函数的零点（一）学案-2026届高三数学一轮复习

函数与方程（一）

一、课标解读

1.结合学过的函数图象,了解函数的零点与方程解的关系.会判断函数零点所在区间及零点个数.

2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理

二、必备知识

1.函数的零点

函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),我们把使　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 

注：①零点是数，不是点。如：函数f(x)=x2-2x-3的零点是-1和3；  函数f(x)=lg x的零点是1.

    ②三个等价关系:

2.函数零点存在定理

        若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.

三、核心原则‌

‌零点存在性定理‌

‌关键点‌：需验证函数连续性和区间端点符号。

‌零点个数与函数性质‌

（1）‌单调函数‌：至多一个零点（若f(a)⋅f(b)<0则唯一）。

（2）‌非单调函数‌：结合极值、周期性等分析零点分布。

‌解题思想‌

（1）‌数形结合‌：通过函数图象分析零点个数及分布。

（2）‌转化与化归‌：将复杂方程转化为简单函数交点问题。

（3）‌分类讨论‌：针对参数范围分段讨论零点情况。

课堂核心考点

考点一 零点所在区间的判定

例1-1、函数y＝f(x),x∈R的图象连续不断，若f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定区间__________必有零点.

 

例1-2、（多选）方程－x－2＝0的根所在区间为(      ).

        A.(-2,-1)           B.(-1,0)        C.(0,1)       D(1,2)

判断函数y=f(x)在某个区间内是否存在零点的方法

训练1  （人A必修①P144练习T2 改编）函数f(x)=log2 x+x−2 的零点所在的区间为(     ).

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

训练2  （人A必修①P146练习T2 改编）方程2x=3−lg x 的近似解所在的区间为(     ).

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

考点二  函数零点个数的判定

例2-1、函数f(x)=(−27)ln(x−1) 的零点为(     )

A.2，3        B.2     C.(2,0)     D.(2,0),(3,0)

 

例2-2、(1)方程+2x-6=0的实数解的个数为______个

 

（2）函数f(x)=+的零点个数为_______个.

 

函数零点个数的判断方法

训练1    函数f(x)= 的零点个数为(     ).

A.0 B.1 C.2 D.3

训练2    函数f(x)= 的零点个数为(     ).

A.3 B.2 C.7 D.0