专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，浙江专用）高二数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量与立体几何 ☆3大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02点、直线、平面之间的位置关系 考点03空间向量的应用 目目 考点01 空间向量及其运算 一、单选题 1.(2425高二上浙江杭州拱墅区源清中学期中)若{三，石，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的 是() A.b+c,b,b-c B.aa+ba-b C.a+b,a+b+c,c D.atb a-b,c 2.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区期中)已知向量a=(2,0,2),6=（-,1,-), =(1,-2,3),则下列列结论正确的是() A.a与b垂直 B.司与6+共线 C.乃与所成角为钝角 D.7a在元上的投影向量为4C 3.(24-25高二上浙江温州新力量联盟·期中)己知平面内有一个点A(2,~1,2),x的一个法向量为 i=(1,2,3),则下列点P中，在平面内的是() A.(1,2,1)B.(3,0,1) C.(1,1,-1) D.(1,-1,1) 4.(24-25高二上浙江台金七校联盟期中)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是 棱AA1上一点（含端点)，且F它.F=1,则三棱锥F-AED的体积为（) A.言 B.青 C. D.1 5.(24-25高二上浙江浙江星辰联盟期中)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC+C方+BB1=() A.AC B.AB C.AB D.AC, 6.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)如图，在平行六面体ABCD-ABCD'中， AB=3,AD=2,AA=3,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60°，则AC的长为() 1/14 面学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 D B A.V43 B.134 C.V22+21V3 D.130 2 7.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)在空间直角坐标系0xyz中，点 A(0,-1,1),B(-1,-1,-2),点A关于y轴对称的点为C,点B关于平面x0z对称的点为D,则向量C的 坐标为() A.(-1,2,-1)B.(1,-2,1) C.(-1,0,1) D.（1,0,-1) 8.(24-25高二上浙江温州环大罗山联盟·期中)己知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F是AE的 三等分点（靠近A点），用空间向量A店，A记，A}表示D京，则D京=() A.D京=青A店+名AC-A B.D市=A庙+ACA丽 C.D市=A+Ad-A D.D市=A丽-AC+A 9.(24-25高二上浙江杭州S9联盟期中)在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为B1C1中点，若AB=京， AC=6,AA=元，则下列向量中与B方相等的是() A.-+拓+B.a+b+C.-a-扔+D.-拓+ 二、多选题 10.(24-25高二上浙江杭州S9联盟期中)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1, AA1=V2,∠BAA1=∠DAA1=45°，∠BAD=60°，则() D B A.AD]Il (B:B+BC) B.(AA+ADI-AB)2=3AB 2/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.AC·(AB1-Ai)=0 D.AC]=3 三、填空题 11.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)正四面体A-BCD的边长为6，其外接球球心为 点O,P为CD边的中点，点Q在△ABC内部及边上运动，则Pi·P取值范围为 12.(24-25高二上浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊期中)空间中 A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,2),D(0,0,1),E(1,a,b),其中a,b∈R,且DE⊥平面ABC,则a十b 的值为一， 13.(2425高二浙江台州六校联盟期中向量a=(-1,x4)与b=(2x,-8y)共线，且方向相同，则 x+y= 四、解答题 14.(24-25高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)在正四面体0-ABC中，E,F,G,H分别是OA ,AB,BC,OC的中点.设OA=3,OB=bOC= (1)用，6，表示E,FG: (2)求证：FH与GE相交； (3)求证：四边形EFGH为矩形. 15.(24-25高二·浙江台州六校联盟期中)如图，在正四面体0-ABC中，OA=4,M为棱0A的中点，N为 棱BC(靠近C点)的三等分点，设OA=言，OB=b,OC= 3/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M B (1)用a6,表示M: (2)求MN的长 目目 考点02 点、直线、平面之间的位置关系 一、单选题 1.(24-25高二上浙江杭州拱墅区源清中学期中)已知直线m、1,平面、B,且1CB,m⊥c,给出下列 命题： ①若m/,则⊥B;②若m⊥，则//B;③若&⊥B,则m/1;④若x//B,则m⊥1. 其中正确命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊期中)已知直线1不平行 于平面，1中《”是“x内存在无数条直线与1相交”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(24-25高二上·浙江绍兴会稽联盟·期中)已知平面x的一个法向量i=(1,-1,2),A0,1,2是平面ax内一点， P(4,1,3)是平面α外一点，则点P到平面α的距离是() A.6 B.2V2 C.3 D.2V3 4.(24-25高二上浙江金华浙江强基联盟·期中)在正方体ABCD-A1B:C1D1中，以下说法正确的是（) A.若E为DD的中点，则BD1‖平面AEC B.若E为DD的中点，则BD1⊥平面A1EC1 C.若E为C1D1的中点，则AE⊥BD1 D.若E为CD的中点，则CE|BD1 二、多选题 5.(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)在正方体 4/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ABCD-AB1C1D1中，AB=3,点P在△ABA1的内部（含边界）运动，则() A.1CP引的最小值为9 B.|CP1+PA的最小值为E+W6 2 C.三棱锥P-B1CD1体积的取值范围为[号，9] D.当P在棱AA1上运动时，三棱锥P-B1CD1外接球半径的最小值为62-6 6.(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学.期中点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动， 则下列四个结论正确的是() A.三棱锥A-D1PC的体积不变 B.A1P//平面ACD1 C.A1C⊥AP D.平面PDB1⊥平面ACD1 7.(24-25高二上·浙江杭州西湖区之江高级中学期中)如图是底面半径为1，高为2的圆柱体，正六边形 ABCDEF内接于底面圆O,P是上底面圆周上一动点，则下列说法正确的是() M 0 B A.DF//平面PAC B.存在点P,使得OB⊥PC C.当CD与平面PAC所成的角最大时，三棱锥P-ABD的外接球的体积为 D.若M为AA1的中点，则三棱锥M-ACP的体积的最大值为 三、填空题 8.(23-24高二上浙江台州临海灵江中学·月考)如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们 所在的平面所成的二面角D-AB-F的平面角60°，M,N分别是AC,BF上的动点，AM=BN,则MN 的最小值是 5/14 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 E 9.(24-25高二上浙江丽水五校高中发展共同体期中已知空间中三点A(2,2,0),B(0,,)C0,V3,V3 ,则点A到直线BC的距离为_ 四、解答题 10.(24-25高二上浙江杭州拱墅区源清中学.期中)四面体0ABC, ∠A0B=∠B0C=∠C0A=60°，|0A=1,|0B|=2,|0C=4. (1)求△ABC的面积： (2)求OC与平面ABC所成角的正弦值； (3)求四面体OABC的外接球半径. 11.(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊期中)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为a,∠A1AB=∠A1AC=45°，平行于AA1和 BC1的平面分别与AB,AC,AC1A1B1交于D,E,F,G四点. D (1)证明：四边形DEFG是矩形； (2)求三棱锥A1ABC的体积（用含a的式子表示）： (3)当实数α变化时，求直线BC1与平面ABC所成角的正弦值的取值范围. 12.(24-25高二浙江台州六校联盟期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD1平面 ABCD,AB⊥AD,AB=2,且AB<AD,CD=2,∠PAD=120:∠ADC=45° 6/14 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D B (1)求证：平面PAB⊥平面PAD: (②)设AB=AP若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为，求二面角B-PC-D夹角余弦值的大小 13.(24-25高二上浙江杭州拱墅区源清中学.期中)在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形， AB=1,AE⊥平面CDE,AE=DE=V6,F为线段DE上的一点. F (1)求证：平面AED⊥平面ABCD; (2)若二面角E-BC-F与二面角F-BC-D的大小相等，求DF的长. 14.(24-25高二上浙江丽水五校高中发展共同体·期中)如图，已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为 斜边的等腰直角三角形，BC//AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PA中点， D E B ()证明：BE//平面PCD: (2)证明：PB⊥AD: (③)若G是PD线段上一动点，直线CG与平面PCB所成角正弦值为誓，求器的值 15.(24-25高二上浙江A9协作体期中)如图，AB/CD,AD⊥AB,且AB=2CD=2AD=2,平面 ABCD⊥平面BCFE,四边形BCFE为正方形 7/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求证：BF⊥AE (②若点P在线段DF上，且点P到平面ACF距离为号，求平面PAC与平面PAB夹角的余弦值 16.(24-25高二上·浙江绍兴上虞中学期中)图1是直角梯形ABCD,AB//DC,∠D=90°， AB=2,DC=3,AD=V3,C2=2Ei,以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置.且 AC1=3如图2. 图1 图2 (1)证明：AC1⊥BE; (2)求二面角C1AD-B的余弦值 17.(24-25高二上浙江杭州第二中学.期中)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知 AB//CD,AD L CD,AB=AD=CD. (I)求证：CD⊥ED; (2)求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值； (3)线段上EC上是否存在点M,使平面MDF⊥平面BDF?若存在，求出器的值；若不存在，请说明理由. 18.(24-25高二上浙江杭州钱塘联盟·期中)将菱形ABCD绕直线AD旋转到AEFD的位置，使得二面角 E-AD-B的大小为号，连接CF,BE,得到几何体ABE-DCF,已知AB=4,∠DAB=号，M,N分别 为AF,BD上的动点，且器=器=入(0<入<1) 8/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求BE的长； (2)证明：MN//平面CDF; (3)当MN的长度最小时，求直线MN与平面MBC所成角. 目目 考点03 空间向量的应用 一、单选题 1.(24-25高二上浙江杭州（含周边）重点中学期中)已知直线1经过点A(2,3,1),且万=(1,2,1)是1的 方向向量，则点P(4,3,2)到1的距离为() A.9 B. C.4 2 D.14 2.(2425高二上浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)在本学期空间向量与立体几何的学习中，有同学 发现：数轴上，方程Ax+B=0(A≠0)可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy中，方程 Ax+By+C=0(A、B不同时为0)可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O-xyz中，方程 Ax+By+Cz+D=0(A、B、C不同时为0)可以表示坐标空间内的平面过点P(x0yg2o)且一个法 向量为i=(a,b,c)的平面的方程可表示为a(x-xo)+b(yyg)+c(2-2o)=0根据上述材料，解 决下面问题：己知平面的方程为2x+y+1=0,直线1是两平面2x-y+z=0与x+2y+2=0的交线， 则直线1与平面x所成角的正弦值为() A.9 B.9 c. . 3.(24-25高二浙江台州六校联盟期中)在三棱锥D-ABC中，AB⊥BC,AB=V3,BC=1,若AD为三棱 锥D-ABC的外接球直径，且AC与BD所成角的余弦值为点， 则该外接球的表面积为() A.8 B.6T C.5T D.16π 4.(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学.期中四面体ABCD中， AB=AC=BC=2,DA=DB=DC=4,则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比 值是() 9/14 学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 A.5+1 24 B. C.36+1 24 D. 36-1 24 二、多选题 5.(2425高二浙江台州六校联盟期中)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=5,AD=3, 点P是平面ABCD上的动点，满足BD1⊥B:P,() D C A B D C A B A.P在底面ABCD上的轨迹是一条直线 B.三棱锥P-A1B1C1的体积是定值 C,若角6是直线D1P和平面ABCD所成角，则tan6的最大值是5网 D.不存在点P,使得PD1⊥PC 6.(24-25高二上·浙江绍兴会稽联盟·期中)布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形 上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换 成图3所示的几何体若图3中每个正方体的棱长为1，则() G 图1 图2 图3 A.点C,到宣线CQ的距离是写 B.异面直线CQ与BD所成角的余弦值为号 C.直线B1C到平面CGQ的距离是吗 D.直线CQ与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为气 7.(24-25高二上浙江精诚联盟·月考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M为侧面ADD1A1内的一 个动点（含边界），点P、Q分别是线段CC1、BC的中点，则下列结论正确的是() A.存在点M,使得二面角M-DC-P大小为 10/14 专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 点、直线、平面之间的位置关系 考点03 空间向量的应用 地 城 考点01 空间向量及其运算 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理结合基底的定义逐项判断. 【详解】对于A，，所以，三个向量共面，A选项错误； 对于B，，所以三个向量共面，B选项错误； 对于C， ，三个向量共面，C选项错误； 对于D，假设共面，则， 所以，可知该方程组无解，即三个向量不共面，D选项正确. 故选：D. 2．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)已知向量，，，则下列列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．与共线 C．与所成角为钝角 D．在上的投影向量为 【答案】D 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；判断出，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，所以，与不垂直，A错； 对于B选项，，故与不共线，B错； 对于C选项，因为，且、为非零向量，故与所成角为，C错； 对于D选项，在上的投影向量为 ，D对. 故选：D. 3．(24-25高二上·浙江温州新力量联盟·期中)已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，逐个判断即可. 【详解】符合条件的应满足， 对于A，，， 对于B，，， 对于C，，， 对于D，，， 故选：B 4．(24-25高二上·浙江台金七校联盟·期中)正方体的棱长为2，是棱的中点，是棱上一点（含端点），且，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由空间向量数量积确定位置，再由体积公式即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系： 则，设， 则：， 所以，又是棱上一点，所以， 即是棱的中点， 所以三棱锥的体积为， 故选： 5．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)在斜三棱柱中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用空间向量的线性运算即可解. 【详解】三棱柱中，. 故选：C. 6．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以向量为基底向量，表示出，由模长公式求出向量模长即可. 【详解】， ∴， ∴. 故选：A. 7．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求出、的坐标，即可得解. 【详解】因为，则点关于轴对称的点为， 又，则点关于平面对称的点为. 所以. 故选：B. 8．(24-25高二上·浙江温州环大罗山联盟·期中)已知正四面体的棱长为2，E是的中点，F是的三等分点（靠近A点），用空间向量表示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的运算求解即可. 【详解】∵E是的中点，F是的三等分点（靠近A点）， ∴. 故选：C. 9．(24-25高二上·浙江杭州S9联盟·期中)在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合空间向量加减法几何意义化简运算可得. 【详解】如图，三棱柱中，由为中点， 则 . 故选：A. 二、多选题 10．(24-25高二上·浙江杭州S9联盟·期中)如图，在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设，根据空间向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可. 【详解】设. A：， 所以不成立，故A错误； B：， 又， 所以，故B错误； C：， 所以，故C正确； D： ，故D正确. 故选：CD 三、填空题 11．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)正四面体的边长为6，其外接球球心为点O，P为CD边的中点，点Q在内部及边上运动，则取值范围为 . 【答案】 【分析】利用正四面体的性质求出其外接圆圆心，找到空间的三条两两垂直的直线，以此建立空间直角坐标系，写出点坐标，利用基底向量求出平面内动点坐标，并得到参数的取值范围，列出表达式，由参数取值范围求得取值范围. 【详解】如图，在正四面体中，P为CD边的中点，设为的中心， 则，取，连接，则平面， 则其外接球球心为点在直线上，连接， 则，，，， 则 设，则， 又∵，即，解得， ∵平面，平面，∴，， 作，∴ ∴以为坐标轴，为坐标轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， ∵点Q在内部及边上运动 ∴设 即， ∴， 由∵，∴，∴， 故答案为： 12．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 【答案】/1.5 【分析】根据平面ABC，转换为的方向向量与平面ABC的法向量平行即可. 【详解】因为， 所以， 设平面ABC的法向量为， 所以，令，则， 所以 因为平面ABC， 所以，设，， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 13．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)向量与共线，且方向相同，则 . 【答案】14 【分析】根据共线得到等式，计算即可求得结果. 【详解】因为向量与共线，且方向相同， 所以，则， 得到，解得，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 14．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)在正四面体中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设. (1)用表示； (2)求证：FH与GE相交； (3)求证：四边形EFGH为矩形. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，由向量的减法可得答案. （2）证明四边形为平行四边形，从而可证. （3）由空间向量数量积的运算律求出，由，从而可证. 【详解】（1）因为E，F，分别是OA，AB的中点，所以且， 所以． 因为F，G，分别是AB，BC的中点，所以且， 所以． （2）由题意知E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点， 故，同理， 则，即，则四边形为平行四边形， 故FH与GE相交； （3）设正四面体的棱长为，由题意知向量中，两两之间的夹角均为， 由（1）知， 由（2）知，四边形为平行四边形． 又因为，所以， 所以，故．所以平行四边形为矩形． 15．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设. (1)用表示； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用向量减法的三角形法表示，根据空间昂立基本定理用基底表示出来； （2）根据（1）中的结果，代入正四面体的长度和角度，根据数量积的运算律可以求得. 【详解】（1）连接， ，， 则； （2）由（1）可得，所以 ， 因为是正四面体，，故夹角均为， 所以， ，所以，即的长为. 地 城 考点02 点、直线、平面之间的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知直线、，平面、，且，给出下列命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于①：因为，，所以，又因为，所以，故①正确； 对于②：因为，，则或， 若，又，则或与相交； 若，又，则与相交，故②错误； 对于③：由，，所以或， 若，又，所以与平行或异面； 若，又，所以与平行或相交，故③错误； 对于④：因为，，所以，又，所以，故④正确. 故选：B 2．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)已知直线l不平行于平面，“”是“内存在无数条直线与l相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用空间几何直线和平面的位置关系求解即可. 【详解】因为直线l不平行于平面，又， 则直线与平面相交，设 则内存在无数条过点的直线与l相交， 则“”“内存在无数条直线与l相交”， 若“内存在无数条直线与l相交”，且直线l不平行于平面， 则可以. 则“内存在无数条直线与l相交”“”不成立. 故“”是“内存在无数条直线与l相交”的充分不必要条件， 故选：A. 3．(24-25高二上·浙江绍兴会稽联盟·期中)已知平面的一个法向量是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用点到平面的距离的向量坐标公式计算即得. 【详解】由题意，, 点到平面的距离是. 故选：A. 4．(24-25高二上·浙江金华浙江强基联盟·期中)在正方体中，以下说法正确的是（   ） A．若E为的中点，则 平面 B．若E为的中点，则 平面 C．若E为的中点，则 D．若E为的中点，则 【答案】A 【分析】A.利用线面平行的判定定理判断；B.根据 平面，平面与平面平面不平行判断；C.利用余弦定理判断；D.取 CD的中点F，由，判断. 【详解】A.如图所示： 连接AC，BD交于点O，则O为BD的中点，所以，又 平面， 平面，所以 平面，故正确； B. 易知 平面，平面与平面平面不平行，所以与平面不垂直，故错误； C.如图所示： 在矩形中，，设正方体的棱长为1，在中，，则，所以，则不垂直，故错误； D.如图所示： 取 CD的中点F，易知，又，所以不平行，故错误； 故选：A 二、多选题 5．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)在正方体中，，点P在的内部（含边界）运动，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．三棱锥体积的取值范围为 D．当P在棱上运动时，三棱锥外接球半径的最小值为 【答案】ACD 【分析】A项，由线面垂直推得，根据勾股定理可得当取最小值时最小，求解可得；B项，当重合时，取值更小可得B项错误；C项，将点面距转化为面面距，由几何直观可得体积变化情况，求出最大最小值可得；D项建立空间直角坐标系，设出球心，利用向量方法求出球心坐标与坐标关系，求解函数值域即得. 【详解】A项，如图1，连接，由平面，平面， 则，则在中，， 故当取最小值时，最小， 则当点在中点处时，，此时取最小值时（如图2）， ，故A正确； B项，如图3，连接， ，当点与重合时，等号成立， 又 ，故B错误； C项，由为正三角形，且边长为， 则. 如图4，连接， 由，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 则平面，同理平面， 又平面，平面，， 所以平面平面. 由点P在的内部（含边界）运动，过点作与平面平行的平面， 即与平面平行（或重合）的平面， 点到平面的距离即两平行平面的距离， 故随着此平面距离平面越来越远，三棱锥的体积越来越大. 可知当在线段上时，点到平面的距离最小， 此时； 当点在点处时，点到平面的距离最大， 如图5，连接，此时. 所以三棱锥体积的取值范围为，故C正确； D项，如图6，分别以为轴，建立空间直角坐标系， ， 则 则，则， 即即为平面的一个法向量， 由P在棱上运动，可设， 由为正三角形，则其外接圆圆心即为的重心 ， 由，可知四点共线， 故可设三棱锥的外接球球心，半径， 则， 又； 且， 所以，解得， 令， 则 ，当且仅当，即时等号成立. 又在上单调递增，在上单调递减， 且，故 ， 由，， 则当时，取最小值，故D正确. 故选：ACD. 6．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积不变 B．平面 C． D．平面平面 【答案】ABD 【分析】A选项利用三棱锥换底可得，B选项利用面面平行证线面平行，C选项利用三角形中两个直角推导矛盾，D选项利用线面垂直证明面面垂直. 【详解】选项A，因为，而，三角形的面积是定值， 又因为点P在上运动,,平面,所以平面，所以点P到面的距离是定值, 所以三棱锥的体积是定值,故A正确； 选项B，因为,平面,平面，所以平面, 同理平面，且，所以平面//平面, 在平面内,所以平面，故B正确; 选项C，因为平面,平面，所以, 正方形中,,，所以平面, 平面，所以，若，又, 平面，平面，所以平面, 平面，则，又因为, 则与，则中有两个直角，矛盾，所以C错误； 选项D，因为平面，平面，所以, 正方形中,，又,平面，平面, 所以平面,平面，所以, 同理可得,又,平面,平面, 所以平面，又平面，所以平面平面，D正确. 故选：ABD 7．(24-25高二上·浙江杭州西湖区之江高级中学·期中)如图是底面半径为1，高为2的圆柱体，正六边形ABCDEF内接于底面圆O，P是上底面圆周上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．存在点P，使得 C．当与平面所成的角最大时，三棱锥的外接球的体积为 D．若M为的中点，则三棱锥的体积的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据可得选项A正确；根据平面时可得选项B正确；确定三棱锥外接球球心和半径可得选项C正确；等体积转化可得选项D错误. 【详解】A.由正六边形的性质得，， ∵平面，平面，∴平面，选项A正确. B.当平面时，由平面得， 故存在点P，使得，选项B正确. C.由为圆直径得，. 当平面时，由平面得， ∵平面，，∴平面， 此时与平面所成的角最大，为， 记圆柱上下底中心连线的中点为，则， 故为三棱锥的外接球的半径， ∵，∴， ∴三棱锥的外接球的体积为，选项C正确. D.由题意得，. ∵在底面圆上，点到的距离最大，为， ∴当平面时，点到平面的距离的最大值为，三棱锥的体积最大， 此时体积，选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题 8．(23-24高二上·浙江台州临海灵江中学·月考)如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的平面角，M，N分别是，上的动点，，则的最小值是 ．    【答案】/ 【来源】浙江省台州市临海市灵江中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】连接，如图，    由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且， 设，，，则， 且由题意， ∴ ， ， 令，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即的最小值为，即的最小值为， ∴的最小值是． 故答案为：． 9．(24-25高二上·浙江丽水五校高中发展共同体·期中)已知空间中三点，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】空间直角坐标系中在的平分线上，在的平分线上，若面，连接，根据已知坐标及线面垂直的性质求点面距. 【详解】由题设，在的平分线上，在的平分线上，如下图所示， 若面，连接，显然，， 由都在面内，则面， 由面，则，故为等腰直角三角形， 由面，则，即的长度是点到直线的距离， 由题设有，故，则. 故答案为： 四、解答题 10．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)四面体，． (1)求的面积； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求四面体的外接球半径． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理求得的三边，再利用余弦定理求得，进而可得，从而求得面积； （2）过作平面于，过作于，过作于， 连接，根据等体积法求得到平面的距离为，进而可求OC与平面ABC所成角的正弦值； （3）三角形是直角三角形，则设三角形斜边的中点为，过作平面，因为四面体的外心在直线上，设球心为，利用余弦定理求得，设，可得，可求得，进而可求得外接球的半径. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理可得，，， 所以，， ， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以； （2）过作平面于，过作于，过作于， 连接， 因为平面，所以，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，同理可得， 又因为，，所以，所以， 所以，所以是的平分线， 因为，所以，进而在中，可得， 所以， 因为，所以三角形是直角三角形， 设点到平面的距离为，因为， 所以，所以， 所以OC与平面ABC所成角的正弦值为； （3）三角形是直角三角形，则设三角形斜边的中点为，连接， 过作平面，因为四面体的外心在直线上，设球心为， 在中，因为，所以， 由余弦定理可得， 所以，设， 所以，， 因为，所以，整理得， 解得，所以外接球的半径为. 11．(24-25高二上·浙江杭州西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊·期中)如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为a，，平行于和的平面分别与交于四点． (1)证明：四边形是矩形； (2)求三棱锥的体积（用含a的式子表示）； (3)当实数a变化时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）应用线面平行与面面平行的性质定理先证明四边形是平行四边形，再应用面面平行的判定与性质定理证明，通过构造多对全等三角形，证明在底面的射影落在的角平分线上，从而证得，进而由线面垂直判定及性质得到，再由空间平行传递性及线线垂直关系得即可得证结论； （2）先证明三余弦关系，代入已知角求得，解求高，由体积公式可得； （3）由勾股定理求长度，再借助高的平移得，由此表示出，进而求出范围. 【详解】（1）因为平面，平面平面，平面， 所以，同理，则. 由三棱柱可知，平面平面， 又平面平面，且平面平面， 所以，所以四边形是平行四边形. 由，平面，平面， 所以平面， 又平面，， 又平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，且平面平面， 所以. 过作平面，垂足为，在平面内过作，垂足为， 作，垂足为，连接， 所以平面，，同理，，. 因为平面，平面，， 所以平面，平面， 则，同理. 在与中，为公共边，且， 故与全等，故， 在与中，，又为公共边， 则与全等，则， 所以即为的角平分线， 又为等边三角形，故，又， 因为平面，平面，， 所以平面，平面， 所以，又，， 所以有，故四边形为矩形. （2）由为等边三角形，且边长为，则， 在中，；在中，； 在中，； 所以， 即，则， 则三棱锥的高， . （3）由（1）知，，则， 所以在中，， 过作平面，垂足为， 则三棱柱的高也即，由（2）知， 故即为直线与平面所成角， 则， 由，则. 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 12．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)如图，在四棱锥中，平面平面，且，. (1)求证：平面平面； (2)设.若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角夹角余弦值的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由面面垂直的性质得面，根据面面垂直的判定即可证结论； （2）建立合适的空间直角坐标系，根据已知线面角正弦值，应用向量法求得，再由面面角的向量求法求结果. 【详解】（1）在四棱锥中，面面，面，面面， 所以面，又面，所以面面. （2）以A为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，则， 设，则，所以， 设面的法向量为，则，取，则， 所以，即， 化简得，解得或（舍），所以，， 设平面的法向量，且，， 则，取，则， 设二面角的夹角大小为，则， 所以二面角的夹角的余弦值为. 13．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面CDE，，F为线段DE上的一点． (1)求证：平面平面ABCD； (2)若二面角与二面角的大小相等，求DF的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）推导出，，从而面，由此能证明平面平面. （2）取的中点，连结，过作交于，过作交于，连结，推导出就是二面角的平面角，就是二面角的平面角，由此能求出的长. 【详解】（1）∵面，面， ∴，又底面是矩形， ∴，, ∴面，平面， ∴平面平面. （2）取的中点，连结，过作交于，过作交于，连结， ∵，∴且， ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面, 平面,则,,, 平面，∴平面,∴, ∴就是二面角的平面角， 同理是二面角的平面角， 因为二面角与二面角的大小相等, 所以二面角的大小是二面角的大小的二倍, 即：， 平面,， 平面,则, ，则平面,同理可得: , 所以、为直角三角形， 而，则 ∴， ∴，在直角三角形中，，所以. ∴DF的长为. 14．(24-25高二上·浙江丽水五校高中发展共同体·期中)如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点.    (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若是线段上一动点，直线与平面所成角正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设中点为，连接,．证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）取中点记为，连结,，由线面垂直的判定定理证明平面即可； （3）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再由线面角公式计算即可. 【详解】（1）设中点为，连接，．如图①所示， ，分别为，中点， 且， 且， 即四边形为平行四边形， 又平面,平面， 平面. （2）取中点记为，连结,，如图②所示， 由等腰三角形得：, ,且平面, 平面, 平面, （3）由（2）得，为平面与平面所成二面角的平面角， 设则 ，则， 即平面与平面所成二面角的平面角为 如图建立空间直角坐标系， , 设,设平面的法向量为， 由 取，则， 且 令与平面所成线面角为， 由, 得： 解得：（舍去）, 所以.    15．(24-25高二上·浙江A9协作体·期中)如图，，，且，平面平面，四边形为正方形.    (1)求证：. (2)若点在线段上，且点到平面距离为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）首先由勾股定理得出，再根据面面垂直的性质得出，再根据已知条件及线面垂直的证明和性质即可证明； （2）根据已知建立合适的空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面与平面各自的法向量，根据二面角的公式求得所成角的余弦值为. 【详解】（1）证明：如图，连接，，，，    又，， 又平面平面，且交线为， 平面，且平面,， 而四边形为正方形，则，且，平面，平面， 平面，. （2），平面平面，且交线为，平面， 平面，平面，故平面平面， 从而点到平面的距离为点到直线的距离，且为， 又点在线段上，且点到平面距离为， 故点为线段的三等分点（靠近点）. 如图，取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，. 又，，设平面的法向量， 则，不妨令，可得， ，，设平面的法向量， 则，不妨令，可得， 故平面的法向量 设平面与平面所成角为，， 由图可知平面与平面所成角为锐角， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 16．(24-25高二上·浙江绍兴上虞中学·期中)图1是直角梯形，， ，以为折痕将折起，使点到达的位置．且如图2． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）取的中点F，利用条件判定为等边三角形，结合线线垂直判定平面即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，由条件确定从而得出相应点的坐标，由空间向量计算二面角即可. 【详解】（1）取的中点F，连接， 因为， 所以， 则均为等边三角形，所以， 则折叠后有， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）设在底面的投影为O，由上易知O在直线上，且， 所以，即， 所以， 过O作，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令， 即， 而底面的一个法向量为， 易知二面角的一个平面角为锐角，设其为， 所以. 17．(24-25高二上·浙江杭州第二中学·期中)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，． (1)求证：； (2)求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值； (3)线段上EC上是否存在点，使平面平面BDF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，从而可证得结论； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值． （3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出线段上是存在点，使得平面平面，进而可求得的值． 【详解】（1）证明：正方形与梯形所在的平面互相垂直，交线为， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）由（1）可得，，又， 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 设，则,0,，,1,，,0,，,2,，,0,， 取平面的一个法向量， 设平面的一个法向量,,， 因为， 则， 令，则，所以,,． 设平面与平面所成角的大小为， 则． 所以平面与平面所角的余弦值是． （3）设， 由（1）得， 则 ， 又， 设平面的一个法向量为，则， 当时，与重合，则平面即为平面， 易知平面与平面不垂直，故不符合题意。 当时，令，则， 故平面的一个法向量为 若平面平面，则，即，解得， 故，即. 故线段上上存在点，使平面平面，且. 18．(24-25高二上·浙江杭州钱塘联盟·期中)将菱形绕直线旋转到的位置，使得二面角的大小为，连接，，得到几何体，已知，，，分别为，上的动点，且.    (1)求的长； (2)证明：平面； (3)当的长度最小时，求直线与平面所成角. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取AD的中点  O ，连接OE , OB , ED ，利用二面角定义得到为二面角的平面角，并求出各边长，即可得到答案； （2）利用比例相等得到线线平行，进而由线面平行判定定理线面平行，求出平面平面，得到线面平行； （3）作出辅助线，根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并表达出，即可得最小时、的坐标，从而可表示出平面的法向量，即可借助空间向量夹角公式求出答案. 【详解】（1）取的中点，连接， 由题意可得是边长为4的正三角形， 则，且， 所以为二面角的平面角，即， 则为正三角形，所以； （2）在上取点，使得，连接， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以，又，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为且都在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面； （3）取的中点，连接，则，且， 由（1）得，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，， 又， 所以，， 连接，则， ， 所以， 故当时，取得最小值，且最小值为3，则的最小值为， 此时，，则， 设平面的法向量为， ， 取，则，，即， 则， 设直线与平面所成角为， 则，即， 直线与平面所成角为. 地 城 考点03 空间向量的应用 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江杭州（含周边）重点中学·期中)已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和点，则. 向量在上的投影长度. 先求.再求.所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 先求.则. 故选：C. 2．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)在本学期空间向量与立体几何的学习中，有同学发现：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy中，方程（A、B不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（A、B、C不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个平面相交求出直线的方向向量，结合线面角的公式可得答案. 【详解】由题意平面的法向量为， 设直线l的方向向量为，则， 令，则，即； 设直线l与平面所成角为，则. 故选：D 3．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与所成角的余弦值列方程，求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设外接球的半径为，则，由于是外接球的直径， 所以， ，所以， 所以，所以， 所以， ， 设与所成角为，则， 整理得，所以外接球的表面积为. 故选：A    4．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由外接球的定义结合勾股定理代入计算，即可得到外接球的半径，再由等体积法代入计算，即可得到内切球的半径，从而得到结果. 【详解】 由题意可知，底面为等边三角形，设点在底面的投影为， 则, 设外接球的球心为，则在上，设外接球的半径为， 在中，， 设，则，解得， 所以，所以， 又，则， 设内切球的半径为，四面体的表面积为， 且是全等的等腰三角形， 腰长为，底边长为，则高为， 所以， 则，即，解得， 则. 故选：B 二、多选题 5．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)如图，在长方体中，，点是平面上的动点，满足，（    ） A．在底面上的轨迹是一条直线 B．三棱锥的体积是定值 C．若角是直线和平面所成角，则的最大值是 D．不存在点，使得 【答案】ABC 【分析】在上取，连接并延长交延长线于，并证明，结合已知即得在底面上的轨迹是直线、且面，判断A、B；先找到直线和平面所成角的平面角，再确定取最大时的位置，即可判断C；问题化为判断是否存在使，即可判断D. 【详解】A：在上取，连接并延长交延长线于， 在和中，且， 所以 ，则， 所以，由长方体性质易得，而都在面内， 所以面，面，故， 根据题设，易知，，同理可证， 由且都在面内，所以面， 即面，又面面，由， 只需在直线，即在底面上的轨迹是一条直线，对； B：由长方体的结构特征知：面，即面， 所以到面的距离恒定不变，即三棱锥的体积是定值，对； C：由面，易知是直线和平面所成角的平面角， 所以，要使该值最大，只需最小，显然当时最小， 而，，且， 所以，则，则，，故，对； D：由面，面，则， 若存在，使，又且都在面内， 此时面，面，只需， 显然，在面上以为直径的圆与的交点作为点，满足， 故存在点，使得，错. 故选：ABC 6．(24-25高二上·浙江绍兴会稽联盟·期中)布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为，则（    ） A．点到直线的距离是 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线到平面的距离是 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】易知可将该组合体补全成棱长为的正方体，建立空间直角坐标系，利用坐标法可得空间距离与夹角. 【详解】 如图所示，易知可将该组合体补全成棱长为的正方体， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则，，，， A选项：，则， 所以到直线的距离，A选项正确； B选项：，则异面直线与所成角的余弦值为，B选项错误； C选项：易知直线，且平面，平面， 则平面， 所以直线到平面得距离及为点到平面的距离， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 即直线到平面的距离为，C选项正确； D选项：易知平面的应该法向量为， 则，即直线与平面所成角的正弦值为，D选项正确； 故选：ACD. 7．(24-25高二上·浙江精诚联盟·月考)正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点M，使得二面角大小为 B．最大值为6 C．直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为 D．当时，则三棱锥的体积为定值. 【答案】BCD 【分析】由题意得到二面角的平面角,其中，可得判定A错误；建系求出点及向量，再应用向量的数量积坐标表示计算最值判断B,根据线面角得出的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧判断C,应用向量垂直得出点的位置，再应用等体积法求体积即可判断D. 【详解】在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，A错误； 如图建系，设， ， 存在时，取最大值为6，B正确； 设面法向量为，直线与面所成角为时， 可得，所以， 则点M的轨迹是以为球心，2为半径的球， 点M为侧面内的一个动点，则点M的轨迹在侧面内是以为圆心，2为半径的劣弧， 如图所示，分别交，于，，如图所示，，则， 则，劣弧的长为，C正确 当时，， 所以，所以，可得为， 则三棱锥的体积为， 所以当时，三棱锥的体积为定值，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 8．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)正六棱台上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的体积是 ． 【答案】 【分析】由正六边形性质求相应长度和面积，借助于轴截面求高，进而可得体积. 【详解】对于正六棱台， 由正六边形性质可知，， 且上、下底面面积分别为， 根据轴截面，可知为等腰梯形， 则高，即正六棱台的高为， 所以正六棱台的体积是. 故答案为：. 9．(24-25高二上·浙江台金七校联盟·期中)在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】如图，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，故， ，，设平面的法向量为， 则，令，则 ， 故点到平面的距离为：. 故答案为：. 四、解答题 10．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)在长方体中，，点M为棱上的动点（含端点）. (1)求二面角的余弦值； (2)当的长度为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 【答案】(1) (2), . 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，求出两个面的法向量，由空间向量的夹角的余弦值求出二面角的余弦值； （2）由（1）得到平面法向量，由空间向量夹角的余弦值列出线面角的正弦值的代数式，构造函数，利用基本不等式求出函数的范围，从而知道线面角的正弦值的范围，并求出何时取得最小值. 【详解】（1）以长方体的顶点为坐标原点，为坐标轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设向量为平面的一个法向量， 则，令，则，即， 在长方体中平面，∴平面的一个法向量为， 设二面角为，由图知该角为锐角， 则. （2）由（1）可知平面的一个法向量为， 设，则，则， 设直线与平面所成角为， 则， 设, ∵，∴， ∴， ∵，∴，结合函数在上单调递减， ∴， 即， ∴ ∴当时，取最小值，最小值为，此时. 11．(24-25高二上·浙江杭州西湖区之江高级中学·期中)在直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为CD的中点． (1)求证：平面ABC； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可证得结论成立； （2）利用空间角的向量求法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， ∴， 由题意得，平面的一个法向量为， ∴，故， 平面，∴平面. （2）由（1）得，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， ∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 12．(24-25高二上·浙江温州十校联合体·期中)如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点， (1)若点为BC中点，证明： (2)在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值 (3)求线段长的最小值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证法1：由等腰三角形的性质得，由线面垂直的性质得，则得平面，再证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论；证法2：在中求出，在中求出，从而可求出，再在中求出，最后在中利用勾股定理的逆定理可证得结论； （2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴，然后利用空间向量求解即可； （3）法1：以的中点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中为轴，轴的正半轴，设，由表示出，从而可表示出，进而可求出其最小值；法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为，可得点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧，从而可求得结果. 【详解】（1）法1：因为为正三角形，点为BC中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以； 法2：因为为正三角形，点为BC中点，， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为， 所以，则， 因为为正三角形，点为BC中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以， 所以， 所以； （2）由（1）知， 则以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴， 则 ， 设平面PAC的法向量为，则 ，令，则法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面PAC与平面ACF夹角为， 则， 即平面PAC与平面ACF夹角的余弦值为； （3）法1：以的中点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中为轴，轴的正半轴，则， 设 ， ， 令 则， 在上单调递减，上单调递增 当时，， 法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为， 且平面， 点的轨迹为以PA为直径，即的球与平面PBC的相交圆弧， 由（1）可知，，相交圆半径， 点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧， ， 13．(24-25高二上·浙江杭州S9联盟·期中)四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)存在， 【分析】（1）如图，由平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角系，利用空间向量法求解点面距即可； （3）假设存在点满足题意，令（），利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）取中点，连接，，则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）由已知得，，，， ，， 又平面，平面， 所以，建立如图空间直角系. 则，，，，，. 显然平面的法向量，， 点到平面的距离. （3）假设存在点满足题意，令，，则， 显然平面的法向量，设平面的法向量为 由，取， ， 即，解得. ，，. 记与平面所成角为， 则. 存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 14．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，.    (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点，或，证明见解析. 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形得 ，从而得到线面平行； （2）由题意易知是四棱锥的高，设，根据体积求出，建立空间直角坐标系，设，由线面角得到方程，即可得结论. 【详解】（1）取中点，连接，又分别为的中点，    ，，底面四边形是矩形，为棱的中点， ，，则 ，， 故四边形是平行四边形，所以 . 又平面，平面，可得 平面. （2）在棱上存在点，且或，证明如下， 在等边中S在平面上的射影为中点P， 所以面，则是四棱锥的高. 设，则，结合，知矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，在面ABCD内过点P作垂线为y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，    故， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，. 由题意， 整理得，解得或， 所以存在点，或时，使直线与平面所成角的余弦值为. 15．(24-25高二上·浙江91高中联盟·期中)如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为.    (1)求异面直线与所成的角； (2)求的取值范围； (3)求四面体的体积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的平行线，过点作的平行线交于点，可得是异面直线与所成的角，再根据几何关系求解即可； （2）思路一：建立空间直角坐标系，求出点的轨迹，进而可得的取值范围； 思路二：由空间向量的线性运算可得，进而可得范围. （3）先求得，思路一：设，，根据基本不等式求得，范围，进而可得最大值. 思路二：直接根据结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）如图，过点作的平行线，过点作的平行线交于点，    则有是异面直线与所成的角或其补角. 因为，， 所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，， 所以，所以，， 所以异面直线与所成的角为. （2）如图，过的中点分别作，的平行线，， 以为坐标原点，的外角平分线、内角平分线分别为轴，轴， 过点并且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系.    由题意可知，，设,， 则，， 从而，且. 所以. 思路一：因为，，， 所以，， 所以，即. 所以点的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为. 点，所以. 思路二：设在，上的投影分别为，则且， 则、分别为平行四边形的两条对角线，则为中点. 故， 可得 ， 因为，则，所以. （3）由题意异面直线，所成角为，则到平面的距离， 故，    思路一：不妨设，， 则， 故， 从而，此时. 思路二：因为， 故， 从而，此时，. 16．(24-25高二上·浙江A9协作体·期中)在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示.（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量.有四个平面，，， (1)若平面与平面互相垂直，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为； (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，求该四面体的体积. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据两平面垂直法向量关系运算得解； （2）根据空间点到平面的距离向量公式运算得证； （3）联立可求得顶点，同理可求得其它顶点坐标，设外接球球心为，根据接球半径，求得球心的坐标，进而求得顶点的坐标，利用（2）的结论求出四面体的高，运算求得四面体的体积. 【详解】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故. （2）不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为. （3）由解得交点， 同理，可得其它交点，，， 又四面体外接球体积为，故外接球半径， 设球心为，则，即有 得或， 当球心坐标为时，，得（舍去）， 当球心坐标为时，， 得（舍去）或，故， 所以到平面即的距离为 ， 又是正三角形，所以， 故. 17．(24-25高二上·浙江G5联盟·期中)如图，等腰直角三角形中，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求平面与平面夹角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由折叠可证线面垂直，由线面垂直的性质可证明结论. （2）建立空间直角坐标系，表示各点坐标，计算平面法向量，利用公式计算平面夹角的余弦值. （3）建立空间直角坐标系，设，利用“二面角为”表示点坐标，根据线面角的向量公式求的长. 【详解】（1）∵，， ∴，即，， ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. （2）∵二面角是直二面角，∴平面平面， ∵平面平面，，平面，∴平面， 如图，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ∴，. 设平面法向量为， ，令，则，，故， 由题意得，平面法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. （3） 分别以、所在直线分别为轴、轴，过作平面的垂线为轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， 由（1）得，二面角的平面角为，即，故， ∴，. 由题意得，平面的法向量为， ，解得， ∴存在点，. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $