专题11.5因式分解（知识点梳理+题型举一反三+同步练习）易错重难点同步备课2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学因式分解的核心内容，系统构建从概念辨析到方法应用的完整知识链，涵盖因式分解定义、提公因式法、公式法、分组法及拓展技巧，前后衔接紧密，层层递进，形成清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现“数学眼光”“数学思维”“数学语言”三大核心素养。例如通过题型1判断变形是否为因式分解，引导学生用数学眼光识别结构特征；在例题6综合运用中，借助“一提二套三检查”步骤培养逻辑推理能力，展现数学思维严谨性；同步练习第9题利用密码生成情境，让学生用数学语言表达现实问题，提升应用意识。课中可辅助教师精准施教，课后助力学生查漏补缺，实现深度学习与实践迁移。

11.5因式分解 【题型1】因式分解的概念判断 1. 知识点 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式），结果必须是“整式积”的形式。 因式分解与整式乘法的关系：二者是方向相反的恒等变形（整式乘法是“积化和差”，因式分解是“和差化积”），例如：是整式乘法，是因式分解。 因式分解的要求：①对象是多项式；②结果是整式的积；③分解要彻底（每一个因式不能再分解）；④相同因式需写成幂的形式。 2. 考点 判断一个从左到右的变形是否为因式分解（如选项中区分整式乘法、多项式加减与因式分解）。 识别错误的因式分解（如结果不是整式积、分解不彻底等）。 3. 易错点 混淆因式分解与整式乘法（如将误认为是因式分解）。 误将多项式加减变形当作因式分解（如，结果含和差形式，不是积）。 忽略“分解彻底”的要求（如分解为后未继续分解）。 4. 解题技巧 紧扣“整式积”核心：变形后右边若含“+”“-”号（非因式之间的符号），则不是因式分解。 验证法：若无法直接判断，可将右边展开，看是否与左边多项式相等（利用整式乘法逆推）。 【例题1】．（2024-2025•泽州县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．2ma2+4ma+2m＝2m（a+1）2 C．a2﹣b2﹣1＝（a+b）（a﹣b）﹣1 D．x2+6x+36＝（x+3）2+27 【变式题1-1】．（2024-2025•钢城区期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a2﹣b2+2＝（a+b）（a﹣b）+2 B．（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6 C．4m2﹣9n2＝（4m+9n）（4m﹣9n） D．y2﹣4y+4＝（y﹣2）2 【变式题1-2】．（2024-2025•长宁区期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 【变式题1-3】．（2024-2025•贵阳期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x﹣1）（x﹣2）＝（1﹣x）（2﹣x） B．x2+xy﹣1＝x（x﹣y）﹣1 C．a（x﹣3）+b（3﹣x）＝（x﹣3）（a﹣b） D．（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1 【题型2】确定多项式的公因式 1. 知识点 公因式的定义：多项式各项都含有的相同因式，可是数、字母或多项式（如与可变形为相同因式，即）。 公因式的确定方法（“三定原则”）： ①定系数：取各项系数的最大公约数（若系数为负，通常取正数作为公因式系数）； ②定字母：取各项中相同的字母（或相同多项式整体）； ③定指数：取相同字母（或多项式）的最低次幂。 2. 考点 直接确定单个多项式的公因式（如求的公因式）。 确定多个多项式的公因式（如求与的公因式）。 3. 易错点 漏算系数的最大公约数（如与，系数最大公约数是3，易误取1或6）。 忽略字母的最低次幂（如与，相同字母取、取，易误取）。 未将互为相反数的多项式变形为相同因式（如与，易误认为无公因式，实际公因式是或）。 4. 解题技巧 分步拆解：先单独分析系数、字母、多项式整体，再组合得到公因式。 特殊情况处理：若多项式首项为负，可先提取“-”号，再确定公因式（如，先变形为，公因式为）。 【例题2】．（2024-2025•平舆县期末）把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3 D．3a2b2 【变式题2-1】．（2024-2025•沙市区期末）多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是　 　 ． 【变式题2-2】．（2024-2025•横山区期末）多项式3x3y2+8y3+xy的公因式是　 　 ． 【变式题2-3】．（2024-2025•蓬江区校级二模）把多项式12ab+3ab3分解因式，应提取的公因式为　 　 ． 【题型3】提公因式法因式分解 1. 知识点 提公因式法的定义：将多项式各项的公因式提取出来，将多项式化为“公因式× 另一个因式”的形式，依据是乘法分配律的逆用（）。 提公因式法的步骤： ①确定公因式（按“三定原则”）； ②提取公因式：将每一项除以公因式，得到另一个因式； ③整理结果：写成“公因式× 另一个因式”的形式（另一个因式的项数与原多项式一致）。 2. 考点 用提公因式法分解单项式与多项式的混合项（如）。 提取多项式形式的公因式（如）。 首项系数为负的多项式分解（如）。 3. 易错点 首项为负时漏变号：提取“-”号后，括号内每一项都要变号（如，易误分解为，正确应为）。 某一项与公因式相等时漏写“1”：如分解为（正确），但不能写成，且单独项提取公因式后为“1”（如分解为，不能漏写“1”）。 公因式提取不彻底：如，易误分解为，正确应为（未提取尽）。 4. 解题技巧 口诀记忆：“找准公因式，一次提干净；首负先提负，各项都变号；全家搬走留1守，分解彻底才罢休”。 验证方法：提取公因式后，将结果展开，看是否与原多项式一致（检验正确性）。 【例题3】．用提公因式法分解因式． （1）x2+xy； （2）﹣4b2+2ab； （3）6ab3﹣2a2b2+4a3b； （4）y（a﹣2b）+x（2b﹣a）； （5）6（n﹣m）﹣12（m﹣n）2． 【变式题3-1】．因式分解：4a（x+y）2﹣2（y+x）2． 晓蒙的解题思路如下： y）2•（4a﹣2）． 请问晓蒙的思路正确吗？如果不正确，请指出来并将正确的解题过程写出来． 【变式题3-2】．在讲提取公因式一课时，张老师出了这样一道题目：把多项式3（x﹣y）3﹣（y﹣x）2分解因式•并请甲、乙两名同学在黑板上演算． 甲演算的过程： 3（x﹣y）3﹣（y﹣x）2＝3（x﹣y）3+（x﹣y）2＝（x﹣y）2[3（x﹣y）+1]＝（x﹣y）2（3x﹣3y+1）． 乙演算的过程： 3（x﹣y）3﹣（y﹣x）2＝3（x﹣y）3﹣（x﹣y）2＝（x﹣y）2（3x﹣3y）． 他们的计算正确吗？若错误，请你写出正确答案． 【变式题3-3】．阅读题：因式分解：1+x+x（x+1）+x（x+1）2 解：原式＝（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）[（1+x）+x（1+x）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）本题提取公因式几次？ （2）若将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式多少次？结果是什么？ 【题型4】平方差公式法因式分解 1. 知识点 平方差公式：（逆用乘法平方差公式）。 公式适用条件： ①多项式为二项式； ②两项符号相反（一正一负）； ③两项均能写成某个整式的平方形式（如，）。 常见变形： ①系数变形：； ②指数变形：； ③多项式整体变形：。 2. 考点 判断多项式能否用平方差公式分解（如不能，能）。 用平方差公式分解多项式（含直接用、先提公因式再用公式）。 利用平方差公式进行简便计算或证明整除（如证明能被整除）。 3. 易错点 忽略两项符号相反的条件：如（两项均正）、（两项均负），均不能用平方差公式。 未先提公因式直接用公式：如，应先提公因式得，再用平方差公式分解为，易误直接分解为（超出有理数范围，题目未说明时默认有理数范围）。 分解不彻底：如，易分解为后停止，正确应为（需继续分解）。 4. 解题技巧 步骤：“一提二看三分解”——先看是否有公因式，再看是否符合平方差公式结构，最后分解并检查彻底性。 符号处理：若两项均为负，可先提取“-”号化为“正-负”形式（如或直接写成）。 【例题4】．（2024-2025•霸州市期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2﹣y2 B．y2﹣x2 C．﹣x2﹣y2 D．x4﹣y2 【变式题4-1】．（2024-2025•湖北模拟）当整数a为　 　 时（只写一个），多项式x2+a能用平方差公式分解因式． 【变式题4-2】．（2024-2025•合浦县月考）把下列各式写成平方差的形式，再分解因式： （1）x2﹣5； （2）4a2﹣7； （3）16y2﹣15； （4）3x2﹣2y2． 【变式题4-3】．（2024-2025•扶沟县期末）观察下列等式，并回答问题． 4×1＝22﹣02， 4×2＝32﹣12， 4×3＝42﹣22， 4×4＝52﹣32， …… （1）将2024写成两整数平方差的形式： 2024＝4×　 　 ＝　 　 ﹣　 　 （2）用含有字母n（n≥1的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． （3）相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由． 【题型5】完全平方公式法因式分解 1. 知识点 完全平方公式： ①和的平方：； ②差的平方：（均逆用乘法完全平方公式）。 公式适用条件： ①多项式为三项式； ②首、尾两项是某个整式的平方（符号相同，均正或均负，通常为正）； ③中间项是首、尾两项底数乘积的2倍（符号可正可负，与公式对应）。 公式特征：“首平方，尾平方，首尾积的2倍在中央”。 2. 考点 判断多项式能否用完全平方公式分解（如能，不能）。 用完全平方公式分解多项式（含直接用、先提公因式再用公式）。 已知多项式是完全平方式，求参数值（如是完全平方式，求）。 3. 易错点 忽略中间项是“首尾积的2倍”：如，尾项，但中间项，不能用完全平方公式。 符号错误：如，尾项为负，不符合“首、尾符号相同”，不能用完全平方公式；正确分解为，易误写为（中间项符号错误）。 未提公因式直接用公式：如，应先提公因式得，再分解为，易误直接分解为（超出有理数范围）。 4. 解题技巧 验证步骤：①找首、尾项，确认是否为平方形式且符号相同；②计算“首尾积的2倍”，对比中间项的系数和符号；③符合则用公式分解。 参数求解：若是完全平方式，则，（如，）。 【例题5】．（2024-2025•高州市月考）若x2+2（m﹣3）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为　 　 ． 【变式题5-1】．（2024-2025•沧县期末）请给4x2+1添上一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式分解因式．请写出两种情况，并对其分别进行因式分解． 【变式题5-2】．（2024-2025•禹城市校级月考）把下列完全平方式因式分解： （1）x2+14x+49； （2）（m+n）2﹣6（m+n）+9． 【变式题5-3】．（2024-2025•杏花岭区校级期中）（1）因式分解：x2（x+y）﹣y2（y+x）； （2）下面是小亮同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） ①该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　 ． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 ②该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？　 　 ．（填“是”或“否”） ③请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 【题型6】提公因式法与公式法的综合运用 1. 知识点 综合分解原则：因式分解的一般顺序是“一提（提公因式）→ 二套（套公式：平方差、完全平方）→ 三检查（检查是否彻底）”。 适用场景：多项式既有公因式，又符合公式结构（如，先提公因式，再用平方差公式）。 2. 考点 分解含公因式且符合公式的多项式（如）。 分解多层因式（如，先完全平方，再平方差）。 3. 易错点 跳过提公因式直接用公式：如，易误分解为，正确应为先提得，再分解为。 分解不彻底：如，分解为后停止，正确应为（需继续用完全平方公式）。 4. 解题技巧 分步分解：先观察是否有公因式，提取后再分析剩余因式的结构（二项式试平方差，三项式试完全平方）。 标记法：分解后在每个因式后标注“是否可再分”，确保每一个因式都不能继续分解（如标注“可分”，标注“不可分”）。 【例题6】．（2024-2025•历城区校级月考）分解因式： （1）x3﹣9x； （2）3x2﹣18x+27； （3）9（m+n）2﹣3（m﹣n）（m+n）； （4）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）． 【变式题6-1】．（2024-2025•齐河县校级月考）因式分解： （1）ma2﹣3ma﹣4m； （2）（x2+4）2﹣16x2； （3）﹣4x3+16x2﹣16x； （4）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【变式题6-2】．（2024-2025•东莞市模拟）因式分解是一种恒等变形，其本质是把一个多项式化为几个整式的积的形式．初中阶段只要求掌握提公因式法和公式法两种因式分解的方法．但小明同学接触了整体学习法后，提出一个观点：公式法分解因式，归根结底也是提公因式法分解因式．为了向同学们证明，小明同学提供了平方差公式分解因式的推理过程： 第①步：a2﹣b2＝a2﹣ab+ab﹣b2； 第②步：＝（a2﹣ab）+（ab﹣b2）； 第③步：＝a（a﹣b）+b（a﹣b）； 第④步：＝（a﹣b）（a+b）； （1）在上述推理过程中，第①步的推理依据是等式的基本性质之一，请写出该性质：　 　 ；第④步使用了“提公因式法”；第　 　 步的依据是“乘法分配律”；第　 　 步的依据是“加法结合律”； （2）请参考上述步骤，尝试推理公式法分解因式的另一个公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2． 【变式题6-3】．（2024-2025•葫芦岛期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式2xy+x2﹣1+y2时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 2xy+x2﹣1+y2＝（x2+2xy+y2）﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）． 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： （1）分解因式：a2+b2﹣n2+2ab； （2）已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2+b2+c2+29﹣4a﹣6b﹣8c＝0，求△ABC的周长． 【题型7】十字相乘法因式分解（二次项系数为1） 1. 知识点 十字相乘法原理（二次项系数为1）：对于（、为常数），若能找到两个数、，使得且，则。 操作步骤（“十字交叉图”）： ①将二次项分解为（写在十字交叉线左上角和左下角）； ②将常数项分解为（写在右上角和右下角）； ③交叉相乘：，若结果等于一次项，则分解成功。 2. 考点 用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式（如）。 结合提公因式法分解（如，先提得，再十字相乘）。 3. 易错点 找错常数项的因数：如，常数项的因数对有、，易误选（），正确选（）。 忽略符号：如，常数项的因数对需满足“和为”，易误选（，正确），而非（）。 二次项系数不为1时直接用：如，二次项系数为2，不能直接按分解，需调整（后续进阶内容，此处易混淆）。 4. 解题技巧 因数对列举法：先列出常数项的所有正、负因数对，再筛选“和等于一次项系数”的因数对。 验证法：分解后展开结果，看是否与原多项式一致（如，与原式一致则正确）。 【例题7】．（2024-2025•奈曼旗期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考： x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解 x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？ 在第102页的练习第2题中，我们发现，（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： （x+p）（x+q） ＝x2+px+qx+pq ＝x2+（p+q）x+pq． 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）① 利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如，将式子x2+3x+2分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．利用①式可得x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）． 这样，我们也可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式：y2+7y﹣18＝　 　 ； 【知识应用】 （2）x2+mx+3＝（x+n）（x﹣3），则m＝　 　 ，n＝　 　 ； 【拓展提升】 （3）如果x2+mx+6＝（x+p）（x+q），其中m，p，q均为整数，求m的值． 【变式题7-1】．利用十字相乘分解因式． （1）a2﹣4a+3 （2）x2﹣5x+6 （3）x2+3x﹣4 （4）x2﹣3x﹣4． 【变式题7-2】．（2024-2025•新疆期末）阅读材料：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如x2+（p+q）x+pq的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）． 例如，x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2），具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角：然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 解决问题：若多项式x2+kx﹣12可以分解成（x+m）（x+n）（m，n为整数）的形式，则m+n的最大值为 　 　 ． 【变式题7-3】．（2024-2025•江北区校级期中）“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解． 如图1，首先对前三项ax2+bxy+cy2进行“十字相乘”：将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，使得mq+np＝b； 其次对cy2+ey+f进行“十字相乘”：f分解成jk乘积作为第三列，使得pk+qj＝e； 最后若mk+nj＝d，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）； 例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2； 解：如图2，首先对前三项进行“十字相乘”：a＝1＝1×1，c＝﹣3＝（﹣1）×3，b＝2＝1×3+1×（﹣1）；其次对﹣3y2+y+2进行“十字相乘”：f＝2＝1×2，e＝1＝（﹣1）×2+3×1； 最后验证d＝3＝1×2+1×1，∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）； 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式：x2﹣2xy﹣3y2＝　 　 ． 完成下列填空：x2+xy﹣6y2+x+13y﹣6． ①首先因式分解：x2+xy﹣6y2． ②再因式分解：﹣6y2+13y﹣6． ③验证第四项x：x＝3•x+（﹣2）•x． ④写出结果：　 　 ． （2）因式分解：x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2． （3）已知x，y为整数，且满足6x2﹣7xy﹣3y2+13x+8y﹣5＝﹣1，求x，y． 【题型8】十字相乘法因式分解（二次项系数不为1） 1. 知识点 适用形式：二次三项式（，、、为整数）。 原理：若能找到四个整数、、、，使得，，且，则（如，、，、，，故分解为）。 2. 考点 分解二次项系数不为1的整数系数二次三项式（如分解）。 先提公因式再用十字相乘法（如分解，先提得，再分解）。 3. 易错点 二次项系数分解组合错误（如分解，误将分解为，分解为，，正确；若分解为，分解为，，错误）。 忽略常数项符号（如分解，需分解为异号两数，正确组合为和，，故分解为）。 分解后未展开验证（如分解，若得，展开得，正确；若得，展开得，错误）。 4. 解题技巧 试根法：先尝试常数项的因数作为根，若是的根，则是因式（需结合调整系数）。 多组尝试：列出的所有正整数分解组合和的所有整数分解组合，逐一验证交叉相乘和是否为。 【例题8】．（（2024-2025•颍上县月考）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式：2x2﹣x﹣3． 第一步：二次项系数2可以写成1×2，常数项﹣3可以写成﹣1×3或1×（﹣3）； 第二步：如图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将﹣1、3或1、﹣3写在“×”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数： ①的系数为1×3+2×（﹣1）＝1； ②的系数为1×（﹣3）+2×1＝﹣1； ③的系数为1×1+2×（﹣3）＝﹣5； ④的系数为1×（﹣1）+2×3＝5． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 问题： （1）分解因式：3x2﹣14x﹣5； ①完善图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数； ②分解因式：3x2﹣14x﹣5＝　 　 ； （2）分解因式：10x2+7x﹣12． ①完善横线上的数字； ②分解因式：10x2+7x﹣12＝　 　 ． 【变式题8-1】．用十字相乘分解因式： （1）5x2+7x﹣6 （2）5x2+6xy﹣8y2 （3）2x2﹣5xy+2y2 （4）5a2b2+23ab﹣10 （5）10x2﹣21xy+2y2 （6）8m2﹣22mn+15n2． 【变式题8-2】．阅读：对于某些二次项系数不为1的二次三项式ax2+bx+c，我们也能用十字法进行因式分解． 具体做法是：把整数a分解成两个因数m、n，把整数c分解成两个因数p、q，利用十字交叉线进行演算（见图）．若mq+np＝b，则ax2+bx+c＝（mx+p）（nx+q）． 举例说明：把下列各式分解因式 （1）2x2﹣3x﹣20＝（x﹣4）（2x+5）； （2）3x2+xy﹣10y2＝（x+2y）（3x﹣5y）． 完成下列各式的因式分解： （1）2x2﹣x﹣3； （2）3（x+y）2+7（x+y）+2； （3）5x2﹣21xy+4y2； （4）8a4+10a2﹣3； （5）3a5﹣11a3b2﹣4ab4． 【变式题8-3】．（2024-2025•扬州校级三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c（a≠0）分解因式呢？我们已经知道：（a1x+c1）（a2x+c2）＝a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2＝a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2．反过来，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 我们发现，二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子x2﹣x﹣6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝1×1，把常数项﹣6也分解为两个因数的积，即﹣6＝2×（﹣3）；然后把1，1，2，﹣3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（﹣3）+1×2＝﹣1，恰好等于一次项的系数﹣1，于是x2﹣x﹣6就可以分解为（x+2）（x﹣3）． 请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：x2+x﹣6＝ 　 　 ； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①2x2﹣5x﹣7＝ 　 　 ； ②12x2﹣11xy+2y2＝ 　 　 ； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：（a1x+b1）（a2y+b2）＝a1a2xy+a1b2x+a2b1y+b1b2． 反过来，就得到：a1a2xy+a1b2x+a2b1y+b1b2＝（a1x+b1）（a2y+b2）． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式： ①2xy+3y+2x+3＝ 　 　 ； ②若a、b均为整数，且a、b满足6ab+8b﹣15a＝268，求a+b的值． 【题型9】利用因式分解求参数值 1. 知识点 核心原理：因式分解与整式乘法是逆运算——若多项式分解为，则，通过展开，对比等式两边同类项的系数，可列方程求参数。 常见场景： ①已知二次三项式分解为两个一次因式的积（如，求）； ②已知多项式有一个因式，求参数（如有因式，求）。 2. 考点 已知分解结果求参数（如上述场景①）。 已知一个因式求参数及完整分解式（如上述场景②）。 3. 易错点 展开因式时漏项或符号错误：如，易误展开为（漏一次项）或（符号错误），导致系数对比错误。 忽略多项式整体倍数：如，展开右边得，易误认为（正确），但若右边是，需先提公因式化为标准形式，避免重复计算。 已知一个因式时未用“赋值法”验证：如有因式，令，则原式（），易忘记此方法导致求解复杂。 4. 解题技巧 方法一（展开对比法）：将已知因式与含参数的因式相乘，展开后对比左右两边同类项系数，列方程求解参数。 方法二（代入根法）：若是因式的根（如因式为），则将代入原多项式，令其值为0，解方程求参数（如已知是的因式，代入得，解得）。 【例题9】．（2024-2025•成都期末）若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为 　 　 ． 【变式题9-1】．（2024-2025•三河市校级月考）若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　 　 ． 【变式题9-2】．（2024-2025•康县期末）若mn＝4，n﹣m＝3，则式子mn2﹣m2n的值为 　 　 ． 【变式题9-3】．（2024-2025•高州市期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴，解得， 故另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 仿照上面的方法解答下面问题： （1）若x2+2x+m＝（x﹣3）（x+n），求m+n的值； （2）若二次三项式2x2+ax﹣6有一个因式是（2x+3），求另一个因式及a的值． 【题型10】利用因式分解进行简便运算 1. 知识点 运算原理：利用因式分解将复杂的数值计算转化为“整式积”的形式，简化计算（如，）。 常见应用场景： ①提取公因式简化计算（如）； ②平方差公式简化计算（如）； ③完全平方公式简化计算（如）； ④证明整除（如证明能被整除，为整数）。 2. 考点 用因式分解计算具体数值（如上述场景①②③）。 用因式分解证明多项式能被某数或整式整除（如上述场景④）。 3. 易错点 凑公式时变形错误：如，易误写成，正确应为（混淆平方差与完全平方公式）。 提取公因式时系数计算错误：如，公因式是，易误计算为（正确），但若系数为小数或分数，易漏算（如，公因式仍是）。 证明整除时未分解彻底：如证明能被整除，需分解为（三个连续整数，必有2和3的倍数），易只分解到，无法证明能被6整除。 4. 解题技巧 观察式子结构：①若有相同因数，优先提公因式；②若为“平方-平方”，用平方差公式；③若为“平方+2倍积+平方”或“平方-2倍积+平方”，用完全平方公式。 整除证明思路：将多项式分解为目标数（或整式）与另一个整式的积，即可证明能整除（如证明能被整除，需分为偶数和奇数讨论，分解为，当为偶数时，和均为偶数，乘积是4的倍数）。 【例题10】．（2024-2025•襄汾县期中）利用因式分解简便计算： （1）3×852﹣3×152； （2）20222﹣2022×4046+20232． 【变式题10-1】．（2024-2025•稷山县期中）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1值的末尾数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题10-2】．（2024-2025•锦江区校级期中）计算： （1）199×201+15＝　 　 ； （2）　 　 ． 【变式题10-3】．（2024-2025•烟台期末）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 　 　 ． 【题型11】因式分解判断三角形形状 1. 知识点 核心逻辑：利用因式分解将三角形三边关系的等式变形为“整式积=0”的形式，结合“三角形三边均为正数”的性质，推导三边的数量关系（相等或满足勾股定理），从而判断形状（等腰、等边、直角三角形）。 常见等式形式： ①（分解为，得，等腰三角形）； ②（分解为，结合三边关系得，直角三角形）； ③（分组分解为，得，等边三角形）。 2. 考点 已知三角形三边满足的等式，用因式分解判断三角形形状（如上述等式①②③）。 结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）筛选有效因式（如，等）。 3. 易错点 分解后忽略“三边为正数”的条件：如分解为，易误认为（不符合边长为正），正确应为。 分组分解不当导致无法推导关系：如，易误分组为，无法分解，正确分组应为。 未验证三边关系：如，，，虽满足（，实际不满足），但即使满足，也不能构成三角形，需先确认三边能构成三角形。 4. 解题技巧 分组分解策略：对于含三项以上的等式，优先尝试“分组为完全平方”（如“二二分组”或“三一分组”），将等式化为“几个非负数的和=0”的形式（利用完全平方的非负性）。 步骤：①对等式进行因式分解（或配方）；②根据“整式积=0”或“非负数和=0”推导三边关系；③结合三边关系（正数、两边之和大于第三边）判断形状。 【例题11】．（2024-2025•陕州区期末）阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： （1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝　 　 ； （2）解决问题：因式分解：ac﹣bc+a2﹣b2； （3）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【变式题11-1】．（2024-2025•栾城区校级期末）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）； 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将mn2﹣2mn+2n﹣4因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将a2﹣2ab+b2﹣16因式分解； 【应用】（3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，请通过计算说明△ABC是什么三角形？ 【变式题11-2】．（2024-2025•沈北新区期末）[阅读材料] 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组：二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用”3+1”分组；若无法构成，则采用”2+2”“分组． 例如，x2+2x+1﹣4＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）； am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）． [应用知识] （1）因式分解：a2﹣ab+bc﹣ac； （2）因式分解：﹣a2﹣6ab﹣9b2+9； [拓展应用] （3）已知一三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，2a2＝c（2a﹣c）+b（2a﹣b），试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【变式题11-3】．（2024-2025•西宁期末）综合与实践 阅读材料，掌握知识 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解．某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式：3x2+3xy﹣5x﹣5y 解法一：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2+3xy）﹣（5x+5y）＝3x（x+y）﹣5（x+y）＝（x+y）（3x﹣5） 解法二：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2﹣5x）+（3xy﹣5y）＝x（3x﹣5）+y（3x﹣5）＝（3x﹣5）（x+y） 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 理解知识，尝试应用 分解因式 （1）ab﹣ac+bc﹣b2； （2）a2+1﹣b2﹣2a； 提炼思想，拓展应用 （3）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【题型12】因式分解判断整除问题 1. 知识点 整除原理：若多项式能分解为（、为整式），则能被或整除（整数范围内，若、为整数，则能被、整除）。 常见题型：判断多项式（含整数参数）能否被某数整除（如判断能否被2整除，为整数）。 2. 考点 判断整数多项式能否被某数整除（如：证明当为整数时，能被6整除）。 已知多项式能被某数整除，求参数（如：若能被整除，求、）。 3. 易错点 分解后未分析因数特征（如判断能否被2整除，分解为，和为同奇偶，乘积必为偶数，易忽略“同奇偶”特征）。 忽略多项式系数的整数性（如判断能否被3整除，分解为，需举例验证：时能被3整除，时能被3整除，时不能，易误判为“能整除”）。 已知整除求参数时，漏写余式（如多项式能被整除，则，无余式，易设为，）。 4. 解题技巧 步骤：①对多项式进行彻底因式分解；②分析分解后的因式是否含目标除数（或其倍数）；③结合整数性质（如相邻整数必一奇一偶、必含因数2；三个连续整数必含因数2和3等）判断。 举例验证：对整数取特殊值（如、、、），验证结果是否能被目标数整除，辅助判断。 【例题12】．（2024-2025•天祝县期末）若n为任意整数，且（n+11）2﹣n2的值总可以被k整除，则k等于（　　） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 【变式题12-1】．（2024-2025•南皮县期末）【观察】（2+3）2﹣22＝（2+3+2）（2+3﹣2）＝7×3，（4+3）2﹣42＝（4+3+4）（4+3﹣4）＝11×3，（6+3）2﹣62＝（6+3+6）（6+3﹣6）＝15×3，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 【变式题12-2】．（2024-2025•漳州期末）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知a2﹣2＝﹣3b，求2a2+6b﹣7的值． 解：∵a2﹣2＝﹣3b， ∴a2+3b＝2． ∴2a2+6b﹣7＝2（a2+3b）﹣7＝2×2﹣7＝﹣3． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知x2﹣2y﹣3＝0，求3x2﹣6y+1的值； （2）已知（2025k+1）2+（2025k﹣2）2＝65，求（2025k+1）（2025k﹣2）的值； （3）若5m+3n（m，n都是整数）能被6整除，试说明：5m+2+3n也能被6整除． 【变式题12-3】．（2024-2025•太湖县期末）先阅读下列材料，再解决问题． 材料：因为，（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6． 所以，（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3． 即x2+x﹣6能被x﹣2整除． 所以x﹣2是x2+x﹣6的一个因式，且当x＝2时，x2+x﹣6＝0． （1）【类比思考】因为（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被　 　 整除，所以　 　 是x2+5x+6的一个因式，且当x＝　 　 时，x2+5x+6＝0； （2）【拓展探究】根据以上材料，若多项式x2+mx﹣14能被x+2整除，试求m的值． 【题型13】因式分解中的最值问题（配方法） 1. 知识点 核心原理：通过因式分解中的“配方法”，将代数式化为“完全平方+常数”的形式（如），利用“完全平方≥ 0”的非负性，求代数式的最大值或最小值（当完全平方为0时，代数式取最值）。 配方步骤： ①将二次项和一次项组合（如组合为）； ②配方：在括号内加、减“一次项系数一半的平方”（如加，减，得）； ③整理为“完全平方+常数”（如）。 2. 考点 用配方法求代数式的最值（如求的最小值）。 结合实际问题求最值（如长方形面积最值，需先列代数式再配方）。 3. 易错点 配方时常数项计算错误：如，一次项系数一半的平方是，易误加（），正确应为。 符号错误：如，需先提取“-”号得，再配方为，易误写成（漏加）。 混淆最大值与最小值：当完全平方前系数为正（如），代数式有最小值；系数为负（如），代数式有最大值，易混淆。 4. 解题技巧 口诀：“二次系数化为1，一次系数半平方；加在里面减在外，整理成方加常数”。 最值判断：①若代数式为“（）”；②当时，最小值为（时）；③当时，最大值为（时）。 【例题13】．（2024-2025•达州期末）阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）． ②求2x2+12x+22的最小值． 解：2x2+12x+22＝2（x2+6x+11）＝2（x2+6x+9+2）＝2（x+3）2+4 ∵（x+3）2≥0，∴2（x+3）2+4≥4， ∴2x2+12x+22的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题． （1）用配方法因式分解：a2+12a+35； （2）求2x2﹣4x+10的最小值； （3）已知实数x，y满足﹣x2+5x+y﹣3＝0，求x+2y的最小值，并求出此时y的值． 【变式题13-1】．（2024-2025•九江期末）【阅读材料】形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用 （1）用配方法因式分解：a2+6a+8 解：原式＝a2+6a+9﹣1 ＝（a+3）2﹣1 ＝（a+3﹣1）（a+3+1） ＝（a+2）（a+4） （2）用配方法求代数式a2+6a+8的最小值 解：原式＝a2+6a+9﹣1 ＝（a+3）2﹣1 ∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2﹣1≥﹣1，∴a2+6a+8的最小值为﹣1 【解决问题】（1）若代数式x2﹣10x+k是完全平方式，则常数k的值为 　 　 ， （2）因式分解：a2﹣12a+32 【拓展应用】（3）用配方法求代数式4x2+4x+5的最小值 【变式题13-2】．（2024-2025•山亭区期末）在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式x2﹣8x+7进行因式分解呢？ 小季同学经过思考后作如下解答： x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16﹣16+7＝（x2﹣8x+16）﹣9＝（x﹣4）2﹣32＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）． 小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：x2﹣8x+7＝（x﹣4）2﹣9，在代数式（x﹣4）2﹣9中， （x﹣4）2≥0，即无论x取何值，（x﹣4）2都大于等于0，所以（x﹣4）2﹣9≥﹣9，则x2﹣8x+7有最小值为﹣9． （1）请仿照小季的解答过程，将代数式m2﹣14m+24分解因式； （2）求代数式﹣m2+12m﹣18的最大值． 【变式题13-3】．（2024-2025•罗庄区期末）我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7x（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）． 但小明在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式． x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42 ＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1） 教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣3﹣1）＝2（x+1）2﹣8． 因为（x+1）2≥0，所以2（x+1）2﹣8≥﹣8 所以当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：①x2﹣10x+9；②x2﹣8xy+7y2； （2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣8x+3有最大值？并求出这个最大值． （3）利用配方法，尝试求出等式a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0中a，b的值． 【题型14】因式分解的实际应用 1. 知识点 密码生成：利用因式分解的结果生成密码，原理是将多项式分解为多个因式，代入具体数值计算各因式的值，组合为密码（如多项式分解为，取、，得、，密码可为“339”或“393”）。 面积计算：利用因式分解简化图形面积计算（如长方形面积为，分解为，则长和宽可表示为和，便于代入数值计算）。 2. 考点 利用因式分解生成密码（如：已知多项式，取、，生成密码）。 利用因式分解计算图形面积或边长（如：已知长方形面积为，宽为，求长）。 3. 易错点 密码生成时漏算因式（如多项式分解为，生成密码时漏写或的值）。 面积计算时混淆长和宽（如长方形面积分解为，宽应为较小的因式，需结合实际数值判断，易误将长写为，宽写为，导致边长为负）。 代入数值时计算错误（如、代入，分解为，误算为）。 4. 解题技巧 密码生成步骤：①彻底分解多项式；②确定字母取值；③计算每个因式的值；④按任意顺序组合因式值为密码（注意数字位数统一）。 面积计算步骤：①根据图形面积公式列出多项式；②分解多项式；③结合图形边长的正性，确定各因式对应边长；④代入数值计算或求边长关系。 【例题14】．（2024-2025•广平县校级开学）如图，在一个足够长且宽为x+2（x＞6）的纸带上剪出一些长方形纸片A，B，C，•••其面积分别记为SA，SB，SC，•••图中的虚线为裁剪线，试用含x的式子解决下列问题． （1）求2SA﹣SB； （2）若SC＝2SA﹣SB，将多项式SC进行因式分解，并求长方形C落在边l上的边长． 【变式题14-1】．（2024-2025•安宁区校级期末）小明从一张边长为a cm的正方形纸板上减掉一个边长为b cm的正方形（如图1），然后将剩余部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形（如图2）． （1）上述过程揭示的因式分解的等式是　 　 ； （2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求4y﹣3x的值； （3）利用因式分解计算： ． 【变式题14-2】．（2024-2025•莲池区期末）阅读与思考： 在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x2﹣1因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）或（x+1）（x﹣1），取个人年龄作为x的值，当x＝13时，x﹣1＝12，x+1＝14，此时可以得到数字密码1214或1412． （1）根据上述方法，若多项式为x2+2x+1，请你结合个人年龄设置一个锁屏密码，当x＝　 　 时，锁屏密码为 　 　 ； （2）若王老师选取的多项式为x3﹣x，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． 【变式题14-3】．（2024-2025•黄浦区期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如47×67，它们乘积的前两位是4×6+7＝31，它们乘积的后两位是7×7＝49，所以47×67＝3149． 又如13×93，它们乘积的前两位是1×9+3＝12，它们乘积的后两位是3×3＝9，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以13×93＝1209． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： （1）观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以86×26为例说明； 推理与解释： （2）该速算方法可以将其用字母进行表示． 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1～9的整数） 则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为 　 　 ， 用速算方法得到的结果可以表示为100[　 　 ]1+b2， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： （3）已知某宝藏的开锁密码Q是一个自然数，Q+1是一个正整数的平方，Q﹣88是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 【题型15】分组分解法因式分解（拓展） 1. 知识点 分组分解法的定义：将多项式的项适当分组，使每组能提公因式或用公式，再对整体提公因式或用公式分解（适用于四项及以上多项式）。 常见分组方式： ①“二二分组”：将四项分为两组，每组两项，分别提公因式后，整体再提公因式（如）； ②“三一分组”：将四项分为一组三项（能构成完全平方）和一组一项（能构成平方），再用平方差公式（如）。 2. 考点 用“二二分组”分解四项式（如上述例子）。 用“三一分组”分解四项式（如上述例子）。 3. 易错点 分组不当导致无法继续分解：如，易误分组为（正确），若误分组为（也正确），但如误分组为（正确），若分组为，则无法分解。 忽略符号调整：如，分组为（正确），若分组为，则无法继续分解（需调整分组方式）。 4. 解题技巧 分组原则：“分组后能提公因式或用公式”，优先尝试“二二分组”，若不行再试“三一分组”。 验证：分组后观察两组是否有公共因式，或是否能分别用公式，若无法继续分解，则重新分组。 【例题15】．（2024-2025•徐闻县期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a+3ab﹣4﹣6b分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式＝（2a﹣4）+（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）+3b（a﹣2） ＝（a﹣2）（2+3b） 【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2分解因式． 【变式题15-1】．分解因式： （1）a3﹣ab2＝　 　 ． （2）2a3b﹣4a2b2+2ab3＝　 　 ． （3）（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝　 　 ． （4）ax+ay+bx+by＝　 　 ． 【变式题15-2】．（2024-2025•昭平县期中）（阅读学习） 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）； （2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）． （学以致用） 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）ab﹣a﹣b+1； （2）4﹣x2+4xy﹣4y2． （拓展应用） （3）已知：x+y＝9，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值． 【变式题15-3】．（2024-2025•陕西期末）将x2﹣xy+xz﹣yz因式分解． 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（x2﹣xy）+（xz﹣yz） ＝x（x﹣y）+z（x﹣y） ＝（x﹣y）（x+z） 解法二：原式＝（x2+xz）﹣（xy+yz） ＝x（x+z）﹣y（x+z） ＝（x+z）（x﹣y） 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法回答下列问题： （1）请用分组分解法将a3﹣3a2+6a﹣18因式分解； （2）如图1，小长方形的长为a，宽为b，用5个图1中的小长方形按照图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式a2+4ab+4b2+2a+4b+1因式分解，再求值． 【题型16】利用添项与拆项进行因式分解（拓展） 1. 知识点 概念定义： 添项法：在多项式中添加一个适当的项（同时减去该添项以保持值不变），构造可分解结构（如完全平方、平方差）的方法。 拆项法：将多项式中的某一项拆成两项（或多项），使多项式能分组提公因式或套公式的方法。 核心目的：通过变形突破原多项式无法直接分解的困境，转化为可利用提公因式法、公式法或分组法的形式。 常见类型： 添项适用场景： 四次二项式/三项式（如添凑完全平方）； 缺中间项的二次三项式（如添凑平方差）。 拆项适用场景： 二次三项式拆一次项（如拆为）； 三次多项式拆三次项/一次项（如拆为）； 四次多项式拆二次项（如拆为）。 基本原则： 添项：添后能构造公式，减后无多余项（保证值不变）； 拆项：拆后能分组，组内可分解且组间有公因式。 2. 考点 分解特殊四次多项式（如、）； 分解无法直接用公式的二次三项式（如、）； 分解三次多项式（如、）； 综合应用添项与拆项（如先拆项再添项，或反之）； 结合代数式求值、三角形形状判断等实际问题。 3. 易错点 添项后漏减，改变多项式值（如添后未减，导致值变大）； 拆项对象或符号错误（如误拆为，无法分组）； 分组不当（拆/添项后未按“组间有公因式”原则分组）； 分解不彻底（如仅分解为，未继续用平方差）； 忽略验证（未展开结果与原多项式对比，导致变形错误）。 4. 解题技巧 通用步骤： ① 观察结构：判断多项式次数、项数及接近的公式形式； ② 选择方法：缺项补项（添项），项数合适但难分组则拆项； ③ 转化分解：添/拆后用公式法或分组法分解； ④ 验证彻底性：检查所有因式是否可再分解，展开验证恒等。 口诀：“看结构，定方法；缺项添，繁项拆；分组提公因，公式反复用；验结果，要彻底”。 实例参考： 添项法：； 拆项法：。 【例题16】．（2024-2025•新城区校级期末）材料：在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．如： x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）． 先阅读上述材料，再解决下列问题： （1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式； （2）分解因式：a4+a2b2+b4． 【变式题16-1】．添项、拆项分组法因式分解： ①a4+a2+1 ②a3﹣9a+8 ③x4﹣6x2﹣7x﹣6 【变式题16-2】．（2024-2025•十堰期末）阅读材料：把代数式x2﹣6x﹣7因式分解，可以如下分解： x2﹣6x﹣7＝x2﹣6x+9﹣9﹣7 ＝（x﹣3）2﹣16 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7） （1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解； （2）拓展：把代数式x2+4xy﹣5y2因式分解得 　 　 ；当　 　 时，代数式x2+4xy﹣5y2＝0． 【变式题16-3】．（2024-2025•罗庄区期末）我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7x（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）． 但小明在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式． x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42 ＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1） 教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣3﹣1）＝2（x+1）2﹣8． 因为（x+1）2≥0，所以2（x+1）2﹣8≥﹣8 所以当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：①x2﹣10x+9；②x2﹣8xy+7y2； （2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣8x+3有最大值？并求出这个最大值． （3）利用配方法，尝试求出等式a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0中a，b的值． 【题型17】实数范围内因式分解（拓展） 1. 知识点 定义：在有理数范围内不能分解的多项式，在实数范围内可继续分解（允许因式含无理数，如）。 常见类型： ①平方差公式拓展：（为正数，可写成），分解为（如）； ②完全平方公式拓展（较少见，主要是平方差）； ③先提公因式再用平方差（如）。 2. 考点 在实数范围内分解多项式（如、）。 区分有理数与实数范围内的分解差异（如在有理数范围不能分解，实数范围可分解）。 3. 易错点 超出范围分解：题目未说明“实数范围”时，默认在有理数范围分解（如不能分解），易误在有理数范围写出含无理数的因式。 系数处理错误：如，应先提公因式得，再分解为，易误写成（虽正确，但通常将系数化为整数，提取公因式后分解）。 4. 解题技巧 步骤：①先在有理数范围内分解（提公因式、用公式）；②若剩余因式为“（，非完全平方数）”，则在实数范围内用平方差公式分解为。 格式：将无理数化为最简形式（如），系数尽量为整数（如分解为或，两种形式均可）。 【例题17】．在实数范围内因式分解： （1）x2﹣3； （2）； （3）4a4﹣1． 【变式题17-1】．（2024-2025•西湖区校级期中）在实数范围内因式分解 （1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a） （2）x4﹣81 （3） （4）x7y7﹣16x4y4+64xy 【变式题17-2】．（2024-2025•南关区校级开学）阅读理解题，下面我们观察： ． 反之，所以． 所以． 完成下列各题： （1）在实数范围内因式分解：； （2）化简：； （3）化简：． 【变式题17-3】．（2024-2025•海安市期末）【阅读材料】 小慧同学数学写作片段 乘法公式“大家族” 学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2”“完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如， （a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （x+m）（x+n）＝x2+（m+n）x+mn； （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． … 【解题运用】 （1）在实数范围内因式分解： 　 　 ； （2）设x，y满足等式x2+2xy+y2﹣12x﹣12y+36＝0，求2x+2y的值； （3）若正数a，b满足等式，求代数式的值． 【题型18】因式分解中的新定义问题（拓展） 1. 知识点 核心：根据题目给出的新定义（如“完美数”“智慧数”“最佳分解”等），结合因式分解的知识解决问题。 常见新定义类型： ①“完美数”：能表示为两个整数平方和的数（如，是完美数）； ②“智慧数”：能表示为两个正整数平方差的数（如，是智慧数）； ③“最佳分解”：将数分解为两个正整数的积，使两数差最小（如的最佳分解为，定义）。 2. 考点 根据新定义判断数的类型（如判断是否为完美数）。 结合因式分解求新定义中的参数或函数值（如求，的最佳分解为，）。 3. 易错点 误解新定义：如“智慧数”要求“两个正整数的平方差”，易误代入非正整数（如），导致错误。 分解不彻底或找错最佳分解：如的分解有、、，易误选（差为），正确选（差为，最小）。 4. 解题技巧 步骤：①仔细阅读新定义，明确要求（如“正整数”“平方和/差”“差最小”等）；②结合因式分解知识，按定义操作（如分解数、计算差值、判断类型）；③验证结果是否符合定义要求。 举例法：若对新定义不熟悉，可先举简单例子理解（如理解“智慧数”时，先计算、，明确智慧数的特征）。 【例题18】．（2024-2025•郴州期末）定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为非零整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，74是“完美数”，因为52+72＝74，所以74是“完美数”．已知13是“完美数”，将13写成a2+b2（a，b为非零整数）的形式为　 　 ．若S＝k﹣3是一个“完美数”，且5＜S＜10，则k＝　 　 ． 【变式题18-1】．（2024-2025•来宾期末）阅读理解——智慧数． 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数x，y的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：16＝2×8＝（5﹣3）×（5+3）＝52﹣32，所以16就是一个“智慧数”，我们可以利用x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）进行研究．现给出下列结论： ①被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； ③所有的正奇数都是“智慧数”． （1）请判断7，24是否为“智慧数”，若是“智慧数”，请将7，24按“16＝52﹣32”照样写出：若不是“智慧数”，则不需写； （2）题中给出的结论，其中正确的结论是　 　 ；（填序号） （3）把你认为是正确结论的进行说明理由． 【变式题18-2】．（2024-2025•亭湖区三模）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积q（q＝mn）与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当m＝4，n＝5，则q+n＝4×5+5＝25＝52 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设m＜n，m、n是连续的正整数， ∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q+n＝mn+n＝n（m+1）＝n2． ∴q+n一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若（m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，q＝mn），求证：p一定是偶数． 【变式题18-3】．（2024-2025•宜兴市校级月考）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：，例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是最佳分解，所以． （1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数，对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝ 　 　 ； （2）一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新两位正整数，求证：新两位正整数与原来的两位正整数所得的差是9的倍数． （3）如果一个两位正整数t，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为45，那么我们称这个数t为“吉祥数”，请直接写出满足条件的“吉祥数”中F（t）的值 　 　 ． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．若20232026﹣20232024＝2024×2023n×2022，则n的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．多项式12ab2﹣8a2bc的公因式是（　　） A．4ab B．4a2b2 C．2ab D．2abc 3．下列各式从左到右变形是因式分解的是（　　） A．4x2﹣4x+1＝4x（x﹣1）+1 B．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y） C．（x+1）（x﹣2）＝x2+x﹣2 D．（x﹣4）2＝x2﹣8x+16 4．若n为任意整数，且（n+11）2﹣n2的值总可以被k整除，则k等于（　　） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 5．小月是一位密码爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：多项式a+b，a﹣b，a2﹣b2，c+d，c﹣d，c2﹣d2依次对应下列六个汉字：我、爱、美、新、余、学，现将多项式（a2﹣b2）c2﹣（a2﹣b2）d2进行因式分解后，其结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美学 B．我爱学 C．我爱新余 D．美学 二．填空题（共5小题） 6．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　 ． 7．若a+b＝4，则3a2+6ab+3b2﹣47的值为　 　 ． 8．分解因式：x2y﹣25y＝　 　 ． 9．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x+y）（x﹣y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x+y＝18，x﹣y＝0，x2+y2＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式4x3﹣xy2，取x＝10，y＝5时，用上述方法产生的密码是　 　 （写出一个即可）． 10．已知a，b，c为△ABC三边的长，若b2+2c2+a2＝2c（a+b），则△ABC的形状为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 11．如果x2+2（m﹣3）x+25能用公式法分解因式，那么m的值是多少？ 12．分解因式： （1）a2﹣4b2； （2）16x2+24x+9． 13．等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq是数学学习中常见的代数模型． （1）利用多项式的乘法法则推导这个等式． （2）若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释． （3）这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式x2+3x+2． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2），请试着将多项式y2+7y﹣18分解因式． 14．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1因式分解． 解：把“x2﹣2x”看成一个整体，令x2﹣2x＝y． 原式＝y（y+2）+1 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2． 任务： （1）材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为　 　 ． （2）请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式（x2+6x+2）（x2+6x+16）+49因式分解； ②已知m+n＝5，mn＝1，求（m2+1）（n2+1）的值． 15．请利用因式分解说明993﹣99能被100整除． 16．阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： （1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝　 　 ； （2）解决问题：因式分解：ac﹣bc+a2﹣b2； （3）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 17．定义：若a+b＝n，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与﹣4是关于﹣1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有a＝6x2﹣8kx+4与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数）始终是关于数n的“平衡数”，求n的值． 18．下面是某同学对多项式（x2﹣3x+1）（x2﹣3x+5）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣3x＝y． 原式＝（y+1）（y+5）+4（第一步）． ＝y2+6y+9（第二步）． ＝（y+3）2（第三步）． ＝（x2﹣3x+3）2（第四步）． 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　 　 ． A．提公因式法 B．公式法 （2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 19．材料：多项式：a4﹣b4因式分解后的结果是（a﹣b）（a+b）（a2+b2），当取a＝9，b＝9时，各个因式的值是a﹣b＝0，a+b＝18，a2+b2＝162，根据每个因式运算结果从小到大排序就可以把“018162”作为一个六位数密码． 任务一： （1）分解因式：4a3﹣ab2 任务二： （2）当取a＝10，b＝5时，请确定产生的六位数密码？ 20．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）知识再现：当x＝　 　 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　 　 ； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　 　 时，y有最 　 　 值（填“大”或“小”），这个值是 　 　 ； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.5因式分解 【题型1】因式分解的概念判断 1. 知识点 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式），结果必须是“整式积”的形式。 因式分解与整式乘法的关系：二者是方向相反的恒等变形（整式乘法是“积化和差”，因式分解是“和差化积”），例如：是整式乘法，是因式分解。 因式分解的要求：①对象是多项式；②结果是整式的积；③分解要彻底（每一个因式不能再分解）；④相同因式需写成幂的形式。 2. 考点 判断一个从左到右的变形是否为因式分解（如选项中区分整式乘法、多项式加减与因式分解）。 识别错误的因式分解（如结果不是整式积、分解不彻底等）。 3. 易错点 混淆因式分解与整式乘法（如将误认为是因式分解）。 误将多项式加减变形当作因式分解（如，结果含和差形式，不是积）。 忽略“分解彻底”的要求（如分解为后未继续分解）。 4. 解题技巧 紧扣“整式积”核心：变形后右边若含“+”“-”号（非因式之间的符号），则不是因式分解。 验证法：若无法直接判断，可将右边展开，看是否与左边多项式相等（利用整式乘法逆推）。 【例题1】．（2024-2025•泽州县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．2ma2+4ma+2m＝2m（a+1）2 C．a2﹣b2﹣1＝（a+b）（a﹣b）﹣1 D．x2+6x+36＝（x+3）2+27 【答案】B 【分析】根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可． 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； B、2ma2+4ma+2m＝2m（a+1）2，属于因式分解，符合题意； C、a2﹣b2﹣1＝（a+b）（a﹣b）﹣1，不属于因式分解，不符合题意； D、x2+6x+36＝（x+3）2+27，不属于因式分解，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•钢城区期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a2﹣b2+2＝（a+b）（a﹣b）+2 B．（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6 C．4m2﹣9n2＝（4m+9n）（4m﹣9n） D．y2﹣4y+4＝（y﹣2）2 【答案】D 【分析】直接利用因式分解的定义进而分析得出答案． 【解答】解：A、a2﹣b2+2＝（a+b）（a﹣b）+2，不符合因式分解的定义，故A不符合题意； B、（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，是整式乘法运算，故B不符合题意； C、4m2﹣9n2＝（2m+3n）（2m﹣3n），C左右两边不相等，不正确，故不符合题意； D、y2﹣4y+4＝（y﹣2）2，是因式分解，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•长宁区期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义． 【变式题1-3】．（2024-2025•贵阳期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x﹣1）（x﹣2）＝（1﹣x）（2﹣x） B．x2+xy﹣1＝x（x﹣y）﹣1 C．a（x﹣3）+b（3﹣x）＝（x﹣3）（a﹣b） D．（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1 【答案】C 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：A、该式子是乘法交换律，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、该式子右边不是几个整式的乘积，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、该式子的右边是几个整式积的形式，是因式分解，故本选项符合题意； D、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 【题型2】确定多项式的公因式 1. 知识点 公因式的定义：多项式各项都含有的相同因式，可是数、字母或多项式（如与可变形为相同因式，即）。 公因式的确定方法（“三定原则”）： ①定系数：取各项系数的最大公约数（若系数为负，通常取正数作为公因式系数）； ②定字母：取各项中相同的字母（或相同多项式整体）； ③定指数：取相同字母（或多项式）的最低次幂。 2. 考点 直接确定单个多项式的公因式（如求的公因式）。 确定多个多项式的公因式（如求与的公因式）。 3. 易错点 漏算系数的最大公约数（如与，系数最大公约数是3，易误取1或6）。 忽略字母的最低次幂（如与，相同字母取、取，易误取）。 未将互为相反数的多项式变形为相同因式（如与，易误认为无公因式，实际公因式是或）。 4. 解题技巧 分步拆解：先单独分析系数、字母、多项式整体，再组合得到公因式。 特殊情况处理：若多项式首项为负，可先提取“-”号，再确定公因式（如，先变形为，公因式为）。 【例题2】．（2024-2025•平舆县期末）把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3 D．3a2b2 【答案】D 【分析】将原式因式分解后即可求得答案． 【解答】解：原式＝3a2b2（2a﹣1﹣4b）， 则应提取的公因式是3a2b2， 故选：D． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•沙市区期末）多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是　y（x+2）　 ． 【答案】y（x+2）． 【分析】把每个多项式先因式分解，然后选出公有的因式即可． 【解答】解：x2y+2xy＝xy（x+2）， x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2）， ∴多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是：y（x+2）． 故答案为：y（x+2）． 【点评】本题考查了因式分解，公因式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•横山区期末）多项式3x3y2+8y3+xy的公因式是　y　 ． 【答案】y． 【分析】根据公因式的定义解答即可． 【解答】解：多项式3x3y2+8y3+xy的公因式是y， 故答案为：y． 【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【变式题2-3】．（2024-2025•蓬江区校级二模）把多项式12ab+3ab3分解因式，应提取的公因式为　3ab　 ． 【答案】3ab． 【分析】直接根据公因式的定义分析得出答案． 【解答】解：12ab+3ab3＝3ab（4+b2）． 故答案为：3ab． 【点评】此题主要考查了因式分解﹣提取公因式法，正确找出公因式是解题关键． 【题型3】提公因式法因式分解 1. 知识点 提公因式法的定义：将多项式各项的公因式提取出来，将多项式化为“公因式× 另一个因式”的形式，依据是乘法分配律的逆用（）。 提公因式法的步骤： ①确定公因式（按“三定原则”）； ②提取公因式：将每一项除以公因式，得到另一个因式； ③整理结果：写成“公因式× 另一个因式”的形式（另一个因式的项数与原多项式一致）。 2. 考点 用提公因式法分解单项式与多项式的混合项（如）。 提取多项式形式的公因式（如）。 首项系数为负的多项式分解（如）。 3. 易错点 首项为负时漏变号：提取“-”号后，括号内每一项都要变号（如，易误分解为，正确应为）。 某一项与公因式相等时漏写“1”：如分解为（正确），但不能写成，且单独项提取公因式后为“1”（如分解为，不能漏写“1”）。 公因式提取不彻底：如，易误分解为，正确应为（未提取尽）。 4. 解题技巧 口诀记忆：“找准公因式，一次提干净；首负先提负，各项都变号；全家搬走留1守，分解彻底才罢休”。 验证方法：提取公因式后，将结果展开，看是否与原多项式一致（检验正确性）。 【例题3】．用提公因式法分解因式． （1）x2+xy； （2）﹣4b2+2ab； （3）6ab3﹣2a2b2+4a3b； （4）y（a﹣2b）+x（2b﹣a）； （5）6（n﹣m）﹣12（m﹣n）2． 【答案】（1）x（x+y）； （2）2b（a﹣2b）； （3）2ab（3b2﹣ab+2a2）； （4）（a﹣2b）（y﹣x）； （5）6（n﹣m）（1﹣2n+2m）． 【分析】利用提公因式法将各式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝x（x+y）； （2）原式＝2ab﹣4b2＝2b（a﹣2b）； （3）原式＝2ab（3b2﹣ab+2a2）； （4）原式＝y（a﹣2b）﹣x（a﹣2b）＝（a﹣2b）（y﹣x）； （5）原式＝6（n﹣m）﹣12（n﹣m）2＝6（n﹣m）（1﹣2n+2m）． 【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键． 【变式题3-1】．因式分解：4a（x+y）2﹣2（y+x）2． 晓蒙的解题思路如下： y）2•（4a﹣2）． 请问晓蒙的思路正确吗？如果不正确，请指出来并将正确的解题过程写出来． 【答案】见解析． 【分析】根据提公因式法分解因式即可． 【解答】解：晓蒙的思路不正确，提公因式错了， 正确过程为：原式＝2（x+y）2（2a﹣1）． 【点评】此题主要考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法进行因式分解的方法是解决问题的关键． 【变式题3-2】．在讲提取公因式一课时，张老师出了这样一道题目：把多项式3（x﹣y）3﹣（y﹣x）2分解因式•并请甲、乙两名同学在黑板上演算． 甲演算的过程： 3（x﹣y）3﹣（y﹣x）2＝3（x﹣y）3+（x﹣y）2＝（x﹣y）2[3（x﹣y）+1]＝（x﹣y）2（3x﹣3y+1）． 乙演算的过程： 3（x﹣y）3﹣（y﹣x）2＝3（x﹣y）3﹣（x﹣y）2＝（x﹣y）2（3x﹣3y）． 他们的计算正确吗？若错误，请你写出正确答案． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先得出公因式（x﹣y）2，再利用提取公因式法分解因式得出即可． 【解答】解：不正确； 3（x﹣y）3﹣（y﹣x）2 ＝3（x﹣y）3﹣（x﹣y）2 ＝（x﹣y）2[3（x﹣y）﹣1] ＝（x﹣y）2（3x﹣3y﹣1）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键． 【变式题3-3】．阅读题：因式分解：1+x+x（x+1）+x（x+1）2 解：原式＝（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）[（1+x）+x（1+x）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）本题提取公因式几次？ （2）若将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式多少次？结果是什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题目提供的解答过程，数出提取的公因式的次数即可； （2）根据总结的规律写出来即可． 【解答】解：（1）共提取了两次公因式； （2）将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式n次，结果是（x+1）n+1． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是从题目提供的材料确定提取的公因式的次数． 【题型4】平方差公式法因式分解 1. 知识点 平方差公式：（逆用乘法平方差公式）。 公式适用条件： ①多项式为二项式； ②两项符号相反（一正一负）； ③两项均能写成某个整式的平方形式（如，）。 常见变形： ①系数变形：； ②指数变形：； ③多项式整体变形：。 2. 考点 判断多项式能否用平方差公式分解（如不能，能）。 用平方差公式分解多项式（含直接用、先提公因式再用公式）。 利用平方差公式进行简便计算或证明整除（如证明能被整除）。 3. 易错点 忽略两项符号相反的条件：如（两项均正）、（两项均负），均不能用平方差公式。 未先提公因式直接用公式：如，应先提公因式得，再用平方差公式分解为，易误直接分解为（超出有理数范围，题目未说明时默认有理数范围）。 分解不彻底：如，易分解为后停止，正确应为（需继续分解）。 4. 解题技巧 步骤：“一提二看三分解”——先看是否有公因式，再看是否符合平方差公式结构，最后分解并检查彻底性。 符号处理：若两项均为负，可先提取“-”号化为“正-负”形式（如或直接写成）。 【例题4】．（2024-2025•霸州市期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2﹣y2 B．y2﹣x2 C．﹣x2﹣y2 D．x4﹣y2 【答案】C 【分析】结合平方差公式的结构特征：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【解答】解：A．原式＝（x+y）（x﹣y），故本选项不符合题意； B．原式＝（y+x）（y﹣x），故本选项不符合题意； C．﹣x2﹣y2，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故本选项符合题意； D．原式＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝（x2+y2）（x+y）（x﹣y），故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了因式分解—运用公式法，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•湖北模拟）当整数a为　﹣4　 时（只写一个），多项式x2+a能用平方差公式分解因式． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：当a＝﹣4（答案不唯一）时，x2+a＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）． 故答案为：﹣4（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•合浦县月考）把下列各式写成平方差的形式，再分解因式： （1）x2﹣5； （2）4a2﹣7； （3）16y2﹣15； （4）3x2﹣2y2． 【答案】见试题解答内容 【分析】当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分解到出现无理数为止． 【解答】解：（1）x2﹣5＝（x）（x）； （2）4a2﹣7， ＝（2a）2﹣（）2， ＝（2a）（2a）； （3）16y2﹣15， ＝（4y）2﹣（）2， ＝（4y）（4y）； （4）3x2﹣2y2， ＝（x）2﹣（x）2， ＝（）（）． 【点评】本题考查实数范围内的因式分解，在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分解到出现无理数为止． 【变式题4-3】．（2024-2025•扶沟县期末）观察下列等式，并回答问题． 4×1＝22﹣02， 4×2＝32﹣12， 4×3＝42﹣22， 4×4＝52﹣32， …… （1）将2024写成两整数平方差的形式： 2024＝4×　506　 ＝　5072　 ﹣　5052　 （2）用含有字母n（n≥1的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． （3）相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】（1）506；5072；5052； （2）4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2，验证见解答过程； （3）相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由见解答过程． 【分析】（1）根据2024÷4＝506得2024＝4×506，进而根据题目中给出的算式规律可得出答案； （2）根据题目中给出的算式规律可得出一般规律4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2，然后在验证即可； （2）设相邻的两个整数分别为a，a+1，其中a为整数，计算∴（a+1）2﹣a2＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，据此可得出结论． 【解答】解：（1）∵2024÷4＝506， ∴2024＝4×506＝5072﹣5052， 故答案为：506；5072；5052． （2）4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2，验证如下： ∵（n+1）2﹣（n﹣1）2＝n2+2n+1﹣（n2﹣2n+1）＝4n， ∴4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2； （3）相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下： 设相邻的两个整数分别为a，a+1，其中a为整数， ∴（a+1）2﹣a2＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1， ∵2a+1为奇数，不是4的倍数． 故相邻的两个整数的平方差不是4的倍数． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，列代数式，熟练掌握因式分解，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． 【题型5】完全平方公式法因式分解 1. 知识点 完全平方公式： ①和的平方：； ②差的平方：（均逆用乘法完全平方公式）。 公式适用条件： ①多项式为三项式； ②首、尾两项是某个整式的平方（符号相同，均正或均负，通常为正）； ③中间项是首、尾两项底数乘积的2倍（符号可正可负，与公式对应）。 公式特征：“首平方，尾平方，首尾积的2倍在中央”。 2. 考点 判断多项式能否用完全平方公式分解（如能，不能）。 用完全平方公式分解多项式（含直接用、先提公因式再用公式）。 已知多项式是完全平方式，求参数值（如是完全平方式，求）。 3. 易错点 忽略中间项是“首尾积的2倍”：如，尾项，但中间项，不能用完全平方公式。 符号错误：如，尾项为负，不符合“首、尾符号相同”，不能用完全平方公式；正确分解为，易误写为（中间项符号错误）。 未提公因式直接用公式：如，应先提公因式得，再分解为，易误直接分解为（超出有理数范围）。 4. 解题技巧 验证步骤：①找首、尾项，确认是否为平方形式且符号相同；②计算“首尾积的2倍”，对比中间项的系数和符号；③符合则用公式分解。 参数求解：若是完全平方式，则，（如，）。 【例题5】．17．（2024-2025•高州市月考）若x2+2（m﹣3）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为　﹣2或8　 ． 【答案】﹣2或8． 【分析】利用完全平方公式的特征判断即可求出m的值． 【解答】解：∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式， ∴2（3﹣m）＝±10， 解得：m＝﹣2或8． 故答案为：﹣2或8． 【点评】此题考查了完全平方公式和因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•沧县期末）请给4x2+1添上一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式分解因式．请写出两种情况，并对其分别进行因式分解． 【答案】见试题解答内容 【分析】添加4x或﹣4x，利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：添加4x，得4x2+4x+1＝（2x+1）2， 添加﹣4x，得4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2． 添加4x4，得4x2+4x2+1＝（2x2+1）2． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•禹城市校级月考）把下列完全平方式因式分解： （1）x2+14x+49； （2）（m+n）2﹣6（m+n）+9． 【答案】（1）（x+7）2； （2）（m+n﹣3）2． 【分析】（1）原式利用完全平方公式分解即可； （2）原式利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝x2+2×7x+72 ＝（x+7）2； （2）原式＝[（m+n）﹣3]2 ＝（m+n﹣3）2． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•杏花岭区校级期中）（1）因式分解：x2（x+y）﹣y2（y+x）； （2）下面是小亮同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） ①该同学第二步到第三步运用了因式分解的　C　 ． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 ②该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？　否　 ．（填“是”或“否”） ③请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 【答案】（1）（x+y）2（x﹣y）；（2）①C；②否；③（x﹣1）4． 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）①根据分解因式的方法填空即可； ②根据结果能否再分解因式填空即可； ③利用换元法因式分解即可． 【解答】解：（1）x2（x+y）﹣y2（y+x）＝（x+y）（x2﹣y2）＝（x+y）2（x﹣y）； （2）①该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故答案为：C； ②该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果没有分解到最后， 故答案为：否； ③设y＝x2﹣2x，则原式转化为： y（y+2）+1 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝（x﹣1）4． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． 【题型6】提公因式法与公式法的综合运用 1. 知识点 综合分解原则：因式分解的一般顺序是“一提（提公因式）→ 二套（套公式：平方差、完全平方）→ 三检查（检查是否彻底）”。 适用场景：多项式既有公因式，又符合公式结构（如，先提公因式，再用平方差公式）。 2. 考点 分解含公因式且符合公式的多项式（如）。 分解多层因式（如，先完全平方，再平方差）。 3. 易错点 跳过提公因式直接用公式：如，易误分解为，正确应为先提得，再分解为。 分解不彻底：如，分解为后停止，正确应为（需继续用完全平方公式）。 4. 解题技巧 分步分解：先观察是否有公因式，提取后再分析剩余因式的结构（二项式试平方差，三项式试完全平方）。 标记法：分解后在每个因式后标注“是否可再分”，确保每一个因式都不能继续分解（如标注“可分”，标注“不可分”）。 【例题6】．21．（2024-2025•历城区校级月考）分解因式： （1）x3﹣9x； （2）3x2﹣18x+27； （3）9（m+n）2﹣3（m﹣n）（m+n）； （4）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）． 【答案】（1）x（x+3）（x﹣3）； （2）3（x﹣3）2； （3）6（m+n）（m+2n）； （4）（x﹣y）（x2﹣xy+y）． 【分析】（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用提公因式法因式分解即可； （4）利用提公因式法因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣9） ＝x（x+3）（x﹣3）； （2）原式＝3（x2﹣6x+9） ＝3（x﹣3）2； （3）原式＝3（m+n）[3（m+n）﹣（m﹣n）] ＝3（m+n）（3m+3n﹣m+n） ＝3（m+n）（2m+4n） ＝6（m+n）（m+2n）； （4）原式＝x（x﹣y）2+y（x﹣y） ＝（x﹣y）[x（x﹣y）+y] ＝（x﹣y）（x2﹣xy+y）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•齐河县校级月考）因式分解： （1）ma2﹣3ma﹣4m； （2）（x2+4）2﹣16x2； （3）﹣4x3+16x2﹣16x； （4）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【答案】（1）m（a+1）（a﹣4）； （2）（x+2）2（x﹣2）2； （3）﹣4x（x﹣2）2； （4）（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）． 【分析】（1）提公因式后利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用平方差及完全平方公式因式分解即可； （3）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （4）将原式变形，提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝m（a2﹣3a﹣4） ＝m（a+1）（a﹣4）； （2）原式＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x） ＝（x+2）2（x﹣2）2； （3）原式＝﹣4x（x2﹣4x+4） ＝﹣4x（x﹣2）2； （4）原式＝a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（a2﹣4b2） ＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•东莞市模拟）因式分解是一种恒等变形，其本质是把一个多项式化为几个整式的积的形式．初中阶段只要求掌握提公因式法和公式法两种因式分解的方法．但小明同学接触了整体学习法后，提出一个观点：公式法分解因式，归根结底也是提公因式法分解因式．为了向同学们证明，小明同学提供了平方差公式分解因式的推理过程： 第①步：a2﹣b2＝a2﹣ab+ab﹣b2； 第②步：＝（a2﹣ab）+（ab﹣b2）； 第③步：＝a（a﹣b）+b（a﹣b）； 第④步：＝（a﹣b）（a+b）； （1）在上述推理过程中，第①步的推理依据是等式的基本性质之一，请写出该性质：　等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立　 ；第④步使用了“提公因式法”；第　③　 步的依据是“乘法分配律”；第　②　 步的依据是“加法结合律”； （2）请参考上述步骤，尝试推理公式法分解因式的另一个公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2． 【答案】（1）等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；③；②； （2）见解析． 【分析】（1）根据题干中的解题步骤即可求得答案； （2）利用题干中的方法进行因式分解即可． 【解答】解：（1）由推理过程可得第①步的推理依据是等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立，第④步使用了“提公因式法”；第③步的依据是“乘法分配律”；第②步的依据是“加法结合律”， 故答案为：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；③；②； （2）a2+2ab+b2 ＝a2+ab+ab+b2 ＝（a2+ab）+（ab+b2） ＝a（a+b）+b（a+b） ＝（a+b）（a+b） ＝（a+b）2． 【点评】本题考查因式分解，理解题意并进行正确地因式分解是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•葫芦岛期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式2xy+x2﹣1+y2时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 2xy+x2﹣1+y2＝（x2+2xy+y2）﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）． 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： （1）分解因式：a2+b2﹣n2+2ab； （2）已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2+b2+c2+29﹣4a﹣6b﹣8c＝0，求△ABC的周长． 【答案】（1）（a+b+n）（a+b﹣n）； （2）9． 【分析】（1）利用分组分解法与完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用分组分解法与完全平方公式分解因式，得出a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，求出a＝2，b＝3，c＝4，进而可得出答案． 【解答】解：（1）原式＝（a2+b2+2ab）﹣n2 ＝（a+b）2﹣n2 ＝（a+b+n）（a+b﹣n）． （2）a2+b2+c2+29﹣4a﹣6b﹣8c ＝（a2﹣4a+4）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣8c+16） ＝（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣4）2， 由条件可得（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣4）2＝0． ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0， ∴a＝2，b＝3，c＝4， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+3+4＝9． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式与平方差公式、利用分组法和提取公因式法分解因式． 【题型7】十字相乘法因式分解（二次项系数为1） 1. 知识点 十字相乘法原理（二次项系数为1）：对于（、为常数），若能找到两个数、，使得且，则。 操作步骤（“十字交叉图”）： ①将二次项分解为（写在十字交叉线左上角和左下角）； ②将常数项分解为（写在右上角和右下角）； ③交叉相乘：，若结果等于一次项，则分解成功。 2. 考点 用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式（如）。 结合提公因式法分解（如，先提得，再十字相乘）。 3. 易错点 找错常数项的因数：如，常数项的因数对有、，易误选（），正确选（）。 忽略符号：如，常数项的因数对需满足“和为”，易误选（，正确），而非（）。 二次项系数不为1时直接用：如，二次项系数为2，不能直接按分解，需调整（后续进阶内容，此处易混淆）。 4. 解题技巧 因数对列举法：先列出常数项的所有正、负因数对，再筛选“和等于一次项系数”的因数对。 验证法：分解后展开结果，看是否与原多项式一致（如，与原式一致则正确）。 【例题7】．（2024-2025•奈曼旗期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考： x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解 x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？ 在第102页的练习第2题中，我们发现，（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： （x+p）（x+q） ＝x2+px+qx+pq ＝x2+（p+q）x+pq． 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）① 利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如，将式子x2+3x+2分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．利用①式可得x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）． 这样，我们也可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式：y2+7y﹣18＝　（y﹣2）（y+9）　 ； 【知识应用】 （2）x2+mx+3＝（x+n）（x﹣3），则m＝　﹣4　 ，n＝　﹣1　 ； 【拓展提升】 （3）如果x2+mx+6＝（x+p）（x+q），其中m，p，q均为整数，求m的值． 【答案】（1）（y﹣2）（y+9）； （2）﹣4，﹣1； （3）m＝5或﹣5或7或﹣7． 【分析】（1）原式利用十字相乘法求出解即可； （2）已知等式利用多项式乘多项式法则，以及多项式相等的条件求出m与n的值即可； （3）已知等式利用多项式乘多项式法则，以及多项式相等的条件确定出m的值即可． 【解答】解：（1）y2+7y﹣18＝（y﹣2）（y+9）； 故答案为：（y﹣2）（y+9）； （2）已知等式整理得：x2+mx+3＝（x+n）（x﹣3）＝x2+（n﹣3）x﹣3n， ∴m＝n﹣3，﹣3n＝3， 解得：m＝﹣4，n＝﹣1； 故答案为：﹣4，﹣1； （3）已知等式整理得：x2+mx+6＝（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq， ∴m＝p+q，pq＝6， ∵m，p，q均为整数， ∴p＝2，q＝3，m＝5或p＝﹣2，q＝﹣3，m＝﹣5或p＝1，q＝6，m＝7或p＝﹣1，q＝﹣6，m＝﹣7， 综上，m＝5或﹣5或7或﹣7． 【点评】此题考查了因式分解的应用，单项式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 【变式题7-1】．利用十字相乘分解因式． （1）a2﹣4a+3 （2）x2﹣5x+6 （3）x2+3x﹣4 （4）x2﹣3x﹣4． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用十字相乘法可以分别把题目中的四个式子进行分解因式． 【解答】解：（1）a2﹣4a+3＝（a﹣1）（a﹣3）； （2）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）； （3）x2+3x﹣4＝（x+4）（x﹣1）； （4）x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）． 【点评】本题考查分解因式﹣十字相乘法，解题的关键是明确什么是十字相乘法． 【变式题7-2】．（2024-2025•新疆期末）阅读材料：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如x2+（p+q）x+pq的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）． 例如，x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2），具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角：然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 解决问题：若多项式x2+kx﹣12可以分解成（x+m）（x+n）（m，n为整数）的形式，则m+n的最大值为 　11　 ． 【答案】11． 【分析】根据题意得到x2+kx﹣12＝x2+（m+n）x+mn，进而得到mn＝﹣12，再把﹣12分解成两个整数的乘积即可得到答案． 【解答】解：由题意得，x2+kx﹣12＝（x+m）（x+n）， ∴x2+kx﹣12＝x2+（m+n）x+mn， ∴mn＝﹣12， ∵﹣12＝﹣12×1＝﹣6×2＝﹣4×3＝﹣3×4＝﹣2×6＝﹣1×12，且﹣1+12＝11＞﹣2+6＝4＞﹣3+4＝1＞﹣4+3＝﹣1＞﹣6+2＝﹣4＞﹣12+1＝﹣11， ∴m+n的最大值为11， 故答案为：11． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，理解题意，熟练掌握因式分解是关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•江北区校级期中）“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解． 如图1，首先对前三项ax2+bxy+cy2进行“十字相乘”：将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，使得mq+np＝b； 其次对cy2+ey+f进行“十字相乘”：f分解成jk乘积作为第三列，使得pk+qj＝e； 最后若mk+nj＝d，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）； 例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2； 解：如图2，首先对前三项进行“十字相乘”：a＝1＝1×1，c＝﹣3＝（﹣1）×3，b＝2＝1×3+1×（﹣1）；其次对﹣3y2+y+2进行“十字相乘”：f＝2＝1×2，e＝1＝（﹣1）×2+3×1； 最后验证d＝3＝1×2+1×1，∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）； 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式：x2﹣2xy﹣3y2＝　（x+y）（x﹣3y）　 ． 完成下列填空：x2+xy﹣6y2+x+13y﹣6． ①首先因式分解：x2+xy﹣6y2． ②再因式分解：﹣6y2+13y﹣6． ③验证第四项x：x＝3•x+（﹣2）•x． ④写出结果：　（x+3y﹣2）（x﹣2y+3）　 ． （2）因式分解：x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2． （3）已知x，y为整数，且满足6x2﹣7xy﹣3y2+13x+8y﹣5＝﹣1，求x，y． 【答案】（1）（x+y）（x﹣3y）；（x+3y﹣2）（x﹣2y+3）；（2）（x+2y﹣1）（x﹣5y+2）；（3）x＝0，y＝2． 【分析】（1）直接运用十字相乘法进行因式分解即可； （2）按照题目中提供的方法即可得出答案； （3）首先将6x2﹣7xy﹣3y2+13x+8y﹣5进行因式分解得（2x﹣3y+5）（3x+y﹣1），然后再根据两个整数的乘积等于﹣1可得到方程组，或，最后解方程组即可求出x，y的值． 【解答】解：（1）x2﹣2xy﹣3y2＝（x+y）（x﹣3y）． x2+xy﹣6y2+x+13y﹣6＝（x+3y﹣2）（x﹣2y+3）． （2）先分解：x2﹣3xy﹣10y2， 再分解：﹣10y2+9y﹣2， 验证第四项x：x＝2•x+（﹣1）•x， ∴x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2＝（x+2y﹣1）（x﹣5y+2）． （3）∵6x2﹣7xy﹣3y2+13x+8y﹣5＝（2x﹣3y+5）（3x+y﹣1）， ∴（2x﹣3y+5）（3x+y﹣1）＝﹣1， ∵x，y为整数， ∴2x﹣3y+5和3x+y﹣1均为整数， ∴，或， 解方程组，得：（不合题意舍去）， 解方程组，得：， 【点评】本题主要考查了因式分解中的十字相乘法进行因式分解，解答此题的关键是弄清题意，读懂题目中提供的材料，依照题意找到相应的十字相乘的图形，难点是在解答（3）时，根据整数的意义得出方程组． 【题型8】十字相乘法因式分解（二次项系数不为1） 1. 知识点 适用形式：二次三项式（，、、为整数）。 原理：若能找到四个整数、、、，使得，，且，则（如，、，、，，故分解为）。 2. 考点 分解二次项系数不为1的整数系数二次三项式（如分解）。 先提公因式再用十字相乘法（如分解，先提得，再分解）。 3. 易错点 二次项系数分解组合错误（如分解，误将分解为，分解为，，正确；若分解为，分解为，，错误）。 忽略常数项符号（如分解，需分解为异号两数，正确组合为和，，故分解为）。 分解后未展开验证（如分解，若得，展开得，正确；若得，展开得，错误）。 4. 解题技巧 试根法：先尝试常数项的因数作为根，若是的根，则是因式（需结合调整系数）。 多组尝试：列出的所有正整数分解组合和的所有整数分解组合，逐一验证交叉相乘和是否为。 【例题8】．（2024-2025•颍上县月考）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式：2x2﹣x﹣3． 第一步：二次项系数2可以写成1×2，常数项﹣3可以写成﹣1×3或1×（﹣3）； 第二步：如图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将﹣1、3或1、﹣3写在“×”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数： ①的系数为1×3+2×（﹣1）＝1； ②的系数为1×（﹣3）+2×1＝﹣1； ③的系数为1×1+2×（﹣3）＝﹣5； ④的系数为1×（﹣1）+2×3＝5． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 问题： （1）分解因式：3x2﹣14x﹣5； ①完善图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数； ②分解因式：3x2﹣14x﹣5＝　（x﹣5）（3x+1）　 ； （2）分解因式：10x2+7x﹣12． ①完善横线上的数字； ②分解因式：10x2+7x﹣12＝　（2x+3）（5x﹣4）　 ． 【答案】（1）①；②（x﹣5）（3x+1）； （2）①；②（2x+3）（5x﹣4）． 【分析】（1）①根据“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数填写横线上的数；②根据所填数字，仿照材料分解即可． （2）①根据“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数填写横线上的数；②根据所填数字，仿照材料分解即可． 【解答】解：（1）①； ②3x2﹣14x﹣5＝（x﹣5）（3x+1）， 故答案为：（x﹣5）（3x+1）； （2）①； ②10x2+7x﹣12＝（2x+3）（5x﹣4）， 故答案为：（2x+3）（5x﹣4）． 【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是读懂材料，理解十字相乘法的计算方法． 【变式题8-1】．用十字相乘分解因式： （1）5x2+7x﹣6 （2）5x2+6xy﹣8y2 （3）2x2﹣5xy+2y2 （4）5a2b2+23ab﹣10 （5）10x2﹣21xy+2y2 （6）8m2﹣22mn+15n2． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【解答】解：（1）5x2+7x﹣6＝（x+2）（5x﹣3）； （2）5x2+6xy﹣8y2＝（x+2y）（5x﹣4y）； （3）2x2﹣5xy+2y2＝（x﹣2y）（2x﹣y）； （4）5a2b2+23ab﹣10＝（ab+5）（5ab﹣2）； （5）10x2﹣21xy+2y2＝（x﹣2y）（10x﹣y）； （6）8m2﹣22mn+15n2＝（2m﹣3n）（4m﹣5n）． 【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键． 【变式题8-2】．阅读：对于某些二次项系数不为1的二次三项式ax2+bx+c，我们也能用十字法进行因式分解． 具体做法是：把整数a分解成两个因数m、n，把整数c分解成两个因数p、q，利用十字交叉线进行演算（见图）．若mq+np＝b，则ax2+bx+c＝（mx+p）（nx+q）． 举例说明：把下列各式分解因式 （1）2x2﹣3x﹣20＝（x﹣4）（2x+5）； （2）3x2+xy﹣10y2＝（x+2y）（3x﹣5y）． 完成下列各式的因式分解： （1）2x2﹣x﹣3； （2）3（x+y）2+7（x+y）+2； （3）5x2﹣21xy+4y2； （4）8a4+10a2﹣3； （5）3a5﹣11a3b2﹣4ab4． 【答案】（1）（x+1）（2x﹣3）； （2）（x+y+2）（3x+3y+1）； （3）（x﹣4y）（5x﹣y）； （4）（2a2+3）（2a﹣1）（2a+1）； （5）a（a+2b）（a﹣2b）（3a2+b2）． 【分析】（1）用十字相乘法因式分解即可； （2）用十字相乘法因式分解即可； （3）用十字相乘法、平方差公式法因式分解即可； （5）用提取公因式法、十字相乘法、平方差公式法因式分解即可． 【解答】解：（1）2x2﹣x﹣3； ＝（x+1）（2x﹣3）； （2）3（x+y）2+7（x+y）+2 ＝（x+y+2）（3x+3y+1）； （3）5x2﹣21xy+4y2 ＝（x﹣4y）（5x﹣y）； （4）8a4+10a2﹣3 ＝（2a2+3）（4a2﹣1） ＝（2a2+3）（2a﹣1）（2a+1）； （5）3a5﹣11a3b2﹣4ab4 ＝a（3a4﹣11a2b2﹣4b4） ＝a（a2﹣4b2）（3a2+b2） ＝a（a+2b）（a﹣2b）（3a2+b2）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法，提取公因式法，公式法因式分解是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•扬州校级三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c（a≠0）分解因式呢？我们已经知道：（a1x+c1）（a2x+c2）＝a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2＝a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2．反过来，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 我们发现，二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子x2﹣x﹣6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝1×1，把常数项﹣6也分解为两个因数的积，即﹣6＝2×（﹣3）；然后把1，1，2，﹣3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（﹣3）+1×2＝﹣1，恰好等于一次项的系数﹣1，于是x2﹣x﹣6就可以分解为（x+2）（x﹣3）． 请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：x2+x﹣6＝ 　（x﹣2）（x+3）　 ； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①2x2﹣5x﹣7＝ 　（2x﹣7）（x+1）　 ； ②12x2﹣11xy+2y2＝ 　（3x﹣2y）（4x﹣y）　 ； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：（a1x+b1）（a2y+b2）＝a1a2xy+a1b2x+a2b1y+b1b2． 反过来，就得到：a1a2xy+a1b2x+a2b1y+b1b2＝（a1x+b1）（a2y+b2）． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式： ①2xy+3y+2x+3＝ 　（2x+3）（y+1）　 ； ②若a、b均为整数，且a、b满足6ab+8b﹣15a＝268，求a+b的值． 【答案】（1）（x﹣2）（x+3）； （2）①（2x﹣7）（x+1）； ②（3x﹣2y）（4x﹣y）； （3）①（2x+3）（y+1）； ②a+b＝﹣14． 【分析】（1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对x2+x﹣6进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对2x2﹣5x﹣7进行因式分解； ②利用如图1、图2的“十字”可以对12x2﹣11xy+2y2进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式2xy+3y+2x+3进行因式分解； ②利用如图4所示的“十字”可以对多项式6ab+8b﹣15a＝268，进行因式分解，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【解答】解：（1） ∵1×3+1×（﹣2）＝1， ∴x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3）， 故答案为：（x﹣2）（x+3）； （2）①∵ ∴2x2﹣5x﹣7＝（2x﹣7）（x+1）； ②∵ ∴3×（﹣1）+4×（﹣2）＝﹣11， ∴12x2﹣11xy+2y2＝（3x﹣2y）（4x﹣y）， 故答案为：（2x﹣7）（x+1），（3x﹣2y）（4x﹣y）； （3）①根据题意得： ∴2xy+3y+2x+3＝（2x+3）（y+1）， 故答案为：（2x+3）（y+1）； ②6ab+8b﹣15a＝308， ∴（3a+4）（2b﹣5）＝308﹣20， ∴（3a+4）（2b﹣5）＝288， ∵a、b均为整数， ∴2b﹣5为奇数，3a+4不能为3的倍数， ∴当 3a+4＝32，2b﹣5＝9时，，b＝7，不符合题意； 当3a+4＝﹣32，2b﹣5＝﹣9时，a＝﹣12，b＝﹣2，符合题意； ∴a+b＝﹣14． 【点评】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． 【题型9】利用因式分解求参数值 1. 知识点 核心原理：因式分解与整式乘法是逆运算——若多项式分解为，则，通过展开，对比等式两边同类项的系数，可列方程求参数。 常见场景： ①已知二次三项式分解为两个一次因式的积（如，求）； ②已知多项式有一个因式，求参数（如有因式，求）。 2. 考点 已知分解结果求参数（如上述场景①）。 已知一个因式求参数及完整分解式（如上述场景②）。 3. 易错点 展开因式时漏项或符号错误：如，易误展开为（漏一次项）或（符号错误），导致系数对比错误。 忽略多项式整体倍数：如，展开右边得，易误认为（正确），但若右边是，需先提公因式化为标准形式，避免重复计算。 已知一个因式时未用“赋值法”验证：如有因式，令，则原式（），易忘记此方法导致求解复杂。 4. 解题技巧 方法一（展开对比法）：将已知因式与含参数的因式相乘，展开后对比左右两边同类项系数，列方程求解参数。 方法二（代入根法）：若是因式的根（如因式为），则将代入原多项式，令其值为0，解方程求参数（如已知是的因式，代入得，解得）。 【例题9】．（2024-2025•成都期末）若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】x﹣2是多项式x2﹣x+k（k为常数）的一个因式，即方程x2﹣3x+k＝0的一个解是2，代入方程求出k的值． 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+k＝0中得4﹣6+k＝0， 解得：k＝2． 解法二：设另一个因式为（x+p），则有x2﹣3x+k＝（x﹣2）（x+p）＝x2+（﹣2+p）x﹣2p， ∴， 解得． 故答案为：2． 【点评】本题考查了因式分解的意义．一元二次方程可以利用因式分解法，分解成两个因式相乘值为0的形式，每一个因式为0，即可求出其中一个解．本题用的是逆向思维求k的值． 【变式题9-1】．（2024-2025•三河市校级月考）若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　11或﹣13　 ． 【答案】11或﹣13． 【分析】根据完全平方公式即可求得答案． 【解答】解：∵4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解， ∴k+1＝±2×2×3＝±12， 解得：k＝11或﹣13， 故答案为：11或﹣13． 【点评】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•康县期末）若mn＝4，n﹣m＝3，则式子mn2﹣m2n的值为 　12　 ． 【答案】12． 【分析】先把所求式子提取公因式mn，再把mn＝4，n﹣m＝3代入分解后的式子进行计算即可． 【解答】解：∵mn＝4，n﹣m＝3， ∴mn2﹣m2n ＝mn（n﹣m） ＝4×3 ＝12， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 【变式题9-3】．（2024-2025•高州市期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴，解得， 故另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 仿照上面的方法解答下面问题： （1）若x2+2x+m＝（x﹣3）（x+n），求m+n的值； （2）若二次三项式2x2+ax﹣6有一个因式是（2x+3），求另一个因式及a的值． 【答案】（1）﹣10；（2）另一个因式为x+2，a的值是7． 【分析】（1）由题意利用多项式乘多项式进行运算分析即可求出答案； （2）根据题意设另一个因式为 x+p，利用整式的运算以及待定系数法求出另一个因式以及a的值． 【解答】解：（1）∵x2+2x+m＝（x﹣3）（x+n）＝x2+（n﹣3）x﹣3n， ∴，解得， ∴m＝﹣15，n＝5， ∴m+n＝﹣15+5＝﹣10； （2）解：设另一个因式为x+p， 由题意得：2x2+ax﹣6＝（x+p）（2x+3）， 即2x2+ax﹣6＝2x2+（2p+3）x+3p， 则有， 解得， 所以另一个因式为x+2，a的值是7． 【点评】本题考查因式分解的实际运用，多项式乘多项式，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解答本题的关键． 【题型10】利用因式分解进行简便运算 1. 知识点 运算原理：利用因式分解将复杂的数值计算转化为“整式积”的形式，简化计算（如，）。 常见应用场景： ①提取公因式简化计算（如）； ②平方差公式简化计算（如）； ③完全平方公式简化计算（如）； ④证明整除（如证明能被整除，为整数）。 2. 考点 用因式分解计算具体数值（如上述场景①②③）。 用因式分解证明多项式能被某数或整式整除（如上述场景④）。 3. 易错点 凑公式时变形错误：如，易误写成，正确应为（混淆平方差与完全平方公式）。 提取公因式时系数计算错误：如，公因式是，易误计算为（正确），但若系数为小数或分数，易漏算（如，公因式仍是）。 证明整除时未分解彻底：如证明能被整除，需分解为（三个连续整数，必有2和3的倍数），易只分解到，无法证明能被6整除。 4. 解题技巧 观察式子结构：①若有相同因数，优先提公因式；②若为“平方-平方”，用平方差公式；③若为“平方+2倍积+平方”或“平方-2倍积+平方”，用完全平方公式。 整除证明思路：将多项式分解为目标数（或整式）与另一个整式的积，即可证明能整除（如证明能被整除，需分为偶数和奇数讨论，分解为，当为偶数时，和均为偶数，乘积是4的倍数）。 【例题10】．（2024-2025•襄汾县期中）利用因式分解简便计算： （1）3×852﹣3×152； （2）20222﹣2022×4046+20232． 【答案】（1）21000； （2）1． 【分析】（1）先提取公因数3，然后利用平方差公式进行分解因式，最后按照混合运算法则进行计算即可； （2）先把4046写成2×2023的形式，然后利用完全平方差公式分解因式，最后进行运算即可． 【解答】解：（1）原式＝3×（852﹣152） ＝3×（85+15）×（85﹣15） ＝3×100×70 ＝21000； （2）原式＝20222﹣2×2022×2023+20232 ＝（2022﹣2023）2 ＝（﹣1）2 ＝1． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是熟练掌握利用平方差公式和完全平方公式分解因式． 【变式题10-1】．（2024-2025•稷山县期中）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1值的末尾数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】将原式变形后利用平方差公式计算，然后根据尾数特征即可求得答案． 【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+1 ＝（28﹣1）（28+1）（216+1）+1 ＝（216﹣1）（216+1）+1 ＝232﹣1+1 ＝232， ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…， ∴32÷4＝8， ∴232的末尾数字是6， 故选：C． 【点评】本题考查尾数特征，平方差公式，将原式进行正确地变形是解题的关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•锦江区校级期中）计算： （1）199×201+15＝　40014　 ； （2）　5　 ． 【答案】（1）40014；（2）5． 【分析】（1）先利用平方差公式，再算加减； （2）先利用完全平方公式，再算除法． 【解答】解：（1）原式＝（200﹣1）（200+1）+15 ＝40000﹣1+15 ＝40014； 故答案为：40014； （2）原式 ＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握平方差公式、完全平方公式是解决本题的关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•烟台期末）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 　　 ． 【答案】． 【分析】先运用平方差公式对局部进行因式分解，然后再计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平方差公式的应用，正确将已知式的局部进行因式分解成为解题的关键． 【题型11】因式分解判断三角形形状 1. 知识点 核心逻辑：利用因式分解将三角形三边关系的等式变形为“整式积=0”的形式，结合“三角形三边均为正数”的性质，推导三边的数量关系（相等或满足勾股定理），从而判断形状（等腰、等边、直角三角形）。 常见等式形式： ①（分解为，得，等腰三角形）； ②（分解为，结合三边关系得，直角三角形）； ③（分组分解为，得，等边三角形）。 2. 考点 已知三角形三边满足的等式，用因式分解判断三角形形状（如上述等式①②③）。 结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）筛选有效因式（如，等）。 3. 易错点 分解后忽略“三边为正数”的条件：如分解为，易误认为（不符合边长为正），正确应为。 分组分解不当导致无法推导关系：如，易误分组为，无法分解，正确分组应为。 未验证三边关系：如，，，虽满足（，实际不满足），但即使满足，也不能构成三角形，需先确认三边能构成三角形。 4. 解题技巧 分组分解策略：对于含三项以上的等式，优先尝试“分组为完全平方”（如“二二分组”或“三一分组”），将等式化为“几个非负数的和=0”的形式（利用完全平方的非负性）。 步骤：①对等式进行因式分解（或配方）；②根据“整式积=0”或“非负数和=0”推导三边关系；③结合三边关系（正数、两边之和大于第三边）判断形状。 【例题11】．（2024-2025•陕州区期末）阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： （1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝　（x﹣9）（2+y）　 ； （2）解决问题：因式分解：ac﹣bc+a2﹣b2； （3）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）（x﹣9）（2+y）； （2）（a﹣b）（a+b+c）； （3）等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）按照已知条件中的方法，把多项式的前两项和后两项分别分成一组，然后提取各组中的公因式，最后再次提取公因式即可； （2）把多项式的前两项和后两项分别分成一组，然后第一组提取各组中的公因式分解因式，第二组利用平方差公式分解因式，最后再次提取公因式即可； （3）先把已知条件中的等式左边的2b2拆成b2+b2，然后把多项式的前三项和后三项分别分成一组，利用完全平方公式分解因式，再根据偶次方的非负性列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c之间的关系即可． 【解答】解：（1）原式＝（2x﹣18）+（xy﹣9y） ＝2（x﹣9）+y（x﹣9） ＝（x﹣9）（2+y）， 故答案为：（x﹣9）（2+y）； （2）原式＝（ac﹣bc）+（a2﹣b2） ＝c（a﹣b）+（a+b）（a﹣b） ＝（a﹣b）（a+b+c）； （3）这个三角形是等边三角形，理由如下： a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0， （a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0， （a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形是等边三角形． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、分组分解因式法和公式法分解因式． 【变式题11-1】．（2024-2025•栾城区校级期末）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）； 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将mn2﹣2mn+2n﹣4因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将a2﹣2ab+b2﹣16因式分解； 【应用】（3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，请通过计算说明△ABC是什么三角形？ 【答案】（1）（n﹣2）（mn+2）； （2）（a﹣b+4）（a﹣b﹣4）； （3）等腰三角形． 【分析】（1）运用分组分解法将式子进行因式分解； （2）运用分组分解法将式子进行因式分解； （3）运用分组分解法将式子进行因式分解，再根据三角形三边关系，可得a＝b，据此可得三角形为等腰三角形． 【解答】解（1）mn2﹣2mn+2n﹣4 ＝（mn2﹣2mn）+（2n﹣4） ＝mn（n﹣2）+2（n﹣2） ＝（n﹣2）（mn+2）； （2）a2﹣2ab+b2﹣16 ＝（a2﹣2ab+b2）﹣16 ＝（a﹣b）2﹣16 ＝（a﹣b+4）（a﹣b﹣4）； （3）a2﹣b2﹣ac+bc ＝（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc） ＝（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b） ＝（a﹣b） （a+b﹣c）＝0， ∵△ABC的三边a，b，c， ∴a+b＞c， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴三角形为等腰三角形． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用题中示例的分组分解法分解因式． 【变式题11-2】．（2024-2025•沈北新区期末）[阅读材料] 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组：二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用”3+1”分组；若无法构成，则采用”2+2”“分组． 例如，x2+2x+1﹣4＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）； am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）． [应用知识] （1）因式分解：a2﹣ab+bc﹣ac； （2）因式分解：﹣a2﹣6ab﹣9b2+9； [拓展应用] （3）已知一三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，2a2＝c（2a﹣c）+b（2a﹣b），试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把所给式子“2+2”分组后提取公因式，继续提公因式分解即可； （2）把所给式子“3+1”分组后用完全平方公式因式分解，整理后继续用平方差公式分解即可； （3）把所给等式整理成2个完全平方式相加得0的形式，进而可得a，b．c的关系，即可得到这个三角形的形状． 【解答】解：（1）a2﹣ab+bc﹣ac ＝（a2﹣ab）+（bc﹣ac） ＝a（a﹣b）﹣c（a﹣b） ＝（a﹣b）（a﹣c）； （2）﹣a2﹣6ab﹣9b2+9 ＝（﹣a2﹣6ab﹣9b2）+9 ＝9﹣（a2+6ab+9b2） ＝32﹣（a+3b）2 ＝（3+a+3b）（3﹣a﹣3b）； （3）这个三角形是等边三角形，理由如下： ∵2a2＝c（2a﹣c）+b（2a﹣b）， ∴2a2＝2ac﹣c2+2ab﹣b2， ∴2a2﹣2ac+c2﹣2ab+b2＝0， （a2﹣2ac+c2）+（a2﹣2ab+b2）＝0 （a﹣c）2+（a﹣b）2＝0， ∴a﹣c＝0，a﹣b＝0， ∴a＝c，a＝b， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形是等边三角形． 【点评】本题考查因式分解的应用，理解分组分解法的两种分法是解决本题的关键． 【变式题11-3】．（2024-2025•西宁期末）综合与实践 阅读材料，掌握知识 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解．某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式：3x2+3xy﹣5x﹣5y 解法一：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2+3xy）﹣（5x+5y）＝3x（x+y）﹣5（x+y）＝（x+y）（3x﹣5） 解法二：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2﹣5x）+（3xy﹣5y）＝x（3x﹣5）+y（3x﹣5）＝（3x﹣5）（x+y） 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 理解知识，尝试应用 分解因式 （1）ab﹣ac+bc﹣b2； （2）a2+1﹣b2﹣2a； 提炼思想，拓展应用 （3）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）（a﹣b）（b﹣c）； （2）（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）； （3）等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）把多项式的前两项分成一组，提取公因式a，再把后两项分成一组，提取公因式﹣b，再次提取公因式即可； （2）把a2﹣2a+1分成一组，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把2b2拆成b2+b2的形式，然后利用分组法把等式的左边写成两个完全平方式的和，进行解答即可． 【解答】解：（1）原式＝（ab﹣ac）﹣（b2﹣bc） ＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c） ＝（a﹣b）（b﹣c）； （2）原式＝（a2﹣2a+1）﹣b2 ＝（a﹣1）2﹣b2 ＝（a﹣1+b）（a﹣1﹣b） ＝（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）； （3）△ABC是等边三角形，理由如下： a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0， （a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0， （a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 【题型12】因式分解判断整除问题 1. 知识点 整除原理：若多项式能分解为（、为整式），则能被或整除（整数范围内，若、为整数，则能被、整除）。 常见题型：判断多项式（含整数参数）能否被某数整除（如判断能否被2整除，为整数）。 2. 考点 判断整数多项式能否被某数整除（如：证明当为整数时，能被6整除）。 已知多项式能被某数整除，求参数（如：若能被整除，求、）。 3. 易错点 分解后未分析因数特征（如判断能否被2整除，分解为，和为同奇偶，乘积必为偶数，易忽略“同奇偶”特征）。 忽略多项式系数的整数性（如判断能否被3整除，分解为，需举例验证：时能被3整除，时能被3整除，时不能，易误判为“能整除”）。 已知整除求参数时，漏写余式（如多项式能被整除，则，无余式，易设为，）。 4. 解题技巧 步骤：①对多项式进行彻底因式分解；②分析分解后的因式是否含目标除数（或其倍数）；③结合整数性质（如相邻整数必一奇一偶、必含因数2；三个连续整数必含因数2和3等）判断。 举例验证：对整数取特殊值（如、、、），验证结果是否能被目标数整除，辅助判断。 【例题12】．（2024-2025•天祝县期末）若n为任意整数，且（n+11）2﹣n2的值总可以被k整除，则k等于（　　） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 【答案】A 【分析】要求k的值，就要知道多项式（n+11）2﹣n2的值是谁的倍数，也就是说把（n+11）2﹣n2化成几个式相乘的形式，根据平方差公式对（n+11）2﹣n2进行因式分解，看分解后的因式里含有哪一个常数，就可解决问题． 【解答】解：（n+11）2﹣n2＝（n+11+n）（n+11﹣n）＝11（2n+11）． ∵11（2n+11）是11的倍数， ∴（n+11）2﹣n2可以被11整除， ∴k＝11． 故选：A． 【点评】本题考查因式分解的应用，关键是掌握公式法因式分解的知识． 【变式题12-1】．（2024-2025•南皮县期末）【观察】（2+3）2﹣22＝（2+3+2）（2+3﹣2）＝7×3，（4+3）2﹣42＝（4+3+4）（4+3﹣4）＝11×3，（6+3）2﹣62＝（6+3+6）（6+3﹣6）＝15×3，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）根据题意，列式计算即可； （2）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可； （3）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可． 【解答】解：（1）132﹣102＝（13+10）（13﹣10）＝69． 69÷3＝23， 所以能被3整除． （2）（2n+3）2﹣（2n）2＝（2n+3+2n）（2n+3﹣2n）＝3（4n+3）， 所以能被3整除； （3）设这个数为n，比n大9的数为n+9． （n+9）2﹣n2＝（n+9+n）（n+9﹣n）＝9（2n+9），所以能被9整除． 【点评】本题考查因式分解的应用，掌握平方差公式法进行因式分解是解题的关键． 【变式题12-2】．（2024-2025•漳州期末）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知a2﹣2＝﹣3b，求2a2+6b﹣7的值． 解：∵a2﹣2＝﹣3b， ∴a2+3b＝2． ∴2a2+6b﹣7＝2（a2+3b）﹣7＝2×2﹣7＝﹣3． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知x2﹣2y﹣3＝0，求3x2﹣6y+1的值； （2）已知（2025k+1）2+（2025k﹣2）2＝65，求（2025k+1）（2025k﹣2）的值； （3）若5m+3n（m，n都是整数）能被6整除，试说明：5m+2+3n也能被6整除． 【答案】（1）10； （2）28； （3）见解析． 【分析】（1）从已知条件x2﹣2y﹣3＝0变形得到x2﹣2y的值，再将所求式子3x2﹣6y+1变形为含x2﹣2y的形式，整体代入计算． （2）通过设元，把2025k+1和2025k﹣2用新的字母表示，利用完全平方公式的变形，结合已知条件求出两式乘积；或利用完全平方差公式与已知条件建立联系求解． （3）根据5m+3n能被6整除设出表达式，将5m+2+3n变形为含5m+3n的形式，再结合设出的表达式判断能否被6整除． 【解答】解：（1）∵x2﹣2y﹣3＝0，即x2﹣2y＝3， ∴3x2﹣6y+1＝3（x2﹣2y）+1＝3×3+1＝10； （2）方法一： 设2025k+1＝a，2025k﹣2＝a﹣3． 则a2+（a﹣3）2＝65， ∴2a2﹣6a＝56， ∵a（a﹣3）＝a2﹣3a， ∴， ∴a（a﹣3）＝28， 则（2025k+1）（2025k﹣2）＝28； 方法二： 设2025k+1＝a，2025k﹣2＝b， 则a2+b2＝65， ∵a﹣b＝（2025k+1）﹣（2025k﹣2）＝3， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab， ∴2ab＝65﹣9， ∴ab＝28， 则（2025k+1）（2025k﹣2）＝28； （3）∵5m+3n能被6整除， ∴设5m+3n＝6p（p为正整数）， ∴5m+2+3n ＝52•5m+3n ＝24•5m+5m+3n ＝24•5m+6p ＝6（4•5m+p）． ∴5m+n+3n也能被6整除． 【点评】本题主要考查了整体思想在代数式求值、整除问题中的应用，涉及完全平方公式、代数式变形等知识，熟练掌握整体代换的技巧是解题的关键． 【变式题12-3】．（2024-2025•太湖县期末）先阅读下列材料，再解决问题． 材料：因为，（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6． 所以，（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3． 即x2+x﹣6能被x﹣2整除． 所以x﹣2是x2+x﹣6的一个因式，且当x＝2时，x2+x﹣6＝0． （1）【类比思考】因为（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被　（x+2）或（x+3）　 整除，所以　（x+2）或（x+3）　 是x2+5x+6的一个因式，且当x＝　﹣2或﹣3　 时，x2+5x+6＝0； （2）【拓展探究】根据以上材料，若多项式x2+mx﹣14能被x+2整除，试求m的值． 【答案】（1）（x+2）或（x+3），（x+2）或（x+3），﹣2或﹣3． （2）﹣5． 【分析】（1）根据示例（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被两个因式中的任何一个因式整除，这两个因式都是x2+5x+6的因式，且x+2＝0或x+3＝0时，x2+5x+6＝0； （2）因为多项式x2+mx﹣14能被x+2整除，所以当x＝﹣2时，x2+mx﹣14＝0，将x＝﹣2代入式子计算求出m即可． 【解答】解：（1）因为（x+2）（x+3）＝x2+5x+6， 所以x2+5x+6能被（x+2）或（x+3）整除， 所以（x+2）或（x+3）是x2+5x+6的一个因式， 且当x＝﹣2或﹣3时，x2+5x+6＝0． 故答案为：（x+2）或（x+3），（x+2）或（x+3），﹣2或﹣3． （2）因为x2+mx﹣14能被x+2整除， 所以当x＝﹣2时，x2+mx﹣14＝0， 所以（﹣2）2+m×（﹣2）﹣14＝0， 解得m＝﹣5． 【点评】本题考查了因式分解的应用、整式的除法、因式分解的意义，解决本题的关键是运用题中示例的方法解决问题． 【题型13】因式分解中的最值问题（配方法） 1. 知识点 核心原理：通过因式分解中的“配方法”，将代数式化为“完全平方+常数”的形式（如），利用“完全平方≥ 0”的非负性，求代数式的最大值或最小值（当完全平方为0时，代数式取最值）。 配方步骤： ①将二次项和一次项组合（如组合为）； ②配方：在括号内加、减“一次项系数一半的平方”（如加，减，得）； ③整理为“完全平方+常数”（如）。 2. 考点 用配方法求代数式的最值（如求的最小值）。 结合实际问题求最值（如长方形面积最值，需先列代数式再配方）。 3. 易错点 配方时常数项计算错误：如，一次项系数一半的平方是，易误加（），正确应为。 符号错误：如，需先提取“-”号得，再配方为，易误写成（漏加）。 混淆最大值与最小值：当完全平方前系数为正（如），代数式有最小值；系数为负（如），代数式有最大值，易混淆。 4. 解题技巧 口诀：“二次系数化为1，一次系数半平方；加在里面减在外，整理成方加常数”。 最值判断：①若代数式为“（）”；②当时，最小值为（时）；③当时，最大值为（时）。 【例题13】．（2024-2025•达州期末）阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）． ②求2x2+12x+22的最小值． 解：2x2+12x+22＝2（x2+6x+11）＝2（x2+6x+9+2）＝2（x+3）2+4 ∵（x+3）2≥0，∴2（x+3）2+4≥4， ∴2x2+12x+22的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题． （1）用配方法因式分解：a2+12a+35； （2）求2x2﹣4x+10的最小值； （3）已知实数x，y满足﹣x2+5x+y﹣3＝0，求x+2y的最小值，并求出此时y的值． 【答案】（1）（a+7）（a+5）； （2）8； （3）最小值是；． 【分析】（1）按照示例①解答即可； （2）按照示例②解答为2x2﹣4x+10＝2（x﹣1）2+8，因为（x﹣1）2是非负数，所以（x﹣1）2≥0，2（x﹣1）2+8≥8，据此解答； （3）根据﹣x2+5x+y﹣3＝0，得出y＝x2﹣5x+3，代入x+2y得：，因为是非负数，所以，据此解答． 【解答】解：（1）原式＝a2+12a+36﹣1 ＝（a+6）2﹣1 ＝（a+6+1）（a+6﹣1） ＝（a+7）（a+5）； （2）原式＝2（x2﹣2x+5） ＝2（x2﹣2x+1+4） ＝2（x﹣1）2+8， 因为（x﹣1）2是非负数， 所以（x﹣1）2≥0，2（x﹣1）2+8≥8， 所以2x2﹣4x+10的最小值是 8． （3）由条件可知y＝x2﹣5x+3，代入x+2y得： x+2y ＝x+2（x2﹣5x+3） x+2（x2﹣5x+3）＝2x2﹣9x+6 ， 因为是非负数， 所以， 所以当时，x+2y取得最小值，最小值是． 此时． 【点评】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照题中示例解决问题． 【变式题13-1】．（2024-2025•九江期末）【阅读材料】形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用 （1）用配方法因式分解：a2+6a+8 解：原式＝a2+6a+9﹣1 ＝（a+3）2﹣1 ＝（a+3﹣1）（a+3+1） ＝（a+2）（a+4） （2）用配方法求代数式a2+6a+8的最小值 解：原式＝a2+6a+9﹣1 ＝（a+3）2﹣1 ∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2﹣1≥﹣1，∴a2+6a+8的最小值为﹣1 【解决问题】（1）若代数式x2﹣10x+k是完全平方式，则常数k的值为 　25　 ， （2）因式分解：a2﹣12a+32 【拓展应用】（3）用配方法求代数式4x2+4x+5的最小值 【答案】（1）25； （2）（a﹣4）（a﹣8）； （3）4． 【分析】（1）根据完全平方式的定义计算即可； （2）利用公式法进行因式分解即可； （3）利用配方法将原式变形为（2x+1）2+4，再根据非负数的性质，即可得出结果． 【解答】解：（1）∵（x﹣5）2＝x2﹣10x+25， ∴k＝25， 故答案为：25； （2）原式＝（a﹣6）2﹣4 ＝（a﹣6+2）（a﹣6﹣2） ＝（a﹣4）（a﹣8）； （3）4x2+4x+5＝4x2+4x+1+4＝（2x+1）2+4， ∵（2x+1）2≥0， ∴（2x+1）2+4≥4， ∴4x2+4x+5的最小值为4． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，非负数的性质，熟练掌握其分解方法是解题的关键． 【变式题13-2】．（2024-2025•山亭区期末）在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式x2﹣8x+7进行因式分解呢？ 小季同学经过思考后作如下解答： x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16﹣16+7＝（x2﹣8x+16）﹣9＝（x﹣4）2﹣32＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）． 小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：x2﹣8x+7＝（x﹣4）2﹣9，在代数式（x﹣4）2﹣9中， （x﹣4）2≥0，即无论x取何值，（x﹣4）2都大于等于0，所以（x﹣4）2﹣9≥﹣9，则x2﹣8x+7有最小值为﹣9． （1）请仿照小季的解答过程，将代数式m2﹣14m+24分解因式； （2）求代数式﹣m2+12m﹣18的最大值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题中方法进行配方法，分解因式即可； （2）根据题中的方法进行因式分解，然后即可求解． 【解答】解：（1）原式＝（m﹣7）2﹣52 ＝（m﹣7+5）（m﹣7﹣5） ＝（m﹣2）（m﹣12）； （2）原式＝﹣（m2﹣12m+36﹣36）﹣18 ＝﹣（m﹣6）2+18， 因为无论m取何值时，﹣（m﹣6）2都小于等于0， 所以﹣（m﹣6）2+18≤18，则﹣（m﹣6）2+18有最大值为18． 【点评】题目主要考查新定义，理解新定义是解题关键． 【变式题13-3】．（2024-2025•罗庄区期末）我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7x（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）． 但小明在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式． x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42 ＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1） 教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣3﹣1）＝2（x+1）2﹣8． 因为（x+1）2≥0，所以2（x+1）2﹣8≥﹣8 所以当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：①x2﹣10x+9；②x2﹣8xy+7y2； （2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣8x+3有最大值？并求出这个最大值． （3）利用配方法，尝试求出等式a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0中a，b的值． 【答案】（1）①x2﹣10x+9＝（x﹣1）（x﹣9）；②x2﹣8xy+7y2＝（x﹣y）（x﹣7y）； （2）当x＝﹣2时，多项式﹣2x2﹣8x+3有最大值，最大值为11； （3）a＝1，b＝1． 【分析】（1）先利用配方法，然后再利用平方差公式进行计算即可； （2）先对式子进行配方法，然后利用平方的非负性解题即可； （3）先对方程左边的式子运用完全平方公式进行变形，然后利用平方的非负性得到关于a，b的方程进而可求解． 【解答】解：（1）①原式＝（x2﹣10x+25）﹣16 ＝（x﹣5）2﹣42 ＝（x﹣5﹣4）（x﹣5+4） ＝（x﹣1）（x﹣9）； ②原式＝（x2﹣8xy+16y2）﹣9y2 ＝（x﹣4y）2﹣（3y）2 ＝（x﹣4y﹣3y）（x﹣4y+3y） ＝（x﹣y）（x﹣7y）； （2）由题意得，﹣2x2﹣8x+3 ＝﹣2（x+2）2+11， ∵﹣2（x+2）2≤0， ∴﹣2（x+2）2+11≤11， ∴当x＝﹣2时，多项式﹣2x2﹣8x+3有最大值11． （3）a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）＝0， 配方得（a﹣b）2+（b﹣1）2＝0， 解得a＝1，b＝1． 【点评】本题考查了配方法因式分解，求多项式的最值，平方的非负性，掌握配方法是解题的关键． 【题型14】因式分解的实际应用 1. 知识点 密码生成：利用因式分解的结果生成密码，原理是将多项式分解为多个因式，代入具体数值计算各因式的值，组合为密码（如多项式分解为，取、，得、，密码可为“339”或“393”）。 面积计算：利用因式分解简化图形面积计算（如长方形面积为，分解为，则长和宽可表示为和，便于代入数值计算）。 2. 考点 利用因式分解生成密码（如：已知多项式，取、，生成密码）。 利用因式分解计算图形面积或边长（如：已知长方形面积为，宽为，求长）。 3. 易错点 密码生成时漏算因式（如多项式分解为，生成密码时漏写或的值）。 面积计算时混淆长和宽（如长方形面积分解为，宽应为较小的因式，需结合实际数值判断，易误将长写为，宽写为，导致边长为负）。 代入数值时计算错误（如、代入，分解为，误算为）。 4. 解题技巧 密码生成步骤：①彻底分解多项式；②确定字母取值；③计算每个因式的值；④按任意顺序组合因式值为密码（注意数字位数统一）。 面积计算步骤：①根据图形面积公式列出多项式；②分解多项式；③结合图形边长的正性，确定各因式对应边长；④代入数值计算或求边长关系。 【例题14】．（2024-2025•广平县校级开学）如图，在一个足够长且宽为x+2（x＞6）的纸带上剪出一些长方形纸片A，B，C，•••其面积分别记为SA，SB，SC，•••图中的虚线为裁剪线，试用含x的式子解决下列问题． （1）求2SA﹣SB； （2）若SC＝2SA﹣SB，将多项式SC进行因式分解，并求长方形C落在边l上的边长． 【答案】（1）x2+2x； （2）x． 【分析】（1）把SA＝（x+2）（x﹣3），SB＝（x+2）（x﹣6）代入2SA﹣SB，进行整式运算，得出即可； （2）表示出，然后对SC因式分解为x（x+2），结合长方形宽为x+2，得出长为x． 【解答】解：（1）2SA﹣SB ＝2（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣6）（x+2） ＝2x2﹣2x﹣12﹣x2+4x+12 ＝x2+2x； （2）∵SC＝2SA﹣SB， ∴， ∴长方形C落在边l上的长为x． 【点评】本题考查了多项式乘多项式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式题14-1】．（2024-2025•安宁区校级期末）小明从一张边长为a cm的正方形纸板上减掉一个边长为b cm的正方形（如图1），然后将剩余部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形（如图2）． （1）上述过程揭示的因式分解的等式是　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ； （2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求4y﹣3x的值； （3）利用因式分解计算： ． 【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）﹣5； （3）20254048． 【分析】（1）根据图形面积相等即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）∵9x2﹣16y2＝30， ∴（3x+4y）（3x﹣4y）＝30， ∵3x+4y＝6， ∴3x﹣4y＝5， ∴4y﹣3x＝﹣5； （3）原式 ． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【变式题14-2】．（2024-2025•莲池区期末）阅读与思考： 在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x2﹣1因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）或（x+1）（x﹣1），取个人年龄作为x的值，当x＝13时，x﹣1＝12，x+1＝14，此时可以得到数字密码1214或1412． （1）根据上述方法，若多项式为x2+2x+1，请你结合个人年龄设置一个锁屏密码，当x＝　13　 时，锁屏密码为 　1414　 ； （2）若王老师选取的多项式为x3﹣x，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）x2+2x+1＝（x+1）（x+1），知道x的值，就可得出密码． （2）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x，知道密码，可分析出王老师年龄． 【解答】解：（1）x2+2x+1＝（x+1）（x+1）， 当x＝13时，x+1＝14，锁屏密码为1414． 故答案为：13，1414． （2）x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1）x， 王老师手机的锁屏密码是6位数字353334， ∴x＝34． 答：王老师的年龄是34岁． 【点评】本题考查了因式分解的应用，关键是完全平方公式，平方差，提公因式的运用． 【变式题14-3】．（2024-2025•黄浦区期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如47×67，它们乘积的前两位是4×6+7＝31，它们乘积的后两位是7×7＝49，所以47×67＝3149． 又如13×93，它们乘积的前两位是1×9+3＝12，它们乘积的后两位是3×3＝9，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以13×93＝1209． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： （1）观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以86×26为例说明； 推理与解释： （2）该速算方法可以将其用字母进行表示． 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1～9的整数） 则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为 　10（10﹣a）+b　 ， 用速算方法得到的结果可以表示为100[　a（10﹣a）+b　 ]1+b2， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： （3）已知某宝藏的开锁密码Q是一个自然数，Q+1是一个正整数的平方，Q﹣88是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 【答案】（1）2236；（2）10（10﹣a）+b，a（10﹣a）+b；（3）2024． 【分析】（1）根据材料写出速算方法，并用速算方法计算86×26，即可求解； （2）设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1～9的整数）则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为10（10﹣a）+b，进而按照整式的乘法进行计算，最后根据因式分解得出结论； （3）Q+1＝a2，Q﹣88＝b2，得出a2﹣b2＝89，根据平方差公式因式分解得出（a+b）（a﹣b）＝89，进而求得a，b的值，即可求解． 【解答】解：（1）这种速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）， 例如：86×26， ＝100×（8×2+6）+36， ＝2236； （2）设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1～9的整数）， 则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为10（10﹣a）+b， ∴（10a+b）×[10（10﹣a）+b]， ＝（10a+b）（100﹣10a+b）， ＝1000a﹣100a2+10ab+100b﹣10ab+b2， ＝100（10a﹣a2+b）+b2， ＝100[a（10﹣a）+b]+b2， ∴满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同； 故答案为：10（10﹣a）+b，a（10﹣a）+b； （3）设Q+1＝a2，Q﹣88＝b2， ∴Q＝a2﹣1＝b2+88， ∴a2﹣b2＝89， ∴（a+b）（a﹣b）＝89， ∵89是素数， ∴89＝1×89， ∵a、b是正整数， ∴， 解得：， ∴Q＝a2﹣1＝452﹣1＝2024． 【点评】本题考查了整式的乘法以及因式分解的应用，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 【题型15】分组分解法因式分解（拓展） 1. 知识点 分组分解法的定义：将多项式的项适当分组，使每组能提公因式或用公式，再对整体提公因式或用公式分解（适用于四项及以上多项式）。 常见分组方式： ①“二二分组”：将四项分为两组，每组两项，分别提公因式后，整体再提公因式（如）； ②“三一分组”：将四项分为一组三项（能构成完全平方）和一组一项（能构成平方），再用平方差公式（如）。 2. 考点 用“二二分组”分解四项式（如上述例子）。 用“三一分组”分解四项式（如上述例子）。 3. 易错点 分组不当导致无法继续分解：如，易误分组为（正确），若误分组为（也正确），但如误分组为（正确），若分组为，则无法分解。 忽略符号调整：如，分组为（正确），若分组为，则无法继续分解（需调整分组方式）。 4. 解题技巧 分组原则：“分组后能提公因式或用公式”，优先尝试“二二分组”，若不行再试“三一分组”。 验证：分组后观察两组是否有公共因式，或是否能分别用公式，若无法继续分解，则重新分组。 【例题15】．（2024-2025•徐闻县期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a+3ab﹣4﹣6b分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式＝（2a﹣4）+（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）+3b（a﹣2） ＝（a﹣2）（2+3b） 【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2分解因式． 【答案】（1）（x+a）（x﹣a+1）； （2）（a﹣b）（a﹣b+x）． 【分析】（1）先利用加法的结合律把前两项结合，后两项结合，然后把前两项利用平方差公式分解因式，再提取公因式即可； （2）先利用加法的结合律把a2﹣2ab+b2分成一组，利用完全平方公式将其分解因式，再把ax﹣bx分成一组，利用提取公因式分解因式，再次提取公因式进行即可． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）•1 ＝（x+a）（x﹣a+1）； （2）原式＝（a2﹣2ab+b2）+（ax﹣bx） ＝（a﹣b）2+x（a﹣b） ＝（a﹣b）（a﹣b+x）． 【点评】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握利用分组法、提取公因式法与公式法分解因式． 【变式题15-1】．分解因式： （1）a3﹣ab2＝　a（a+b）（a﹣b）　 ． （2）2a3b﹣4a2b2+2ab3＝　2ab（a﹣b）2　 ． （3）（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝　（b﹣a）（b﹣a﹣1）．　 ． （4）ax+ay+bx+by＝　（x+y）（a+b）．　 ． 【答案】（1）a（a+b）（a﹣b）． （2）2ab（a﹣b）2． （3）（b﹣a）（b﹣a﹣1）． （4）（x+y）（a+b）． 【分析】（1）先提公因式，再运用公式法； （2）先提公因式，再运用公式法； （3）先变形，再运用提公因式法； （4）先分组，再运用提公因式法． 【解答】解：（1）a3﹣ab2＝a（a2﹣b2） ＝a（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a（a+b）（a﹣b）． （2）2a3b﹣4a2b2+2ab3 ＝2ab（a2﹣2ab+b2） ＝2ab（a﹣b）2． 故答案为：2ab（a﹣b）2． （3）（a﹣b）2﹣（b﹣a） ＝（b﹣a）2﹣（b﹣a） ＝（b﹣a）（b﹣a﹣1）． 故答案为：（b﹣a）（b﹣a﹣1）． （4）ax+ay+bx+by ＝（ax+ay）+（bx+by） ＝a（x+y）+b（x+y） ＝（x+y）（a+b）． 故答案为：（x+y）（a+b）． 【点评】本题主要考查综合运用提公因式法、公式法进行因式分解以及分组分解法进行因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键． 【变式题15-2】．（2024-2025•昭平县期中）（阅读学习） 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）； （2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）． （学以致用） 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）ab﹣a﹣b+1； （2）4﹣x2+4xy﹣4y2． （拓展应用） （3）已知：x+y＝9，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值． 【答案】（1）（a﹣1）（b﹣1）；（2）（2﹣x+2y）（2+x﹣2y）；（3）55． 【分析】（1）把 ab﹣a﹣b+1分组为 （ab﹣a）﹣（b﹣1），再提取公因式分解即可； （2）把4﹣x2+4xy﹣4y2分组为4﹣（x2﹣4xy+4y2），再利用完全平方公式和平方差公式分解； （3）把x2﹣y2﹣2y+2x分组为（x2﹣y2）+（2x﹣2y），再因式分解，整体代入求值即可． 【解答】解：（1）ab﹣a﹣b+1 ＝（ab﹣a）﹣（b﹣1） ＝a（b﹣1）﹣（b﹣1） ＝（a﹣1）（b﹣1）； （2）4﹣x2+4xy﹣4y2 ＝4﹣（x2﹣4xy+4y2） ＝22﹣（x﹣2y）2 ＝（2﹣x+2y）（2+x﹣2y）； （3）x2﹣y2﹣2y+2x ＝（x2﹣y2）+（2x﹣2y） ＝（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y） ＝（x﹣y）（x+y+2）， 当x+y＝9，x﹣y＝5时， 原式＝5×（9+2）＝55． 【点评】此题考查了因式分解所涉及的相关知识：完全平方公式，平方差公式，提取公因式法因式分解和分组结合等，也考查了学生对题文的理解能力． 【变式题15-3】．（2024-2025•陕西期末）将x2﹣xy+xz﹣yz因式分解． 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（x2﹣xy）+（xz﹣yz） ＝x（x﹣y）+z（x﹣y） ＝（x﹣y）（x+z） 解法二：原式＝（x2+xz）﹣（xy+yz） ＝x（x+z）﹣y（x+z） ＝（x+z）（x﹣y） 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法回答下列问题： （1）请用分组分解法将a3﹣3a2+6a﹣18因式分解； （2）如图1，小长方形的长为a，宽为b，用5个图1中的小长方形按照图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式a2+4ab+4b2+2a+4b+1因式分解，再求值． 【答案】（1）（a2+6）（a﹣3）； （2）（a+2b+1）2，25． 【分析】（1）根据题意用分组分解法因式分解即可； （2）将原式变形为a2+4ab+4b2+2a+4b+1，将a+2b看作整体，利用完全平方公式因式分解，根据图形中边关系得：a+2b＝4，即可求解． 【解答】解：（1）a3﹣3a2+6a﹣18 ＝a2（a﹣3）+6（a﹣3） ＝（a2+6）（a﹣3）； （2）a2+4ab+4b2+2a+4b+1 ＝a2+4ab+4b2+2a+4b+1 ＝（a+2b）2+2（a+2b）+1 ＝（a+2b+1）2， 根据图形中各边关系得：2[（a+3b）+（a+b）]＝16，即a+2b＝4， ∴原式＝（a+2b+1）2＝（4+1）2＝25． 【点评】本题主要考查因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 【题型16】利用添项与拆项进行因式分解（拓展） 1. 知识点 概念定义： 添项法：在多项式中添加一个适当的项（同时减去该添项以保持值不变），构造可分解结构（如完全平方、平方差）的方法。 拆项法：将多项式中的某一项拆成两项（或多项），使多项式能分组提公因式或套公式的方法。 核心目的：通过变形突破原多项式无法直接分解的困境，转化为可利用提公因式法、公式法或分组法的形式。 常见类型： 添项适用场景： 四次二项式/三项式（如添凑完全平方）； 缺中间项的二次三项式（如添凑平方差）。 拆项适用场景： 二次三项式拆一次项（如拆为）； 三次多项式拆三次项/一次项（如拆为）； 四次多项式拆二次项（如拆为）。 基本原则： 添项：添后能构造公式，减后无多余项（保证值不变）； 拆项：拆后能分组，组内可分解且组间有公因式。 2. 考点 分解特殊四次多项式（如、）； 分解无法直接用公式的二次三项式（如、）； 分解三次多项式（如、）； 综合应用添项与拆项（如先拆项再添项，或反之）； 结合代数式求值、三角形形状判断等实际问题。 3. 易错点 添项后漏减，改变多项式值（如添后未减，导致值变大）； 拆项对象或符号错误（如误拆为，无法分组）； 分组不当（拆/添项后未按“组间有公因式”原则分组）； 分解不彻底（如仅分解为，未继续用平方差）； 忽略验证（未展开结果与原多项式对比，导致变形错误）。 4. 解题技巧 通用步骤： ① 观察结构：判断多项式次数、项数及接近的公式形式； ② 选择方法：缺项补项（添项），项数合适但难分组则拆项； ③ 转化分解：添/拆后用公式法或分组法分解； ④ 验证彻底性：检查所有因式是否可再分解，展开验证恒等。 口诀：“看结构，定方法；缺项添，繁项拆；分组提公因，公式反复用；验结果，要彻底”。 实例参考： 添项法：； 拆项法：。 【例题16】．（2024-2025•新城区校级期末）材料：在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．如： x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）． 先阅读上述材料，再解决下列问题： （1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式； （2）分解因式：a4+a2b2+b4． 【答案】（1）（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）； （2）（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）． 【分析】（1）添项，添4x2y2，然后利用分组分解法分解即可； （2）添项，添a2b2，然后利用分组分解法分解即可． 【解答】解：（1）x4+4y4 ＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣（2xy）2 ＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）； （2）a4+a2b2+b4 ＝a4+2a2b2+b4﹣a2b2 ＝（a2+b2）2﹣（ab）2 ＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，根据多项式的特征选择添项或拆项是解题的关键． 【变式题16-1】．添项、拆项分组法因式分解： ①a4+a2+1 ②a3﹣9a+8 ③x4﹣6x2﹣7x﹣6 【答案】见试题解答内容 【分析】①将原式拆成a4+2a2+1﹣a2，然后利用平方差公式因式分解即可． ②将﹣9a拆成﹣a﹣8a，然后分组进行因式分解； ③把6x2拆为两项：4x2和2x2，然后利用平方差公式和十字相乘法进行因式分解； 【解答】解：①a4+a2+1＝a4+2a2+1﹣a2＝（a2+1）2﹣a2＝（a2+1+a）（a2+1﹣a）． ②a3﹣9a+8＝a3﹣a﹣8a+8＝a（a2﹣1）﹣8（a﹣1）＝（a﹣1）[a（a+1）﹣8]＝（a﹣1）（a2+a﹣8）． ③x4﹣6x2﹣7x﹣6＝x2（x2﹣4）﹣2x2﹣7x﹣6， ＝x2（x+2）（x﹣2）﹣（2x+3）（x+2）， ＝（x+2）[x2（x﹣2）﹣2x﹣3]， ＝（x+2）（x3﹣2x2﹣3x+x﹣3）， ＝（x+2）[x（x﹣3）（x+1）+（x﹣3）]， ＝（x+2）（x﹣3）（x2+x+1）． 【点评】本题考查了因式分解的应用，有公因式的要先提取公因式，再进行分解，难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组，不能分组的可以考虑添项、拆项分组法因式分解，有难度． 【变式题16-2】．（2024-2025•十堰期末）阅读材料：把代数式x2﹣6x﹣7因式分解，可以如下分解： x2﹣6x﹣7＝x2﹣6x+9﹣9﹣7 ＝（x﹣3）2﹣16 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7） （1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解； （2）拓展：把代数式x2+4xy﹣5y2因式分解得 　（x+5y）（x﹣y）　 ；当　1或﹣5　 时，代数式x2+4xy﹣5y2＝0． 【答案】（1）（x﹣1）（x﹣7）； （2）（x+5y）（x﹣y）；1或﹣5． 【分析】（1）根据题目中给出的方法分解因式即可； （2）先将x2+4xy﹣5y2分解因式得出x2+4xy﹣5y2＝（x+5y）（x﹣y），根据x2+4xy﹣5y2＝0得出x+5y＝0或x﹣y＝0，求出的值即可． 【解答】解：（1）x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16﹣16+7 ＝（x﹣4）2﹣9 ＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3） ＝（x﹣1）（x﹣7）； （2）x2+4xy﹣5y2 ＝x2+4xy+4y2﹣4y2﹣5y2 ＝（x+2y）2﹣9y2 ＝（x+2y+3y）（x+2y﹣3y） ＝（x+5y）（x﹣y）； ∵x2+4xy﹣5y2＝（x+5y）（x﹣y）， ∴当x+5y＝0或x﹣y＝0时，x2+4xy﹣5y2＝0， ∴x＝﹣5y或x＝y时，x2+4xy﹣5y2＝0， ∴或时，x2+4xy﹣5y2＝0． 故答案为：（x+5y）（x﹣y）；1或﹣5． 【点评】本题主要考查了因式分解，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2和平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【变式题16-3】．（2024-2025•罗庄区期末）我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7x（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）． 但小明在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式． x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42 ＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1） 教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣3﹣1）＝2（x+1）2﹣8． 因为（x+1）2≥0，所以2（x+1）2﹣8≥﹣8 所以当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：①x2﹣10x+9；②x2﹣8xy+7y2； （2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣8x+3有最大值？并求出这个最大值． （3）利用配方法，尝试求出等式a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0中a，b的值． 【答案】（1）①x2﹣10x+9＝（x﹣1）（x﹣9）；②x2﹣8xy+7y2＝（x﹣y）（x﹣7y）； （2）当x＝﹣2时，多项式﹣2x2﹣8x+3有最大值，最大值为11； （3）a＝1，b＝1． 【分析】（1）先利用配方法，然后再利用平方差公式进行计算即可； （2）先对式子进行配方法，然后利用平方的非负性解题即可； （3）先对方程左边的式子运用完全平方公式进行变形，然后利用平方的非负性得到关于a，b的方程进而可求解． 【解答】解：（1）①原式＝（x2﹣10x+25）﹣16 ＝（x﹣5）2﹣42 ＝（x﹣5﹣4）（x﹣5+4） ＝（x﹣1）（x﹣9）； ②原式＝（x2﹣8xy+16y2）﹣9y2 ＝（x﹣4y）2﹣（3y）2 ＝（x﹣4y﹣3y）（x﹣4y+3y） ＝（x﹣y）（x﹣7y）； （2）由题意得，﹣2x2﹣8x+3 ＝﹣2（x+2）2+11， ∵﹣2（x+2）2≤0， ∴﹣2（x+2）2+11≤11， ∴当x＝﹣2时，多项式﹣2x2﹣8x+3有最大值11． （3）a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）＝0， 配方得（a﹣b）2+（b﹣1）2＝0， 解得a＝1，b＝1． 【点评】本题考查了配方法因式分解，求多项式的最值，平方的非负性，掌握配方法是解题的关键． 【题型17】实数范围内因式分解（拓展） 1. 知识点 定义：在有理数范围内不能分解的多项式，在实数范围内可继续分解（允许因式含无理数，如）。 常见类型： ①平方差公式拓展：（为正数，可写成），分解为（如）； ②完全平方公式拓展（较少见，主要是平方差）； ③先提公因式再用平方差（如）。 2. 考点 在实数范围内分解多项式（如、）。 区分有理数与实数范围内的分解差异（如在有理数范围不能分解，实数范围可分解）。 3. 易错点 超出范围分解：题目未说明“实数范围”时，默认在有理数范围分解（如不能分解），易误在有理数范围写出含无理数的因式。 系数处理错误：如，应先提公因式得，再分解为，易误写成（虽正确，但通常将系数化为整数，提取公因式后分解）。 4. 解题技巧 步骤：①先在有理数范围内分解（提公因式、用公式）；②若剩余因式为“（，非完全平方数）”，则在实数范围内用平方差公式分解为。 格式：将无理数化为最简形式（如），系数尽量为整数（如分解为或，两种形式均可）。 【例题17】．在实数范围内因式分解： （1）x2﹣3； （2）； （3）4a4﹣1． 【答案】（1）（x）（x）； （2）（x）2； （3）（2a2+1）（a+1）（a﹣1）． 【分析】（1）利用平方差公式分解； （2）直接利用完全平方公式分解； （3）两次利用平方差公式分解． 【解答】解：（1）原式＝（x）（x）； （2）原式＝（x）2； （3）原式＝（2a2+1）（2a2﹣1）＝（2a2+1）（a+1）（a﹣1）． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键． 【变式题17-1】．（2024-2025•西湖区校级期中）在实数范围内因式分解 （1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a） （2）x4﹣81 （3） （4）x7y7﹣16x4y4+64xy 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据提取公因式的方法分解即可； （2）根据平方差公式分解因式即可； （3）首先提取公因式，然后利用公式法分解即可； （4）首先提取公因式，然后利用公式法分解即可． 【解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝（a﹣b）（2m+3n）； （2）x4﹣81＝（x2+9）（x2﹣9）＝（x2+9）（x+3）（x﹣3）； （3）[（3m﹣n）2﹣4（m+3n）2][（3m﹣n）+2（m+3n）][（3m﹣n）﹣2（m+3n）]（m+n）（m﹣7n）； （4）x7y7﹣16x4y4+64xy＝xy（x6y6﹣16x3y3+64）＝xy（x3y3﹣8）2＝xy（xy﹣2）2（x2y2+2xy+4）2． 【点评】本题考查了实数范围内因式分解：利用完全平方公式或平方差公式在实数范围内进行因式分解． 【变式题17-2】．（2024-2025•南关区校级开学）阅读理解题，下面我们观察： ． 反之，所以． 所以． 完成下列各题： （1）在实数范围内因式分解：； （2）化简：； （3）化简：． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可； （2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可； （3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可． 【解答】解：（1）； （2）∵， 反之， ∴； （3）， 反之， ∴． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式题17-3】．（2024-2025•海安市期末）【阅读材料】 小慧同学数学写作片段 乘法公式“大家族” 学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2”“完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如， （a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （x+m）（x+n）＝x2+（m+n）x+mn； （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． … 【解题运用】 （1）在实数范围内因式分解： 　　 ； （2）设x，y满足等式x2+2xy+y2﹣12x﹣12y+36＝0，求2x+2y的值； （3）若正数a，b满足等式，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）12；（3）． 【分析】（1）根据公式：（x+m）（x+n）＝x2+（m+n）x+mn，将原式进行分解即可． （2）利用公式法，将x2+2xy+y2﹣12x﹣12y+36转化成（x+y﹣6）2，可得x+y＝6，求出2x+2y即可． （3）根据公式：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），将分解成，再根据，求出，代入计算即可． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）因为x2+2xy+y2﹣12x﹣12y+36＝0， 即（x+y）2﹣12（x+y）+36＝0， 即（x+y﹣6）2＝0， 所以x+y﹣6＝0， 即x+y＝6， 2x+2y ＝2（x+y） ＝2×6 ＝12； （3）因为， 所以， 即ab＝b2﹣a2，即， ． 【点评】本题考查了分式的混合运算、规律型：数字的变化类、整式的混合运算、因式分解﹣十字相乘法等、实数范围内分解因式，解决本题的关键是掌握因式分解的基本方法，牢记公式． 【题型18】因式分解中的新定义问题（拓展） 1. 知识点 核心：根据题目给出的新定义（如“完美数”“智慧数”“最佳分解”等），结合因式分解的知识解决问题。 常见新定义类型： ①“完美数”：能表示为两个整数平方和的数（如，是完美数）； ②“智慧数”：能表示为两个正整数平方差的数（如，是智慧数）； ③“最佳分解”：将数分解为两个正整数的积，使两数差最小（如的最佳分解为，定义）。 2. 考点 根据新定义判断数的类型（如判断是否为完美数）。 结合因式分解求新定义中的参数或函数值（如求，的最佳分解为，）。 3. 易错点 误解新定义：如“智慧数”要求“两个正整数的平方差”，易误代入非正整数（如），导致错误。 分解不彻底或找错最佳分解：如的分解有、、，易误选（差为），正确选（差为，最小）。 4. 解题技巧 步骤：①仔细阅读新定义，明确要求（如“正整数”“平方和/差”“差最小”等）；②结合因式分解知识，按定义操作（如分解数、计算差值、判断类型）；③验证结果是否符合定义要求。 举例法：若对新定义不熟悉，可先举简单例子理解（如理解“智慧数”时，先计算、，明确智慧数的特征）。 【例题18】．（2024-2025•郴州期末）定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为非零整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，74是“完美数”，因为52+72＝74，所以74是“完美数”．已知13是“完美数”，将13写成a2+b2（a，b为非零整数）的形式为　22+32　 ．若S＝k﹣3是一个“完美数”，且5＜S＜10，则k＝　11　 ． 【答案】22+32；11． 【分析】根据“完美数”的定义解答即可． 【解答】解：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为非零整数）的形式，则称这个数为“完美数”． ∵13＝4+9＝22+32； ∴13写成a2+b2（a，b为非零整数）的形式为22+32； ∵5＜S＜10，且S为整数， ∴S取6，7，8，9， ∵S＝k﹣3是一个“完美数”，且只有8＝22+22是“完美数”， ∴k﹣3＝8， 即k＝11． 故答案为：22+32；11． 【点评】本题主要考查了新定义，正确进行计算是解题关键． 【变式题18-1】．（2024-2025•来宾期末）阅读理解——智慧数． 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数x，y的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：16＝2×8＝（5﹣3）×（5+3）＝52﹣32，所以16就是一个“智慧数”，我们可以利用x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）进行研究．现给出下列结论： ①被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； ③所有的正奇数都是“智慧数”． （1）请判断7，24是否为“智慧数”，若是“智慧数”，请将7，24按“16＝52﹣32”照样写出：若不是“智慧数”，则不需写； （2）题中给出的结论，其中正确的结论是　①②　 ；（填序号） （3）把你认为是正确结论的进行说明理由． 【答案】（1）是，7＝42﹣32；24＝72﹣52 （2）①② （3）①假设存在正整数x、y，使得x2﹣y2＝4k+2（k为整数）， 又x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），即两数乘积是偶数，由此知道（x+y）、（x﹣y）均是偶数， 那么（x+y）（x﹣y）就能被4整除，这与被4除余2相矛盾， 因此，被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②设能被4整除的正整数为4k（k为正整数且k≠1）， 由于x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），不妨令， 从而有（x+y）+（x﹣y）＝2k+2⇒2x＝2k+2． 解得x＝k+1，所以y＝k﹣1， 又因为k为正整数且k≠1， 所以x，y为正整数， 因此，除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”． 【分析】（1）根据平方差公式即可求解； （2）根据平方差公式即可求解； （3）根据平方差公式即可证明． 【解答】解：（1）7，24是“智慧数”， 根据平方差公式可知： 7＝42﹣32；24＝72﹣52； （2）设k为正整数， ∵（k+1）2﹣k2＝2k+1， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数， 故结论③错误， 故答案为：①②； （3）①假设存在正整数x、y，使得x2﹣y2＝4k+2（k为整数）， 又x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），即两数乘积是偶数，由此知道（x+y）、（x﹣y）均是偶数， 那么（x+y）（x﹣y）就能被4整除，这与被4除余2相矛盾， 因此，被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②设能被4整除的正整数为4k（k为正整数且k≠1）， 由于x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），不妨令， 从而有（x+y）+（x﹣y）＝2k+2⇒2x＝2k+2． 解得x＝k+1，所以y＝k﹣1， 又因为k为正整数且k≠1， 所以x，y为正整数， 因此，除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”． 【点评】本题考查了平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法． 【变式题18-2】．（2024-2025•亭湖区三模）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积q（q＝mn）与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当m＝4，n＝5，则q+n＝4×5+5＝25＝52 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设m＜n，m、n是连续的正整数， ∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q+n＝mn+n＝n（m+1）＝n2． ∴q+n一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若（m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，q＝mn），求证：p一定是偶数． 【答案】见试题解答内容 【分析】类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，可得n＝m+2，q＝mn＝m2+2m，然后代入计算即可． 【解答】解：类比猜想：（1）举例验证：当 m＝4，n＝5，则 q﹣m＝4×5﹣4＝16＝42． （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设m＜n，m、n是连续的正整数， ∴n＝m+1； ∵q＝mn， ∴q﹣m＝mn﹣m＝m（n﹣1）＝m2． ∴q﹣m一定是正数m的平方数． 深入思考：∵m，n为两个连续奇数，0＜m＜n， ∴n＝m+2， ∴q＝mn＝m2+2m， ∴， ∴p一定是偶数． 【点评】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简，理解题意、依照顺序逐次解答是解题的关键． 【变式题18-3】．（2024-2025•宜兴市校级月考）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：，例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是最佳分解，所以． （1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数，对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝ 　1　 ； （2）一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新两位正整数，求证：新两位正整数与原来的两位正整数所得的差是9的倍数． （3）如果一个两位正整数t，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为45，那么我们称这个数t为“吉祥数”，请直接写出满足条件的“吉祥数”中F（t）的值 　1或或　 ． 【答案】（1）1； （2）见解答； （3）1或或． 【分析】（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，即a＝b2，那么a的最佳分解为b×b，因此， （2）设原两位数为10a+b，交换后的新两位数为10b+a．新两位数减去原两位数的差为：（10b+a）﹣（10a+b）＝9b﹣9a＝9（b﹣a） 因此，新两位数减去原两位数的差是9的倍数． （3）设原两位数为10a+b，交换后的新两位数为10b+a．根据题意，有：（10b+a）﹣（10a+b）＝45化简得：9b﹣9a＝45即：b﹣a＝5 因此，满足条件的“吉祥数“为：16，27，38，49． 【解答】（1）解：根据题意，如果一个正整数m是完全平方数，那么m可以表示为m＝n2其中n是一个正整数． 根据最佳分解的定义，m的最佳分解为n×n， 因此 ； 故答案为：1． （2）证明：设一个两位正整数为10a+b，其中a和b都是正整数，且a和b的取值范围为1≤a≤9，1≤b≤9． 交换个位和十位上的数得到的新数为10b+a． 根据题意，新数与原数的差为 10b+a﹣（10a+b）＝9b﹣9a＝9（b﹣a）． 因为a和b 都是正整数，且a和b的取值范围为1≤a≤9，1≤b≤9， 所以b﹣a也是正整数， 因此9（b﹣a）是9的倍数． （3）解：设一个两位正整数为10a+b，其中a和b都是正整数， 且a和b的取值范围为1≤a≤9，1≤b≤9． 交换个位和十位上的数得到的新数为10b+a． 根据题意，新数减去原数等于45， 即10b+a﹣（10a+b）＝9b﹣9a＝45． 解得b﹣a＝5． 因此满足条件的吉祥数有16，27，38，49． 当t＝16时，F（t）1； 当t＝27时，F（t）； 当t＝38时，F（t）； 当t＝49时，F（t）1； 故答案为：1或或． 【点评】本题考查因式分解的应用，解一元一次不等式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 同步练习 选择的答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 C A B A C 一．选择题（共5小题） 1．若20232026﹣20232024＝2024×2023n×2022，则n的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】先提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可得到答案． 【解答】解：原式＝20232024（20232﹣1） ＝20232024（2023﹣1）（2023+1） ＝2022×2024×20232024， ∴n＝2024， 故选：C． 【点评】本题考查的是因式分解，熟知利用提公因式法和公式法因式分解是解题的关键． 2．多项式12ab2﹣8a2bc的公因式是（　　） A．4ab B．4a2b2 C．2ab D．2abc 【答案】A 【分析】根据公因式的定义进行解答即可． 【解答】解：∵12ab2﹣8a2bc＝4ab•3b﹣4ab•2c， ∴12ab2﹣8a2bc各项的公因式是4ab． 故选：A． 【点评】本题考查公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 3．下列各式从左到右变形是因式分解的是（　　） A．4x2﹣4x+1＝4x（x﹣1）+1 B．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y） C．（x+1）（x﹣2）＝x2+x﹣2 D．（x﹣4）2＝x2﹣8x+16 【答案】B 【分析】依据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式积的形式，对每个选项进行判断． 【解答】解：A、4x2﹣4x+1＝4x（x﹣1）+1右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）是因式分解，选项计算正确，符合题意； C、（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2属于整式乘法，计算有误，不是因式分解，不符合题意； D、（x﹣4）2＝x2﹣8x+16属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了因式分解的定义掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式这一概念是解题的关键． 4．若n为任意整数，且（n+11）2﹣n2的值总可以被k整除，则k等于（　　） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 【答案】A 【分析】要求k的值，就要知道多项式（n+11）2﹣n2的值是谁的倍数，也就是说把（n+11）2﹣n2化成几个式相乘的形式，根据平方差公式对（n+11）2﹣n2进行因式分解，看分解后的因式里含有哪一个常数，就可解决问题． 【解答】解：（n+11）2﹣n2＝（n+11+n）（n+11﹣n）＝11（2n+11）． ∵11（2n+11）是11的倍数， ∴（n+11）2﹣n2可以被11整除， ∴k＝11． 故选：A． 【点评】本题考查因式分解的应用，关键是掌握公式法因式分解的知识． 5．小月是一位密码爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：多项式a+b，a﹣b，a2﹣b2，c+d，c﹣d，c2﹣d2依次对应下列六个汉字：我、爱、美、新、余、学，现将多项式（a2﹣b2）c2﹣（a2﹣b2）d2进行因式分解后，其结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美学 B．我爱学 C．我爱新余 D．美学 【答案】C 【分析】先把多项式因式分解，再根据密码信息确定即可． 【解答】解：原式＝（a2﹣b2）（c2﹣d2） ＝（a+b）（a﹣b）（c+d）（c﹣d）， a+b，a﹣b，c+d，c﹣d分别对应汉字我、爱、新、余， 呈现的密码信息可能是我爱新余， 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解方法． 二．填空题（共5小题） 6．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　x2+6x+8＝（x+2）（x+4）　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【解答】解：四个独立图形的面积和：x2+2x+4x+4×2＝x2+6x+8， 组合图形面积：（x+2）（x+4）， ∴x2+6x+8＝（x+2）（x+4）， 故答案为：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）． 【点评】本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 7．若a+b＝4，则3a2+6ab+3b2﹣47的值为　1　 ． 【答案】1． 【分析】先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案． 【解答】解：3a2+6ab+3b2﹣47＝3（a2+2ab+b2）﹣47＝3（a+b）2﹣47， ∵a+b＝4， ∴原式＝3×42﹣47＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键． 8．分解因式：x2y﹣25y＝　y（x+5）（x﹣5）　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解． 【解答】解：x2y﹣25y ＝y（x2﹣25） ＝y（x+5）（x﹣5）． 故答案为：y（x+5）（x﹣5）． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键． 9．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x+y）（x﹣y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x+y＝18，x﹣y＝0，x2+y2＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式4x3﹣xy2，取x＝10，y＝5时，用上述方法产生的密码是　102515（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【答案】102515（答案不唯一）． 【分析】根据4x3﹣xy2＝x（2x+y）（2x﹣y）或x（2x﹣y）（2x+y）或（2x+y）x（2x﹣y）或（2x+y）（2x﹣y）x或（2x﹣y）x（2x+y）或（2x﹣y）（2x+y）x，把x＝10，y＝5代入即可得到答案． 【解答】解：由条件可知六位数密码为102515或101525或251015或251510或151025或152510， 故答案为：102515（或101525或251015或251510或151025或152510）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 10．已知a，b，c为△ABC三边的长，若b2+2c2+a2＝2c（a+b），则△ABC的形状为　等边三角形　 ． 【答案】等边三角形． 【分析】由b2+2c2+a2＝2c（a+b）可得（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，求出a＝b＝c，因此三角形是等边三角形． 【解答】解：因为b2+2c2+a2＝2c（a+b）， 即b2+2c2+a2﹣2ac﹣2bc＝0， 即（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0， 得：b﹣c＝0，a﹣c＝0， 所以b＝c，a＝c， 所以a＝b＝c， 所以△ABC的形状为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将题干中的式子进行因式分解． 三．解答题（共10小题） 11．如果x2+2（m﹣3）x+25能用公式法分解因式，那么m的值是多少？ 【答案】8或﹣2． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+25能用公式法分解因式， ∴2（m﹣3）＝±10， 解得：m＝8或﹣2． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．分解因式： （1）a2﹣4b2； （2）16x2+24x+9． 【答案】（1）（a+2b）（a﹣2b）； （2）（4x+3）2． 【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）根据完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）； （2）16x2+24x+9＝（4x+3）2． 【点评】本题主要考查公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 13．等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq是数学学习中常见的代数模型． （1）利用多项式的乘法法则推导这个等式． （2）若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释． （3）这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式x2+3x+2． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2），请试着将多项式y2+7y﹣18分解因式． 【答案】（1）推导见解析； （2）见解析； （3）（y﹣2）（y+9）． 【分析】（1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可； （3）仿照题中给出的方法分解因式即可． 【解答】解：（1）根据多项式的乘法：（x+p）（x+q）＝x2+qx+px+pq＝x2+（p+q）x+pq； （2）如图示 大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长×宽＝（x+p）（x+q）， 另一种是四块小长方形面积之和：x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq， 即（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq； （3）y2+7y﹣18＝（y﹣2）（y+9）． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握多项式乘多项式的法则、几何图形面积的求法是解题的关键． 14．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1因式分解． 解：把“x2﹣2x”看成一个整体，令x2﹣2x＝y． 原式＝y（y+2）+1 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2． 任务： （1）材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为　（x﹣1）4　 ． （2）请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式（x2+6x+2）（x2+6x+16）+49因式分解； ②已知m+n＝5，mn＝1，求（m2+1）（n2+1）的值． 【答案】（1）（x﹣1）4； （2）①（x+3）4，②25． 【分析】（1）将（x2﹣2x+1）2继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）①把“x2+6x”看成一个整体，令x2+6x＝y，由（1）同理进行因式分解，即可求解； ②由题意得（mn）2＝1，m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝23，则根据（m2+1）（n2+1）＝（mn）2+m2+n2+1即可求解． 【解答】解：（1）把“x2﹣2x”看成一个整体，令x2﹣2x＝y． 原式＝y（y+2）+1 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝[（x﹣1）2]2 ＝（x﹣1）4． 故答案为：（x﹣1）4； （2）①把“x2+6x”看成一个整体，令x2+6x＝y． 原式＝（y+2）（y+16）+49 ＝y2+18y+32+49 ＝y2+18y+81 ＝（y+9）2 ＝（x2+6x+9）2 ＝[（x+3）2]2 ＝（x+3）4； ②由条件可知（mn）2＝1，m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2＝23， 则（m2+1）（n2+1）＝（mn）2+m2+n2+1 ＝12+23+1 ＝25． 【点评】本题考查了因式分解及其应用，完全平方公式变形的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 15．请利用因式分解说明993﹣99能被100整除． 【答案】993﹣99＝99×100×98． 【分析】将所求式子分解因式，如果100包含在993﹣99的分解项中，则证明能整除100． 【解答】解：993﹣99 ＝99×992﹣99 ＝99×（992﹣1） ＝99×（99+1）×（99﹣1） ＝99×100×98， 其中有一个因数为100， 所以993﹣99能被100整除． 【点评】考查了因式分解的应用，判断一个数能不能整除另一个数就看这个数的分解式中含不含有另一个数，如果含有则能整除，否则不能整除． 16．阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： （1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝　（x﹣9）（2+y）　 ； （2）解决问题：因式分解：ac﹣bc+a2﹣b2； （3）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）（x﹣9）（2+y）； （2）（a﹣b）（a+b+c）； （3）等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）按照已知条件中的方法，把多项式的前两项和后两项分别分成一组，然后提取各组中的公因式，最后再次提取公因式即可； （2）把多项式的前两项和后两项分别分成一组，然后第一组提取各组中的公因式分解因式，第二组利用平方差公式分解因式，最后再次提取公因式即可； （3）先把已知条件中的等式左边的2b2拆成b2+b2，然后把多项式的前三项和后三项分别分成一组，利用完全平方公式分解因式，再根据偶次方的非负性列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c之间的关系即可． 【解答】解：（1）原式＝（2x﹣18）+（xy﹣9y） ＝2（x﹣9）+y（x﹣9） ＝（x﹣9）（2+y）， 故答案为：（x﹣9）（2+y）； （2）原式＝（ac﹣bc）+（a2﹣b2） ＝c（a﹣b）+（a+b）（a﹣b） ＝（a﹣b）（a+b+c）； （3）这个三角形是等边三角形，理由如下： a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0， （a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0， （a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形是等边三角形． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、分组分解因式法和公式法分解因式． 17．定义：若a+b＝n，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与﹣4是关于﹣1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有a＝6x2﹣8kx+4与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数）始终是关于数n的“平衡数”，求n的值． 【答案】3． 【分析】根据题干定义，直接建立等式，然后根据始终是有理数n的“平衡数”，可得到与x的取值无关，从而求出k，即可得出结论． 【解答】解：a+b＝6x2﹣8kx+4﹣2（3x2﹣2x+k） ＝6x2﹣8kx+4﹣6x2+4x﹣2k ＝（4﹣8k）x+4﹣2k， 由条件可知a+b的值与x的取值无关， ∴4﹣8k＝0， 解得：， ∴， 【点评】本题考查新定义问题，涉及到整式的加减计算以及取值无关型问题，理解题意，掌握整式的加减运算法则是解题关键． 18．下面是某同学对多项式（x2﹣3x+1）（x2﹣3x+5）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣3x＝y． 原式＝（y+1）（y+5）+4（第一步）． ＝y2+6y+9（第二步）． ＝（y+3）2（第三步）． ＝（x2﹣3x+3）2（第四步）． 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　B　 ． A．提公因式法 B．公式法 （2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由解题过程可知，利用公式法分解； （2）先换元，再用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）y2+6y+9＝（y+3）2，用到的是公式法； 故答案为：B； （2）设y＝x2+2x， ∴（x2+2x）（x2+2x+2）+1 ＝y（y+2）+1 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2+2x+1）2 ＝（x+1）4． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用换元和整体的数学思想解题是关键． 19．材料：多项式：a4﹣b4因式分解后的结果是（a﹣b）（a+b）（a2+b2），当取a＝9，b＝9时，各个因式的值是a﹣b＝0，a+b＝18，a2+b2＝162，根据每个因式运算结果从小到大排序就可以把“018162”作为一个六位数密码． 任务一： （1）分解因式：4a3﹣ab2 任务二： （2）当取a＝10，b＝5时，请确定产生的六位数密码？ 【答案】（1）a（2a﹣b）（2a+b）； （2）101525． 【分析】（1）先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可； （2）代入a＝10，b＝5到（1）中的各个因式，即可得出答案． 【解答】解：（1）原式＝a（4a2﹣b2） ＝a（2a﹣b）（2a+b）； （2）当取a＝10，b＝5时， 2a﹣b＝2×10﹣5＝15， 2a+b＝2×10+5＝25， 又因为a＝10， 所以这六位数密码为101525． 【点评】本题考查了因式分解、求代数式的值，理解题意是解题的关键． 20．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）知识再现：当x＝　3　 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　3　 ； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　1　 时，y有最 　大　 值（填“大”或“小”），这个值是 　﹣2　 ； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）配方后即可确定最小值； （2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值； （3）首先得到有关x+y的函数关系式，然后配方确定最小值即可； 【解答】解：（1）∵x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3， ∴当x＝3时，有最小值3； 故答案为3，3． （2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∴当x＝1时有最大值﹣2； 故答案为1，大，﹣2． （3）∵﹣x2+3x+y+5＝0， ∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6， ∴当x＝1时，y+x的最小值为﹣6． 【点评】考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大． 学科网（北京）股份有限公司 $