专题4.2 相似多边形、探索三角形相似的条件（举一反三讲义）数学北师大版九年级上册

专题4.2 相似多边形、探索三角形相似的条件（举一反三讲义） 【北师大版】 【题型1 识别相似多边形】 3 【题型2 由相似多边形的性质求值】 4 【题型3 利用平行判定相似】 5 【题型4 利用两角相等判定相似】 5 【题型5 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 6 【题型6 利用三边对应成比例判定相似】 7 【题型7 选择或补充条件使两三角形相似】 8 【题型8 裁剪使两三角形相似】 9 【题型9 尺规作图使两个三角形相似】 11 【题型10 数相似三角形的对数】 12 【题型11 存在相似三角形】 13 【题型12 由黄金分割求值】 14 【题型13 黄金分割的应用】 14 知识点1 相似多边形 1.定义：两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比. 知识点2 相似三角形 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．和相似，记作． 2. 全等三角形与相似三角形的比较 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 图形表示 对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等 相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数 知识点3 三角形相似的判定 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似． 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和和，若，则． 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 4. 有关三角形相似的常见图形 图形特征 所需条件 证明方法 平行线型 已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等 两角分别相等的两个三角形相似． 斜交型 有公共角或对顶角， 两角分别相等的两个三角形似． 公共角的两边对应成比例， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 母子型 两角分别相等的两个三角形相似． 旋转型 有一组角对应相等， 公共角（对应角）的两边对应成比例，， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 知识点4 黄金分割 如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点. 与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618. 【题型1 识别相似多边形】 【例1】（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的 ．（从平移、轴对称、相似、旋转中选） 【变式1-2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 由相似多边形的性质求值】 【例2】（24-25九年级上·全国·假期作业）在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么放大后的矩形的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（   ） A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长 【变式2-2】（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025九年级下·全国·专题练习）2024年10月1日，是伟大祖国75周年华诞，全国各地都升起了鲜艳的五星红旗——国旗．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是 ． 【题型3 利用平行判定相似】 【例3】如图，，则图中相似三角形的对数为(    ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 【变式3-1】如图，，相交于点，求证：． 【变式3-2】如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且，，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【变式3-3】如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有          对 【题型4 利用两角相等判定相似】 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 【变式4-3】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【题型5 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 【例5】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 【变式5-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【变式5-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【变式5-3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【题型6 利用三边对应成比例判定相似】 【例6】24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想． 【变式6-1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【变式6-2】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式6-3】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 【题型7 选择或补充条件使两三角形相似】 【例7】如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是： （填序号）． 【变式7-1】（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要 ． 【变式7-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在梯形中，，要使与相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）． 【变式7-3】（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【题型8 裁剪使两三角形相似】 【例8】如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（    ）    A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（    ） A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似 【变式8-3】如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【题型9 尺规作图使两个三角形相似】 【例9】（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰中，，，请用尺规在上求作一点，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式9-3】在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型10 数相似三角形的对数】 【例10】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 【变式10-1】如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（　　） A．1 B． 2 C．3 D．)4 【变式10-2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知、都是等边三角形，点D、E分别在、上，图中的相似三角形共有（   ）对． A．3对 B．4对 C．6对 D．7对 【变式10-3】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是矩形的边的中点，连接于点的延长线交于点，连接，则图中相似三角形有（    ） A．4对 B．6对 C．8对 D．5对 【题型11 存在相似三角形】 【例11】如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【变式11-1】在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（　　） A．6条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式11-2】如图，在矩形中，，点是上一点，，点是边上的一个动点，若使得以为顶点的三角形与相似，则这样的点有 个． 【变式11-3】如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个． 