八年级数学上学期期中学情自测·培优卷（新教材苏科版，举一反三，测试范围：第1章 三角形～第3章 勾股定理）

八年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（26-27八年级上·山东·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的加法法则、乘法法则，以及算术平方根、立方根的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列各组数据是勾股数的一组是（     ） A． B．7、24、25 C．0.3、0.4、0.5 D．2、3、5 【答案】B 【分析】勾股数的定义：勾股数是能构成直角三角形三边的一组正整数；需同时满足三个数均为正整数、两个较小数的平方和等于最大数的平方两个条件，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A中的、、都不是正整数，选项C中的0.3、0.4、0.5都不是正整数， ∴A、C都不是勾股数，不符合题意； 选项B：，且7、24、25都是正整数， ∴ 7、24、25是勾股数，符合题意； 选项D：，，， ∴ D不是勾股数，不符合题意． 3．（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，， ∴， 故A能判定，不符合题意； ∵， ， ∴， 故B能判定，不符合题意； ∵， ∴， 又∵ ， ∴， 故D能判定，不符合题意； 不能判定的是． 4．（25-26七年级下·河南开封·期末）在下列四个数中，其中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简含根号的数，再判断各数是否为无理数． 【详解】解：∵是分数，是有限小数，是整数， ∴，，均为有理数， ∵开方开不尽， ∴是无理数． 5．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系及取不等式组的特殊解．由三角形三边关系和周长条件列不等式组确定的取值范围，结合周长为偶数的条件验证选项． 【详解】解：三角形最长边为，由三边关系得，解得． 周长为，由周长不大于，得，解得． 由周长为偶数，得为偶数，即为奇数． 综上，的取值范围是，且为奇数． 选项A、B、D均满足上述条件，选项C中不满足，无法构成三角形，不符合条件． 6．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可判断为的垂直平分线，可得，，通过周长公式进行等量代换求解． 【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线， 则，， ， ， 的周长为， ， ，即， ， 故的周长为． 7．（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】根据，，分别是，，的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：由，，分别是，，的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是等边三角形得，， 则，证明是等边三角形得， 则，再证明， 得，由此可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴，， ∵点在边上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据矩形的性质可得，由勾股定理解得；由折叠的性质可得，进而可得，；设，则，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴． 10．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设为未知数，利用等腰三角形两底角相等分别表示出与，结合建立等式求出，再算出；最后证，得到平分，求出． 【详解】解：设． ∵， ∴． ∴． ， 为等腰三角形， ． ， 为等腰三角形， ． 由图可知，代入式子： ∵， ， 解得，即． ， ． 在和中， ． ∴． ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线分别与、交于点、，那么_____． 【答案】3 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（2025·陕西·模拟预测）比较大小：_____(填，， 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 14．（26-27八年级上·湖北·期中）如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由，，可以得到，再根据，可以得到，从而求得，然后利用全等三角形的性质可以求得的长． 【详解】解：，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，． ， ． 15．（25-26八年级下·湖南怀化·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝24，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是________ 【答案】13 【分析】利用基本作图可判断EF垂直平分AB，则AD=BD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=AB，再由勾股定理解出AB的长即可解答． 【详解】解：由题意可知，EF垂直平分AB，则AD=BD， CD=AB， BC＝10，AC＝24， ， CD=AB=13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查基本作图—垂直平分线，勾股定理、直角三角形斜边中线性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 16．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 【答案】或 【分析】先求出，，的长，以及，再分六种情况：①，②，③，④，⑤，⑥，分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ③当时， ∴，，， ∴，， ∴解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ④当时， ∴，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑤当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑥当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； 综上，当点的运动速度为或时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)４ 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； （2）解：当，，时，． 18．（6分）（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】(1) ， 另一方面， 即， ； (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 19．（8分）（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 20．（8分）（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，据此可证明结论； （2）由三线合一定理得到，则可求出，证明是等腰直角三角形，可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 21．（10分）（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； （2）略 22．（10分）（25-26八年级下·吉林松原·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图． (1)在图①中，画出线段，使； (2)在图②中，画一个钝角等腰三角形，且点、均在格点上； (3)在图③中，画一个面积是的正方形，且点在正方形的内部． 【答案】(1) 如图： (2) 如图： (3) 如图： 【分析】（1）结合勾股定理得出，构建一个直角边分别为、的直角三角形，使为斜边，据此即可画图； （2）令等腰三角形的钝角为，则点在边的垂直平分线上，据此即可画图； （3）面积是的正方形的边长为，根据，可以确定正方形的边长是以、为直角边的直角三角形的斜边， 据此画图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23．（12分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 【答案】(1)①如图，点P即为所求作的点； ②千米 (2)20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，尺规作线段垂直平分线，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求； ②设千米，则千米，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：①略 ②设千米，则千米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （2）解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设，则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 24．（12分）（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知等边，将线段绕着点顺时针旋转度（）得到线段，点对应点是点，连接，过点作的垂直平分线交直线于点，交线段于点，若射线在边右侧． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)； (2) (3)证明：在射线上截取，连接， 由（2）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在射线上截取，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据旋转的性质，等边对等角结合三角形的内角和定理进行求解即可； （2）易得，等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，三角形的内角和定理求出，对顶角相等，即可得出结果； （3）在射线上截取，连接，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，在射线上截取，连接，易得是等边三角形，证明，推出，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果. 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∴； （2）解：∵等边， ∴， ∴，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 三角形~第3章 勾股定理 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（26-27八年级上·山东·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列各组数据是勾股数的一组是（     ） A． B．7、24、25 C．0.3、0.4、0.5 D．2、3、5 3．（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南开封·期末）在下列四个数中，其中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 8．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 12．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线分别与、交于点、，那么_____． 13．（2025·陕西·模拟预测）比较大小：_____(填，， 14．（26-27八年级上·湖北·期中）如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 15．（25-26八年级下·湖南怀化·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝24，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是________ 16．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 18．（6分）（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 19．（8分）（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 20．（8分）（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 21．（10分）（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 22．（10分）（25-26八年级下·吉林松原·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图． (1)在图①中，画出线段，使； (2)在图②中，画一个钝角等腰三角形，且点、均在格点上； (3)在图③中，画一个面积是的正方形，且点在正方形的内部． 23．（12分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 24．（12分）（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知等边，将线段绕着点顺时针旋转度（）得到线段，点对应点是点，连接，过点作的垂直平分线交直线于点，交线段于点，若射线在边右侧． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)求的度数； (3)求证：． 2 / 30 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