专题21.1 一元二次方程的概念（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题21.1 一元二次方程的概念 教学目标 1. 了解一元二次方程的概念； 2. 知道一元二次方程的一般形式； 3. 掌握一元二次方程的根的概念，以及整体代换思想。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的概念及其求参数问题； （2）将一元二次方程化成一般形式，并知道其二次项及其系数，一次项及其系数，常数项等； （3）一元二次方程的根及其应用。 2.难点 （1）概念辨析及其应用； （2）一元二次方程的根的应用—求代数式的值等。 知识点1 一元二次方程 1.实例 一块长方形绿地的面积为1200 m², 且已知长比宽多10m.问：长和宽各为多少? 设这块长方形绿地的宽为x m, 它的长就是(x+10)m. 因为绿地 面积为1200 m², 所以x(x+10)=1200. 去括号，得x²+10x=1200. 2.一元二次方程 ①定义：一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程. ②一般形式：一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a、b、c为已知数，且a≠0). ③其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项. 要点：一元二次方程的特征 （1）都是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2。 3.将一元二次方程化成一般形式 例 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项. （1）（8-2x）（5-2x）=18 （2）y+=(y²+2). 解:（1）2x2-13x+11=0；2，-13，11. （2）-y²+y+-2=0；-，1; -2. 【即学即练】 1．下列属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、不是整式方程，即不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】①，时，不是一元二次方程； ②，整理得，是一元二次方程； ③，不是一元二次方程； ④，不是一元二次方程； ⑤，不是一元二次方程； ⑥，是一元二次方程； ⑦，整理得，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有②⑥，共2个． 故选：A． 3．把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项为，一次项为，常数项 (2)，二次项为，一次项为，常数项 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． （1）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答； （2）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答． 【详解】（1）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项； （2）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项． 4．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 5．若关于x的方程是一元二次方程，则（　　） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，方程需满足：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0．由条件可得关于k的方程，解之并验证即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， ∴且， 即， 故选：D． 知识点2 一元二次方程的根 1.满足方程ax²+bx+c=0(a≠0) 的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解),简称实根或者根. 2.判断一个未知数的值是不是这个方程的根： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根。 3.一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，未知数为x的一元二次方程的两个根通常用x₁、x₂表示. 【即学即练】 1．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； B、当时，，则是方程的根，本选项符合题意； C、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； D、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； 故选：B． 2．已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，掌握此概念是解题的关键；由题意，把一元二次方程的根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2， ∴， 解得：； 故答案为：2． 3．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则a的值是 ． 【答案】/ 【分析】把代入原方程得1+3+a=0，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．若方程的一个根是m，则代数式 ． 【答案】6 【分析】由方程的一个根是m可得，进而可求出的值． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∴代数式． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键． 5．若一元二次方程的一个根为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴，即， 故选：B． 题型01 判断一元二次方程 【典例1】．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是一元二次方程，不符合题意； C. ，不是一个未知数，不符合题意；     D. ，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【变式1】．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义，对每个选项逐一分析判断，看是否符合该定义 ．本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义是解题的关键． 【详解】选项A：展开右边，，原方程化简为，移项后得，为一次方程，不符合定义． 选项B：方程含项，属于分式方程，非整式方程，排除． 选项C：形式类似二次方程，但未明确，若则方程退化为一次方程，无法确定，排除． 选项D：方程满足整式、仅含且最高次数为2，符合定义． 故选：D． 【变式2】．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1． 【详解】解：A、当时，方程才是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型02 一元二次方程有关概念综合辨析 【典例1】．关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 【变式1】．下列叙述正确的是（    ） A．形如的方程叫一元二次方程 B．方程不含有常数项 C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0 D．是关于y的一元二次方程 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的一般形式，形如的方程叫一元二次方程，可得答案． 【详解】解：A．形如的方程叫一元二次方程，故A不符合题意； B．方程的一般形式是，常数项是，故B不符合题意； C．一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数及常数项可以为0，故C不符合题意； D．是关于y的一元二次方程，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的一般形式是解题关键． 题型03 一元二次方程的一般形式 【典例1】．一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 【变式1】．把化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 3 0 【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：，， 去括号：， 移项合并同类项：， ∴二次项系数为：；一次项系数为：，常数项为：； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：是解题的关键． 【变式2】．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 【变式3】．方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，先移项，得到其一般式，由此得到答案． 【详解】解：， 移项，得， 它的一次项系数是， 故答案为：． 【变式4】．方程整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数的比值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴二次项系数为3，一次项系数为， 二次项系数与一次项系数的比值是． 故答案为：． 【变式5】．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式去括号，进而得出答案． 【详解】解：， 去括号得：x2-5+4x2-4x+1=0， 整理得：5x2-4x-4=0． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确应用乘法公式是解题关键． 题型04 根据一元二次方程的概念求参数 【典例1】．若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1】．关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可． 【详解】解： 关于x的方程是一元二次方程， 由①得： 由②得： 所以 故答案为： 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键． 【变式2】．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 【变式3】．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【变式4】．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 故选：C． 【变式5】．关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足 时，方程为一元二次方程，当m满足 时，方程为一元一次方程． 【答案】 【分析】分别根据一元二次方程和一元一次方程的定义列式求解即可. 【详解】解：由题意得：m2﹣4≠0，解得：，即当时，方程为一元二次方程； 由题意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，即当m＝﹣2时，方程为一元一次方程． 故答案为：；m＝﹣2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程是通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程；一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式． 题型05 已知一元二次方程的一根求参数或另一根 【典例1】．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（    ） A．3 B． C． D．0或 【答案】B 【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键. 【变式1】．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．根据方程的一个根为，代入求出参数的值，再解方程确定另一个根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴且， 解得：， ∴原方程变为， 解得或， ∴另一根为， 故选：D． 题型06 写出满足条件的一元二次方程 【典例1】．写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示） 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式：，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，进行作答即可． 【详解】解：由题意，可得方程为：； 故答案为：． 【变式1】．已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．设一元二次方程为，把代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一． 【详解】解：设一元二次方程为，把代入可得，， 所以只要a ，b、c的值满足即可． 如等，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 题型07根据一元二次方程的根求代数式的值 【典例1】．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，先把把代入，得，则，即可作答． 【详解】解：把代入， 得， 则， 则， 故答案为：． 【变式1】．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入得到，再整体代入求值． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型08 根据条件求一元二次方程的定根 【典例1】．关于的方程必有一个根为（ ） A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2 【答案】A 【分析】分别把，，，代入中，利用一元二次方程的解，当为任意值时，则对应的的值一定为方程的解. 【详解】解：A、当是，，所以方程必有一个根为1，所以A选项正确； B、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以B选项错误； C、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以C选项错误； D、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以D选项错误.故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键. 【变式1】．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【分析】把化为： 再结合题意可得从而可得方程的解. 【详解】解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为 故选D 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键. 【变式2】．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键． 题型09 一元二次方程的解的综合应用 【典例1】．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】∵，，a+c=0 ∴， ∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念． 【变式1】．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ． 【答案】 【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0， ∴“天宫”方程的一个解为， 方程是“天宫”方程， ， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键． 题型10 一元二次方程的解估算 【典例1】．观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 【变式1】．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【变式2】．探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由列表数据可得判断出的值在1和之间即可解答． 【详解】解：通过列表可以看出看出方程的正数解应介于1和之间， ∴． 故选：C． 一、单选题 1．下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、属于一元二次方程，故A选项符合题意； B、中若，不属于一元二次方程，故B选项不符合题意； C、中有含两个未知数、，不属于一元二次方程，故C选项不符合题意； D、不是整式方程，不属于一元二次方程，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式是解题的关键． 一元二次方程一般式为，由此即可求解． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 故选：B ． 4．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键. 【详解】解：选项A中，，其二次项系数是3，一次项系数是，常数项是1，故选项A符合题意； 选项B中，，其二次项系数是3，一次项系数是，常数项是，故选项B不符合题意； 选项C中，，其二次项系数是3，一次项系数是6，常数项是，故选项C不符合题意； 选项D中，，其二次项系数是3，一次项系数是6，常数项是1，故选项D不符合题意． 故选：A． 5．一元二次方程的一个根是，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，的一个根是，那么就可以把代入方程，从而可直接求k． 【详解】解：已知一元二次方程 的一个根是 ，将其代入方程得：， 化简得： 合并常数项： 解得： 故选： B． 6．若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为0，， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 7．若，则关于的一元二次方程有一根是（    ） A．1 B． C．0 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据，若，可判断当时满足条件，于是判断出方程的根．解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念． 【详解】解：∵，若， ∴当时，， ∴此方程必有一个根为． 故选：B． 8．已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根，由题意可知，m是方程的根，因此．将代数式中的用该等式替换，即可化简求值． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴． ∴ 故选C． 9．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键． 由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键； 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可判断①；把代入方程变形进而可判断②；把代入方程即可判断③；把代入方程变形整理得到，即可判断④，即可求解. 【详解】解：若方程的两个根是和，则， ∴， ∴，故说法①正确； 若是方程的一个根，则， ∴， ∴或， ∴当时，不一定有，故说法②错误； 若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确； 若方程有一个根是，则， ∴，即， ∴方程一定有一个实数根，故说法④正确； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 二、填空题 11．已知方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】-3 【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 解得：. 故答案为：-3. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件． 12．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】利用一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件判断即可确定出m的范围． 【详解】由题意，得，且， 所以且， 故答案是：且． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 13．若关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的和为0，则的值是 ． 【答案】1 【分析】二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-2，-m+2．它们的和是0，即得到解方程求出m即可． 【详解】解：由题意可得，解得． 故答案为1. 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 14．一元二次方程有两个解为1和﹣1，则 ， ，= ． 【答案】 0 0 0 【分析】一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；分别将1和﹣1代入方程即可得到两个关系式的值，将两式相减即可得到b的值． 【详解】将1代入方程得：a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0①； 将﹣1代入方程得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c=0，即a﹣b+c=0②； ①－②得：b=0． 故答案为0，0，0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义． 15．已知关于x的方程，当m 时，原方程是一元二次方程；当m 时，原方程是一元一次方程． 【答案】 m≠±1 m=±1 【分析】（1）由一元二次方程的定义得到：m2﹣1≠0，由此可以求得m的值； （2）根据一元一次方程的定义得到：m2﹣1=0且m－2≠0，由此可以求得m的值． 【详解】（1）∵关于x的方程，是一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得：m≠±1； （2）∵关于x的方程，是一元一次方程，∴m2﹣1=0且m－2≠0，解得：m=±1． 【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．注意，一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零． 16．关于的一元二次方程均为常数，)的根是，则方程的根是 ． 【答案】 【分析】将进行变形可得，再根据 的根为，可得，或即可求解. 【详解】解：∵关于的一元二次方程均为常数，)的根是， 将方程变形为，则此方程中或，解得. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握并准确应用是解题的关键. 17．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则 ， ． 【答案】 ； ； 【分析】将因式分解求得，则可化简得，根据，为有理数，可得，也为有理数，故当时候，只有，，据此求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴，也为有理数， 故当时候，只有，， ∴，， 故答案是：，； 【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键． 三、解答题 18．下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析；（6）见解析. 【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式、二次项系数、一次项系数及常数项的定义判断即可. 【详解】解：（1）未知数最高次数是1，故不是一元二次方程； （2）是一元二次方程，一般形式为：，二次项系数是：1，一次项系数是：0，,常数项是：-4； （3）是分式方程，故不是一元二次方程； （4）将方程左右展开后可得：4x+8=0，未知数最高次数是1，故不是一元二次方程； （5）方程中，当a=0时不是一元二次方程，故不是一元二次方程； （6）是一元二次方程，一般形式为：，二次项系数是：2，一次项系数是：-5，,常数项是：7. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0），在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 19．填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】见解析 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，进行填写即可． 【详解】解： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 1 2 0 0 0 3 9 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握：，其中，分别为二次项系数，一次项系数，常数项，是解题的关键． 20．已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值．根据一元二次方程的解的定义可得，再化简代数式，然后把代入，即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 21．若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将a代入方程再将方程变换，代入所求代数式即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将方程正确进行变换是解题的关键． 22．【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.1 一元二次方程的概念 教学目标 1. 了解一元二次方程的概念； 2. 知道一元二次方程的一般形式； 3. 掌握一元二次方程的根的概念，以及整体代换思想。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的概念及其求参数问题； （2）将一元二次方程化成一般形式，并知道其二次项及其系数，一次项及其系数，常数项等； （3）一元二次方程的根及其应用。 2.难点 （1）概念辨析及其应用； （2）一元二次方程的根的应用—求代数式的值等。 知识点1 一元二次方程 1.实例 一块长方形绿地的面积为1200 m², 且已知长比宽多10m.问：长和宽各为多少? 设这块长方形绿地的宽为x m, 它的长就是(x+10)m. 因为绿地 面积为1200 m², 所以x(x+10)=1200. 去括号，得x²+10x=1200. 2.一元二次方程 ①定义：一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程. ②一般形式：一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a、b、c为已知数，且a≠0). ③其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项. 要点：一元二次方程的特征 （1）都是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2。 3.将一元二次方程化成一般形式 例 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项. （1）（8-2x）（5-2x）=18 （2）y+=(y²+2). 解:（1）2x2-13x+11=0；2，-13，11. （2）-y²+y+-2=0；-，1; -2. 【即学即练】 1．下列属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 3．把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 4．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 5．若关于x的方程是一元二次方程，则（　　） A．1 B． C． D．3 知识点2 一元二次方程的根 1.满足方程ax²+bx+c=0(a≠0) 的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解),简称实根或者根. 2.判断一个未知数的值是不是这个方程的根： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根。 3.一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，未知数为x的一元二次方程的两个根通常用x₁、x₂表示. 【即学即练】 1．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是 ． 3．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则a的值是 ． 4．若方程的一个根是m，则代数式 ． 5．若一元二次方程的一个根为，则（    ） A． B． C． D． 题型01 判断一元二次方程 【典例1】．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型02 一元二次方程有关概念综合辨析 【典例1】．关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【变式1】．下列叙述正确的是（    ） A．形如的方程叫一元二次方程 B．方程不含有常数项 C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0 D．是关于y的一元二次方程 题型03 一元二次方程的一般形式 【典例1】．一元二次方程的一般形式是 ． 【变式1】．把化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【变式2】．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【变式3】．方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 【变式4】．方程整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数的比值是 ． 【变式5】．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型04 根据一元二次方程的概念求参数 【典例1】．若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【变式1】．关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【变式2】．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【变式3】．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【变式4】．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 【变式5】．关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足 时，方程为一元二次方程，当m满足 时，方程为一元一次方程． 题型05 已知一元二次方程的一根求参数或另一根 【典例1】．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（    ） A．3 B． C． D．0或 【变式1】．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根的值为（    ） A． B． C． D． 题型06 写出满足条件的一元二次方程 【典例1】．写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示） 【变式1】．已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 题型07根据一元二次方程的根求代数式的值 【典例1】．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【变式1】．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 题型08 根据条件求一元二次方程的定根 【典例1】．关于的方程必有一个根为（ ） A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2 【变式1】．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【变式2】．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 题型09 一元二次方程的解的综合应用 【典例1】．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 【变式1】．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ． 题型10 一元二次方程的解估算 【典例1】．观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【变式1】．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【变式2】．探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 一、单选题 1．下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 3．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的一个根是，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 6．若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 7．若，则关于的一元二次方程有一根是（    ） A．1 B． C．0 D．无法判断 8．已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 9．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知方程是关于的一元二次方程，则 ． 12．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ． 13．若关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的和为0，则的值是 ． 14．一元二次方程有两个解为1和﹣1，则 ， ，= ． 15．已知关于x的方程，当m 时，原方程是一元二次方程；当m 时，原方程是一元一次方程． 16．关于的一元二次方程均为常数，)的根是，则方程的根是 ． 17．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则 ， ． 三、解答题 18．下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 19．填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 20．已知a是方程的一个根，求代数式的值． 21．若是方程的一个根，求代数式的值． 22．【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$