第3章 勾股定理 提优测评卷(B) 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

 第3章提优测评卷(B)

用时:120分钟 总分:120分 得分:       

 

一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)

1.(2025·泰州靖江市期末)下列各组数中，是勾股数的是().

A. 1,2,3 B.5,12,13 C. 0.3,0.4,0.5 D. 4,6,8

2.(2025·徐州沛县期末)下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是().

A. a=1.5,b=2,c=2.5 B. a:b:c=3:4:5

C. ∠A+∠B=∠C D. ∠A:∠B:∠C=3:4:5

3.若等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为().

A.6 B. 7 C. 8 D. 5

4.(苏州自主招生)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该长方形的面积为().

A. 20 B. 24 C.  D. ⁵³2

 

5.(2025·镇江金坛区期中)如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6;D为AC上一点.若 BD 是∠ABC 的平分线,则AD 的长是(    ).

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

6.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D 为AC上一点,点E 是AB上一点,且∠BDE=90°,DB=DE=AE,若 BC=5,则AD的长是(    ).

A. 7 B. 9.5 C.5 D. 10

7.传统文化《九章算术》  (2024·宿迁宿城区期中)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何.”(丈、尺是长度单位，1丈=10尺)其大意为有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，如图，那么水深为().

A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺

8.(2025·无锡宜兴实验教育集团月考)如图,在△ABC中,AB=6,AC=9,AD⊥BC于D,M为AD上任一点，则 等于(    ).

A. 29 B. 32 C. 36 D. 45

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

9.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为        cm.

10.实验班原因 如图,在△ABC中,AD⊥BC 于点D,BE⊥AC于点E,交AD 于点F,BF=10,DF=CD=6,则BE=        .

11.(2024·陕西中考)如图,在△ABC中,AB=AC,E 是边AB 上一点,连接CE,在BC的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC 的面积为        .

12.(2025·常州武进区期中)在△ABC 中,AB=15,BC=20,BD 为AC边上的高,且 BD=12,则AC=       .

13.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,D 为AC上的一点,且DA=DB=5,△DAB 的面积为10,那么AB²为        .

14.实验班原因 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，BC为斜边作等腰直角三角形，其面积分别为S₁，S₂，以AB 为边作正方形，其面积为S.若S₁与S₂的和为9，则正方形的边长AB等于        .

15.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF 平分∠ACD,且EF∥BC交AC于点M,若CM=3,则CE² 的值为        .

16.教材P107复习题T12·变式我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意：如图，把枯木看作一个圆柱，因一丈是10尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B处，则问题中葛藤的最短长度是        尺.

17.如图，在一款游戏中，角色到达一个高为10m的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17m，高为3m的矮台B，角色在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN=        m.

18.如图,在△ABC中,已知AB=2,AD⊥BC,垂足为D,BD=2CD.若E 是 AD 的中点,则 EC=        

三、解答题(本大题共8小题，共84分)

19.(8分)(2024·泰州姜堰区期末)如图，学校高17m的教学楼AB 上有一块高5m 的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC 进行维护.一辆高2m 的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯(云梯最长25m)，刚好接触到 AC 的底部点A 处.问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好

接触到AC 的顶部点C处?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.(8分)如图,在 中， ,垂足为D.求AD,BD 的长.

 

 

 

 

 

21.(10分)(2024·辽宁大连中山区期中)如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE 和 分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量， DC=3,CE=5,BD=7,AB=8,AE=1,求四边形ABDE 的面积.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12第3章提优测评卷(B)

1. B 2. D 3. D

4. B[解析]设小正方形的边长为x，

∵a=3,b=4,∴AB=3+4=7.

在 Rt△ABC 中,

即

整理，得

而长方形面积为 无需求x的值，只需代入 即可

∴该长方形的面积为 24.故选 B.

思路引导 欲求长方形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ABC 中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该长方形的面积.

5. C [解析]如图,过点 D 作AB 的垂线,垂足为 P.

在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,

由勾股定理，得

∵BD 是∠ABC的平分线,∴∠CBD=∠PBD.

在△BDC 和△BDP 中

∴△BDC≌△BDP(AAS),∴BC=BP=6,CD=PD,设CD=PD=x,

在Rt△ADP 中,PA=AB-BP=4,AD=8-x,

由勾股定理，得

解得x=3,∴AD=5.故选C.

6. D [解析]过点 E 作EF⊥AC 于点F,如图.

∵∠BDE=90°,

 

在△BDC 和△DEF 中,

 

∴△BDC≌△DEF(AAS),

∴DF=BC=5.

∵DE=AE,EF⊥AC,

∴AD=2DF=10.故选 D.

7. C[解析]设水深为h尺,则芦苇长为(h+1)尺,根据勾股定理，得 解得h=12,∴水深为12尺.故选C.

8. D [解析]在 Rt△ABD 和Rt△ADC 中, 在 Rt△BDM 和 Rt△CDM中, .故选 D.

9.4.8 10.

11.60 [解析]∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.

∵BF∥AC,∴∠ACB=∠CBF,

∴∠ABC=∠CBF,

∴BC 平分∠ABF.

如图,过点C作CM⊥AB 于点M,CN⊥BF 于点N,

 

∴△AOE≌△OBF(AAS),

∴OE=BF,AE=OF,即OE+OF=AE+BF=CD=17m.

∵EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7(m),

∴CD=CM+DM=AE+BF=OF+OE=2OE+EF,

∴2OE+EF=17m,∴2OE=10m,∴OE=5m.

∴OF=12m.

∴OM=OF+FM=15m.

由勾股定理,得ON=OB=13m,

∴MN=15-13=2(m).故在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 MN 为2m.

方法诠释 本题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用，正确得出△AOE≌△OBF 是解题关键.

18.1

19.如图,过点 D 作DE⊥AB交AB 于点E,

由题意，得AE=AB-BE=17-2=15(m),CE=AB+AC-BE=17+5-2=20(m),

在Rt△AED 中,由勾股定理,得 DE=20 m,

在 Rt△CED'中,由勾股定理,得

故工程车向教学楼方向行驶5米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C 处.

20.∵∠BAC=90°,AB=15,AC=20,

 

 

∴AB·AC=BC·AD,

∴15×20=25AD,∴AD=12,

 

21.由题意,得AC=AE+CE=1+5=6,BC=BD+DC=7+3=10.

在 Rt△EDC 中,由勾股定理,得 DE=4.

 

∴△ABC 是直角三角形,且∠BAC=90°,

 

 

故四边形ABDE 的面积为18.

22.(1)由题可知AB=240米,AE=450米,∠BAE=90°,在直角三角形ABE 中，由勾股定理，得

 (米).

故售票处B 与游乐园大门E 之间的距离为510米.

(2)小明先到达游乐园大门E.理由如下：小明走过的路程为240+510=750(米),如图,过点 C 作CF⊥BA 于点F,

 

代数式 的最小值为

可以看成线段CP+PD的最小值

 

25.(1)9 12

(2)如图,作BE⊥AC于点E,在AC 的延长线上取点 D,使得DE=AE,连接BD,则BE 是边 AD 的垂直平分线,

∴AB=BD,∠A=∠D.

∵3∠A+2∠ABC=180°,∠A+∠ABC+∠BCA=180°,

∴2∠A+∠ABC=∠ACB,

∵∠ACB=∠D+∠DBC,

∴2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC.

∵∠A=∠D,∴∠A+∠ABC=∠DBC,BD=AB=c,即∠DCB=∠DBC,∴DB=DC=c,

由题意，得

 

在Rt△BEC中,

在Rt△BEA 中,

 即 整理，得

26.(1)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,由勾股定理,得AC=4.设斜边AB 上的高为h,

 

∴AC 的长为4,斜边AB 上的高为2.4.

(2)①2t-4

  [解析]当点 P'在∠BAC 的平分线上时，过点 P'作P'D⊥AB,如图(1).

∵AP'平分∠BAC,P'C⊥AC,P'D⊥AB,

 

 

在Rt△ACP'和 Rt△ADP'中,

∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'(HL),∴AD=AC=4.

又AB=5,∴BD=1.

在 Rt△BDP'中,由勾股定理,得 即 解得

(3)由题意知，当△BCP 是等腰三角形时，点P 必在线段AC 或线段AB 上.