【题型12 由黄金分割求值】 【例12】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，点C，点D是线段的两个黄金分割点，点C （填是或不是）线段的一个黄金分割点． 【变式12-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 【变式12-3】如图，线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1•AB，则线段AP1的长度为 ；线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2•AP1，线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3•AP2，依次以此类推，APn的长度为 ． 【题型13 黄金分割的应用】 【例13】（24-25九年级下·湖南娄底·阶段练习）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台长为米，主持人现在站在处，则它应至少再走 米才最理想．（结果精确到米） 【变式13-1】（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 ． 【变式13-2】如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到0.1）    【变式13-3】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）安徽建省于清朝康熙六年（公元1667年），省名取当时安庆、徽州两府首字合成．如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“”与正方形对角线交于点，点为线段的黄金分割点，，则的长为 ．（结果保留根号） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 相似多边形、探索三角形相似的条件（举一反三讲义） 【北师大版】 【题型1 识别相似多边形】 3 【题型2 由相似多边形的性质求值】 5 【题型3 利用平行判定相似】 7 【题型4 利用两角相等判定相似】 9 【题型5 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 11 【题型6 利用三边对应成比例判定相似】 15 【题型7 选择或补充条件使两三角形相似】 18 【题型8 裁剪使两三角形相似】 20 【题型9 尺规作图使两个三角形相似】 23 【题型10 数相似三角形的对数】 27 【题型11 存在相似三角形】 31 【题型12 由黄金分割求值】 36 【题型13 黄金分割的应用】 39 知识点1 相似多边形 1.定义：两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比. 知识点2 相似三角形 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．和相似，记作． 2. 全等三角形与相似三角形的比较 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 图形表示 对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等 相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数 知识点3 三角形相似的判定 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似． 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和和，若，则． 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 4. 有关三角形相似的常见图形 图形特征 所需条件 证明方法 平行线型 已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等 两角分别相等的两个三角形相似． 斜交型 有公共角或对顶角， 两角分别相等的两个三角形似． 公共角的两边对应成比例， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 母子型 两角分别相等的两个三角形相似． 旋转型 有一组角对应相等， 公共角（对应角）的两边对应成比例，， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 知识点4 黄金分割 如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点. 与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618. 【题型1 识别相似多边形】 【例1】（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。 故选：A． 【变式1-1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的 ．（从平移、轴对称、相似、旋转中选） 【答案】相似 【分析】本题考查相似的应用，根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故答案为：相似． 【变式1-2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义． 结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确． 故选：． 【变式1-3】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，根据相似多边形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 【题型2 由相似多边形的性质求值】 【例2】（24-25九年级上·全国·假期作业）在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么放大后的矩形的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形，熟练掌握相似图形的相似比等宽的比、长的比是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解． 【详解】解：设放大后的长为． 由题意：， 解得：． 所以放大后的矩形的长为． 故选：A． 【变式2-1】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（   ） A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质．根据相似多边形的性质即可得解． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形相比较是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变． 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应角相等是解题的关键．利用相似多边形的对应角相等性质，再结合四边形的内角和为，求出每一个内角的角度，即可得出结论． 【详解】解：四边形和四边形相似， ，，，， 又， ． 故选：A． 【变式2-3】（2025九年级下·全国·专题练习）2024年10月1日，是伟大祖国75周年华诞，全国各地都升起了鲜艳的五星红旗——国旗．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是 ． 【答案】（2） 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等求解即可． 【详解】解∶∵，，，， ∴， 则（2）不符合标准， 故答案为∶（2）． 【题型3 利用平行判定相似】 【例3】如图，，则图中相似三角形的对数为(    ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 【答案】B  【分析】此题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似．解题的关键是注意识图，注意做到不重不漏． 由，根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，可得，，所以图中共有对相似三角形． 【详解】 解：， ，，． 图中共有对相似三角形． 故选B． 【变式3-1】如图，，相交于点，求证：． 【答案】证明：， ．  【解析】本题考查相似三角形的判定．根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由此即可证明问题． 【变式3-2】如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且，，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ．  【解析】本题考查了对相似三角形的判定的应用，注意：平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似． 根据相似三角形的判定平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似即可推出答案． 【变式3-3】如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有          对 【答案】  【分析】 此题考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质．注意相似的基本图形可分别记为“”型和“”型． 由四边形是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得，，则可得． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ． 故相似三角形共有对． 【题型4 利用两角相等判定相似】 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 由三角形角平分线的定义可得，即，由三角形外角的性质可推出，于是可证得，且依据已知条件，无法证明、、与相似，综上，即可得出答案． 【详解】解：是的平分线， ， 即：， 又， ， ， 且依据已知条件，无法证明、、与相似， 故选：． 【变式4-1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 根据作图可知，即可证明． 【详解】解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出．根据，即可证明结论． 【详解】证明：，， ，， ． ，， ． ． 【变式4-3】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识点．结合题意，可得，从而可得出，又，得出，即可证明． 【详解】证明： ，， ． 即． ， ． ． ， ． 【题型5 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 【例5】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质， 先根据正方形的性质得和都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 【详解】证明：∵，分别是正方形和正方形的对角线， ∴和都是等腰直角三角形，     ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【详解】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 【变式5-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 【变式5-3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 【题型6 利用三边对应成比例判定相似】 【例6】24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想． 【答案】；见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据勾股定理求出，得出，根据三条边对应成比例的两个三角形相似，得出． 【详解】证明：． 由勾股定理， ， ∴， ∴． 【变式6-1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 【变式6-2】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， 网格的特点可知， ∴ ∴ 故选：C． 【变式6-3】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查网格中的相似三角形，观察图形可知小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为，则小长方形的长为，正方形的边长为，分别求出每个三角形的边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知：小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为，则小长方形的长为，正方形的边长为， 图①三角形的三条边长分别为：， 图②三角形的三条边长分别为：， 图③三角形的三条边长分别为：， 图④三角形的三条边长分别为：， ∵， ∴图①和图④的两个三角形相似； 故选D． 【题型7 选择或补充条件使两三角形相似】 【例7】如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是： （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①符合题意； ②，时，，故②符合题意； ③，时， ，故③符合题意； ④，时，不能推出，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似． 【变式7-1】（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要 ． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式7-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在梯形中，，要使与相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的性质，三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．根据题意可证，结合三角形相似的判定定理添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当或时或时，与相似． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-3】（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 【题型8 裁剪使两三角形相似】 【例8】如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（    ）    A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：图①中，∵， ∴相似； 图②中，只有，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似； 图③中，， ∴； 图④中，只有，不符合相似三角形的判定， 不能推出和相似； 综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故D正确． 故选：D． 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 【变式8-2】数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（    ） A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定．图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得各自的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知数据即可证得，又有对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似． 【详解】解：图（1）由和得另一个角为，由和得另一个角为，则两三角形全等； 图（2）∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式8-3】如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 【题型9 尺规作图使两个三角形相似】 【例9】（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，圆内接四边形的性质，三角形中位线定理．分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：B、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； C、由作图知，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，点和点分别是和的中点， ∴， ∴，故本选项不符合题意； A、由作图知，和分别是的角平分线，不能说明和相似，故本选项符合题意； 故选：A． 【变式9-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰中，，，请用尺规在上求作一点，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 作的垂直平分线，交于点，连接，由此即可得． 【详解】解：如图，点即为所求．    理由：由线段垂直平分线的性质得：， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，相似三角形的判定，先在的内部作，再结合平行线的性质可得． 【详解】解：如图，点P即为所求． 理由：∵， ∴， 由作图可得：， ∴． 【变式9-3】在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：当是的垂线时，即时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 根据作图痕迹可知： 选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，是的垂线，故选项符合题意； 选项中，是的平分线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，不与垂直，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键． 【题型10 数相似三角形的对数】 【例10】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键； 根据相似三角形的判定定理分析即可求解； 【详解】解：图中有个三角形，分别是：、、、和； ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：， 即：，，，， ，，，，，，故图中相似三角形有对； 故选：C． 【变式10-1】如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（　　） A．1 B． 2 C．3 D．)4 【答案】C 【详解】 在 中， 在 中， 在 中， 在 中， 根据相似三角形的判定，,故选C. 【变式10-2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知、都是等边三角形，点D、E分别在、上，图中的相似三角形共有（   ）对． A．3对 B．4对 C．6对 D．7对 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，三角形内角和定理，根据相似三角形的判定定理即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵、都是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 综上，相似三角形共有对， 故选：D． 【变式10-3】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是矩形的边的中点，连接于点的延长线交于点，连接，则图中相似三角形有（    ） A．4对 B．6对 C．8对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的判定，矩形的性质．根据矩形的性质以及得到，而，，，即可证明． 【详解】解：如图， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴根据相似的传递性可得：， ∴有6对相似三角形， 故选：B． 【题型11 存在相似三角形】 【例11】如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 【变式11-1】在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（　　） A．6条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】△AOB是直角三角形，所作的以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，OC与AD可能是对应边，这样就可以求出CD的长度，以C为圆心，以所求的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与BD是对应边时，又有两条满足条件的直线，共有四条． 【详解】解：以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度， 当OC与AO是对应边，以C为圆心，以CD的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条． 同理，当OC与BO是对应边时，又有两条满足条件的直线， 所以共有四条． 故选C． 【变式11-2】如图，在矩形中，，点是上一点，，点是边上的一个动点，若使得以为顶点的三角形与相似，则这样的点有 个． 【答案】3 【详解】设． 在矩形中，， 当时，． 即． 当时，， 即．综上所述， 使得以为顶点的三角形与相似，这样的点有3个． 【易错点分析】两个三角形已经有一对角相等，夹这个角的两边对应关系应该考虑两种情况，有的同学可能只考虑了一种，还有的同学考虑两种情况之后，会认为既然是两种情况，就应该有两个点P，实际解出来却不一定．所以不求出最后结果是很难判断准确的． 【变式11-3】如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个． 【答案】11 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据平面内点使得与相似，即可得到不与点重合的点的个数． 【详解】解：如图所示，当时，（当点在另一侧时，也符合题意，下同）； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，（点与点重合时不合题意）． 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 综上所述，符合题意的点的位置有11个． 故答案为：11． 【题型12 由黄金分割求值】 【例12】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵点C、D是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：C． 【变式12-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，点C，点D是线段的两个黄金分割点，点C （填是或不是）线段的一个黄金分割点． 【答案】是 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 利用黄金分割的定义得到，可判断，再表示出，然后计算出，从而可判断点C是AD的黄金分割点． 【详解】解：点C，点D是线段的两个黄金分割点， ， ， ， 即， ， ， 点C是的黄金分割点． 故答案为：是． 【变式12-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查黄金矩形的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用黄金矩形的宽长比设未知数，并结合等腰直角三角形的边的关系求解． 通过设，根据黄金矩形性质表示出的长，再利用等腰直角三角形性质得到相关线段长度，进而求出． 【详解】解：如图： 设， 四边形是黄金矩形，且宽与长的比是， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，则， ，而， ，又， ， 故选：A． 【变式12-3】如图，线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1•AB，则线段AP1的长度为 ；线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2•AP1，线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3•AP2，依次以此类推，APn的长度为 ． 【答案】 （）n 【分析】根据图形的变化寻找规律，利用黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB．即可得结论． 【详解】∵线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1•AB， 则线段AP1的长度为：； 线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2•AP1， 则线段AP2的长度为：（）2； 线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3•AP2， 则线段AP3的长度为：（）3； 依次以此类推， APn的长度为：（）n． 故答案为：；（）n． 【点睛】本题考查了黄金分割、规律型-图形的变化类，解决本题的关键是掌握黄金分割定义． 【题型13 黄金分割的应用】 【例13】（24-25九年级下·湖南娄底·阶段练习）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台长为米，主持人现在站在处，则它应至少再走 米才最理想．（结果精确到米） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的计算，分式方程的运用，掌握黄金分割的计算方法是关键． 根据黄金分割点的计算方法列分式方程计算即可． 【详解】解：设至少再走米， ∴，整理得，， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴至少再走米， 故答案为： ． 【变式13-1】（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故答案为： 【变式13-2】如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到0.1）    【答案】4.3cm 【分析】设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为列式计算即可． 【详解】解：设蝴蝶身体的长度为xcm， 由题意得：＝， 解得：x＝≈4.3， 故答案为：4.3cm． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为是解题的关键． 【变式13-3】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）安徽建省于清朝康熙六年（公元1667年），省名取当时安庆、徽州两府首字合成．如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“”与正方形对角线交于点，点为线段的黄金分割点，，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，勾股定理，正方形的性质；根据勾股定理和正方形的性质求出，在根据黄金分割点的定义即可求出结果． 【详解】解：， ∵点为线段的黄金分割点， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $