重难点03：二次根式的六大综合问题 【精英班课程】2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点03：二次根式的六大综合问题 题型一：二次根式的非负性 【例1】已知，则 ． 【例2】若、是实数，且，化简： 【例3】已知实数、满足，求的平方根． 【例4】已知，求的值． 【例5】已知+=0，则为（　　） A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023 【例6】实数、、满足条件，则的值是 ． 【例7】若满足关系式 ，则 ． 题型二：含二次根式的整体代入求值 【例8】已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 【例9】当时，多项式的值为 【例10】已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【例11】请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，，则，即，∴，两边同时乘以x得，，把作为整体，代入原式得，原式． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【例12】已知，，则 ． 【例13】设，，则 ． 题型三：二次根式的分母有理化 【例14】比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 【例15】例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例16】阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； ； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______；______；______； (2)化简：； (3)已知，，求的值． 题型四：复合二次根式的化简 【例17】化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【例18】已知，则 【例19】先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【例20】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例21】像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【例22】先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 题型五：二次根式运算中的新定义型问题 【例23】定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【例24】定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【例25】我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值是_____ 【实际应用】（4）已知，，满足，求． 【例26】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 题型六：二次根式运算中的规律探究问题 【例27】观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【例28】观察下列等式： …… (1)请你根据上述规律填空：______； (2)①把你发现的规律用含有的等式表示出来：______； ②证明①中的等式是正确的，并注明的取值范围． 【例29】嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【例30】观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点03：二次根式的六大综合问题 题型一：二次根式的非负性 【例1】已知，则 ． 【答案】5 【详解】解：， ， 解得， ， ， 故答案为：5． 【例2】若、是实数，且，化简： 【答案】． 【解析】根据二次根式的非负性，可知，由此，即，此时， 原式=． 【例3】已知实数、满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件确定的值，进而求得的值，代入代数式，求得代数式的值，根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 又∵分母中， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， ∵的的平方根为， ∴的平方根为， 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一个数的算术平方根，求得的值是解题的关键． 【例4】已知，求的值． 【答案】9． 【解析】由题意得：， ． ． 【例5】已知+=0，则为（　　） A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023 【答案】A 【分析】根据两个非负数的和为0，两个数均为0列二元一次方程组并求解，然后代入求值即可； 【详解】解：∵∴， ∴， 联立方程组得：解得： 代入得： 故选A； 【点睛】本题考查了两个非负数的和为0，两个加数分别为0，涉及了二元一次方程组等知识，掌握并熟练使用相关知识，认真计算是本题的解题关键． 【例6】实数、、满足条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 【详解】将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ， ， ，，， ，，， ． 故答案为：． 【例7】若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二：含二次根式的整体代入求值 【例8】已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 【例9】当时，多项式的值为 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：. 【例10】已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 【例11】请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，，则，即，∴，两边同时乘以x得，，把作为整体，代入原式得，原式． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2025 (2)2026 【详解】（1）解：由得，， 则，即， ∴， 把代入原式得， 原式； （2）解：由得，，即， 则，即， ∴，即 两边同时乘以得， 把作为整体，代入原式得， 原式． 【例12】已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ． 故答案为：． 【例13】设，，则 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 题型三：二次根式的分母有理化 【例14】比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解： ； ． 因为， 所以， 即． （2） ． 【例15】例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴小数部分． ∴． ∴①正确． ②∵ ， ∴②错误． ③∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴③错误． ④：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴④正确． 综上，正确结论为①和④，共2个． 选：B． 【例16】阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； ； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______；______；______； (2)化简：； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，仿照材料中提供的思路进行解答． 仿照材料中提供的解题思路进行分母有理化即可； 仿照材料中提供的解题思路把每一个二次根式分别进行分母有理化，再合并同类二次根式即可； 首先把，分别进行分母有理化，再把分母有理化后的值代入代数式中计算求值即可． 【详解】（1）解：； ； ； 故答案为：，，； （2）解： ； （3）解： ，， ， ， ， ． 题型四：复合二次根式的化简 【例17】化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先将根号内整理为和，再化简，并计算即可． 解：原式． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，理解是解题的关键． 【例18】已知，则 【答案】 【分析】利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可. 解： 将代入得： 故答案为 【点拨】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简，熟练掌握相关知识点是解题关键. 【例19】先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【点拨】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键． 【例20】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【例21】像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【例22】先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 题型五：二次根式运算中的新定义型问题 【例23】定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)与是关于3的“实验数”．理由见解析． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”； （2）把代入计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：， 所以与是关于的“实验数”， ， 所以与是关于的“实验数” 故依次填：，； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ∴与是关于的“实验数”． 【例24】定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出，再把变形为，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：关于的“美好数”， ∴ ． 【例25】我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值是_____ 【实际应用】（4）已知，，满足，求． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）；（4） 【详解】（1）由条件可知； 故答案为：； （2） ， 由条件可知，即． （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得，， 则． 故答案为：4． （4）由条件可转化为， ，，， ． 【例26】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 题型六：二次根式运算中的规律探究问题 【例27】观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，分母有理数，二次根式的大小比较，根据已知等式得出规律是解题关键． （1）观察已知等式规律作答即可； （2）观察已知等式规律作答即可； （3）根据上述规律，得到两个数的倒数，然后通过比较两个倒数的大小，即可比较这两个数的大小． 【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：观察以上规律，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ，即， ． 【例28】观察下列等式： …… (1)请你根据上述规律填空：______； (2)①把你发现的规律用含有的等式表示出来：______； ②证明①中的等式是正确的，并注明的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析；（n为大于1的自然数） 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键． （1）仔细观察从上式中找出规律即可； （2）①归纳总结得到一般性规律，写出即可； ②利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【详解】（1）解：根据前3个式子，可得； 故答案为：； （2）解：①由前面式子得出：； 故答案为：； ②证明：等式左边右边，为大于1的自然数． 【例29】嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ② ， ， ， ． 【例30】观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3)1 【详解】（1）解：依题意，第5个等式：， 故答案为：； （2）解：依题意，第n个等式:． 即第n个等式:， 证明如下： ； （3）解：由（2）得 ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $