专题4.1 直线与圆锥曲线的交点（5知识+7题型+分层强化）（高效培优讲义）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题4.1 直线与圆锥曲线的交点 教学目标 1. 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法. 2.会利用直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围. 教学重难点 1.重点:直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法. 2.难点：（1）由直线与圆锥曲线的位置关系求参； （2）圆锥曲线的切线问题及弦长问题. 知识点01 直线与椭圆的位置关系（重点） 1.直线与椭圆的三种位置关系 当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆 ；当直线与椭圆只有一个公共点时，称直线与椭圆 ;当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆 . 2.直线与椭圆位置关系的判定 将直线方程与椭圆方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或y）的一元二次方程，计算判别式. 当Δ>0时，方程组有 的实数解，直线与椭圆相交; 当Δ=0时，方程组有 实数解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程组 实数解，直线与椭圆相离. 【知识剖析】 1．将直线方程与椭圆的标准方程联立消元后必然会得到一个一元二次方程，即二次项系数必不为零. 2.直线与椭圆的位置关系类似于直线与圆的位置关系. 【即学即练】 1．（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 知识点02 直线与双曲线的位置关系（重点） 将直线方程与双曲线的标准方程联立，消去y（或x）得到关于x(或y)的一元方程. (1)当二次项系数等于0时，一元方程为一次方程，且有唯一实数解，从而方程组有唯一实数解，此时直线与双曲线有唯一交点，直线与双曲线 此时直线平行于双曲线的 . (2)当二次项的系数不等于0时，一元方程为一元二次方程，计算判别式. ①当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解,直线和双曲线 ，有两个交点； 当Δ＝0时，方程组有唯一实数解，直线和双曲线 ，有一个公共点； 当Δ<0时，方程组无实数解,直线和双曲线 ，无公共点． 【易错警示】 讨论直线与双曲线位置关系时的两个注意 1.直线与双曲线方程联立，消元得到一次方程时，要注意对二次项系数是否为0分类讨论. 2.要注意直线与双曲线相交包括交于两点和交于一点两种情况，其中交于一点时，直线平行于渐近线. 【即学即练】 1.已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有L(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 知识点03 直线与抛物线的位置关系（重点） 将直线方程与抛物线的标准方程联立，消去y（或x）得到关于x(或y)的一元方程. (1)当二次项系数等于0时，一元方程为一次方程，且有唯一实数解，从而方程组有唯一实数解，此时直线与抛物线有唯一交点，直线与抛物线 ，此时直线与抛物线的对称轴 . (2)当二次项的系数不等于0时，一元方程为一元二次方程，计算判别式. ①当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解,直线和双曲线 ，有两个交点； 当Δ＝0时，方程组有唯一的实数解，直线和双曲线 ，有一个公共点； 当Δ<0时，方程组没有实数解,直线和双曲线 ,无公共点． 【易错警示】 直线与抛物线只有一个公共点，既要考虑直线与抛物线相切的情况，又要考虑直线与抛物线的对称轴平行的情况． 【即学即练】 1．直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2. 求过定点P（0，1）且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 知识点04 圆锥曲线的弦长问题（重点） 1． 圆锥曲线的弦长 当直线与圆锥曲线相交时，连接 所得的线段叫做圆锥曲线的弦，其长度叫做圆锥曲线的弦长. 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ 或|AB|＝|y1－y2|＝ ，k为直线斜率且k≠0. 【即学即练】 1．已知双曲线=1(a>0，b>0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为 . 2．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则 . 知识点05 圆锥曲线的切线、切点弦问题（拓展） 1.圆锥曲线的切线方程 (1)过椭圆的切线方程为：； (2) 过双曲线的切线方程为：； (3)过. 2.圆锥曲线的切点弦方程 (1)已知为圆外的一点，则两切点弦所在的直线方程是：. (2)椭圆的切点弦方程为； (3)双曲线的切点弦方程为； (4)的切点弦方程为. 【巧妙记忆】 上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出， ，，，. 【即学即练】 1．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 题型01 求直线与圆锥曲线的交点 【典例1】（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆内一点满足，. (1)求椭圆的离心率； (2)椭圆上一点在第一象限，且满，直线与椭圆另一个交点为. （i）求点的坐标；（用表示） （ii）直线交的延长线于点，若的面积为，求椭圆的标准方程. 求直线与圆锥曲线交点的方法 求直线与圆锥曲线交点的坐标，就是求两条曲线的方程组成的方程组的解.若题中未明确求曲线的交点坐标，而是要确定一个点的坐标时，应挖掘题目条件，找到该点所在的两条可以列出方程的曲线来求解. 【变式1-1】（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x,如图,平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1,-1)处,反射光线过抛物线焦点F后又照射到抛物线上的点Q处,则点Q的坐标为 . 题型02 判断直线与圆锥曲线的位置关系 【典例2-1】若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（   ）． A．存在过点的直线与该双曲线相切 B．不存在过点的直线与该双曲线相切 C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切 D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点 【典例2-2】（24-25高二上·四川南充·期末）已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 第一步消元：把直线与圆锥曲线的方程联立消元； 第二步分类讨论：①当二次项系数不为零时，若，则直线与曲线相交；若，则直线与曲线相切；若，则直线与曲线相离；②当二次项系数为零时，直线与曲线只有一个交点（当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；当直线平行或重合于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点）． 【变式2-1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式4-2】（多选）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C． D． 题型03 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数 【典例3-1】已知直线y＝ax＋1与双曲线C：3x2－y2＝1，当a为何值时(1)直线与双曲线C有唯一的公共点? (2) 直线l与双曲线交于两点，且两交点在双曲线的同一支上？ (3) 直线l与双曲线交于两点，且两交点分别在双曲线的两支上？ 【典例3-2】已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点、有两个公共点、没有公共点？ 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数的策略 根据直线与圆锥曲线公共点的个数，能够得到直线与圆锥曲线的位置关系,由此联立方程，即得方程组解的情况，进而解决相关问题，求解时尤其要注意直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行或重合的特殊情况. 【变式3-1】（2025·广东·模拟预测）椭圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）（24-25高二上·四川凉山·期末）双曲线的左、右两个焦点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．过点的直线与双曲线右支交于两点，则 B．若直线与双曲线恒有公共点，则的取值范围为 C．若双曲线的离心率为，则 D．若直线与圆相切于点，且与双曲线的渐近线分别交于、两点，与双曲线分别交于、两点，则 题型04 圆锥曲线的弦长问题 【典例4-1】（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则 . 【典例4-2】（24-25高二上·安徽六安·期中）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求弦长. 求圆锥曲线中弦长的方法 1.交点法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． 2.根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝·＝ ·. 3.焦点弦长,利用焦半径公式求解,如：设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【变式4-1】已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高三上·广东·阶段练习）设曲线，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，则的斜率可以为（    ） A． B． C．2 D． 题型05 圆锥曲线的切线问题 【典例5】（2025·河南周口·模拟预测）已知双曲线过点，. (1)求双曲线C的渐近线方程. (2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为. (3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 求圆锥曲线的切线方程 方法有:(1)判别式法.即设出切线的斜率k，联立直线与二次曲线的方程，消元转化为一元二次方程，通过△=0求出k,从而得切线方程，对于切线的斜率不存在的情形，则一般画图观察求解，此法为通法. (2)切线公式法.常见的切线公式有：①过圆上的点的切线方程为+②椭圆、双曲线与抛物线的切线方程（见知识预备） (3)几何性质法.对于圆而言，常利用圆的几何性质“圆心到切线的距离等于圆的半径(即d=r)”来速求其切线方程. 【变式5-1】（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）经过点且与椭圆相切的直线方程是 (　　) A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型06 圆锥曲线的切点弦问题 【典例6-1】过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 双切线（切点弦）问题求解策略 过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤是： (1)设切线的斜率为，写出切线的方程； (2)将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程； (3)由方程满足判别式，建立关于的一元二次方程，两切线的斜率为方程的两根； (4)结合韦达定理，计算等，并将之用于其他量的计算. 【变式6-1】已知，顶点为的抛物线，焦点为，点是上一点，已知的外接圆与的准线相切，且外接圆的面积为，过点作的两条切线，切点分别为，则的面积为 ． 【变式6-2】（24-25高二上·陕西安康·期中）已知椭圆：经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程； (3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 题型07 利用切线解决圆锥曲线中的最值问题 【典例7】在抛物线y2＝64x上求一点，使它到直线l：4x＋3y＋46＝0的距离最短，并求此距离． 求圆锥曲线上的点到直线的距离最短的策略 1．先在圆锥曲线上设一点，再利用点到直线的距离与二次函数知识求解； 2．根据已知直线设与圆锥曲线相切的直线，联立方程组由Δ求得所设直线的方程，再由平行线间的距离公式求解． 【变式7】（2025山西忻州高三上联考），为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为 练基础 1直线与椭圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 2.设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为(　　) A．5 B．8 C．10 D．12 3. AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为(　　) A．b2 B．ab C．ac D．bc 4．（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 6．（多选）已知双曲线C：，直线l过点，以下错误的是（    ） A．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的条数是2 B．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或 C．若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，则直线l的斜率范围是 D．若直线l与双曲线C的渐近线相交于A，B两点，则线段AB中点的轨迹是直线 7.（多选）（24-25高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 8．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为3，则m的值为________． 9．已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，则直线的方程为 ． 10．（24-25高二下·四川成都·期中）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 11．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 练提升 12．（24-25高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 13．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．(多选)（2025·湖北·模拟预测）已知、均为正实数，且过点的直线与抛物线相切于点，下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为2 15．（2025·全国·模拟预测）写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 16.（2025·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为 . 17．已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆. （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程. 18.（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，其左､右焦点分别为，，过焦点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求的方程； (2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，连接，过线段的中点再分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，判断点与直线的位置关系，并说明理由. 练创新 19．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20.（多选）（2025·宁夏·一模）双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 21．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. (1)求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①为定值； ②点在定直线上. 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 直线与圆锥曲线的交点 教学目标 1. 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法. 2.会利用直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围. 教学重难点 1.重点:直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法. 2.难点：（1）由直线与圆锥曲线的位置关系求参； （2）圆锥曲线的切线问题及弦长问题. 知识点01 直线与椭圆的位置关系（重点） 1.直线与椭圆的三种位置关系 当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个公共点时，称直线与椭圆相切;当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离. 2.直线与椭圆位置关系的判定 将直线方程与椭圆方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或y）的一元二次方程，计算判别式. 当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解，直线与椭圆相交; 当Δ=0时，方程组有唯一实数解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程组没有实数解，直线与椭圆相离. 【知识剖析】 1．将直线方程与椭圆的标准方程联立消元后必然会得到一个一元二次方程，即二次项系数必不为零. 2.直线与椭圆的位置关系类似于直线与圆的位置关系. 【即学即练】 1．（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【详解】由消去y并整理得，显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点. 故选：C 知识点02 直线与双曲线的位置关系（重点） 将直线方程与双曲线的标准方程联立，消去y（或x）得到关于x(或y)的一元方程. (1)当二次项系数等于0时，一元方程为一次方程，且有唯一实数解，从而方程组有唯一实数解，此时直线与双曲线有唯一交点，直线与双曲线相交.此时直线平行于双曲线的渐近线. (2)当二次项的系数不等于0时，一元方程为一元二次方程，计算判别式. ①当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解,直线和双曲线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，方程组有唯一实数解，直线和双曲线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，方程组无实数解,直线和双曲线相离，无公共点． 【易错警示】 讨论直线与双曲线位置关系时的两个注意 1.直线与双曲线方程联立，消元得到一次方程时，要注意对二次项系数是否为0分类讨论. 2.要注意直线与双曲线相交包括交于两点和交于一点两种情况，其中交于一点时，直线平行于渐近线. 【即学即练】 1.已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有L(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【详解】因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条． 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由题知，双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线的一条渐近线平行， 由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点. 故选：B    知识点03 直线与抛物线的位置关系（重点） 将直线方程与抛物线的标准方程联立，消去y（或x）得到关于x(或y)的一元方程. (1)当二次项系数等于0时，一元方程为一次方程，且有唯一实数解，从而方程组有唯一实数解，此时直线与抛物线有唯一交点，直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. (2)当二次项的系数不等于0时，一元方程为一元二次方程，计算判别式. ①当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解,直线和双曲线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，方程组有唯一的实数解，直线和双曲线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，方程组没有实数解,直线和双曲线相离，无公共点． 【易错警示】 直线与抛物线只有一个公共点，既要考虑直线与抛物线相切的情况，又要考虑直线与抛物线的对称轴平行的情况． 【即学即练】 1．直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【详解】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 2. 求过定点P（0，1）且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 【详解】若直线斜率不存在，即直线x＝0满足与抛物线只有一个公共点; 若斜率存在，设为k，则过点P的直线方程为y＝kx＋1， 联立方程得， 因此,当k＝0时，，y＝1，故y＝1与抛物线只有一个公共点．此时说明直线与抛物线的对称轴平行； 当时，由，所以，即与抛物线只有一个公共点． 所以所求的直线方程是：x＝0或y＝1或． 知识点04 圆锥曲线的弦长问题（重点） 1． 圆锥曲线的弦长 当直线与圆锥曲线相交时，连接两交点所得的线段叫做圆锥曲线的弦，其长度叫做圆锥曲线的弦长. 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. 【即学即练】 1．已知双曲线=1(a>0，b>0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为 . 【答案】 【详解】设一个焦点为F(c，0)，其中c2=a2+b2，过F且垂直于x轴的弦为AB，则A(c，y0)，∵A(c，y0)在双曲线上，∴=1.∴y0=±b=±.∴|AB|=2|y0|=. 2．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则 . 【答案】 【详解】由双曲线标准方程可知：，所以有， 因此焦点的坐标为，由双曲线的对称性不妨设，直线过右焦点， 所以直线方程方程为，与双曲线联立得： ，设，， 因此有：， 所以. 知识点05 圆锥曲线的切线、切点弦问题（拓展） 1.圆锥曲线的切线方程 (1)过椭圆的切线方程为：； (2) 过双曲线的切线方程为：； (3)过. 2.圆锥曲线的切点弦方程 (1)已知为圆外的一点，则两切点弦所在的直线方程是：. (2)椭圆的切点弦方程为； (3)双曲线的切点弦方程为； (4)的切点弦方程为. 【巧妙记忆】 上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出， ，，，. 【即学即练】 1．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：设过点切线为：代入化简整理有：，，因为渐近线为：，故A错误； 对于B:设斜率为，则过点的直线方程为,联立得， 则由， 所以过点有两条切线，故B正确； 对于C:因为双曲线得两条渐近线为：，又因为在直线上，所以过点的切线有且只有一条，故C错误； 对于D:因为在双曲线上，所以过点的切线有且只有一条，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【详解】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求， 当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得， ， 令，解得， 故，即. 题型01 求直线与圆锥曲线的交点 【典例1】（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆内一点满足，. (1)求椭圆的离心率； (2)椭圆上一点在第一象限，且满，直线与椭圆另一个交点为. （i）求点的坐标；（用表示） （ii）直线交的延长线于点，若的面积为，求椭圆的标准方程. 【分析】（1）由已知条件可知表达相关点的坐标，代入距离公式与比例关系可以求得的关系，即可求得离心率. （2）（ⅰ）设所在直线方程与椭圆联立，可以求得的坐标，再有直线联立可以求得的坐标； （ⅱ）用点到直线的距离与两点间的距离公式，可以求出三角形的面积，即可求得椭圆方程. 【详解】（1）因为椭圆内一点M满足，所以为的中点， 由椭圆右顶点，可得，又因为椭圆上顶点， 所以，化简得， 因为，所以， 所以椭圆的离心率.    （2）（ⅰ）由（1）可得椭圆方程为， 椭圆上一点在第一象限，且满,   所以，设直线方程为， 由直线方程与椭圆方程联立得， 解得，因为点在第一象限，，则， 因为关于原点对称，所以； （ⅱ）因为，， 则直线的方程为，联立，解得， 所以， 所以，所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为，， 所以的面积，所以， 所以椭圆的标准方程为. 求直线与圆锥曲线交点的方法 求直线与圆锥曲线交点的坐标，就是求两条曲线的方程组成的方程组的解.若题中未明确求曲线的交点坐标，而是要确定一个点的坐标时，应挖掘题目条件，找到该点所在的两条可以列出方程的曲线来求解. 【变式1-1】（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，解得或 当时，，当时， 所以直线与椭圆的交点坐标为 故选：D 【变式1-2】已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x,如图,平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1,-1)处,反射光线过抛物线焦点F后又照射到抛物线上的点Q处,则点Q的坐标为 . 【答案】 【详解】因为抛物线y2=x的焦点F的坐标为,点P(1,-1), 所以直线PF的方程为y=-.已知Q是抛物线y2=x与直线PF的交点,解方程组得(舍去). 故点Q的坐标为. 题型02 判断直线与圆锥曲线的位置关系 【典例2-1】若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（   ）． A．存在过点的直线与该双曲线相切 B．不存在过点的直线与该双曲线相切 C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切 D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点 【答案】C 【分析】根据题意设切线方程，得到相切的条件，根据条件分析时，点，此时不存在与双曲线相切的直线，时，根据切线过渐近线上的点确定切线的唯一性即可判断ABC，与渐近线平行或与双曲线相切的直线与双曲线都是只有一个交点即可判断D. 【详解】由题易知切线斜率不为零，也不与渐近线平行（平行时只有一个交点，但不相切）， 则设切线方程为， 则， ， 所以， 当时，，解得与题设矛盾， 即当点时，过点的直线不存在与双曲线相切， 当时， ， 又切线过渐近线上的点，由对称性，不妨设点， 则，解得， 所以， 又，所以， 则， 所以每一个点，的值只有一个， 所以至多存在一条过点的直线与该双曲线相切，故C正确，B错误； 对于D，易知当点不在原点时，与另一条渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点， 与双曲线相切时也与双曲线只有一个交点，故D错误； 故选：C. 【典例2-2】（24-25高二上·四川南充·期末）已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义得出点的轨迹是以为焦点的椭圆，然后将“型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题. 【详解】由题意可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆方程为， 且，则， 所以椭圆方程为， 对于①，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有一个解， 该直线称为“型直线”，故①正确； 对于②，把代入得，，无解， 所以直线不是“型直线”，故②错误； 对于③，把代入并整理得， ，因为， 所以方程无解， 所以直线不是“型直线”，故③错误； 对于④，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有两个解， 该直线称为“型直线”，故④正确. 故选D. 【关键点拨】将“型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题. 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 第一步消元：把直线与圆锥曲线的方程联立消元； 第二步分类讨论：①当二次项系数不为零时，若，则直线与曲线相交；若，则直线与曲线相切；若，则直线与曲线相离；②当二次项系数为零时，直线与曲线只有一个交点（当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；当直线平行或重合于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点）． 【变式2-1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 【变式4-2】（多选）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C． D． 【答案】BC 【分析】利用点在抛物线上求得抛物线方程，进而求得其准线方程可判断A；先求得直线的方程，再联立直线与抛物线方程，利用判别式即可判断B；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合两点距离公式与弦长公式分别求得所需要线段长，从而可判断CD. 【详解】对于A，因为点在上，所以，解得， 所以的标准方程为，其准线方程为，故A错误； 对于B，由题可知，则直线的方程为， 联立，消去，得， 此时，故与相切，故B正确； 对于CD，由题意知的斜率存在，设的方程为， 联立，消去，得， 则，即， 设，则， 又， 所以， ，故C正确，D错误. 故选：BC. 题型03 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数 【典例3-1】已知直线y＝ax＋1与双曲线C：3x2－y2＝1，当a为何值时(1)直线与双曲线C有唯一的公共点? (2) 直线l与双曲线交于两点，且两交点在双曲线的同一支上？ (3) 直线l与双曲线交于两点，且两交点分别在双曲线的两支上？ 【详解】 联立 (3－a2)x2－2ax－2＝0 ① (1)当时，方程①仅有一解，直线与双曲线C交于一点; 当时，方程①有两个相等的实数解，直线与双曲线C相交于一点. 综上所述，当时，直线与双曲线C恰有一个公共点. (2)设两交点的横坐标分别为. 若两交点在双曲线同支上，则方程①满足： a∈(－，－)∪(，) 故当a∈(-,-)∪(,)时,直线l与双曲线交于两点,且两交点在双曲线的同一支上. (3)设两交点的横坐标分别为. 若两交点分别在双曲线的两支上，则有： a∈(－，) 故当a∈(-,)时,直线l与双曲线交于两点,且两交点分别在双曲线的两支上. 【方法总结】由于双曲线有两支，直线与双曲线的两个不同交点可能分布在一支上，也可能分布在两支上，这些情况要利用两根同号还是异号，并结合判别式来界定．根与系数的关系是解决直线与圆锥曲线问题的最锐利武器. 【典例3-2】已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点、有两个公共点、没有公共点？ 【详解】由题意，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)． 由方程组 (*) 可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0， ① (1)当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝，这时，直线l与抛物线只有一个公共点(，1)． (2)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)． ①由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1，或k＝，于是，当k＝－1或k＝时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一组解．这时，直线l与抛物线只有一个公共点． ②由Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1<k<.于是，当－1<k<，且k≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两组解．这时，直线l与抛物线有两个公共点． ③由Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k<－1，或k>，于是当k<－1，或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．综上，我们可得 当k＝－1或k＝或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点； 当－1<k<，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点； 当k<－1，或k>时，直线l与抛物线没有公共点． 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数的策略 根据直线与圆锥曲线公共点的个数，能够得到直线与圆锥曲线的位置关系,由此联立方程，即得方程组解的情况，进而解决相关问题，求解时尤其要注意直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行或重合的特殊情况. 【变式3-1】（2025·广东·模拟预测）椭圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设，， 则直线的斜率 将与联立，得，即， 由韦达定理得，所以，又， 所以， 故选：D. 【变式3-2】（多选）（24-25高二上·四川凉山·期末）双曲线的左、右两个焦点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．过点的直线与双曲线右支交于两点，则 B．若直线与双曲线恒有公共点，则的取值范围为 C．若双曲线的离心率为，则 D．若直线与圆相切于点，且与双曲线的渐近线分别交于、两点，与双曲线分别交于、两点，则 【答案】CD 【分析】根据双曲线的定义即可求解A，根据渐近线的斜率即可求解B，根据离心率公式即可求解C，联立直线与直线的方程得，，联立直线与曲线方程可得韦达定理，计算即可求解D. 【详解】对于A，由于，且,故, 由于与不一定相等，故A错误， 对于B，渐近线方程为，要使直线与双曲线恒有公共点，则需，故，B错误， 对于C，双曲线的离心率为，则，由于，故，C正确， 对于D，由题意可知有斜率，当斜率不为0时，设切线方程为，根据相切可得， 渐近线方程为，联立与可得, 故，同理可得，, 联立与的方程可得， 设,则， ， 因此，故,故D正确， 故选：CD 题型04 圆锥曲线的弦长问题 【典例4-1】（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则 . 【答案】 【分析】由题意联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，根据弦长公式，建立方程求得斜率，求得交点坐标，从而求得线段长，可得答案. 【详解】 设，，，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得， ，则， ，解得，， ，由，则，， 由可知，则，，即. 【典例4-2】（24-25高二上·安徽六安·期中）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求弦长. 【详解】（1）由题意可知，则， 因为，所以，得到， 所以椭圆的方程为． （2）因为，直线过且斜率为，所以直线， 联立方程组，得， 设，则， 所以． 求圆锥曲线中弦长的方法 1.交点法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． 2.根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝·＝ ·. 3.焦点弦长,利用焦半径公式求解,如：设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【变式4-1】已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1：对直线有无斜率进行讨论，当直线有斜率时，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式，进行化简整理，可得结论；方法2：从选择项发现所给问题为定值，则由于数学问题的特殊与一般的统一性，取点在特殊位置求值即可. 【详解】方法1：如图： 易知：. 若直线斜率不存在，则弦为椭圆通径，此时，所以； 若直线斜率存在，可设直线方程：，代入椭圆方程得： ， 整理得：. 设，（不妨令）， 则：，. 所以. 所以. 又，. 所以 . 综上可知：. 方法2：如图： 可取为椭圆的长轴，则，， 所以. 故选：C 【变式4-2】（24-25高三上·广东·阶段练习）设曲线，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，则的斜率可以为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先判断出曲线是双曲线的右支，设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式求得，根据两者相等列方程，由此求得直线的斜率. 【详解】因为曲线，，所以是双曲线的右支， 其焦点为，渐近线为． 由题意，设，且（故A选项可排除）， 联立得， 所以， ， ，的斜率为， ． 因为，所以， 解得． 故选：D 题型05 圆锥曲线的切线问题 【典例5】（2025·河南周口·模拟预测）已知双曲线过点，. (1)求双曲线C的渐近线方程. (2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为. (3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程即可求解双曲线的标准方程，然后求解渐近线即可； （2）分类讨论，设出切线方程，联立方程利用判别式法求得斜率，即可求出切线方程； （3）联立方程求得点A和B的坐标，进而求出，结合渐近线的夹角，代入三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为双曲线过点，，所以， 解得，所以双曲线C的标准方程为，所以双曲线C的渐近线方程为. （2）当切线斜率存在时，不妨设切线方程为，因为点在双曲线C上， 所以，联立， 消去y并整理得， 此时，即， 所以，又，所以， 解得， 所以切线方程为，即； 当切线斜率不存在时，即时，切点为，切线方程为，满足； 综上，直线l的方程为. （3）由（1）知双曲线C的渐近线方程为，此时两渐近线与x轴的夹角均为， 即，设，由（2）可知切线方程为， 联立，解得，即， 此时，同理可得， 所以的面积 .    求圆锥曲线的切线方程 方法有:(1)判别式法.即设出切线的斜率k，联立直线与二次曲线的方程，消元转化为一元二次方程，通过△=0求出k,从而得切线方程，对于切线的斜率不存在的情形，则一般画图观察求解，此法为通法. (2)切线公式法.常见的切线公式有：①过圆上的点的切线方程为+②椭圆、双曲线与抛物线的切线方程（见知识预备） (3)几何性质法.对于圆而言，常利用圆的几何性质“圆心到切线的距离等于圆的半径(即d=r)”来速求其切线方程. 【变式5-1】（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）经过点且与椭圆相切的直线方程是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用点斜式，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到一元二次方程，让此方程根的判断式为零，求出斜率，即可求出切线方程，要考虑斜率不存在的情况． 【详解】显然当时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意； 当存在斜率时，直线方程设为：，与椭圆的方程联立得， ，得到， 直线与椭圆相切，故，即， 解得， 所以切线方程为， 故选A． 【变式5-2】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】如图，抛物线的准线为， 由准线与圆相切于点， 则，解得. 则抛物线方程为：， 设直线的方程为， 联立方程得， 由直线与抛物线相切得， ，解得，即， 所以直线的方程为，即或. 故选：C.    题型06 圆锥曲线的切点弦问题 【典例6-1】过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【答案】 【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去得， 因为与双曲线相切，所以， 即，即， 即， 因为，所以， 代入可得，即，所以， 所以，即， 同理可得的方程为， 因为在切线上，所以， 所以满足方程， 又由两点确定一条直线，所以满足直线方程， 所以过的直线方程为. 双切线（切点弦）问题求解策略 过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤是： (1)设切线的斜率为，写出切线的方程； (2)将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程； (3)由方程满足判别式，建立关于的一元二次方程，两切线的斜率为方程的两根； (4)结合韦达定理，计算等，并将之用于其他量的计算. 【变式6-1】已知，顶点为的抛物线，焦点为，点是上一点，已知的外接圆与的准线相切，且外接圆的面积为，过点作的两条切线，切点分别为，则的面积为 ． 【答案】 【详解】易知，则的外接圆圆心的纵坐标为， 由题意得的外接圆半径为，故，解得， 所以的方程为，即． 设点，直线的方程为， 联立,得． 因为相切，所以，解得， 故直线的方程为，结合得①， 设点，同理得直线的方程为②， 将代入①②得, 所以直线的方程为． 由，得，则，， 故． 又易得点到直线的距离为，所以． 【变式6-2】（24-25高二上·陕西安康·期中）已知椭圆：经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程； (3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【分析】（1）利用椭圆的离心率和通过的点建立方程，求出基本量，再得到椭圆方程即可. （2）利用点差法结合中点坐标公式得到斜率，再利用点斜式得到直线方程即可. （3）设切点坐标，联立切线与椭圆方程，消元后利用判别式为，可利用切点坐标表示，再把点坐标代入，即可得到过切点的一条直线方程，同理另一个切点坐标也适合，即可得出直线的方程，再求出直线所过定点即可. 【详解】（1）由椭圆经过点，且离心率为， 得到，解得，，故的方程为. （2）设，，由题意得， 因为线段PQ的中点为，所以，， 因为，，两式相减得， 所以，即，解得， 即直线的斜率为，故的方程为，即. （3）如图，设，当时， 可设切线的方程为，， 将与联立，得， 则，即， 且，， 所以，，代入，得， 将的坐标代入，得. 当时，，；当时，，， 而满足. 设，同理可得， 则点，都在直线上， 故直线的方程为，即， 由得，故直线恒过定点. 题型07 利用切线解决圆锥曲线中的最值问题 【典例7】在抛物线y2＝64x上求一点，使它到直线l：4x＋3y＋46＝0的距离最短，并求此距离． 【详解】方法一　设抛物线上一点P(x0，y0) 则点P到直线l的距离为： d＝＝ 又， 代入上式得：d＝＝＝ ∴当y0＝－24时，dmin＝2 此时P(9，－24)，最短距离为2. 方法二　设直线4x＋3y＋m＝0与抛物线相切． 由得＋3y＋m＝0 由Δ＝0得m＝36. 此时解得y＝－24. ∴x＝9 所以所求点为(9，－24)． 最短距离为d＝＝＝2. 求圆锥曲线上的点到直线的距离最短的策略 1．先在圆锥曲线上设一点，再利用点到直线的距离与二次函数知识求解； 2．根据已知直线设与圆锥曲线相切的直线，联立方程组由Δ求得所设直线的方程，再由平行线间的距离公式求解． 【变式7】（2025山西忻州高三上联考），为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为 【答案】 【分析】首先判断直线与抛物线无交点，过点作轴交于点，过点作交于点，即可得到，再设，，求出的最小值，即可得解. 【详解】由，消去整理得，则， 所以直线与抛物线无交点， 如图过点作轴交于点，过点作交于点， 则（当、重合时取等号）， 设，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 练基础 1直线与椭圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 【答案】A 【详解】直线y=k(x-1)过椭圆内一定点(1,0),故直线与椭圆相交. 2.设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为(　　) A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】过A、B、E向抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2作垂线，垂足分别为A1、B1、E1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|EE1|＝2×(3＋2)＝10. 3. AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为(　　) A．b2 B．ab C．ac D．bc 【答案】D 【详解】设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，则S△FAB＝|OF||2y1|＝c|y1|≤bc. 4．（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 5．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】由渐近线方程化简得，即， 同时平方得， 又双曲线中，故，解得或（舍去）， 所以双曲线， 所以双曲线C的右焦点为，右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点， 则，故弦的长度为. 故选：A. 6．（多选）已知双曲线C：，直线l过点，以下错误的是（    ） A．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的条数是2 B．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或 C．若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，则直线l的斜率范围是 D．若直线l与双曲线C的渐近线相交于A，B两点，则线段AB中点的轨迹是直线 【答案】ACD 【详解】由双曲线方程可知其渐近线为，显然时，直线l与双曲线只有一个交点； 若直线l与双曲线相切时，显然直线斜率必存在，故设直线方程为， 联立直线方程与双曲线方程得：， 整理得，此时，可得. 综上，若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或，故选项A错误，选项B对； 如下图示，当时，直线与双曲线的两支各有一个交点，共两个交点； 当时，直线与双曲线的一支有两个交点， 当时，直线与双曲线无交点，故选项C错误； 若直线l与双曲线C的渐近线相交于A,B两点，即， 联立，解得；同理联立，可得， 所以线段AB中点坐标为， 易知线段AB的中点轨迹方程为，其轨迹为双曲线，故选项D错误. 故选：ACD. 7.（多选）（24-25高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，由抛物线，可得，所以，且焦点在轴正半轴上，则焦点，所以A错误； 对于B，由抛物线的方程得，由定义可得，所以B正确； 对于C，直线的方程分别为，，分别与联立得，，所以，所以C正确； 对于D，联立，得，解得， 所以，由，所以D错误． 故选：BC. 8．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为3，则m的值为________． 8.【答案】2 【详解】设直线x＋y－m＝0与曲线y＝x2相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点 由消去y得，x2＋x－m＝0，∴. |AB|＝＝·＝3,∴＝3，∴m＝2. 9．已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是； 可得直线的方程为，也即. 10．（24-25高二下·四川成都·期中）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【详解】（1）由题可得，则， 又由得 ，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组，消得到， 则， 由于，又， 则，整理得到，解得， 又时，，所以满足题意. 11．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或1或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 练提升 12．（24-25高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 13．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 所以为椭圆的右半部分． 当时，直线与有两个公共点； 当时，直线，令， 将代入，得， 则，得，则． 由图可知，所以． 综上，的取值范围是． 故选：D. 14．(多选)（2025·湖北·模拟预测）已知、均为正实数，且过点的直线与抛物线相切于点，下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为2 【答案】ABC 【详解】由在抛物线上，可得：，得， 由抛物线方程，得到， ∴，当时，可得以点为切点的切线斜率为：， 所以切线方程为，即． 又切线过点，故，故选项A正确； 因为，所以，又均为正实数，所以． ， 当时，取得最小值，最小值为，故选项B正确； ， 当且仅当，即时取等，故选项C正确； 因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号，故选项D错误． 15．（2025·全国·模拟预测）写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 【答案】或. 【详解】由已知，公切线斜率不为0， 设公切线方程为. 联立， 其判别式， 即，① 联立. . 其判别式，② 联立①②，解得， 所以椭圆和抛物线的公切线方程为或. 16.（2025·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为 . 【答案】1 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 17．已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆. （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程. 17. （2）由（1）可得. 故圆心的坐标为，圆的半径. 由于圆过点，因此，故， 即， 由（1）可得. 所以，解得或. 当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为. 当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为. 18.（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，其左､右焦点分别为，，过焦点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求的方程； (2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，连接，过线段的中点再分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，判断点与直线的位置关系，并说明理由. 【详解】（1）在中，不妨令，解得，所以， 又，解得，， 所以双曲线的方程为； （2）点在直线上，证明如下： 设，， 由题可知双曲线在点处的切线方程为， 同理，在点处的切线方程为， 又两切线交点为，所以， 所以直线的方程为， 联立，得， 因为，满足，， 则，，所以， 所以，设，， 由题可知双曲线在，两点处的切线方程分别为，， 又两切线交点为，所以， 可得直线的方程为，即， 当时，，所以点在直线上. 练创新 19．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当，表示椭圆第一象限部分； 当，表示双曲线第四象限部分； 当，表示双曲线第二象限部分； 当，不表示任何图形； 以及两点， 作出大致图象如图： 曲线上的点到的距离为， 根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是， 直线与距离为， 曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近1， 联立，消得， ，且， 所以直线与椭圆第一象限部分由两个交点， 考虑曲线第一象限的点到距离得最小值为， 所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 20.．（多选）（2025·宁夏·一模）双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 【答案】AD 【详解】由题设，且渐近线为，若垂直于，则， ，可得，同理得， 由，则，整理得，可得，B错， 所以，故渐近线方程为，A对， 在双曲线上，则，则， 所以，则，C错； 点P处的切线为，联立，得， 所以，则， 所以，则，故切线为， 令，则，故，D对. 故选：AD 21．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. (1)求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①为定值； ②点在定直线上. 【详解】（1）因为离心率为，故 又是上一点，所以，故，所以 椭圆方程为， 由于点对应的极线方程为；故处的极线方程为，即极线方程为， （2）①由题意可知的斜率不为，设， 设， ， ，， ②根据①结果，可设，则 （1） （2） 联立（1）（2）可得： 故点，易知点恒在上 6 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $