精品解析：广东省汕头市潮阳区华隆发实验学校2025-2026学年上学期第一次月考数学试卷

华隆发实验学校2025—2026学年度第一学期 九年级数学摸底考试卷 （总分：120分；时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ） A. 2023 B. 2015 C. 2021 D. 2019 5. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 6. 用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的方程有实数根．则的值不可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2019年初某市开展了“篮球进园”活动．近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排5天，每天比赛3场，则参加比赛的球队数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 已知a、b是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数x，y满足，则的值是（ ） A. 1或 B. 或2 C. 2 D. 1 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若方程有解，那么的取值范围是_____． 12. 2023年，临邑县某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月元降到元，若平均每月降低开支的百分率为，则可根据题意列出方程为_________． 13. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的面积是_____． 14. 已知、，满足等式：，则______． 15. 如果关于的方程的解是，，那么关于的方程的解是_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分） 16. （1）解方程： （2）公式法解方程：． 17. 已知a，b，c分别是中所对的边的长，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．试判断的形状． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分） 19. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 20. 某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置．在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，到第三天时共有192只鸡发病． （1）每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？ （2）若疫情得不到控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗？ 21. 某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，求矩形菜地的长和宽． 五、解答题（三）（本大题共3小题，第22题13分，第23题14分） 22. 我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得： ③ 将③代入①得： 整理得：，解得， 将，代入③得， ∴原方程组的解为或． （1）请你用代入消元法解二元二次方程组：； （2）若关于x，y的二元二次方程组有实数解，求实数a的取值范围． 23. 综合与运用 如图，在矩形中，点M从A点出发沿以的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，? （2）当t为何值时，的面积是面积的一半? （3）当t为何值时，是以为斜边的直角三角形? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华隆发实验学校2025—2026学年度第一学期 九年级数学摸底考试卷 （总分：120分；时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可． 【详解】∵一元二次方程：等式两边都是等式，只含一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程， ∴A、属于一元二次方程，符合题意； B、不是等式方程，不符合题意； C、含有个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，学会识别一元二次方程． 2. 用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式． 先将方程化为一般形式，然后即可写出、、，本题得以解决． 【详解】解：， ， ，，， 故选：C． 3. 如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将图形利用平移进行转化，可得空白长方形的面积=长×宽，列方程即可． 【详解】利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米． 根据题意可得：． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 4. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ） A. 2023 B. 2015 C. 2021 D. 2019 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程的一个解是，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值代入，即可解答本题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． 5. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得，根据一元二次方程根的定义得，由，整体代入求解即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 6. 用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将将方程化成的形式，进而可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练一元二次方程的解法是解题的关键． 7. 关于的方程有实数根．则的值不可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令，即可求出的取值范围，要注意，．再令方程为一元一次方程，进行解答． 【详解】解：当方程为一元二次方程时，方程有解， 则且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时， 方程有解，则只需， 综上：当时，方程有实数根． ∴四个数中的值不可能是2， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，掌握分类讨论思想是关键． 8. 为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2019年初某市开展了“篮球进园”活动．近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排5天，每天比赛3场，则参加比赛的球队数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【详解】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，， 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 9. 已知a、b是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得，，再通分和进行同分母的加法运算得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 10. 已知实数x，y满足，则的值是（ ） A. 1或 B. 或2 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】令，则，整理为，根据，即可得出答案． 【详解】解：令， ∵， ∴ ∴， ， ， ， ∴或， 解得：或（舍）， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是将看做一个整体． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若方程有解，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一个数的平方是非负数，熟练掌握该特征是解题的关键；本题考查因为方程为形式，左边是一个完全平方式，总是大于等于，所以在有解的情况下要求． 【详解】解：依题意，在方程中，， 故． 故答案为： 12. 2023年，临邑县某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月元降到元，若平均每月降低开支的百分率为，则可根据题意列出方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每月降低开支的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设平均每月降低开支的百分率为，则可根据题意列出方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 13. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的面积是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 这个直角三角形的面积是， 故答案为：2． 【点睛】本题考查解一元二次方程，选择适当的方法解方程是解决问题的关键． 14. 已知、，满足等式：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得出，为以为未知数的一元二次方程的两根，再利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵满足 ∴，为以为未知数的一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，得出，为以为未知数的一元二次方程的两根是解题的关键． 15. 如果关于的方程的解是，，那么关于的方程的解是_____． 【答案】，， 【解析】 【分析】根据关于x的方程的解是，，令关于y的方程中，即可得到，解这个方程组即可得到答案． 【详解】解：∵, ∴, 关于的方程的解是，，令， ∴， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查换元法及一元二次方程解的定义，令关于y的方程中是解决问题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分） 16. （1）解方程： （2）公式法解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法．此题难度不大，注意要按要求解题． （1）利用因式分解法求解即可求得答案； （2）利用公式法即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， ， 解得； （2）， ， ， ∴ ， ． 17. 已知a，b，c分别是中所对的边的长，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．试判断的形状． 【答案】是直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 是直角三角形． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解； （2）根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m都是整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）设该方程的两个根为、， ∵该方程的两个根都是符号相同的整数， ∴，， ∴， ∴m的值为1或2， 当时，方程两个根为、； 当时，方程两个根与不是整数； ∴m的值为1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分） 19. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 【答案】（1）504万元；（2）20%． 【解析】 【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解； (2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解． 【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)， 故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350(1+x)2=504， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置．在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，到第三天时共有192只鸡发病． （1）每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？ （2）若疫情得不到控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗？ 【答案】（1）每只发病的鸡平均每天传染7只鸡 （2）若疫情得不到控制，3天后鸡的发病数会超过1500只 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每只发病鸡平均每天传染只鸡，根据“第一天发现3只鸡发病．到第三天共有192只鸡发病”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据3天后鸡的发病数天后鸡的发病数，即可求出3天后鸡的发病数，再将其与1500进行比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每只发病鸡平均每天传染只鸡， 依题意，得：， 解得：， （不合题意，舍去）． 答：每只发病的鸡平均每天传染7只鸡． 【小问2详解】 解：（只），． 答：若疫情得不到控制，3天后鸡的发病数会超过1500只． 21. 某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，求矩形菜地的长和宽． 【答案】矩形菜地的长为 20 米，宽为 15 米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据矩形边长与绳子长度、门宽的关系列出方程，并结合墙长的限制条件筛选出合理答案． 设垂直于墙的边长为 x 米，用含 x 的式子表示平行于墙的边长（注意门宽对绳子长度的影响）；根据面积公式列一元二次方程并求解；结合墙长限制条件，排除不符合实际的解，确定矩形的长和宽． 【详解】解：设矩形菜地垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米（因留1米宽的门，绳子总长需加1米）． 根据题意，面积为平方米，列方程： 整理得： 解得：， 当时，平行于墙的边长为米，因墙长米，，不符合题意，舍去； 时，平行于墙的边长为米，，符合题意． 答：矩形菜地的长为米，宽为米． 五、解答题（三）（本大题共3小题，第22题13分，第23题14分） 22. 我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得： ③ 将③代入①得： 整理得：，解得， 将，代入③得， ∴原方程组的解为或． （1）请你用代入消元法解二元二次方程组：； （2）若关于x，y的二元二次方程组有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1）原方程组的解为或 （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，读懂题意掌握给出的方法是解题的关键． （1）将前一个方程转化为，代入后一个方程求出x的值，继而利用得出y的值，从而得解； （2）将前一个方程转化为，代入后一个方程得到关于x的方程，然后分所得方程是一元一次方程还是一元二次方程讨论，对于前者直接求解即可，对于后者根据根的判别式与方程的根的关系得出，继而得到关于a的不等式，从而得解． 【小问1详解】 由①，得③ 把③代入②，得． 整理，得． 解得，． 把，代入③，得，． 故原方程组的解为或 【小问2详解】 由①得，得③ 把③代入②，得． 整理，得． ①若，则．此时原方程可化为，解得，符合题意； ②若，则且． 解得且． 综上可知，． 23. 综合与运用 如图，在矩形中，点M从A点出发沿以的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，? （2）当t为何值时，的面积是面积的一半? （3）当t为何值时，是以为斜边的直角三角形? 【答案】（1）1或 （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与动点．熟练掌握矩形性质，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键． （1）根据矩形性质和，得到，根据勾股定理得到，得到，解得； （2）根据，，可得，，根据，得到，解得，取； （3）根据勾股定理得到，当是以为斜边的直角三角形时， ，结合，得到，解得，取． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当t值为1或时，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 化简得， 解得， ∵， ∴， ∴当t值为3时，的面积是面积的一半； 【小问3详解】 解：∵， 当是以为斜边的直角三角形时， ， ∴， 化简得， 解得，（不合题意舍去） 故当t值为时，是以为斜边的直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $