守混合运算顺序，能规范、清晰地完成多步混合运算。  计算题：必考大题，通常以1-2道题的形式出现，分值高，综合性强。 运算顺序错误：最常见的错误是忽略“乘方”是最高级运算，如误将3×22算成(3×2)²=36。 知识点01 正数与负数 核心概念：为了表示具有相反意义的量（如盈亏、升降、冷暖），我们引入了正数和负数。 法则： 0 既不是正数，也不是负数。 正数前的 “+” 号可省略。 示例：收入500元记作 +500元，支出200元记作 -200元。 易错点：认为 0 是正数，或者在具体情境中无法准确用正负数表示相反意义的量。 知识点02 有理数的定义与分类 核心概念：整数和分数统称为有理数 分类：按定义分 按符号分 示例：1，-5,0是整数；，-0.7，是分数；它们都是有理数 易错点：误认为 小数 不是 分数。在分类时出现重复或遗漏（如把 0 忘了）。 知识点03 数轴 核心概念：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向（向右）、单位长度。 法则： 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 比较大小：数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 示例：比较 -3 和 -2。在数轴上，-3 在 -2 的左边，所以 -3 < -2。 易错点：画数轴时缺少要素（如无箭头）；比较大小时误认为“绝对值大的数就大”。 知识点04 相反数 核心概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 法则： 0 的相反数是 0。 数 a 的相反数是 -a。 若 a 和 b 互为相反数，则 a + b = 0。 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等。 示例：5 的相反数是 -5；-π 的相反数是 π。 易错点：求一个式子的相反数时忘记加括号。如 a-b 的相反数是 -(a-b)，而不是-a+b。 知识点05 绝对值 核心概念：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。 法则： 绝对值的非负性：|a|≥0 求法：|a|= 示例：|3| = 3$|-3| = 3；|0| = 0。 易错点：认为绝对值就是“去掉负号”，忽略了 0 和代数式的讨论。 知识点06 加减法 核心法则： 加法： 同号相加，取相同符号，绝对值相加。 异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 一个数同 0 相加，仍得这个数。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b) 示例：(-3) + (-5) = -8；(-3) + 5 = 2；3 - 5 = 3 + (-5) = -2。 易错点：减法变加法时，符号未同时改变，这是最高频的错误。 知识点07 乘除法 核心法则： 乘法/除法符号法则：同号得正，异号得负。 乘法：绝对值相乘。 除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。a÷b=a×(b≠0) 示例：(-3) × (-4) = 12；(-12) ÷ 3 = -4。 易错点：符号判断错误；除法没有转化为乘法来计算，导致过程复杂易错。 知识点08 乘方 核心概念：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 公式：，其中 a 叫做底数，n 叫做指数。 法则： 符号法则： 正数的任何次幂都是正数。 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数。 0 的任何正整数次幂都是 0。 示例： = 16；- = -16；(。 易错点：混淆与 的意义，这是乘方中最核心的易错点。 知识点09 运算律 核心公式： 加法交换律：a + b = b + a 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：a×b×c=a×(b×c) 分配律：a(b + c) = ab + ac 应用：运算律用于简化计算。 易错点：分配律使用错误，如 a(b + c) = ab + c（漏乘）或 -2(x - 3) = -2x - 6（括号内未全部变号）。 知识点10 混合运算顺序 核心法则：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右；有括号先算括号里面的。 示例：计算 先算乘方：原式 再算括号： 然后乘除： 最后加减： 易错点：运算顺序错误，尤其是忽略“乘方”是最高级运算。 知识点11科学记数法 核心概念：把一个大于10的数表示成 的形式。（其中 ，n 是正整数） 法则：n = 原数的整数位数 - 1。 示例：360000 = 3.6 × 10⁵；-70100 = -7.01 × 10⁴。 易错点：a 的绝对值不在规定范围内（如写成 36 × 10⁴）。 指数 n 计算错误。 题型一 绝对值化简与求值（分类讨论思想） 解｜题｜技｜巧 定零点：令每个绝对值的式子为0，解出x的值（零点）。 划区间：将求出的零点按大小顺序标在数轴上，将数轴划分为若干个区间。 分类别：根据未知数 x 在不同区间内的取值范围，确定每个绝对值内部的符号，进而去掉绝对值符号。 化简化：在每一类区间内，对原式进行化简。 下结论：综合所有情况，得出最终答案。 【典例1】化简 x-1 + x+2 【变式1】若 |a| = 3, |b| = 2，且 a < b，求 a + b 的值。 【变式2】已知 |x-2| = 2x - 10，求 x 的值。 题型二 有理数运算的规律探究（归纳思想） 解｜题｜技｜巧 算一算：耐心计算出前3项或前4项的结果。 看一看：观察结果中的数字、符号、位数等是否存在循环或变化的规律。 猜一猜：将发现的规律用数学语言或公式进行猜想。 证一证（可选）：用字母表示数，验证你的猜想是否适用于第 n 项。 【典例1】计算 的值 【变式1】 观察下列各式：, , , ， ... 猜想前n个自然数的立方和等于多少的平方？ 【变式2】计算： 题型三 数轴上的动点问题（数形结合思想） 解｜题｜技｜巧 设未知：设运动时间为 t 秒。 表位置：根据起点、方向、速度，用代数式表示出每个动点在 t 秒后的位置。 向右运动：终点位置 = 起点位置 + 速度×时间 向左运动：终点位置 = 起点位置 - 速度×时间 列方程：根据问题中给出的等量关系（如“两点相遇”、“距离为X个单位”）列出方程。相遇即位置相等，距离即为两点坐标之差的绝对值。 求解验：解方程，并检查答案是否合理（如时间 t 不能为负数）。 【典例1】数轴上A、B两点对应数为-2, 4。点P从A出发，以2单位/秒向右运动；点Q从B出发，以1单位/秒向左运动。经过几秒，P、Q两点相距3个单位？ 【变式1】在典例1中（点P从-2向右2单位/秒，点Q从4向左1单位/秒），经过几秒两点相遇？ 【变式2】数轴上点A、B、C分别表示数-1, 2, x。当x满足什么条件时，x+1 + x-2 的值最小？最小值是多少？ 题型四 有理数运算的新定义问题（迁移思想） 解｜题｜技｜巧 读“指令”：像计算机编程一样，逐字阅读新定义的运算法则，理解其运算符号、顺序和规则。 代“数据”：将题目中给出的具体数字或式子，代入到新定义的程序中。 重“计算”：严格按照新的规则进行运算，过程中尤其要注意运算顺序和符号。 验“结果”：检查结果是否符合新定义的要求。 【典例1】现定义一种新运算“☆”：对于任意有理数 a, b，有 a ☆ b = 2a - b²。例如：3 ☆ 2 = 2×3 - 2² = 2。 求 (1) (-2) ☆ 5 的值； (2) 若 x ☆ (-3) = 7，求 x 的值。 【变式1】定义新运算：a △ b = ab - |b|。计算 (-3) △ (-1)。 【变式2】规定一种运算：。 求 (2 * 1) * (-3) 的值。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．数轴上，把表示2的点向左平移3个单位长度得到的点所表示的数是（    ）． A．－5 B．－1 C．1 D．5 3．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为扶贫攻坚的优先任务，2014—2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元．把1692亿用科学记数法表示为，则n＝（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．有理数﹣和﹣1的大小关系为：﹣ ﹣1．（填写“＞”、“＜”或“＝”） 5．的倒数为 ； 的相反数是；绝对值最小的数是 ；平方最小的数是 ． 6．将下列各数填在相应的集合里． ﹣，9，0，+4.3，|﹣0.5|，﹣（+7），18%，（﹣3）4，﹣（﹣2）5，﹣6 2 正分数集合：{                   …}；   负整数集合：{                   …}； 自然数集合：{                    …}． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如果向东走记作，那么向西走记作（     ） A． B． C． D． 2．数据27500亿用科学记数法表示为（        ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的值是（   ） A．8 B．4或8 C． D．或 4．把写成省略加号的和的形式为 ． 5．绝对值不小于2且小于的负整数的和是 ． 6．学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是5名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分 A 15 3 2 79 B 19 0 1 94 C 18 1 1 91 D 16 2 2 82 E 18 2 0 94 (1)由表格知，不答一题得　 　分，答错一题扣　 　分； (2)某参赛者M答错题数比不答题数的2倍少3，最后得分为73分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)在前10道题中，参赛者N答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于73分？为什么？ 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正数与负数 准确判断正负数在具体情境（如盈亏、温度、海拔）中所表示的意义。 选择题、填空题：给出实际背景，选择或填写具有相反意义的量。 核心易错点： 忽略“0”的特殊性，误将0归为正数或负数。 有理数分类 熟练完成有理数的两种方式分类，做到不重不漏。 选择题：概念辨析，如“下列说法错误的是？”“下列各数中，是分数的是？”。 分类混淆：误认为小数（如0.5）不是分数；混淆“非正数”（负数和零）和“负数”。 数轴 规范画出数轴，并准确标出有理数对应的点。 利用数轴比较一组有理数的大小。 填空题：在数轴上标出数。 选择题：比较数轴上点所表示数的大小。 数形结合错误：在数轴上，误认为离原点越远的点表示的数和越大（应为“右边大于左边”）。 相反数 快速求出任意一个有理数的相反数。 理解相反数的几何意义。 选择题、填空题：直接求一个数的相反数。 求一个式子的相反数时忘记加括号，如“a-b的相反数是 -a-b”（正确应为 -(a-b) = -a+b）。 绝对值 理解绝对值的非负性和几何意义。 熟练求出任意有理数的绝对值。 选择题、填空题：求绝对值；与数轴结合考距离。 创新题：|a| 的综合讨论（如 |a|=a, 则a≥0）。 意义不清：认为绝对值就是去掉负号，忽略 |a| = a (a≥0) 或 -a (a<0) 的讨论；不会处理 |a-b|（表示a与b的距离）。 加法运算 熟练应用加法法则进行计算，确保符号和结果正确。 计算题：融入混合运算中考查。 异号相加错误：符号取错；绝对值“大减小”算错。 减法运算 掌握减法转加法的核心步骤 计算题：融入混合运算中考查。 符号错误：减法变加法时，减号变加号，减数变其相反数这一步出错率极高，常只做一步。 乘除运算 熟练应用乘除法法则，特别是符号法则。 掌握除法转乘法的运算技巧。  计算题：融入混合运算中考查。 符号法则混淆：乘除法中“同号得正，异号得负”的应用不熟练。 倒数求错：求一个数的倒数时出错，导致除法转换错误。 运算律的应用  灵活运用运算律，特别是分配律，进行简便计算。 计算题：简算题是必考题型，尤其是分配律的正向与逆向使用。 分配律使用错误：如 a(b+c) = ab + c （漏乘a）； -a(b-c) = -ab - ac （括号内c的符号未变）。 乘方的意义与符号  准确理解aⁿ的含义，能区分 -aⁿ 与 (-a)ⁿ。 符号法则确定幂的符号。 选择题、填空题：概念辨析，如比较(-2)⁴与-2⁴的值。 混淆 -2²（=-4）与 (-2)²（=4）。 混淆乘方与乘法：如将3²误算为3×2=6。 科学计数法 掌握科学计数法的表示方法，能在大数和小数之间进行准确转换。  填空题：必考内容，要求用科学计数法表示大数（如光速）或较小数（如细胞直径）。  a的值错误：a的绝对值不符合 1 ≤ |a| < 10 的规定。 指数n错误：n的正负和数值确定错误。 混合运算顺序 严格遵守混合运算顺序，能规范、清晰地完成多步混合运算。  计算题：必考大题，通常以1-2道题的形式出现，分值高，综合性强。 运算顺序错误：最常见的错误是忽略“乘方”是最高级运算，如误将3×22算成(3×2)²=36。 知识点01 正数与负数 核心概念：为了表示具有相反意义的量（如盈亏、升降、冷暖），我们引入了正数和负数。 法则： 0 既不是正数，也不是负数。 正数前的 “+” 号可省略。 示例：收入500元记作 +500元，支出200元记作 -200元。 易错点：认为 0 是正数，或者在具体情境中无法准确用正负数表示相反意义的量。 知识点02 有理数的定义与分类 核心概念：整数和分数统称为有理数 分类：按定义分 按符号分 示例：1，-5,0是整数；，-0.7，是分数；它们都是有理数 易错点：误认为 小数 不是 分数。在分类时出现重复或遗漏（如把 0 忘了）。 知识点03 数轴 核心概念：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向（向右）、单位长度。 法则： 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 比较大小：数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 示例：比较 -3 和 -2。在数轴上，-3 在 -2 的左边，所以 -3 < -2。 易错点：画数轴时缺少要素（如无箭头）；比较大小时误认为“绝对值大的数就大”。 知识点04 相反数 核心概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 法则： 0 的相反数是 0。 数 a 的相反数是 -a。 若 a 和 b 互为相反数，则 a + b = 0。 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等。 示例：5 的相反数是 -5；-π 的相反数是 π。 易错点：求一个式子的相反数时忘记加括号。如 a-b 的相反数是 -(a-b)，而不是-a+b。 知识点05 绝对值 核心概念：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。 法则： 绝对值的非负性：|a|≥0 求法：|a|= 示例：|3| = 3$|-3| = 3；|0| = 0。 易错点：认为绝对值就是“去掉负号”，忽略了 0 和代数式的讨论。 知识点06 加减法 核心法则： 加法： 同号相加，取相同符号，绝对值相加。 异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 一个数同 0 相加，仍得这个数。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b) 示例：(-3) + (-5) = -8；(-3) + 5 = 2；3 - 5 = 3 + (-5) = -2。 易错点：减法变加法时，符号未同时改变，这是最高频的错误。 知识点07 乘除法 核心法则： 乘法/除法符号法则：同号得正，异号得负。 乘法：绝对值相乘。 除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。a÷b=a×(b≠0) 示例：(-3) × (-4) = 12；(-12) ÷ 3 = -4。 易错点：符号判断错误；除法没有转化为乘法来计算，导致过程复杂易错。 知识点08 乘方 核心概念：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 公式：，其中 a 叫做底数，n 叫做指数。 法则： 符号法则： 正数的任何次幂都是正数。 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数。 0 的任何正整数次幂都是 0。 示例： = 16；- = -16；(。 易错点：混淆与 的意义，这是乘方中最核心的易错点。 知识点09 运算律 核心公式： 加法交换律：a + b = b + a 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：a×b×c=a×(b×c) 分配律：a(b + c) = ab + ac 应用：运算律用于简化计算。 易错点：分配律使用错误，如 a(b + c) = ab + c（漏乘）或 -2(x - 3) = -2x - 6（括号内未全部变号）。 知识点10 混合运算顺序 核心法则：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右；有括号先算括号里面的。 示例：计算 先算乘方：原式 再算括号： 然后乘除： 最后加减： 易错点：运算顺序错误，尤其是忽略“乘方”是最高级运算。 知识点11科学记数法 核心概念：把一个大于10的数表示成 的形式。（其中 ，n 是正整数） 法则：n = 原数的整数位数 - 1。 示例：360000 = 3.6 × 10⁵；-70100 = -7.01 × 10⁴。 易错点：a 的绝对值不在规定范围内（如写成 36 × 10⁴）。 指数 n 计算错误。 题型一 绝对值化简与求值（分类讨论思想） 解｜题｜技｜巧 定零点：令每个绝对值的式子为0，解出x的值（零点）。 划区间：将求出的零点按大小顺序标在数轴上，将数轴划分为若干个区间。 分类别：根据未知数 x 在不同区间内的取值范围，确定每个绝对值内部的符号，进而去掉绝对值符号。 化简化：在每一类区间内，对原式进行化简。 下结论：综合所有情况，得出最终答案。 【典例1】化简 x-1 + x+2 【解析】零点为 x=1 和 x=-2。数轴被分为三部分：x ≤ -2，-2 < x ≤ 1，x > 1。 当 x ≤ -2 时：(x-1) < 0, (x+2) ≤ 0。∴ 原式 = -(x-1) - (x+2) = -2x -1 当 -2 < x ≤ 1 时: (x-1) ≤ 0, (x+2) > 0。∴ 原式 = -(x-1) + (x+2) = 3 当 x > 1 时: (x-1) > 0, (x+2) > 0。∴ 原式 = (x-1) + (x+2) = 2x +1 综上所述，x-1 + x+2 = 【变式1】若 |a| = 3, |b| = 2，且 a < b，求 a + b 的值。 【解析】由绝对值条件求出所有可能值： 此时，(a, b) 有四种可能组合：(3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2)。 由条件 a < b 进行筛选： 当 (a, b) = (3, 2) 时，3 < 2 不成立，舍去。 当 (a, b) = (3, -2) 时，3 < -2 不成立，舍去。 当 (a, b) = (-3, 2) 时，-3 < 2 成立，保留。 当 (a, b) = (-3, -2) 时，-3 < -2 成立，保留。 计算满足条件的 a + b： 当 a = -3, b = 2 时，a + b = -3 + 2 = -1。 当 a = -3, b = -2 时，a + b = -3 + (-2) = -5。 结论：∴ a + b 的值是 -1 或 -5。 【变式2】已知 |x-2| = 2x - 10，求 x 的值。 【解析】分析隐含条件（关键步骤）： 等式右边是 2x - 10，而左边是绝对值 |x-2| ≥ 0。因此，要使等式成立，右边也必须大于等于0。 ∴ 2x - 10 ≥ 0，解得 x ≥ 5。 在 x ≥ 5 的条件下，去掉绝对值： ∵ x ≥ 5，∴ x - 2 > 0。根据绝对值法则，|x-2| = x - 2。 原方程可化为：x - 2 = 2x - 10。 解方程： x - 2 = 2x - 10 x - 2x = -10 + 2 -x = -8 x = 8 验证解是否满足隐含条件： ∵ x = 8 ≥ 5，满足之前推出的条件。 ∴ x = 8 是方程的解。 题型二 有理数运算的规律探究（归纳思想） 解｜题｜技｜巧 算一算：耐心计算出前3项或前4项的结果。 看一看：观察结果中的数字、符号、位数等是否存在循环或变化的规律。 猜一猜：将发现的规律用数学语言或公式进行猜想。 证一证（可选）：用字母表示数，验证你的猜想是否适用于第 n 项。 【典例1】计算 的值 【解析】 这是个有规律的正负交替求和。从首项开始，两项一组地看。 (1-3) = -2 (5-7) = -2 (9-11) = -2 ... 每一组的和都是 -2。需要算出一共有多少组：从1到2023的奇数有 (2023+1)/2 = 1012 个。 所以共有 1012 / 2 = 506 组。 原式 = 506 × (-2) = -1012 【变式1】 观察下列各式：, , , ， ... 猜想前n个自然数的立方和等于多少的平方？ 【解析】 观察已知等式的特征： → 右边是 → 右边是 → 右边是 → 右边是 分析右边底数（1, 3, 6, 10...）的规律： 1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 ... 由此发现，第 n 个式子右边的底数，正是 前 n 个自然数的和，即 。 得出猜想： 前 n 个自然数的立方和，等于前 n 个自然数之和的平方。 用公式表示为：。 进一步化简（可选）： ∵ ， ∴ 猜想公式也可写为：。 【变式2】计算： 【解析】 观察指数，寻找公因式： 两项的底数相同，都是 (-2)。2024 比 2023 大 1，所以 可以拆分成 。 原式 = 。 提取公因式： 将 看作一个整体，提取出来。 原式 = 。 计算括号内内容： 1 + (-2) = -1。 ∴ 原式 = 。 化简计算： 。 ∵ 2023 是奇数，∴ 。 ∴ 原式 = 。 最终答案：。 题型三 数轴上的动点问题（数形结合思想） 解｜题｜技｜巧 设未知：设运动时间为 t 秒。 表位置：根据起点、方向、速度，用代数式表示出每个动点在 t 秒后的位置。 向右运动：终点位置 = 起点位置 + 速度×时间 向左运动：终点位置 = 起点位置 - 速度×时间 列方程：根据问题中给出的等量关系（如“两点相遇”、“距离为X个单位”）列出方程。相遇即位置相等，距离即为两点坐标之差的绝对值。 求解验：解方程，并检查答案是否合理（如时间 t 不能为负数）。 【典例1】数轴上A、B两点对应数为-2, 4。点P从A出发，以2单位/秒向右运动；点Q从B出发，以1单位/秒向左运动。经过几秒，P、Q两点相距3个单位？ 【解析】 t秒后，P点位置：-2 + 2t；Q点位置：4 - t。它们之间的距离为 (-2+2t) - (4-t) = 3t - 6。 令 3t - 6 = 3。 即 3t - 6 = 3 或 3t - 6 = -3。 解得 t = 3 或 t = 1。 经过 1秒 或 3秒 后，两点相距3个单位。 【变式1】在典例1中（点P从-2向右2单位/秒，点Q从4向左1单位/秒），经过几秒两点相遇？ 【解析】 设定未知数，表示t秒后位置： 设运动时间为 t 秒。 P点从 -2 出发向右运动，t 秒后其位置为：-2 + 2t Q点从 4 出发向左运动，t 秒后其位置为：4 - t 根据“相遇”的含义建立方程： “相遇”意味着两点在数轴上重合于同一点，即它们的位置坐标相等。 ∴ 可列出方程：-2 + 2t = 4 - t 解方程： -2 + 2t = 4 - t 2t + t = 4 + 2 （移项） 3t = 6 t = 2 得出结论： ∴ 经过 2秒 后，点P与点Q相遇。 【变式2】数轴上点A、B、C分别表示数-1, 2, x。当x满足什么条件时，x+1 + x-2 的值最小？最小值是多少？ 【解析】 理解代数式的几何意义： x - (-1) 表示点C(x)与点A(-1)之间的距离。 x - 2 表示点C(x)与点B(2)之间的距离。 ∴ x+1 + x-2 的几何意义是：数轴上一点C(x)到点A(-1)和点B(2)的距离之和。 利用数形结合思想寻找最小值： 点A(-1)和点B(2)将数轴分为三个区域：x ≤ -1，-1 < x < 2，x ≥ 2。 情况一：当点C在点A左侧（x ≤ -1）时，距离和 = AC + BC，且AC + BC > AB（两边之和大于第三边）。 情况二：当点C在点B右侧（x ≥ 2）时，同理，AC + BC > AB。 情况三：当点C在线段AB上（-1 ≤ x ≤ 2）时，距离和 = AC + BC = AB。此时达到最小值。 计算最小值： 最小值即为点A与点B之间的距离：AB = - (-1) = 3。 得出结论： 当点C在点A和点B之间（即 -1 ≤ x ≤ 2） 时，x+1 + x-2 的值最小。 最小值为 3。 题型四 有理数运算的新定义问题（迁移思想） 解｜题｜技｜巧 读“指令”：像计算机编程一样，逐字阅读新定义的运算法则，理解其运算符号、顺序和规则。 代“数据”：将题目中给出的具体数字或式子，代入到新定义的程序中。 重“计算”：严格按照新的规则进行运算，过程中尤其要注意运算顺序和符号。 验“结果”：检查结果是否符合新定义的要求。 【典例1】现定义一种新运算“☆”：对于任意有理数 a, b，有 a ☆ b = 2a - b²。例如：3 ☆ 2 = 2×3 - 2² = 2。 求 (1) (-2) ☆ 5 的值； (2) 若 x ☆ (-3) = 7，求 x 的值。 【解析】 这不是乘方，也不是乘法，它是一个全新的程序：(第一个数)×2 - (第二个数)²。 (1) (-2) ☆ 5 = 2×(-2) - 5² = -4 - 25 = -29。 (2) ∵ x ☆ (-3) = 2x - (-3)² = 2x - 9。 又∵ x ☆ (-3) = 7， ∴ 2x - 9 = 7。 解得 2x = 16, x = 8。 (1) 值为 -29; (2) x 的值为 8。 【变式1】定义新运算：a △ b = ab - |b|。计算 (-3) △ (-1)。 【解析】 严格按照定义：(-3) △ (-1) = (-3)×(-1) - |-1| = 3 - 1 = 2。 【变式2】规定一种运算：。 求 (2 * 1) * (-3) 的值。 【解析】 此题需分步计算，并遵循运算顺序。 第一步：算括号内的 2 * 1。 。 第二步：将第一步的结果 2.5 作为新的 a，-3 作为新的 b，计算 2.5 * (-3)。 。 统一化为分数计算：。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法运算律即可进行解答． 【详解】解：A：乘法交换律，交换因数的位置，积不变；故不符合题意； B：乘法交换律，交换因数的位置，积不变；故B不符合题意； C：；故C符合题意； D：运用了乘法交换律和乘法结合律；故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算律，掌握自然数范围内的乘法运算律在有理数范围内同样适用是解题的关键． 2．数轴上，把表示2的点向左平移3个单位长度得到的点所表示的数是（    ）． A．－5 B．－1 C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据数轴上点的坐标特点及平移的性质解答即可． 【详解】解：根据题意：数轴上2所对应的点为A， 将A点左移3个单位长度，得到点的坐标为2-3=-1， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上的点与实数对应关系及图形平移的性质等有关知识． 3．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为扶贫攻坚的优先任务，2014—2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元．把1692亿用科学记数法表示为，则n＝（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：将1692亿用科学记数法表示应为1692亿=169200000000=1.692×1011． ∴n=11 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．有理数﹣和﹣1的大小关系为：﹣ ﹣1．（填写“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】题目主要考查两个负数比较大小的方法，熟练掌握比较方法是解题关键． 5．的倒数为 ； 的相反数是；绝对值最小的数是 ；平方最小的数是 ． 【答案】 -5 0 0 【分析】根据倒数的定义可求的倒数；根据绝对值的相反数可求原数，根据绝对值非负性质可求绝对值最小的数，利用平方非负的性质可求平方最小的数． 【详解】解：的倒数为__-5__； _|-5|_的相反数是； 绝对值最小的数是__0______； 平方最小的数是____0___． 故答案为-5；|-5|；0；0． 【点睛】本题考查倒数定义，相反数定义，绝对值的性质，平方的性质，掌握倒数定义，相反数定义，绝对值的性质，平方的性质是解题关键． 6．将下列各数填在相应的集合里． ﹣，9，0，+4.3，|﹣0.5|，﹣（+7），18%，（﹣3）4，﹣（﹣2）5，﹣6 2 正分数集合：{                   …}；   负整数集合：{                   …}； 自然数集合：{                    …}． 【答案】+4.3，|﹣0.5|，18%；﹣（+7），﹣6 2；9，0，（﹣3）4，﹣（﹣2）5 【分析】按照有理数的分类填写即可． 【详解】解：|﹣0.5|=0.5，（﹣3）4=81，﹣（﹣2）5=32，﹣6 2=-36， 正分数集合：{+4.3，|-0.5|，18%…}； 负整数集合：{-（+7），-62…}； 自然数集合：{9，0，（-3）4，-（-2）5…}； 故答案为：+4.3，|-0.5|，18%；-（+7），-62；9，0，（-3）4，-（-2）5． 【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如果向东走记作，那么向西走记作（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查相反意义的量，向东走记作，据此即可得到答案. 【详解】解：如果向东走记作，那么向西走记作， 故选：A 2．数据27500亿用科学记数法表示为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法表示较大的数就是将一个数字表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂． 【详解】解：数据27500亿=27500×108=2.75×104×108=. 故选：C． 【点睛】本题主要考查科学记数法−表示较大的数，将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数． 3．已知，，，则的值是（   ） A．8 B．4或8 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 根据绝对值的定义得出，，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或， 故选：D． 4．把写成省略加号的和的形式为 ． 【答案】 【分析】原式利用减法法则变形，即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】把含有加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，必须首先根据有理数的减法法则，将减法转化成加法，再省略加号与括号．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 5．绝对值不小于2且小于的负整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和有理数大小比较，关键是掌握绝对值的性质； 找出绝对值不小于2且小于的所有负整数，相加即可得到结果． 【详解】解：绝对值不小于2且小于的整数包括：，，，，其中负整数有：，，，， 绝对值不小于2且小于和为：． 故答案为：． 6．学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是5名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分 A 15 3 2 79 B 19 0 1 94 C 18 1 1 91 D 16 2 2 82 E 18 2 0 94 (1)由表格知，不答一题得　 　分，答错一题扣　 　分； (2)某参赛者M答错题数比不答题数的2倍少3，最后得分为73分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)在前10道题中，参赛者N答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于73分？为什么？ 【答案】(1)2；1 (2)他答对了 14 道题 (3)至少答对 4 题；理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）由参赛者B的得分就可以得出答错一题的得分，再由参赛者C可知，不答一题得分； （2）设不答的题有x题，则答错的有题，答对的有题，根据答对的得分不答题的得分答错的得分分，建立方程求出其解即可； （3）算出前10道题得分，再根据“最后得分不低于73分”列方程，解答即可； 【详解】（1）解：由参赛者B可知：答错一题扣分（分）； 由参赛者C可知，不答一题得分（分）； 故不答一题得2分，答错一题扣1分； 故答案为：2；1． （2）解：设不答的题有x题，则答错的有题，答对的有题，根据题意得： ， ， 解得：， ∴． 答：答对14题． （3）解：前10道题得分：， ， 设后10题至少要答对a题，， 解得：， 答：至少答对4题，才可能使最后得分不低于73分． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $