2.2.2有理数的四则混合运算（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版七年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 2.2.2有理数的四则混合运算（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 ：有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 要点诠释： 约分与化简 ：乘除运算中优先约分，减少计算量；  符号统一 ：确定符号后再计算绝对值，避免重复计算； 灵活运用运算律 ：如交换律、结合律、分配律，简化复杂运算 题型1有理数乘除混合运算 例1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】．（　　） A．2 B． C．1 D．4 【变式1-2】．计算： (1)； (2)． 【变式1-3】．阅读下面的解题过程．请认真阅读并解答相关问题． 计算：． 解：原式……………………………………第一步 ……………………………………第二步 ……………………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)上面解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)写出正确的解答过程． 题型2有理数乘除运算中的简便运算 例2．计算：． 【变式2-1】．递等式计算（能简算的要简算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式2-2】．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式2-3】．计算：． 知识点2 ：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的。 要点诠释： 易错点与技巧 小数与分数转换 ：将小数化为分数或带分数化为假分数，便于约分计算。 凑整法 ：通过调整计算顺序（如先计算整数部分或分母相同的分数）简化运算。 相反数结合 ：互为相反数的数先相加得0，减少计算量 题型3有理数加减乘除混合运算 例3．用你喜欢的方法计算（写出计算的主要过程）． (1) (2) (3) (4) 【变式3-1】．计算，能简算的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【变式3-2】．计算题： (1)； (2)． 【变式3-3】．计算： (1) (2) 知识点3 ：有理数的加减乘除混合运算的应用 （1） 根据实际问题分析题意，列出数学算式； （2） 通过有理数的运算解决问题。 要点诠释： 单位统一 ：如温度、海拔等实际问题中，需先统一单位再计算。 逆运算检查 ：通过乘除法验证加减法结果，或通过除法验证乘法结果. 题型4有理数加减乘除混合运算的应用 例4．如果高度每增加，气温大约下降．现在地面的气温是，某飞机在该地上空处，则此时飞机所在高度的气温是多少？ 【变式4-1】．已知一个热气球向空中运动，高度每升高，气温下降． (1)若地面气温为，求离地面高度为的高空的气温； (2)若地面气温为，热气球升高后，测得空中的温度为，求热气球距离地面的高度． 【变式4-2】．某商店以每件300元的价格购进100件羽绒服，再以每件盈利的价格进行销售．当卖掉60件后，天气逐渐回暖，出现了滞销．此时商店为了尽快卖掉剩余的羽绒服，决定打六折销售，直至全部售完． (1)求打折后每件羽绒服的售价； (2)当全部售完后，这批羽绒服的盈利率是多少？ 【变式4-3】．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走______km；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升．现在的新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元．请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱？ 题型5 含绝对值或特定形式的运算 例5．计算： (1)； (2)． 【变式5-1】．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【变式5-2】．计算： 【变式5-3】．计算： (1)． (2)． (3)． 题型6 有理数混合运算中的新定义运算 例6．已知为有理数，定义一种新运算“”，满足求： (1)； (2)这种新运算“”是否满足类似于乘法的交换律，结合律以及分配律． 【变式6-1】．小芳在学了《有理数的运算》后，对运算产生了浓厚兴趣．她借助所学知识，定义了一种新运算“”，其规则如下：．根据此定义，解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【变式6-2】．【新运算】 (1)定义一种新运算“*”．规定 ，求． (2)定义一种新运算“®”，已知，求的值． 【变式6-3】．我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 题型7有理数混合运算中的程序流程与阅读理解问题 例7．在某一段时间里，计算机按如图所示程序工作，如果输入的数是，那么输出的数是 ． 【变式7-1】．输入数值，按如图所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），求输出的结果． 【变式7-2】．[阅读理解]无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下面的例题： 例题：把和化为分数． 解：因为， 所以． ． ． 解：因为．① ．② 所以由得 ． ． 请用以上方法解决下列问题： (1)把化为分数； (2)把化为分数． 【变式7-3】．数学老师布置了一道思考题“计算”： 小华的解法：； 大白的解法：原式的倒数为……………………第一步 …………………第二步 ……………………………第三步 …………………………………第四步 所以． 观察并思考两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位问学的解法中，_______同学的解答正确； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是________． (3)用一种你喜欢的方法计算： 题型8综合有理数加减乘除混合运算解决实际问题 例8．风华中学校园附近水果超市最近新进了一批草莓，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周草莓的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 15 34 18 22 26 (1)这一周超市售出的草莓哪天的单价最高？最高单价是多少元？ (2)这一周超市出售此种草莓的收益如何？（盈利或亏损的钱数） (3)超市为了促销这种草莓，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过3斤草莓，每斤12元，超出3斤的部分，每斤打九折； 方式二：每斤售价12元，购买一斤草莓就赠送成本价为0.8元的购物袋一个. 有一名顾客想一次性购买6斤草莓，该顾客通过哪种方式购买才会使超市盈利较多？请通过计算说明理由. ． 【变式8-1】．某一出租车一天下午以汉阳商场为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：、、、、、． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车位于汉阳商场什么位置？（提示：画数轴表示） (2)直接写出该出租车在行驶过程中，离汉阳商场最远的距离是___________； (3)出租车按物价部门规定，行程不超过，按起步价10元收费，若行程超过，则超过的部分，每千米加收1.6元，该司机这个下午的营业额是多少？ 【变式8-2】．2024年中考的第一天，为了考生出行方便，出租车司机张华从家出发，在东西走向的大道上免费接送考生，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)若出发地记为0，最后一名考生被送到目的地时，张华在出发地的什么方向，距离出发地点多少千米？ (2)若出租车耗电量为度/千米，张华出发前仪表盘显示电量充足，共13度电，当他送完最后一名考生后，能否顺利开车回家？为什么？ 【变式8-3】．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 七 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知该店前三天共销售该品牌儿童滑板车________辆． (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________辆． (3)该店实行每日计件工资制，每销售一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另外奖励10元；少销售一辆扣10元，那么该店铺的销售人员周一和周二的工资总额是多少元？ ． 例9．折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 【变式9-1】．如图，数轴上点表示的数是，解答下面的问题； (1)点表示的数为______． (2)与点的距离为4的点表示的数为______； (3)若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数______表示的点重合； (4)若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：：______：______． 【变式9-2】．某代驾收费如表： 收费标准 时间段 起步价 里程费 元（含公里） 每公里元，超过公里，每公里加收元 元（含公里） (1)肖叔叔在某周星期五晚上就餐后向该公司叫了一个代驾，将车开到千米（公里）远的家用车库，肖叔叔应付多少代驾费？ (2)段叔叔在某天凌晨也向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费元，此次代驾行驶了多少千米？ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．计算的结果是（    ） A． B．5 C． D． 2．下列计算的过程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列等式成立的是（         ） A． B． C． D． 4．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 5．（商品问题）某商品有两种不同型号，这两种型号都卖了64元，其中一件盈利，一件亏本，两种都卖出，商家（    ） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 6．数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．有理数a、b在数轴上的位置：数轴上在原点左侧，在原点右侧，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列结论：①若，则：②若，则：③三个实数满足，则一定有：④若，则的值为3．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．计算： ． 10．如果对于任意非零有理数a、b，定义运算“※”如下：，则 11．在○中填入1~8这8个数（每个数都只能使用一次），使每个正方形4个顶点上的数的和与大正方形每条对角线上的4个数的和都相等．大正方形每条对角线上的4个数的和等于 ； 12．如果，例如，那么 ． 13．景区乘坐缆车观光游览的价目表如下： 缆车类型 两人车（限乘2人） 四人车（限乘4人） 六人车（限乘6人） 往返费用 100元 140元 190元 某班20名同学一起到该景区游玩，都想坐缆车观光游览，且每辆缆车必须坐满，那么他们的费用最低为 元． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 16．一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 17．身体健康是人生最大的财富．小张老师是某中学“教师跑团”的成员之一，天天坚持跑步锻炼，他每天以3000米为标准，超过记为正数，不足记为负数．下表记录了小张老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)小张老师星期三跑了______米； (2)上周小张老师跑步最多的一天比最少的一天多跑了多少米？ (3)若小张老师跑步的平均速度为200米/分钟，则上周他用了多少分钟跑步锻炼？ 18．【发现问题】小华同学通过初中这段时间以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则是一套来源于生活实际，符合人们认知规律的一种游戏规则． 【提出问题】基于之前的学习和认识，小华同学也定义了一个新的运算“”，满足以下两个要求：①；②，其中可以取任何有理数，问题：求的值． 【分析问题】爱思考的小益同学看到上面的这个问题，做了以下尝试：第一步，先让②中的，于是就有了，由①可以知道____，于是有…记为（1）式．第二步，令②中的，则有，由①可以知道____（用含字母的式子表示）…记为（2）式．结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到____（用含字母，的式子表示）． 【解决问题】的值是_____． 【拓展问题】已知，其中符号“”为绝对值，求的倒数． 19．【综合与实践】加快推进煤矿智能化建设，让矿井更安全高效，智能化煤矿系统能对地下矿井位置、运输时间等多方面实施精准协同控制，从效率、安全、成本上实现可持续发展．某煤矿井下点A的海拔为米，已知从点A到点B的水平距离为100米，每经过水平距离10米海拔上升0.5米，且点B在点A的上方，点A与点B的位置示意图如图所示． (1)求点B的海拔； (2)若点C的海拔为米，点C在点A的正上方，每垂直升高10米用时20秒，求从点A升高到点C所用的时间． 20．绝对值是研究我们数学问题的重要符号． 【代数意义】 正数和 0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 已知：都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： （1）①若，则 ；②若，则 ； 【几何意义】 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值， 表示数轴上表示数a的点和表示数b的点的距离． （2）如图，数轴上点表示，点表示，动点从点出发以每秒个单位的速度向右运动，到达点时停止运动；动点从点出发向以每秒个单位的速度向左运动，几秒后、两点之间的距离是个单位长度？ B 抓核心 三大题型提升练 C 促拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 2.2.2有理数的四则混合运算（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 ：有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 要点诠释： 约分与化简 ：乘除运算中优先约分，减少计算量；  符号统一 ：确定符号后再计算绝对值，避免重复计算； 灵活运用运算律 ：如交换律、结合律、分配律，简化复杂运算 题型1有理数乘除混合运算 例1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)20 (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式1-1】．（　　） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算．把除法变为乘法，再计算多个有理数的乘法即可． 【详解】解： ． 故选：D 【变式1-2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据有理数乘除法运算法则计算即可． （2）先将除法转化为乘法，再运用乘法的分配律进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式1-3】．阅读下面的解题过程．请认真阅读并解答相关问题． 计算：． 解：原式……………………………………第一步 ……………………………………第二步 ……………………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)上面解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一；除法没有分配律 (2)见解析 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的运算法则即可解答； （2）先计算括号，再计算除法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解：第一步开始出现错误，这一步错误的原因是除法没有分配律 故答案为：一；除法没有分配律． （2）解：原式 ． 题型2有理数乘除运算中的简便运算 例2．计算：． 【答案】． 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，乘法运算律，根据有理数的加减乘除混合运算，乘法运算律进行求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． ． 【变式2-1】．递等式计算（能简算的要简算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查有理数的四则运算，有理数乘法运算律，有理数加法中的简便计算，有理数除法的简便计算，解题的关键是熟练掌握运算法则和简便计算． （1）按照运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘法分配律计算即可； （3）按照有理数的乘法结合律计算即可； （4）按照有理数的乘法分配律计算即可； （5）除数和被除数同时乘，再相除即可； （6）把分成个，分别与另外个数相加，再计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式2-2】．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要注意使用运算律进行简便运算. （1）使用乘法交换律进行简便运算； （2）使用乘法交换律进行简便运算； （3）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； （4）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式2-3】．计算：． 【答案】432 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 知识点2 ：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的。 要点诠释： 易错点与技巧 小数与分数转换 ：将小数化为分数或带分数化为假分数，便于约分计算。 凑整法 ：通过调整计算顺序（如先计算整数部分或分母相同的分数）简化运算。 相反数结合 ：互为相反数的数先相加得0，减少计算量 题型3有理数加减乘除混合运算 例3．用你喜欢的方法计算（写出计算的主要过程）． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先利用乘法分配律去中括号内的小括号，然后计算括号，最后把除法变成乘法后计算乘法即可； （2）把原式变形为，再利用乘法计算法则去分母中的小括号，并计算化简即可； （3）把原式变形为，再利用乘法分配律的逆运算法则求解即可； （4）把原式变形为，再合并并利用乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-1】．计算，能简算的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2)39 (3) (4)8 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解决此题的关键是注意计算的正确性；根据有理数的运算步骤先乘除后加减，有括号的先算括号里面的，一步步进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式3-2】．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数加减法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算乘法，再算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-3】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算，乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号，化简绝对值，然后根据有理数加减运算法则计算即可； （2）根据有理数除法法则，乘法的分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 知识点3 ：有理数的加减乘除混合运算的应用 （1） 根据实际问题分析题意，列出数学算式； （2） 通过有理数的运算解决问题。 要点诠释： 单位统一 ：如温度、海拔等实际问题中，需先统一单位再计算。 逆运算检查 ：通过乘除法验证加减法结果，或通过除法验证乘法结果. 题型4有理数加减乘除混合运算的应用 例4．如果高度每增加，气温大约下降．现在地面的气温是，某飞机在该地上空处，则此时飞机所在高度的气温是多少？ 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，利用高度每增加1km，气温大约下降，列出式子求解即可. 【详解】解：由题意，得， 答：此时飞机所在高度的气温是． 【变式4-1】．已知一个热气球向空中运动，高度每升高，气温下降． (1)若地面气温为，求离地面高度为的高空的气温； (2)若地面气温为，热气球升高后，测得空中的温度为，求热气球距离地面的高度． 【答案】 （1）离地面高度为的高空的气温为； （2）热气球距离地面的高度为 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据高度差与温差的变化情况进行求解. 【详解】（1）解：由题意得 ． 故离地面高度为的高空的气温为． （2）由题意得 ． 故热气球距离地面的高度为. 故答案为：（1）离地面高度为的高空气温是；（2）热气球距离地面的高度是. 【变式4-2】．某商店以每件300元的价格购进100件羽绒服，再以每件盈利的价格进行销售．当卖掉60件后，天气逐渐回暖，出现了滞销．此时商店为了尽快卖掉剩余的羽绒服，决定打六折销售，直至全部售完． (1)求打折后每件羽绒服的售价； (2)当全部售完后，这批羽绒服的盈利率是多少？ 【答案】(1)元 (2) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了打折问题和盈利率问题，解题的关键是准确掌握打折公式和盈利率公式． （1）根据打折公式即可求得答案； （2）根据盈利率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：（元） （元） 所以，打折后每件羽绒服的售价为252元． （2）解： 所以，当全部售完后，这批羽绒服的盈利率是． 【变式4-3】．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走______km；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升．现在的新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元．请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1) (2)千米 (3)元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的减法应用，解题的关键是掌握有理数的加减运算，有理数的乘除运算，根据有理数的混合运算，进行解答，即可． （1）根据有理数的减法列式计算即可； （2）将天的里程求和，即可得解； （3）用汽油车的费用减去电车的费用，即可得解． 【详解】（1）解：由表格可知，， ∴这 天里路程最多的一天比最少的一天多走． 故答案为：． （2）解：， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了千米． （3）解： 答：小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省元． 题型5 含绝对值或特定形式的运算 例5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)16 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算 【分析】（1）先去绝对值符号，再计算加、减法可得； （2）先去绝对值符号，再计算除法和乘法可得． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键． 【变式5-1】．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 【变式5-2】．计算： 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则运算，先计算括号内的乘法，再计算括号内的减法，然后计算除法，最后进行加减运算，同时注意绝对值的计算． 【详解】解：原式 ． 【变式5-3】．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2)29 (3) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先计算括号和绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可； （2）先计算括号和绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可； （3）先计算括号和绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型6 有理数混合运算中的新定义运算 例6．已知为有理数，定义一种新运算“”，满足求： (1)； (2)这种新运算“”是否满足类似于乘法的交换律，结合律以及分配律． 【答案】(1) (2)这种新运算“”满足乘法的交换律，不满足结合律和分配律 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，还用到了乘法交换律和加法结合律证明公式的性质． （1）先根据计算括号内的式子，再利用新定义的运算法则计算即可得答案； （2）分别利用新定义的运算法则计算乘法的交换律，结合律以及分配律时的结果，比较即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：这种新运算“”满足乘法的交换律，不满足结合律和分配律． 理由如下： 新运算“”满足乘法的交换律， ∵， ， ∴不满足乘法结合律， ∵， ， ∴， ∴不满足乘法分配律． 【变式6-1】．小芳在学了《有理数的运算》后，对运算产生了浓厚兴趣．她借助所学知识，定义了一种新运算“”，其规则如下：．根据此定义，解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则． （1）根据题意列出算式，然后计算乘法，最后计算加法即可求解； （2）首先计算出，然后代入计算即可． 【详解】（1） ； （2）因为 所以 ． 【变式6-2】．【新运算】 (1)定义一种新运算“*”．规定 ，求． (2)定义一种新运算“®”，已知，求的值． 【答案】(1)1.5 (2)190 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新定义，有理数的运算，解题的关键是： （1）根据新定义分别求出，，即可求解； （2）根据新定义分别求出，，即可求解． 【详解】（1）解∶根据题意，得， ； （2）解：根据题意，得，， 所以． 【变式6-3】．我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 题型7有理数混合运算中的程序流程与阅读理解问题 例7．在某一段时间里，计算机按如图所示程序工作，如果输入的数是，那么输出的数是 ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算、程序流程图与代数式求值 【分析】根据程序框图进行代数式求值，直到符合输出条件即可． 【详解】解：当时，，， 当时，，， 当时，，， 则输出的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式的求值、有理数的乘除混合运算，理解程序框图，正确计算是解答的关键． 【变式7-1】．输入数值，按如图所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），求输出的结果． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键． 把代入程序中计算，判断即可得到结果． 【详解】解：把代入程序得：， ∵， ∴把代入程序得：， ∵， ∴， ∴输出的结果是． 【变式7-2】．[阅读理解]无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下面的例题： 例题：把和化为分数． 解：因为， 所以． ． ． 解：因为．① ．② 所以由得 ． ． 请用以上方法解决下列问题： (1)把化为分数； (2)把化为分数． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的定义、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了无限循环小数，有理数的混合运算，理解题意是解此题的关键． （1）根据题意可得，则可得；然后提取公因式，即，即可求解的值； （2）同理，可得①，②，由，可得，即可求解的值． 【详解】（1）解：因为， 所以， ， ； （2）解：因为①， ②， 所以由，可得， ， ． 【变式7-3】．数学老师布置了一道思考题“计算”： 小华的解法：； 大白的解法：原式的倒数为……………………第一步 …………………第二步 ……………………………第三步 …………………………………第四步 所以． 观察并思考两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位问学的解法中，_______同学的解答正确； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是________． (3)用一种你喜欢的方法计算： 【答案】(1)大白 (2)乘法分配律 (3) 【知识点】倒数、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】（）根据题目中的解答过程即可判断求解； （）根据乘法运算律即可求解； （）仿照大白的解法解答即可； 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：两位问学的解法中，大白同学的解答正确， 故答案为：大白； （2）解：大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：原式的倒数为 ， ∴． 题型8综合有理数加减乘除混合运算解决实际问题 例8．风华中学校园附近水果超市最近新进了一批草莓，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周草莓的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 15 34 18 22 26 (1)这一周超市售出的草莓哪天的单价最高？最高单价是多少元？ (2)这一周超市出售此种草莓的收益如何？（盈利或亏损的钱数） (3)超市为了促销这种草莓，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过3斤草莓，每斤12元，超出3斤的部分，每斤打九折； 方式二：每斤售价12元，购买一斤草莓就赠送成本价为0.8元的购物袋一个. 有一名顾客想一次性购买6斤草莓，该顾客通过哪种方式购买才会使超市盈利较多？请通过计算说明理由. 【答案】(1)周一售出的价最高，最高单价为每斤草莓13元 (2)盈利元 (3)超市希望该同学通过方式一购买才会使超市盈利较多 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题主要考查了正负数的应用，有理数运算的应用，关键是掌握正负数的意义． （1）根据表格数据可直接得到答案； （2）首先计算出以10元为标准时的赢利情况，再计算出10元一斤时的盈利情况，然后相加即可； （3）分别以两种收费方式计算出这名顾客一次性购买6斤草莓的花费，然后进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：星期一的售价最高，售价是：（元； （2）解：（元， （元， （元． 答：盈利元； （3）解：方式一的花费：（元， 超市盈利为：（元 方式二的花费：（元， 超市盈利为： （元）， ∵ 超市希望该顾客通过方式一购买才会使超市盈利较多． 【变式8-1】．某一出租车一天下午以汉阳商场为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：、、、、、． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车位于汉阳商场什么位置？（提示：画数轴表示） (2)直接写出该出租车在行驶过程中，离汉阳商场最远的距离是___________； (3)出租车按物价部门规定，行程不超过，按起步价10元收费，若行程超过，则超过的部分，每千米加收1.6元，该司机这个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)出租车位于汉阳商场东边处 (2)14 (3)故该司机这天的营业额是149.6元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题是实际应用题，充分考查了有理数的四则运算． （1）向东为正，向西为负，结合有理数的加减运算做题即可； （2）按照累计有理数的运算求得离远点最远的位置即可； （3）根据题意求得每次的价格累计即可． 【详解】（1）解：， 故将最后一名乘客送到目的地，出租车位于汉阳商场东边处． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故离汉阳商场最远的距离是向西14， 故答案为：14； （3）解： 元 故该司机这天的营业额是149.6元． 【变式8-2】．2024年中考的第一天，为了考生出行方便，出租车司机张华从家出发，在东西走向的大道上免费接送考生，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)若出发地记为0，最后一名考生被送到目的地时，张华在出发地的什么方向，距离出发地点多少千米？ (2)若出租车耗电量为度/千米，张华出发前仪表盘显示电量充足，共13度电，当他送完最后一名考生后，能否顺利开车回家？为什么？ 【答案】(1)张华在出发地的西边，距离出发地点25千米 (2)不能，见解析 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题主要考查了正数与负数，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．也考查了绝对值的意义和有理数的混合运算． （1）直接将所有数据相加得出答案即可； （2）先算出所有记录数的绝对值与25的和，再乘以度/千米，再与13度电比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ，                      故张华在出发地的西边，距离出发地点25千米. （2）解： （度）度， 则当他送完最后一名考生后，不能顺利开车回家. 【变式8-3】．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 七 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知该店前三天共销售该品牌儿童滑板车________辆． (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________辆． (3)该店实行每日计件工资制，每销售一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另外奖励10元；少销售一辆扣10元，那么该店铺的销售人员周一和周二的工资总额是多少元？ 【答案】(1)296 (2)29 (3) 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用、有理数混合计算的实际应用、有理数减法的实际应用等知识点，理解题意、正确列式并求解是解题的关键． （1）将前三天销售量相加即可解答； （2）用销售量最多的一天减去销售量最少的一天即可解答； （3）用销售应得的工资，加上超过部分的奖金，减去不足部分的罚款即可得到工资总额． 【详解】（1）解：由题意得：（辆）． 故答案为：296． （2）解：（辆）． 故答案为：29． （3）解：∵（辆）， ∴该店铺的销售人员周一和周二的销售量为（辆）， 则该店铺的销售人员周一和周二的工资总额为： （元）． 答：该店铺的销售人员周一和周二的工资总额是元． 例9．折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 【答案】(1) (2)、两点表示的数是、 (3)正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合 【知识点】数轴上的翻折、数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，数字类规律探究； （1）先求出和的中点，再根据对称列式计算即可求解； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动、4次后顶点A落在表示的点处，即可求出正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处，进而即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示的点重合， 数轴上表示的点与表示的点的中点是表示的点． 数轴上表示的点与表示的点重合． 故答案为； （2）数轴上、两点之间的距离为， ， ， 点表示的数为， 点表示的数为． 答：、两点表示的数是、； （3）边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， ∴正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示7的点处 正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示的点处 规律是：正方形滚动第（是正整数）次、第次时，点落在数轴上表示的点处 正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处， 此时，点距离数轴上2表示的点的距离为：， 正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合． 【变式9-1】．如图，数轴上点表示的数是，解答下面的问题； (1)点表示的数为______． (2)与点的距离为4的点表示的数为______； (3)若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数______表示的点重合； (4)若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：：______：______． 【答案】(1)1 (2)5或 (3)0.5 (4)、1008 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的翻折 【分析】本题考查了数轴，关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解． （1）观察数轴，直接得出结论； （2）观察数轴，直接得出结论； （3）A点与表示的点相距4个单位，其对称点为，由此得出与B点重合的点； （4）对称点为，M点在对称点左侧，离对称点个单位，N点在对称点右侧，离对称点1009个单位，由此求出M、N两点表示的数． 【详解】（1）解：由图知点A表示的数为1， 故答案为：1； （2）解：与点A的距离为4的点表示的数是：或5． 故答案为：5或； （3）解：则A点表示的数与重合，则对称点表示的数是，则数B表示的点关于表示的点的对称点是0.5，即B点与表示数0.5的点重合． 故答案为：0.5； （4）解：M、N两点经过（3）中折叠后相互重合知：M与N的中点表示的数为， ∵M、N的距离为2018， ∴M到中点的距离为1009，N到中点的距离为1009， ∵M在N的左侧， ∴M表示的数为，N表示的数为． 故答案为：，1008． 【变式9-2】．某代驾收费如表： 收费标准 时间段 起步价 里程费 元（含公里） 每公里元，超过公里，每公里加收元 元（含公里） (1)肖叔叔在某周星期五晚上就餐后向该公司叫了一个代驾，将车开到千米（公里）远的家用车库，肖叔叔应付多少代驾费？ (2)段叔叔在某天凌晨也向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费元，此次代驾行驶了多少千米？ 【答案】(1)肖叔叔应付元代驾费； (2)此次代驾行驶了千米． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用． （1）根据收费标准，计算里程费，与起步价相加即可； （2）用支付的费用减去起步价，再减去不超过千米的里程费，除以超过千米时每公里的代驾费，与千米相加即可． 【详解】（1）解：（元） 答：肖叔叔应付元代驾费． （2）解：（元） （元） （元） （千米） （千米） 答：此次代驾行驶了千米． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．计算的结果是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除混合运算法则进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 故选D． 2．下列计算的过程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 先算括号，再根据除以一个数，等于乘以这个数的倒数，由此即可求解． 【详解】解： ， 故选：D ． 3．下列等式成立的是（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是掌握乘除混合运算法则及除法法则． 利用乘除混合运算法则及除法法则逐项进行判断即可． 【详解】解：，故A选项成立，B、D选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； 故选：A． 4．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的运算等知识点．理解新运算的计算规则、掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先用新运算法则将原式化成有理数的运算式，然后再计算即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴． 故选：A． 5．（商品问题）某商品有两种不同型号，这两种型号都卖了64元，其中一件盈利，一件亏本，两种都卖出，商家（    ） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，两种型号的商品成本不同，先列式求出各自成本再比较即可． 【详解】解：（元）， （元）， （元）， ，则商家赔了． 故选：B． 6．数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键． 利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出的所有可能的取值． 【详解】解：如果实施5次运算结果为1， 则变换中的第6项一定是1， 则变换中的第5项一定是2， 则变换中的第4项一定是4， 则变换中的第3项可能是1，也可能是8． 则变换中的第3项可能是1，计算结束， ∴1不符合条件，第三项只能是8， 则变换中第2项是． 则的所有可能取值为或5，一共2个， 故选：A． 7．有理数a、b在数轴上的位置：数轴上在原点左侧，在原点右侧，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了数轴上的点，有理数的运算，先根据数轴上点的大小关系得出，，再根据有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】由数轴可得，且， A．，故选项A正确； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D错误．               故选：A． 8．下列结论：①若，则：②若，则：③三个实数满足，则一定有：④若，则的值为3．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、有理数乘除混合运算 【分析】该题主要考查了绝对值的性质和有理数加法和乘除法运算法则，解题的关键是掌握以上知识点． 根据绝对值的性质可判断①②；根据绝对值的性质和有理数加法可判断③；根据绝对值的性质和有理数加法和乘除法可判断④； 【详解】解：①若，则，解得：，故①错误； ②若，如，则，故②错误； ③三个实数满足，， 则有或，故③错误； ④若， 则或，故④错误． 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，解题关键是熟练掌握除法运算法则．根据：除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为： ． 10．如果对于任意非零有理数a、b，定义运算“※”如下：，则 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的除法与减法，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，逐步计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 11．在○中填入1~8这8个数（每个数都只能使用一次），使每个正方形4个顶点上的数的和与大正方形每条对角线上的4个数的和都相等．大正方形每条对角线上的4个数的和等于 ； 【答案】18 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的运算，根据大正方形每条对角线上的4个数的和都相等，则，可得每个正方形4个顶点上的数的和为， 【详解】解：每个正方形4个顶点上的数的和与大正方形每条对角线上的4个数的和都相等． ， 则每个正方形4个顶点上的数的和为． 故答案为：． 12．如果，例如，那么 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据新运算的运算规则，把新运算转化有一般的有理数混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 13．景区乘坐缆车观光游览的价目表如下： 缆车类型 两人车（限乘2人） 四人车（限乘4人） 六人车（限乘6人） 往返费用 100元 140元 190元 某班20名同学一起到该景区游玩，都想坐缆车观光游览，且每辆缆车必须坐满，那么他们的费用最低为 元． 【答案】660 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查最优问题，根据表格中的数据，先计算出三种类型缆车的人均费用，然后可知首选六人车，其次四人车，最后才是两人车，再根据题意，即可计算出最低费用． 【详解】解：乘坐两人车时，每个人的费用为（元）， 乘坐四人车时，每个人的费用为（元）， 乘坐六人车时，每个人的费用为（元）， 由上可得，乘坐六人车，人均费用最低， ∴费用要想最低，尽可能的多乘坐六人车，然后是四人车，最后才是两人车， ∵某班20名同学一起到该景区游玩，都想坐缆车观光游览，且每辆缆车必须坐满， ∴可以乘坐六人车3辆，两人车1辆，费用为（元）， 可以乘坐六人车2辆，四人车2辆，费用为（元）， ∴他们的费用最低为660元， 故答案为：660． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)12 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律，掌握其运算法则是关键． （1）先将除法变乘法，再根据有理数乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变乘法，再根据有理数乘法，加减运算法则计算即可； （3）先将除法变乘法，再根据有理数乘法分配律的逆运算计算即可； （4）运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)895.5 (2)9 (3)10.2 (4)25 (5)3.9 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了四则运算的简便计算，解题的关键是灵活运用运算定律． （1）将199转化为200－1，利用乘法分配律简便计算； （2）利用加法交换律和结合律以及减法的性质进行简便计算； （3）通过变形，利用乘法分配律简便计算； （4）把、、都转化为0.25，再利用乘法分配律计算； （5）利用乘除法的运算性质进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 16．一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【答案】(1)B地在A地东边距离A地10千米处 (2)右边，97千米 (3) 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）将行驶路程记录的数据相加，根据结果进行判断即可； （2）求出每次与出发地的距离，然后进行判断即可； （3）先求出需要的燃油，然后求出需要补充的燃油即可． 【详解】（1）解：∵（千米）， ∴B地在A地东边距离A地10千米处． （2）解：； ； ； ； ； ； ； ； ∴检修车离出发地A最远时在A地的右边，距离A地97千米． （3）解： ， ， 答：检修车在检修过程中至少还需补充燃油． 17．身体健康是人生最大的财富．小张老师是某中学“教师跑团”的成员之一，天天坚持跑步锻炼，他每天以3000米为标准，超过记为正数，不足记为负数．下表记录了小张老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)小张老师星期三跑了______米； (2)上周小张老师跑步最多的一天比最少的一天多跑了多少米？ (3)若小张老师跑步的平均速度为200米/分钟，则上周他用了多少分钟跑步锻炼？ 【答案】(1)2800 (2)多跑了750米 (3)分钟 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据星期三跑步情况为，且结合每天以3000米为标准，超过记为正数，不足记为负数，进行列式计算，即可作答． （2）跑步最多的一天是星期日，跑步最少的一天是星期五，再进行列式计算，即可作答． （3）先运算总的跑步路程，再除以速度，得出上周他跑步锻炼的时间，即可作答． 【详解】（1）解：（米）， ∴小张老师星期三跑了2800米； （2）解：（米）， 答：上周小张老师跑步最多的一天比最少的一天多跑了750米； （3）解：（米）， （分钟） 答：上周他用了108.5分钟跑步锻炼． 18．【发现问题】小华同学通过初中这段时间以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则是一套来源于生活实际，符合人们认知规律的一种游戏规则． 【提出问题】基于之前的学习和认识，小华同学也定义了一个新的运算“”，满足以下两个要求：①；②，其中可以取任何有理数，问题：求的值． 【分析问题】爱思考的小益同学看到上面的这个问题，做了以下尝试：第一步，先让②中的，于是就有了，由①可以知道____，于是有…记为（1）式．第二步，令②中的，则有，由①可以知道____（用含字母的式子表示）…记为（2）式．结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到____（用含字母，的式子表示）． 【解决问题】的值是_____． 【拓展问题】已知，其中符号“”为绝对值，求的倒数． 【答案】【分析问题】；【解决问题】12；【拓展问题】或 【知识点】求一个数的绝对值、有理数四则混合运算 【分析】本题考查定义新运算，按照题中所给步骤依次计算即可得到答案． 【详解】【分析问题】由知； 令②中的，则有， 即， 即； 由及可知，； 故答案为：； 【解决问题】由可知：； 故答案为：12； 【拓展问题】，， ， 或， 或， 的倒数为或． 19．【综合与实践】加快推进煤矿智能化建设，让矿井更安全高效，智能化煤矿系统能对地下矿井位置、运输时间等多方面实施精准协同控制，从效率、安全、成本上实现可持续发展．某煤矿井下点A的海拔为米，已知从点A到点B的水平距离为100米，每经过水平距离10米海拔上升0.5米，且点B在点A的上方，点A与点B的位置示意图如图所示． (1)求点B的海拔； (2)若点C的海拔为米，点C在点A的正上方，每垂直升高10米用时20秒，求从点A升高到点C所用的时间． 【答案】(1)米 (2)220秒 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则运算的应用，熟练掌握有理数运算法则，根据题意列出式子是解题关键． （1）先求出A点到B点上升的高度，再进一步求B点的海拔； （2）求C点比A点高出的高度，再根据每垂直升高10米用20秒，求出时间． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴点B的海拔为米； （2）解：根据题意，得， ∴从点A升高到点C所用的时间220秒． 20．绝对值是研究我们数学问题的重要符号． 【代数意义】 正数和 0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 已知：都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： （1）①若，则 ；②若，则 ； 【几何意义】 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值， 表示数轴上表示数a的点和表示数b的点的距离． （2）如图，数轴上点表示，点表示，动点从点出发以每秒个单位的速度向右运动，到达点时停止运动；动点从点出发向以每秒个单位的速度向左运动，几秒后、两点之间的距离是个单位长度？ 【答案】（1），或；（2）秒或秒后、两点之间的距离是个单位长度 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的混合运算，数轴上两点的距离； （1）对绝对值内的有理数的正负进行分类讨论即可解决问题． （2）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）①当时，，则， 当时，，则， 故答案为：． ②当，同为正数时， ； 当，同为负数时， ； 当，异号时， ； 所以或． 故答案为：或． （2）∵与点之间的距离为， P、Q相遇前：（秒） P、Q相遇后：（秒） 答：秒或秒后、两点之间的距离是个单位长度 C 促拓展 能力强化拓展练 达标检测 B 抓核心 三大题型提升练 A 夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $