专题4.3 探索三角形相似的条件（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题4.3 探索三角形相似的条件 教学目标 1. 知识与技能：理解并掌握相似三角形的多种判定方法，如两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例 ，能够准确运用这些判定定理判断两个三角形是否相似。 2. 过程与方法：经历相似三角形判定定理的探究过程，通过观察、猜想、操作、推理等活动，提高逻辑思维能力和归纳总结能力，体会数学中的类比、转化等思想方法。 3. 情感态度与价值观：感受相似三角形知识在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，培养学习数学的兴趣，增强学习数学的自信心。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握相似三角形的判定定理，包括两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似 ，并能运用这些定理进行简单的证明和计算。 （2）理解相似三角形判定定理的推导过程，体会从特殊到一般的数学探究方法。 2.难点 （1）相似三角形判定定理的证明过程较为复杂，需要学生具备较强的逻辑推理能力，理解证明思路和方法对学生来说有一定难度。 （2）在具体的几何图形中，准确识别相似三角形的对应边和对应角，以及灵活选择合适的判定定理来解决问题 ，这要求学生具备一定的观察能力和分析问题的能力，是教学中的难点之一。 知识点01 相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点02 相似三角形的判定定理 1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定定理（三）：如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 要点：此方法判定两个三角形是否相似，重点是求出对应三边的比，若三边对应成比例，那么这两个三角形相似. 4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 【即学即练1-1】下列各组条件中不能使与相似的是（   ） A．，， B．，， C．，，，， D．， 【即学即练1-2】如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）． 【即学即练1-3】如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 【即学即练1-4】如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 题型01 两角对应相等，两个三角形相似 【典例1】如图，，，，求证：． 【变式1】如图，是上的一个动点．当时，求证：． 【变式2】如图，在中，平分交于点D． 求证：． 【变式3】如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 题型02 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 【典例2】如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【变式1】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【变式2】如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【变式3】已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 题型03 三边对应成比例，两个三角形相似 【典例3】如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【变式1】根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 【变式2】如图，在4×4的正方形网格纸中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．求证：．    【变式3】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 题型04 判断三角形相似 【典例4】下列各组条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 题型05 添一个条件使两个三角形相似 【典例5】如图，在中，D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似． 【变式1】如图，要使与相似，则只需添加一个适当的条件是 ．（填一个即可）． 【变式2】如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要 ． 【变式3】在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 题型06 与三角形相似有关的多结论题 【典例6】如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】如图，点D在的边上，添加一个一条件，使，以下是嘉嘉和淇淇的做法．下列说法不正确的是（   ） 嘉嘉的做法：添加条件 证明：∵，．       ∴ (两组角对应相等的两个三角形相似） 淇淇的做法：添加条件 证明：∵，       ∴ (两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．嘉嘉的做法证明过程没有问题 B．淇淇的做法证明过程没有问题 C．嘉嘉的做法添加的条件没有问题 D．淇淇的做法添加的条件有问题 【变式3】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（    ） ①；②；③平分；④．    A．个 B．个 C．个 D．个 题型07 三角形相似的证明综合题 【典例7】如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1】如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【变式2】如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3】如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 一、单选题 1．下列各条件中，能判断的是（   ） A．， B．， C．， D．，，， 2．如图，，则下列各式不能说明的是（   ） A． B． C． D． 3．下列四组三角形中，是相似的三角形的一组是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，是边上一点（不与点，重合），过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．如图，在正方形中，E为中点，，连接，那么下列结论中：①与相似；②与相似；③与相似；④与相似；⑤；其中错误的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是 （只填写序号） 7．如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 8．如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是 ．（只填写一个你认为正确的答案） 9．如图，在矩形中，点E在上，于点F，于点G．若，，，则的长为 ． 10．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为 ． 三、解答题 11．如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 12．如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 13．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 14．如图所示，在矩形中，E是上的一点，过点E作交于点F，交的延长线于点G，且． (1)求证：； (2)若，矩形的周长为48，求的长． 15．如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 16．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 17．如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 18．如图，在四边形中，平分，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 探索三角形相似的条件 教学目标 1. 知识与技能：理解并掌握相似三角形的多种判定方法，如两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例 ，能够准确运用这些判定定理判断两个三角形是否相似。 2. 过程与方法：经历相似三角形判定定理的探究过程，通过观察、猜想、操作、推理等活动，提高逻辑思维能力和归纳总结能力，体会数学中的类比、转化等思想方法。 3. 情感态度与价值观：感受相似三角形知识在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，培养学习数学的兴趣，增强学习数学的自信心。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握相似三角形的判定定理，包括两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似 ，并能运用这些定理进行简单的证明和计算。 （2）理解相似三角形判定定理的推导过程，体会从特殊到一般的数学探究方法。 2.难点 （1）相似三角形判定定理的证明过程较为复杂，需要学生具备较强的逻辑推理能力，理解证明思路和方法对学生来说有一定难度。 （2）在具体的几何图形中，准确识别相似三角形的对应边和对应角，以及灵活选择合适的判定定理来解决问题 ，这要求学生具备一定的观察能力和分析问题的能力，是教学中的难点之一。 知识点01 相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点02 相似三角形的判定定理 1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定定理（三）：如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 要点：此方法判定两个三角形是否相似，重点是求出对应三边的比，若三边对应成比例，那么这两个三角形相似. 4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 【即学即练1-1】下列各组条件中不能使与相似的是（   ） A．，， B．，， C．，，，， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则即可得出答案，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键． 【详解】解：A、，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵， ∴与的夹角为，与的夹角为， 而给出的条件为， ∴不能判断，故选项符合题意； 故选：D． 【即学即练1-2】如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，和中，已满足一组对角相等，因此再添加一组对角相等，或相等的角的两条边长对应成比例，即可证明． 【详解】解：和中，， 若，则需要增加的一个条件是：或或， 故答案为：（答案不唯一）． 【即学即练1-3】如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，，结合已知条件得出，进而即可得出． 【详解】证明：∵四边形是正方形，P为中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【即学即练1-4】如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得．从而得到，再由可得，然后结合三角形外角的性质可得．从而得到，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 题型01 两角对应相等，两个三角形相似 【典例1】如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出．根据，即可证明结论． 【详解】证明：，， ，， ． ，， ． ． 【变式1】如图，是上的一个动点．当时，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意可得，，根据两个角分别对应相等的两个三角形相似即可求证． 【详解】证明：， ， ， 又， ， ， ． 【变式2】如图，在中，平分交于点D． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，结合平分，得，最后运用两组角分别相等的两个三角形是相似三角形，即可作答． 【详解】证明：∵在中，， ． 平分， ． ， ． 【变式3】如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，则，再通过等角的余角相等得出，最后利用相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型02 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 【典例2】如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 【变式1】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 【变式2】如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 【变式3】已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的性质、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 题型03 三边对应成比例，两个三角形相似 【典例3】如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 【变式1】根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用两角对应相等判定相似、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，，， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ，， ，， ． 【变式2】如图，在4×4的正方形网格纸中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．求证：．    【答案】见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定综合 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握．根据已知条件，结合网格可以求出和的度数，利用勾股定理求出相关线段的长；根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似． 【详解】证明：∵，， ，，，， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 题型04 判断三角形相似 【典例4】下列各组条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定逐一分析，即可完成求解． 【详解】A、根据不可判定全等，该项符合题意； B、根据即可判定全等，该项不符合题意； C、根据即可判定全等，该项不符合题意； D、根据即可判定全等，该项不符合题意； 故选：A． 【变式1】如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则依次判断即可，掌握相似三角形的判定法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴，故B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； ∵，， ∴无法证明，故D选项不符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式3】如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 分别根据相似三角形的判定方法进行逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项不符合题意； D、无法得出相似，故该选项符合题意． 故选：D． 题型05 添一个条件使两个三角形相似 【典例5】如图，在中，D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似． 【答案】或或 【分析】本题的主要考查点是三角形相似的判定．和中，是公共角，再找一组对应角相等，或者夹的两边对应成比例都可得到两三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴当或或时，． 故答案为：或或． 【变式1】如图，要使与相似，则只需添加一个适当的条件是 ．（填一个即可）． 【答案】（任选其一即可） 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）进行添加即可． 【详解】解：与中，，已满足一组对角相等， 根据相似三角形的判定定理，添加或，根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可证与相似； 添加，根据“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似” ，可证与相似； 故答案为：（任选其一即可）． 【变式2】如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要 ． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式3】在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 题型06 与三角形相似有关的多结论题 【典例6】如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 【变式1】如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】解：∵，， ∴．故（c）正确． ∵平分， ∴， ∴．故（b）正确． ∴， ∴， ∴．故（d）正确． 而不能证明，故（a）错误． ∴错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 【变式2】如图，点D在的边上，添加一个一条件，使，以下是嘉嘉和淇淇的做法．下列说法不正确的是（   ） 嘉嘉的做法：添加条件 证明：∵，．       ∴ (两组角对应相等的两个三角形相似） 淇淇的做法：添加条件 证明：∵，       ∴ (两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．嘉嘉的做法证明过程没有问题 B．淇淇的做法证明过程没有问题 C．嘉嘉的做法添加的条件没有问题 D．淇淇的做法添加的条件有问题 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故嘉嘉的做法以及过程没有问题，淇淇的做法添加的条件有问题，应为，说法正确；证明过程中用到两组对应边成比例及一组对应角相等，不能证明两个三角形相似，证明过程错误，故B选项符合题意； 故选：B． 【变式3】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（    ） ①；②；③平分；④．    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据旋转的性质知，因为，，所以，可得的度数； ②因为与不一定相等，根据三角形相似的判定即可作出判断； ③证明，得，即可； ④，，，根据勾股定理判断． 【详解】解：①∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴， 但与不一定相等， ∴与不一定相似，故结论②错误； ③∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故结论③正确； ④∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， 又∵， ∴，故结论④正确， ∴结论正确的个数有个． 故选：C． 题型07 三角形相似的证明综合题 【典例7】如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、相似三角形的判定综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴，       ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，          由（1）知：， ∴，   ∵， ∴． 【变式1】如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据等角对等边证明边相等、等边三角形的性质、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 【变式2】如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】比例的性质、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴ 【变式3】如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 一、单选题 1．下列各条件中，能判断的是（   ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、∵，，只有一角一边， ∴不能判断两个三角形相似，故A不符合题意； B、∵，，不是与的夹角， ∴不能判断两个三角形相似，故B不符合题意； C、由，可得， 再由，得， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， ∴可判断，故C符合题意； D、由，， 得， 由，， 得， ∵只有， ∴不能得，故D不符合题意． 故选：C． 2．如图，，则下列各式不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定定理有：三边对应成比例的两个三角形相似；两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．解决本题的关键是根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A选项：， ， ， 又， 根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，可得：， 故A选项不符合题意； B选项：是中边和边与中边与边对应成比例，但是无法说明它们的夹角与相等， 无法说明， 故B选项符合题意； C选项：，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明成立， 故C选项不符合题意； D选项：，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明成立， 故D选项不符合题意． 故选：B． 3．下列四组三角形中，是相似的三角形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵第一个等腰三角形的底角为， ∴顶角为， ∵第二个等腰三角形的顶角也等于， ∴两个三角形的夹角相等，夹边对应成比例，是一对相似三角形，符合题意； 、∵第一个等腰三角形的底角为， ∴顶角为， ∵两个等腰三角形的顶角不相等， ∴两个三角形不相似，不合题意； 、∵两个三角形的三边不成比例， ∴两个三角形不相似，不合题意； 、由勾股定理得，第二个直角三角形的另一条直角边长为， ∵两个三角形的三边不成比例， ∴两个三角形不相似，不合题意； 故选：． 4．在中，，是边上一点（不与点，重合），过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以． 【详解】解：过点作的垂线，作的垂线，作的垂线共三条直线， 故选：C． 5．如图，在正方形中，E为中点，，连接，那么下列结论中：①与相似；②与相似；③与相似；④与相似；⑤；其中错误的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，根据正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵为中点，， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形，，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴，故正确； ∴，故④正确 ∵， ∴和不相似，故错误； ∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个， 故选：A． 二、填空题 6．如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是 （只填写序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键． 分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：根据网格可知：，，，的三边之比是， 同理可求：①的三边之比是； ∴与不相似， ②中，． ∴②与相似， ③中，． ∴与不相似， 故答案为：②． 7．如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 8．如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是 ．（只填写一个你认为正确的答案） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形相似的判定定理，选择适当的条件即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故可以添加如下条件：， 故答案为：． 9．如图，在矩形中，点E在上，于点F，于点G．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．先利用勾股定理求出，然后证明，求出，再证明，求出，即可进一步求得答案． 【详解】解：，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是根据两直角三角形的公共锐角，判断出两三角形相似的所有情况． 根据公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当为公共锐角时，只存在为直角的情况；当为公共锐角时，存在和为直角两种情况，根据各种情况，可求得点的坐标． 【详解】 解： 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，作，假设交于点，此时， 为的中点， 点坐标为， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 根据得： ， 即：， 解得：， ， 在上， ， 此时点坐标为； 综上所述，点坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 12．如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 13．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 【答案】(1)； (2)相似，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长度． （2）根据相似三角形的判定定理：对应边成比例，夹角相等，即可证明与相似． 【详解】（1）， ； 故答案为：；． （2）相似，理由如下: ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定，掌握相似三角形判定定理并根据图形得到两个三角形的边与边、角与角的关系是解题关键． 14．如图所示，在矩形中，E是上的一点，过点E作交于点F，交的延长线于点G，且． (1)求证：； (2)若，矩形的周长为48，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)19.5 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由矩形的性质得出，再根据角的互余关系证出，根据证明，得出对应边相等即可； （2）设，则，根据矩形的周长列出方程，解方程求出、，得出、，再证明，得出比例式求出，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， （2）解：设，则， 矩形的周长为48， ， 解得：， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ． 15．如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 【答案】(1)见解析 (2)添加，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定； （1）证明有两对角相等即可判断； （2）假设，可以推出即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：添加， 如果， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故添加：，能证明． 16．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明即可； （）由，得，，根据，，再根据相似三角形的判定方法即可得证； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 17．如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定、矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和折叠的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据折叠的性质可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 设， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 18．如图，在四边形中，平分，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）先利用直角三角形斜边中线的性质得出，则可得，再结合平分即可证明 （2）利用，，可得，再利用相似的性质即可得； （3）利用平行判定，求出，再利用线段的比例性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$