第19章实数单元测试（培优卷） 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）数学八年级上册

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第19章实数单元测试（培优卷） 一、选择题 1．(2023-24七年级上青浦区期中）下列判断正确的是（    ） A．的立方根是 B．49的算术平方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 2．(2023-24七年级上宝山区期中）下列计算，错误的是（   ） A． B． C． D． 3. （2023-24杨浦区七年级下期中）下列说法正确的是（　　） A. 无理数与无理数的和为无理数 B. 一个数的算术平方根不比这个数大 C. 实数可分为有理数和无理数 D. 数轴上的点和有理数一一对应 4. （2024年黄浦区七年级下期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ） A. 3米和4米之间 B. 4米和5米之间 C. 5米和6米之间 D. 6米和7米之间 5. （2023-24闵行区七年级下期中）下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）在引入无理数的时候，我们把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形，类似的，若正方形的边长为长为，则下列说法中正确的有（ ） ①可以用数轴上的一个点来表示； ②； ③； ④； ⑤是有理数． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、 填空题 7. （2023-24闵行区七年级下期中）的平方根是____． 8. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）在数，，，，，，中，无理数有______． 9.（24-25七年级下·四川眉山·期末）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为________ 10．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）若的整数部分为a，小数部分为b，的整数部分为c，小数部分为d，则的值为______ 11. （2023-24杨浦区七年级下期中）的小数部分是，计算__________________． 12. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）的算术平方根减去的立方根的差为______． 13. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 14. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）如果成立，那么实数的取值范围_________． 15.（2023·甘肃兰州·中考真题）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．    16.（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，若x的整数部分为a，y的小数部分为b，则的平方根是 ． 17. （2023-24杨浦区七年级下期中）在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为 _________________． 18. （2024年黄浦区七年级下期中）我们知道，负数没有平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“开心组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数为“开心组合数”．若三个数，，是“开心组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，那么____________． 三、解答题 19．（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 20．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）解下列方程． (1)； (2) 21.（2023-2024学年浦东新区七年级下期中）已知是实数，且，求的整数部分． 22.（七年级下·湖南长沙·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是3，是的整数部分． (1)求，，的值 (2)求的平方根． 23.（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 24.（2024年黄浦区七年级下期中） （1）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数” ． 阅读材料：“无理数”的由来．为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数，a与b互素且，这时，就有：，于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 请你也试着用反证法，说明是无理数． 解：假设一个有理数． 则（a、b是整数，a与b互素且）， 则 两边同时平方得： ， 所以： ， 因为： ． 所以：是一个无理数． （2）判断下面的说法是否正确．正确的打 “√”，错误的打“×”． ①任意两个无理数的和还是无理数．（ ） ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数．（ ） （3）如果，其中、为有理数，求、的值． 25．（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____．(2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 26. （2023-24金山区七年级下期中）阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： （1）求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． （2）求代数式的最小值是________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第19章实数单元测试（培优卷） 一、选择题 1．(2023-24七年级上青浦区期中）下列判断正确的是（    ） A．的立方根是 B．49的算术平方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根的概念及求法，熟记立方根、平方根及算术平方根的计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、的立方根是，判断正确，符合题意； B、49的算术平方根是，判断错误，不符合题意； C、的立方根是，判断错误，不符合题意； D、的平方根是，判断错误，不符合题意； 故选：A． 2．(2023-24七年级上宝山区期中）下列计算，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根以及算术平方根的定义．直接利用立方根以及算术平方根的定义计算得出答案． 【详解】解：A、正确，本选项不符合题意； B、正确，本选项不符合题意； C、原计算错误，本选项符合题意； D、正确，本选项不符合题意； 故选：C． 3. （2023-24杨浦区七年级下期中）下列说法正确的是（　　） A. 无理数与无理数的和为无理数 B. 一个数的算术平方根不比这个数大 C. 实数可分为有理数和无理数 D. 数轴上的点和有理数一一对应 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，实数，有理数，数轴等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键； 根据实数的分类及实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； D．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. （2024年黄浦区七年级下期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ） A. 3米和4米之间 B. 4米和5米之间 C. 5米和6米之间 D. 6米和7米之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米， ∴个正方形的边长为米， ∵， ∴． 故选B． 5. （2023-24闵行区七年级下期中）下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意； B、，故选项B计算错误，不符合题意； C、，故选项C计算正确，符合题意； D、，故选项D计算错误，不符合题意． 故选：C． 6. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）在引入无理数的时候，我们把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形，类似的，若正方形的边长为长为，则下列说法中正确的有（ ） ①可以用数轴上的一个点来表示； ②； ③； ④； ⑤是有理数． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数、实数与数轴、二次根式的性质、无理数的估算，根据题意得出，即可判断③；由为无理数，可以用数轴上的一个点来表示即可判断①⑤；估算出即可判断②，由二次根式的性质即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形， 边长为的正方形的一条对角线的长为， 类似的，若正方形的边长为长为， ，故③正确； 为无理数，可以用数轴上的一个点来表示，故①正确，⑤错误； ，， ，即，故②错误； ， ，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个， 故选：B． 2、 填空题 7. （2023-24闵行区七年级下期中）的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 8. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）在数，，，，，，中，无理数有______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根． 【详解】解：， 故无理数有，， 故答案为：，． 9.（24-25七年级下·四川眉山·期末）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为________ 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数轴可知，，即，，再计算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，即，， ． 10．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）若的整数部分为a，小数部分为b，的整数部分为c，小数部分为d，则的值为______ 【分析】本题考查了估算无理数的大小，通过估算在哪两个整数之间，从而确定，，通过估算在哪两个整数之间，从而确定，，然后把a、b、c、d代入求得数值． 【详解】解：∵的整数部分为a，小数部分为b，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的整数部分为c，小数部分为d， ∴，， ∴． 11. （2023-24杨浦区七年级下期中）的小数部分是，计算__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合与运算，无理数的估算，先判断出，进而得出，根据二次根式的性质进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为： 12. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）的算术平方根减去的立方根的差为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 的算术平方根， 的立方根， 的算术平方根减去的立方根的差为， 故答案为：． 13. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 14. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）如果成立，那么实数的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，即可求解． 【详解】解：变形得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，理解并掌握二次根式的性质是解题的关键． 15.（2023·甘肃兰州·中考真题）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．    【答案】 【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可． 【详解】∵正方形的面积为7，正方形的面积为9 ∴， 即， ∴ 故答案为： 16.（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，若x的整数部分为a，y的小数部分为b，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、平方根，先估算出，再结合题意得出，，求出的值，再根据平方根的定义求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵x的整数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 17. （2023-24杨浦区七年级下期中）在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为 _________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键； 根据点C和点B关于点A成中心对称，可得点A是的中点，据此求解即可． 【详解】解：点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x， 又点C和点B关于点A成中心对称， ， 解得：， 故答案为： ． 18. （2024年黄浦区七年级下期中）我们知道，负数没有平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“开心组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数为“开心组合数”．若三个数，，是“开心组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，求一个数的算术平方根，正确理解新定义是解题的关键．分，，两种情况求出m的值，看是否符合题意即可． 【详解】当时，则， 解得， ∵，，且10，15，30都是整数， ∴此时满足是“完美组合数”； 当时，则， 解得，不符合题意； 综上所述，． 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的计算，解题的关键是掌握立方根和平方根化简，再根据有理数的加减运算，进行计算，即可． （1）先开平方根，立方根，然后根据有理数的计算，即可； （2）根据平方根，立方根的知识，化简式子，然后进行计算，即可． 【详解】（1） 解：原式 ． （2） 解：原式 ． 20．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）解下列方程． (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 21.（2023-2024学年浦东新区七年级下期中）已知是实数，且，求的整数部分． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和算术平方根，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键； 首先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后代入求出算出平方根，观察分析该结果是介于哪两个相邻的正整数之间，取其较小的整数值为整数部分． 【详解】根据题意得： ， ， ， ， ， 把代入中得 ， ， ， 整数部分为：2． 22.（七年级下·湖南长沙·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是3，是的整数部分． (1)求，，的值 (2)求的平方根． 【答案】(1)5；26；7 (2) 【分析】（1）根据算术平方根、立方根以及估算无理数的方法即可求出的值； （2）根据第（1）问求出的的值，先求得的值，即可求出的平方根． 【详解】（1）∵的算术平方根是3， ∴， ∴， 解得：， ∵的立方根是3，， ∴， 解得：， ∵ ∴ ∵是的整数部分， ∴. ∴； （2）∵； ∴ ， ∴64的平方根为. 23.（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 24.（2024年黄浦区七年级下期中） （1）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数” ． 阅读材料：“无理数”的由来．为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数，a与b互素且，这时，就有：，于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 请你也试着用反证法，说明是无理数． 解：假设一个有理数． 则（a、b是整数，a与b互素且）， 则 两边同时平方得： ， 所以： ， 因为： ． 所以：是一个无理数． （2）判断下面的说法是否正确．正确的打 “√”，错误的打“×”． ①任意两个无理数的和还是无理数．（ ） ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数．（ ） （3）如果，其中、为有理数，求、的值． 【答案】（1）；； a、b是整数，，所以为有理数．而是无理数，与前面假设矛盾 （2）① ×；②√ （3） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键． （1）仿照题干方法进行证明即可； （2）根据无理数的定义判断即可； （3）整理后，根据对应部分相等列式求解即可． 【详解】解：（1）假设是一个有理数． 则（a、b是整数，a与b互素且）， 则 两边同时平方得：， 所以：， 因为：a、b是整数，，所以为有理数．而是无理数，与前面假设矛盾． 所以：是一个无理数． （2）①任意两个无理数的和还是无理数不正确，如：是有理数． 故答案为：×； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，正确． 故答案为：√； （3）∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 25．（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____．(2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和(2)；(3)的值为0或． 【详解】（1）解：∵，， 又∵，∴点是“理想点”；∵，， 又∵，∴点不是“理想点”；∵，， 又∵，∴点是“理想点”；故答案为：和； （2）解：∵点是“理想点”，∴，∴，解得； （3）解：∵点是“理想点”，∴，整理可得，∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 26. （2023-24金山区七年级下期中）阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： （1）求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． （2）求代数式的最小值是________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点距离，掌握数轴上两点距离，分区间结合数形结合的方法是解题关键． （1）由对应的数为，对应的数为，表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可； （2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为，可得表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可． 【小问1详解】 解：如图，对应的数为，对应的数为， ∵表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和， ∴当时，； 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当代数式取最小值时，相应的x的取值范围为：． 【小问2详解】 如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为， ∴表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和， 当重合时，即时， ∴， 当时，如图， ， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当时，的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $