江苏省南通市崇川区2025-2026学年九年级上学期期中数学模拟试卷

2025-2026学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期中数学模拟试卷 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.已知的半径，，则点与的位置关系是(    ) A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定 3.下列关于反比例函数的描述中，不正确的是(    ) A. 图象位于第二、四象限 B. 随的增大而增大 C. 点在反比例函数的图象上 D. 当时， 4.如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6.如图，切于点，连接，交于点，过点作弦于点，已知的半径为，，则、的长分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. 7.已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的面积是(    ) A. B. C. D. 9.已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共30分。 11.若点在反比例函数的图象上，则的值是      ． 12.已知圆锥的母线长为，底面半径为，则该圆锥的侧面展开图的面积为      ． 13.如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的口至少要      ． 14.将抛物线      向左平移个单位，再向下平移个单位后得到抛物线的解析式为． 15.如图，在中，直径垂直于弦，垂足为若，，则的长为______． 16.如图，以地面为轴，一名男生推铅球，铅球行进高度单位：米与水平距离单位：米之间的关系是估计这名男生的大致身高是      米 17.如图，边长为的正方形的对角线，相交于点，以为圆心，长为半径的弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是            ． 18.已知，，且，设，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图保留画图痕迹，不写画法 在图中，画出劣弧的中点； 在图的上找一点，使点与点不重合． 20.本小题分 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． 求反比例函数和一次函数的解析式； 求的面积． 21.本小题分 已知二次函数． 该二次函数的图象与轴的交点坐标是______、______，顶点坐标是______； 在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象； 当时，结合函数图象，直接写出的取值范围______． 22.本小题分 某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． 求材料停止加热后与的函数关系式． 根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 23.本小题分 如图，是的直径，为的一条弦不为直径，点是与的交点，，，． 判断与的位置关系，并说明理由； 求的半径． 24.本小题分 某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为元，试销过程发现，每月销量万件与销售单价元之间关系可以近似地看作一次函数利润售价制造成本 写出每月的利润万元与销售单价元之间函数解析式； 当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得万元的利润？ 当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ 25.本小题分 小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 【学习心得】如图，在中，，，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，可得 ______； 【问题解决】如图，在四边形中，求证：； 【问题拓展】在平面直角坐标系中，为轴上一点若点，当最大时，求点的坐标． 26.本小题分 已知二次函数是常数． 当时，求二次函数的对称轴． 若点，都在二次函数的图象上． 证明：． 求的最大值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 1.【答案】  【解析】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故选：． 已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线的顶点坐标为． 2.【答案】  【解析】解：， 点与的位置关系是点在圆外． 故选：． 点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径． 本题考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系的判断方法是求解本题的关键． 3.【答案】  【解析】解：反比例函数中， ， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，故A正确，不符合题意；B错误，符合题意； 当时，， 点在反比例函数的图象上，故C正确，不符合题意； 当时，，故D正确，不符合题意， 故选：． 根据反比例函数的性质依次进行判断即可得． 本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质． 4.【答案】  【解析】解：设的中点为，连接、、，如图， ， 由题意得，， ， 点、、、四点共圆， 量角器上点对应的读数是， ， ， 故选：． 设的中点为，连接、、，先证明点、、、四点共圆，再求出，最后由圆周角定理即可得解． 本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键． 5.【答案】  【解析】本题考查了跨学科综合，正确读取图象信息是解题的关键．解：根据图象，得，， 又， 故． 故选：． 根据得，结合图象解答即可． 本题考查了跨学科综合，正确读取图象信息是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：切于点，连接，交于点，过点作弦于点， ， ， ，， ， ； 切于点， ， ， ∽， ，即， 解得：． 故选：． 根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出即可求得；再证∽，根据相似三角形的性质列比例式即可求出． 本题主要考查了垂径定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：当时，，而当时，， 在时，必有有一个的值使得． 一元二次方程的一个根的范围是． 故选：． 根据自变量与函数值的情况判定即可． 本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 8.【答案】  【解析】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，，， ， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， 设， 则， 在中，由勾股定理得： ， 故， 解得：， ，， ， 故选：． 利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理得出答案． 此题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的面积，勾股定理，切线长定理，得出四边形是正方形是解题关键． 9.【答案】  【解析】解：函数的对称轴为直线，且， 二次函数开口向下， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 时，随的增大而减小， ． 故选：． 根据函数解析式可知，开口方向向下，在对称轴的右侧随的增大而减小，在对称轴的左侧，随的增大而增大，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：， ， 解得， ， ， ， 即， 故选：． 由，可得，即知，故． 本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据已知求出与的关系． 11.【答案】  【解析】解：由条件可得：， 解得， 故答案为：． 将代入即可求解． 本题考查求反比例函数自变量的值，熟练掌握该知识点是关键． 12.【答案】  【解析】解：圆锥的底面圆半径为， 圆锥的底面周长为：， 圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 圆锥的侧面积为：， 故答案为：． 根据扇形面积公式计算，得到答案． 本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：个边长的六角形螺帽，如图，设正六边形的中心是，连接、、、，交于， ， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，则，得出，则四边形是菱形，得出，，由，即可得出结论． 本题考查了正多边形和圆、菱形的判定与性质，解直角三角形的应用，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解此题的关键． 14.【答案】  【解析】解：将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后得到的抛物线的解析式为：，即． 故答案为：． 向右平移一个单位，向上平移两个单位即原抛物线解析式，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 15.【答案】  【解析】解：， ， 的直径垂直于弦， ，即直径是弦的垂直平分线， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 连接，推出直径是弦的垂直平分线，得到是等边三角形，据此求解即可． 本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：， 当时，， 抛物线与轴的交点为， ， 估计该男生的大致身高为米． 故答案为：． 根据抛物线与轴的交点可得铅球出手的高度，进而估计该男生的身高即可． 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出抛物线与轴的交点坐标． 17.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ， ， 阴影部分的面积 ． 故答案为：． 由图可知，阴影部分的面积是和扇形的面积之差． 本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18.【答案】  【解析】解：， ． ． ． 又， 和是方程的两个根， ． ． ． 当时，随的增大而增大， 当时，有当时，取最小值为． 故答案为：． 由，得又，可知和是方程的两个根，故又，根据二次函数性质可得解． 本题主要考查了二次函数的最值、一元二次方程根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 19.【答案】解：取格点，连接交于点，，由垂径定理可知，，点即为所求； 作直径交于点，点即为所求．   【解析】取格点，连接交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点即为所求； 作直径交于点，点即为所求． 本题考查作图应用与设计作图，圆心角、弧、弦的关系，三角形的外接圆与外心，熟练应用垂径定理是解题的关键． 20.【答案】反比例函数解析式为：，一次函数的解析式为：．     【解析】将代入中， 得， 解得， 反比例函数解析式为：， 点在反比例函数上， ， 将、代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为：． 由得，直线的解析式为：， 令，则， 令，则， 此函数图象与轴交点坐标为，与轴交点坐标为， ． 将  点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再求解  的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； 计算直线  与  轴的交点，与轴交点．将分割为三个小三角形，再计算即可． 本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题是关键． 21.【答案】；；；   如图： ；     【解析】令，则， 解得：，， 与轴的交点坐标是，， ， 顶点坐标为； 故答案为：；；； 列表： 描点，连线，如图： 由图象可知，当时，． 把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令，求得与坐标轴的交点坐标即可； 先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； 结合二次函数图象，写出当时对应的的取值范围． 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22.【答案】；     【解析】设反比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 故反比例函数的解析式为． 将代入， 解得， ， 当时，； 故加工的时长为． 设反比例函数的解析式为，把代入解析式列式计算确定值即可； 将代入得到，得，计算时，反比例函数的值，其差即为所求． 本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． 23.【答案】，理由： 如图所示，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ，且垂直平分；     【解析】，理由如下： 如图所示，连接，， ， ， 由条件可知， ， ， ， ，且垂直平分； 由条件可得， 设的半径为，则， 在中，， ， ， 的半径为． 如图所示，连接，，得到，，然后证明出即可得到； 首先根据垂径定理得到，设的半径为，则，在中利用勾股定理求解即可． 此题考查了等弧所对的圆心角相等，垂径定理，勾股定理，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 24.【答案】；   销售单价应定为元或元；   当销售单价为元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润为万元  【解析】设销售单价为元，每件的盈利元，每天可售出件， 根据题意，得． 故． 由可得， 当时， ． ， 解得，， 答：销售单价应定为元或元时，厂商每月能够获得万元的利润． 由可得 ． ， 抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为元件时，每月的销售利润最大，最大利润是元． 根据销售单价为元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． 根据，当时，构造方程解答即可． 根据，构造二次函数，根据抛物线的最值，即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 25.【答案】；   证明见解答；   点的坐标为或．  【解析】解：如图：若以点为圆心，为半径作辅助圆， 则点、必在上，是的圆心角， 而是圆周角，可得， 故答案为：； 证明：如图，， 点、、是在以圆心， 以为半径的圆上，构建如图所示的图形， 延长交圆于点，连接， 则， ， ； 解：如图，当最大时， 过、两点的与轴相切，切点为点． 过点作，垂足为点． 线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上， 点横坐标为， ，，， ， 点的坐标为或． 如图：若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，即可求解； 以为半径的圆上，构建如图所示的图形，延长交圆于点，连接，则，即可求解； 如图，当最大时，线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上，即可求解． 本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，判断四点共圆是解本题的关键． 26.【答案】直线；  证明见解析；的最大值为  【解析】解：由题意，当时，二次函数为， 对称轴是直线． 证明：由题意，点，都在二次函数的图象上， 对称轴是直线． ． ． 解：由题意可得， ． 当时，的最大值为． 依据题意，当时，二次函数为，从而可以判断得解； 依据题意，由点，都在二次函数的图象上，则对称轴是直线，则，进而可以计算得解； 依据题意可得，，进而根据二次函数的性质即可判断得解． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $