专题26.3 特殊二次函数的图像与性质(第2课时)（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题26.3 特殊二次函数的图像与性质(第2课时) 教学目标 1. 会用描点法画出二次函数y=a（x+m）2、y=a（x+m）2+k（a≠0）； 2. 知道二次函数y=a（x+m）2+k的图像特点； 3. 掌握二次函数y=a（x+m）2+k的图像与性质及应用。 教学重难点 1.重点 （1）继续特殊学习特殊二次函数的图像与性质； （2）巩固列表、描点探索函数的图像与性质；并会画出函数的大致图像； （3）二次函数y=a（x+m）2、y=a（x+m）2+k（a≠0）的应用； 2.难点 （1）含参数的特殊二次函数图像与性质综合分析； （2）特殊二次函数图像与性质的几何应用。 知识点1 二次函数y=a（x+m）2(a≠0)的图像与性质 1.二次函数y=a（x+m）2(a≠0)的图像与性质（m＞0） 二次函数y=a（x+m）2（a≠0，m＞0）的图像的性质，如下表： 函数 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 y=a（x+m）2 （a≠0，m＞0） a>0 向上 （-m，0） 直线x=-m 当x＞m时，随的增大而增大；x＜m时，随的增大而减小；x=m时，有最小值． a<0 向下 （-m，0） 直线x=-m x＞m时，随的增大而减小；x＜m时，随的增大而增大；x=m时，有最大值． 2.二次函数y=a（x+m）2(a≠0)的图像与性质（m＜0） 二次函数y=a（x+m）2（a≠0，m＜0）的图像的性质，如下表： 函数 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 y=a（x+m）2 （a≠0，m＜0） a>0 向上 （-m，0） 直线x=-m 当x＞m时，随的增大而增大；x＜m时，随的增大而减小；x=m时，有最小值． a<0 向下 （-m，0） 直线x=-m x＞m时，随的增大而减小；x＜m时，随的增大而增大；x=m时，有最大值． 抛物线y=a(x+m)²(其中a、m是常数，且a≠0)的对称轴是过点(-m,0)且平行(或重合)于y轴的直线，即直线x=-m;顶点坐标是(-m,0).当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 要点：一般地，抛物线y=a(x+m)²(其中a、m是常数，且a≠0)可以通过将抛物线y=ax²向左(m>0时)或向右(m<0时)平移|m|个单位得到. 【即学即练】 1．在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图像．根据所画图像，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【答案】见解析 【分析】利用描点法即可画出函数的图像，再根据图像填写表格。 【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图像． 先列表： x … 0 1 2 3 … … 0 … … 0 … … 0 … 描点、连线，画出这三个函数的图像: 根据所画图像，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 【点睛】本题主要考查描点法画函数图像，并通过函数图像得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性．熟练画出函数图像并得到抛物线的性质是解题的关键． 2．下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．依据二次函数顶点式的性质，从开口方向和顶点坐标两个角度分析逐项判断即可 ． 【详解】解：函数， ， 抛物线开口向下， 选项A、B不符合题意， 抛物线的顶点坐标为（即顶点在x轴上，且横坐标为），选项C、D的抛物线开口向下，而选项C的抛物线顶点在x的负半轴上；选项D的抛物线顶点在x轴正半轴， 符合条件的是选项C， 故答案为：C． 3．已知点和点在二次函数的图像上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质．把点的坐标代入函数解析式求出，，即可得到答案． 【详解】解；∵点和点在二次函数的图像上， ∴，， ∴， 故选：C 4．已知二次函数的图像，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像与性质． 根据题意可得函数图像的对称轴为直线，开口向上的二次函数，根据题意，求解即可. 【详解】根据题意可得函数图像的对称轴为直线，开口向上的二次函数， 在对称轴的右边随的增大而增大，则， 故选：D． 知识点2 二次函数y=a（x+m）2+k(a≠0)的图像与性质 1.这里，先给出结论，即二次函数y=a（x+m）2+k(a≠0)的图像与性质，如下表 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 （-m，k） 直线x=-m 当x＞m时，随的增大而增大；x＜m时，随的增大而减小；x=m时，有最小值． 向下 （-m，k） 直线x=-m 当x＞m时，随的增大而减小；x＜m时，随的增大而增大；x=m时，有最大值． 2.下面我们再讨论a，m，k的符号，共有八种图像， ①a＞0，m＞0，k＜0 ②a＜0，m＞0，k＞0 ③a＜0，m＜0，k＞0 ④a＞0，m＜0，k＜0 还有四种图像可以自主画出，以练习画出函数大致图像的能力。 3.通过对上面问题的讨论，我们看到二次函数y=a(x+m)²+k(其中a、m、k是常数，且a≠0)的图像即抛物线y=a(x+m)²+k,可以通过将抛物线y=ax²进行两次平移得到.这两次平移可以是：先向左(m>0时)或向右(m<0时)平移|m|个单位，再向上(k>0时)或向下(k<0时)平移|k|个单位. 利用图形平移的性质，可知： 抛物线y=a(x+m)²+k(其中a、m、k是常数，且a≠0)的对称轴是过点(一m,0)且平行(或重合)于y轴的直线，即直线x=-m;顶点坐标是(一m,k).当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 【即学即练】 1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1)； (2)． 【答案】(1)开口方向：向上；对称轴：直线；顶点： (2)开口方向：向下；对称轴：直线；顶点： 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，理解二次函数的性质是解题的关键． （1）根据直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标； （2）根据直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口向上， ， 抛物线的对称轴为：直线；顶点坐标是：； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向下， 抛物线对称轴为：直线；顶点坐标是：． 2．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的图像与性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向上 直线 向上 直线 向下 直线 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握当时抛物线开口向上，当时抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，是解题的关键． 3．将二次函数图像水平向左平移2个单位长度后的图像顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图像平移后所得函数图像的顶点坐标，二次函数图像水平向左平移2个单位长度后的函数解析式为即，即可得出答案． 【详解】解：二次函数图像水平向左平移2个单位长度后的函数解析式为即， 故顶点坐标为， 故选：C． 4．已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．抛物线与y轴的交点坐标为 C．y有最小值，且最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像及性质．根据抛物线的顶点式分析对称轴、最值、增减性，并计算与y轴的交点． 【详解】解：选项A：抛物线的顶点式为，对称轴为直线，正确， 选项B：令，得，与y轴交点为，正确， 选项C：因二次项系数为1（正数），抛物线开口向上，顶点的纵坐标1为最小值，正确， 选项D：开口向上时，对称轴左侧（），y随x增大而减小，而非增大，错误， 故选：D． 5．设是抛物线上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征. 抛物线开口向下时，离对称轴越近的点，函数值越大. 计算各点与对称轴的距离即可比较大小. 【详解】抛物线的开口向下，对称轴为直线. 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为. 由于开口向下，距离对称轴越近的点，函数值越大. 因此，. 故选：A. 题型01 画出特殊二次函数的图像，并总结其特点、性质 【典例1】．在同一坐标系中画出下列函数的图像，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图像的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质．根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【变式1】．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）开口向上，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，5）；（2）开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－2）；（3）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，7）；（4）开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）． 【分析】根据的符号直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1），开口向上，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，5）； （2），开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－2）； （3），开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，7）； （4），开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，理解二次函数的性质是解题的关键． 题型02 特殊二次函数图像的有关概念填空 【典例1】．抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式的性质．直接利用抛物线的解析式即可写出． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【变式1】．抛物线 的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】根据顶点式写对称轴即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故答案为：直线． 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴．解题的关键在于熟练掌握：的对称轴为直线． 【变式2】．抛物线开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【答案】 上 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的顶点坐标表达解析式：，其中的值决定开口方向，的值是对称轴，是顶点坐标． 【详解】解：抛物线中，的值大于0， 所以：开口向上； 对称轴是直线； 顶点坐标是． 故答案为：上，，． 题型03 特殊二次函数图像的平移 【典例1】．已知抛物线，下列哪种平移方式可使该抛物线的顶点平移到原点（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移4个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移4个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移4个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移4个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，点在平移中的变化规律，掌握点的平移规律：“横坐标左减右加，纵坐标上加下减．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 抛物线的顶点为， 将向左平移3个单位， 再向下平移4个单位得， 故选：D． 【变式1】．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的平移规律”是解本题的关键．抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，根据平移规律直接作答即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位后，所得抛物线的表达式是： 即． 故答案为：． 【变式2】．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像的平移．根据题意求将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为， ∴向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为． 故选：C． 题型04 根据特殊二次函数的性质比较大小 【典例1】．已知点、、都在函数的图像上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数的图像开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的性质得在对称轴的左边时，y随x的增大而减小，在对称轴的右边时，y随x的增大而增大，根据点、、三点到对称轴的距离分别为3，2，1得，即可得． 【详解】解：函数的图像开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的左边时，y随x的增大而减小，在对称轴的右边时，y随x的增大而增大， ∵点、、三点到对称轴的距离分别为3，2，1， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【变式1】．若二次函数的图像经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键．根据点距离对称轴越远函数值越小判断即可． 【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴是直线，根据点距离对称轴越远函数值越小， 距离对称轴6， 距离对称轴2， 距离对称轴1， ， ， 故选：A 【变式2】．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为 （用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：在中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点离直线的距离最远，在直线上， ∴． 故答案为：． 题型05 特殊二次函数图像、性质综合辨析 【典例1】．对于二次函数的图像，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】利用形如的形式的二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，， 二次函数的开口向上，当时，随的增大而增大， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数中，决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口，对称轴为直线，熟练掌握此二次函数的性质是解题的关键． 【变式2】．已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．抛物线与y轴的交点坐标为 C．y有最小值，且最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像及性质．根据抛物线的顶点式分析对称轴、最值、增减性，并计算与y轴的交点． 【详解】解：选项A：抛物线的顶点式为，对称轴为直线，正确， 选项B：令，得，与y轴交点为，正确， 选项C：因二次项系数为1（正数），抛物线开口向上，顶点的纵坐标1为最小值，正确， 选项D：开口向上时，对称轴左侧（），y随x增大而减小，而非增大，错误， 故选：D． 题型06 根据要求写出特殊二次函数的解析式 【典例1】．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 【变式1】．将抛物线绕它的顶点旋转后得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意将抛物线绕顶点坐标旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反，开口大小不变，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线绕它的顶点旋转， ∴顶点坐标仍为，开口大小不变，即，开口方向相反，即， ∴旋转后的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出旋转后顶点坐标不变，开口方向相反，开口大小不变是解本题的关键． 【变式2】．已知一条抛物线的对称轴是直线，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是 ．（只要写出一个符合条件的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；由题意知，抛物线的开口向上，根据对称轴与开口方向写出一个二次函数的表达式即可． 【详解】解：∵在对称轴右侧的部分是上升的 ∴抛物线的开口向上； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线可为：； 故答案为：（答案不唯一）． 题型07 求参数范围 【典例1】．已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图像开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图像开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 【变式1】．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 【答案】/ 【分析】可先求得抛物线的对称轴，以及开口方向，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案．本题主要考查二次函数图像性质，由函数的增减性，对称轴，以及开口方向得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：， 对称轴为， 抛物线开口向下， 在对称轴右侧随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， 即， 故答案为： 【变式2】．已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定a的取值范围即可．掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的， ∴． 故答案为：． 题型08 根据特殊二次函数图像求解 【典例1】．二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图像得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图像可得：，， ， 一次函数的图像经过第二、三、四象限， 故选：D． 【变式1】．如图，二次函数的图像与轴交于两点，下列说法错误的是（    ）    A．点的坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．图像的对称轴为直线 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图像与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：A．图像与x轴交于、B，关于对称，所以，说法正确，但不符合题意； B．当时，y随x的增大而增大，说法错误，但符合题意； C．由抛物线的解析式可知对称轴，说法正确，但不符合题意； D．根据函数图像可知，函数图像与y轴交于正半轴，即当时，， ∴，说法正确，但不符合题意． 故选：B． 【变式2】．已知二次函数的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标，轴对称方程，结合抛物线的开口方向，再逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，轴对称为直线， ∵抛物线开口向上，则，抛物线对称轴位于y轴右侧， 则， ∵顶点在第四象限， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是抛物线的图像与性质，熟记抛物线的顶点式的特点及图像性质是解本题的关键． 【变式3】．如图，现要在抛物线上找点，根据值的不同，找到的点的个数也不同．若能找到2个满足条件的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及二次函数最值、直线与抛物线的交点等知识，读懂题意，转化为直线与抛物线交点个数是2时，求的取值范围是解决问题的关键． 【详解】解：抛物线， 抛物线顶点坐标为， 作直线（为常数），如图所示： 若能找到2个满足条件的点，则的取值范围为， 故选：A． 题型09 特殊二次函数的几何应用 【典例1】．已知二次函数y=﹣(x+1)2+2． （1）填空：此函数图像的顶点坐标是　 　； （2）当x　 　时，函数y的值随x的增大而减小； （3）设此函数图像与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积． 【答案】（1）（﹣1，2）；（2）x＞﹣1（或x≥﹣1）；（3）3. 【分析】（1）根据二次函数顶点式的形式解答即可；（2）根据二次函数的性质，图像的开口方向及对称轴解答即可；（3）先求出A、B、C三点坐标，再求出AB的距离，即可求出△ABC的面积； 【详解】（1）二次函数y=﹣ +2的顶点坐标是（﹣1，2）． 故答案是：（﹣1，2）； （2）因为二次函数y=﹣+2的开口方向向下，且对称轴是直线x=﹣1， 所以当x＞﹣1（或x≥﹣1）时，函数y的值随x的增大而减小． 故答案是：x＞﹣1（或x≥﹣1）； （3）令x=0时，易求： y=， ∴点C的坐标为（0，）即：OC= 令y=0时，易求：x1=1，x2=﹣3 易求：AB=4． ∴=3． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、函数的增减性是解题关键. 【变式1】．抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图像的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 【变式2】．如图，直线平行于轴，二次函数的图像与直线交于，两点，二次函数的图像与直线交于，两点，其顶点为，若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键掌握二次函数的性质．设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点，根据题意可得：，，进而得到，，求出，即可求解． 【详解】解：设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点， ，，， ，， ，， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 题型10 新定义题 【典例1】．定义运算：，例如，，则函数的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数对称轴，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求对称轴． 【详解】解：， ， 即， 对称轴为直线， 故答案为：． 【变式1】．已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图像，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点，根据得到顶点坐标，再求顶点坐标满足的函数解析式即可． 【详解】解：∵顶点坐标为， ∴设，消去得， ∴它们的顶点坐标满足的函数解析式是， 故答案为：． 题型11 最值问题的综合应用 【典例1】．已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当 时，a取得最大值． 【答案】2 【分析】先求出顶点坐标，再根据，，，进行分类讨论求出a的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵函数的顶点坐标为：， ①当，即时，y在处取最小值， 即， ∴， ②当，即时，y在处取最小值， 即， ∵当时，， ∴，即， ③当，即时，y在处取最小值， 即， ∴， 综上所述，a的最大值为0，此时， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1】．已知二次函数，当，且时，的最小值为，的最大值，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，，则的最小值为为负数，最大值为为正数．分两种情况讨论：①当时，时，取最小值，求出的值，当时，取最大值，可求得的值，即可得到的值；②当时，当时，取最小值，求出的值，当时，取最大值，求出的值，或时，取最小值，时，取最大值，分别求出，的值，故可求解． 【详解】解：二次函数的大致图像如下： 时，的最小值为，的最大值为， ，， ①当时，时，取最小值，即， 解得：． 当时，取最大值，即， 解得：或均不合题意，舍去； ②当时，当时，取最小值，即， 解得：． 当时，取最大值，即， 解得：， 或时，取最小值，时，取最大值， ，， ， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，数形结合是解题的关键． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标为（    ） A．（-1，0） B．（1，0） C．（1，1） D．（-1，-1） 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线y=-（x+1）2， ∴该抛物线的顶点坐标为（-1，0）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．对于函数，下列说法不正确的是（   ） A．图像的开口向下 B．图像的对称轴是直线 C．最大值为0 D．图像与y轴不相交 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，直接按照性质进行判断即可 【详解】解：∵ ∴图像开口向下，A选项正确，不符合题意 由题意，该二次函数的顶点坐标为 ∴图像的对称轴是直线，最大值=0，B选项和C选项正确，不符合题意 ∵当时， ∴函数图像与y轴相交，交点坐标为，D选项不正确，符合题意 故选：D ． 3．抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在x轴上 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像性质特点是解题的关键． 比较两个抛物线的开口方向、对称轴、形状大小及顶点位置，逐一判断选项． 【详解】解：先分别对这两个抛物线进行分析，再进行选项判断： 抛物线 开口方向：二次项系数，开口向上. 对称轴：由顶点式可知对称轴为直线. 顶点：顶点坐标为，位于轴上. 形状大小：由决定. 抛物线 开口方向：二次项系数，开口向下. 对称轴：由顶点式可知对称轴为直线. 顶点：顶点坐标为，位于轴上. 形状大小：由决定. 分别对选项进行判断. A：开口方向相反，不同. B：对称轴分别为和，不同. C：分别为和，形状大小不同. D：两顶点和均在轴上，相同. 故答案为：D. 4．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数图像平移的规律． 由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标求解． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点坐标为， 平移后解析式为， 故选：C． 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，利用性质直接判断图像即可 【详解】解：∵， ∴图像开口向上，顶点坐标为，顶点坐标位于轴上 故选：D ． 6．已知二次函数的图像如图，则一次函数的大致图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图像以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的符号是解题关键．首先根据二次函数的图像得出a，c的符号，进而利用一次函数的性质得出图像经过的象限． 【详解】解：根据二次函数开口向上，得， 根据c是二次函数图像顶点坐标的纵坐标，得， 故一次函数的大致图像经过一、三、四象限， 故选：B． 7．对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：抛物线， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， 故①③正确， 故选：B． 8．已知二次函数（h为常数），当时，y的最小值为10，则h的值为（   ） A．1或 B．1或 C．1或3 D．或5 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质， 二次函数的顶点为，开口向上，当不在范围内时，函数在范围内端点处取得最小值，分和两种情况讨论，分别代入端点求解的值． 【详解】当时： 函数在上函数值随着x的增大而增大，最小值在处取得， 当，得：， 解得， 即（舍去，因）或； 当时： 函数在上函数值随着x的增大而减小，最小值在处取得， 当，得：， 解得， 即或（舍去，因）． 当时： 顶点在范围内，此时最小值为6，与题目矛盾，故舍去． 综上，的值为或． 故选：D． 9．函数的图像如图所示，结合图像判断，下面结论错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，取得最大值3 D．当时，随的增大而减少 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，取得最大值3，对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴当时，随的增大而减少， 由图像可知当时，部分值大于0， 综上，错误的是B选项； 故选：B． 10．直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图像与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的判别式，先得出直线的解析式为，因为二次函数（其中是自变量）的图像与直线有两个不同的交点，故建立方程，整理得出，则，解得，结合其对称轴在轴右侧，故，即可作答． 【详解】解：∵直线过点且与轴垂直， ∴直线的解析式为， ∵二次函数（其中是自变量）的图像与直线有两个不同的交点， ∴，对称轴为， 整理得出， 则， 解得， ∵其对称轴在轴右侧， ∴， 故选：B 二、填空题 11．请写出一个开口向上，顶点坐标为的二次函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的解析式的顶点式，可知顶点坐标为；再由二次项系数a的符号可以判断抛物线的开口方向：当时，抛物线开口向上，当时，开口向下，从而写出答案． 【详解】解：顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 又二次函数的图像开口向上， ，取，得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次项系数的作用与二次函数的顶点式是解此题的关键． 12．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质写出答案即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 13．二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数顶点式，二次函数的顶点坐标为，由此可解． 【详解】解：二次函数 的顶点坐标为， 故答案为：． 14．已知，在抛物线上，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像上的点的坐标特征，已知自变量求函数值，计算出是解决本题的关键． 将，分别代入，计算出，即可比较大小． 【详解】解：将，分别代入 得：，， ∴， 故答案为：． 15．已知，当时，函数值y随x的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，熟知开口向上的二次函数，在对称轴左侧函数值y随x的增大而减小，在对称轴右侧，函数值y随x的增大而增大是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 16．已知二次函数，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，由函数开口向上，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，熟练掌握二次函数对称轴与函数值的关系是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：． 17．若两个函数，的图像关于直线对称，则 ， ． 【答案】 2 6 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据两个函数的图像关于直线对称，可得，且两个函数的图像的对称轴也关于直线对称，进而可得答案． 【详解】解：函数的图像的对称轴为直线，的图像的对称轴为直线， ∵两个函数，的图像关于直线对称， ∴，， 解得， 故答案为：2，6． 18．已知抛物线的顶点在轴上，当时，函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据顶点在轴上求出的值，再分析抛物线的性质，结合给定的的取值范围，确定函数值的取值范围．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标、对称轴、开口方向以及函数最值的求法是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． ∵顶点在轴上，轴上的点纵坐标为 ∴，解得． ∴抛物线解析式为，其对称轴为，开口向上． 当时，有最小值； 当时，； 当时，． ∵在中，时最小为，时最大为 ∴函数值的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 19．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 20．已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． (1)求，的值； (2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可； （2）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标． 【详解】（1）因为平移不改变图像的形状， 所以， 抛物线向左平移两个单位长度得到， 即， 所以； （2）抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质． 21．已知二次函数（h是常数），且． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【答案】(1)函数的最大值为0； (2)h的值是4或． 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0； （2）解：∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是4或． 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可； （2）先得出抛物线的对称轴为直线，关于的对称点为，进而分在对称轴的左侧和右侧两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴在对称轴的左侧， ∴关于的对称点为， ∴， ∵，， ∴或， 解得：或． 23．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC; 【答案】 【分析】过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0）， 于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=（m-2），由于PB=n=，于是得到 （m-2）=，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果． 【详解】解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC， 由抛物线y=得C（2，0）， ∴对称轴为直线x=2， 设B（m，n）， ∴CP=m-2， ∵AB∥x轴， ∴AB=2m-4， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°， ∴PB=PC=（m-2）， ∵PB=n=， ∴（m-2）=， 解得m=，m=2（不合题意，舍去）， ∴AB=，BP=， ∴S△ABC=． 【点睛】本题考查二次函数的性质. 24．如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）分别令，，利用解析式解答即可； （2）先求出，过点作所在直线于点，设，则，利用铅锤法得出，列式求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 则， 令，得， 解得：，， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作所在直线于点， 设，则， 则， 则， 同理当点在抛物线上段时，， 当点在抛物线上点右侧时，， 综上，， 则， ∴， 即， 当时，解得，， 分别代入， 得，， 即点的坐标为或； 当时，由，无解； 综上所述，点的坐标为或． 25．定义：在平面直角坐标系中，一条抛物线经过平移后，得到一条抛物线，如果这两条抛物线的顶点和坐标原点能构成一个等腰直角三角形，那么我们称这两条抛物线互为等勾股抛物线，也可以说其中一条抛物线是另一条抛物线的等勾股抛物线． （1）求证：抛物线与抛物线是等勾股抛物线； （2）若抛物线与抛物线是等勾股抛物线，求的值． （3）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，请你直接写出该抛物线的等勾股抛物线的解析式． 【答案】（1）见解析； （2）或； （3）， ， ， 【分析】（1）先求得顶点分别为与，再根据等勾股抛物线定义即可得出． （2）根据等勾股抛物线定义，按直角顶点分类讨论即可． （3）先求得顶点分别为，再根据等勾股抛物线定义即可得出 【详解】（1），，求得顶点分别为与， 易证，与原点构成的三角形为等腰直角三角形， 故：抛物线与抛物线是等勾股抛物线； （2）由题可知：抛物线与抛物线是等勾股抛物线， 则，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 则，，， ①若以为直角顶点，则， 即：，解得，则； ②若以为直角顶点，则， 即：，解得，不符合题意，舍去； ③若以为直角顶点，则, 即：，解得或（舍去），则； 的值为或； （3）由题意，抛物线的顶点为，， 直线的解析式为，则设直线垂线的解析式为， ①若以点为直角顶点，将代入，解得，则， 如图，此时抛物线的等勾股抛物线的顶点应在直线上， 设其顶点坐标为，， 则由，得，解得或， 即等勾股抛物线的顶点为， ， ②若以点为直角顶点，则， 如图，此时抛物线的等勾股抛物线的顶点应在直线上， 设其顶点坐标为，， 则由，得，解得， 即等勾股抛物线的顶点为， ， ③若以点为直角顶点，取的中点，代入中，解得，则， 如图，此时抛物线的等勾股抛物线的顶点应在直线上， 设其顶点坐标为，，， 则由，得，解得或， 即等勾股抛物线的顶点为， ， 综上，抛物线的等勾股抛物线的解析式有： ， ， ， 【点睛】本题考查了二次函数与等腰直角三角形的综合问题，审清题意，抓住定义，分类讨论是解决问题的关键． 2 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.3 特殊二次函数的图像与性质(第2课时) 教学目标 1. 会用描点法画出二次函数y=a（x+m）2、y=a（x+m）2+k（a≠0）； 2. 知道二次函数y=a（x+m）2+k的图像特点； 3. 掌握二次函数y=a（x+m）2+k的图像与性质及应用。 教学重难点 1.重点 （1）继续特殊学习特殊二次函数的图像与性质； （2）巩固列表、描点探索函数的图像与性质；并会画出函数的大致图像； （3）二次函数y=a（x+m）2、y=a（x+m）2+k（a≠0）的应用； 2.难点 （1）含参数的特殊二次函数图像与性质综合分析； （2）特殊二次函数图像与性质的几何应用。 知识点1 二次函数y=a（x+m）2(a≠0)的图像与性质 1.二次函数y=a（x+m）2(a≠0)的图像与性质（m＞0） 二次函数y=a（x+m）2（a≠0，m＞0）的图像的性质，如下表： 函数 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 y=a（x+m）2 （a≠0，m＞0） a>0 向上 （-m，0） 直线x=-m 当x＞m时，随的增大而增大；x＜m时，随的增大而减小；x=m时，有最小值． a<0 向下 （-m，0） 直线x=-m x＞m时，随的增大而减小；x＜m时，随的增大而增大；x=m时，有最大值． 2.二次函数y=a（x+m）2(a≠0)的图像与性质（m＜0） 二次函数y=a（x+m）2（a≠0，m＜0）的图像的性质，如下表： 函数 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 y=a（x+m）2 （a≠0，m＜0） a>0 向上 （-m，0） 直线x=-m 当x＞m时，随的增大而增大；x＜m时，随的增大而减小；x=m时，有最小值． a<0 向下 （-m，0） 直线x=-m x＞m时，随的增大而减小；x＜m时，随的增大而增大；x=m时，有最大值． 抛物线y=a(x+m)²(其中a、m是常数，且a≠0)的对称轴是过点(-m,0)且平行(或重合)于y轴的直线，即直线x=-m;顶点坐标是(-m,0).当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 要点：一般地，抛物线y=a(x+m)²(其中a、m是常数，且a≠0)可以通过将抛物线y=ax²向左(m>0时)或向右(m<0时)平移|m|个单位得到. 【即学即练】 1．在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图像．根据所画图像，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 2．下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 3．已知点和点在二次函数的图像上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．已知二次函数的图像，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点2 二次函数y=a（x+m）2+k(a≠0)的图像与性质 1.这里，先给出结论，即二次函数y=a（x+m）2+k(a≠0)的图像与性质，如下表 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 （-m，k） 直线x=-m 当x＞m时，随的增大而增大；x＜m时，随的增大而减小；x=m时，有最小值． 向下 （-m，k） 直线x=-m 当x＞m时，随的增大而减小；x＜m时，随的增大而增大；x=m时，有最大值． 2.下面我们再讨论a，m，k的符号，共有八种图像， ①a＞0，m＞0，k＜0 ②a＜0，m＞0，k＞0 ③a＜0，m＜0，k＞0 ④a＞0，m＜0，k＜0 还有四种图像可以自主画出，以练习画出函数大致图像的能力。 3.通过对上面问题的讨论，我们看到二次函数y=a(x+m)²+k(其中a、m、k是常数，且a≠0)的图像即抛物线y=a(x+m)²+k,可以通过将抛物线y=ax²进行两次平移得到.这两次平移可以是：先向左(m>0时)或向右(m<0时)平移|m|个单位，再向上(k>0时)或向下(k<0时)平移|k|个单位. 利用图形平移的性质，可知： 抛物线y=a(x+m)²+k(其中a、m、k是常数，且a≠0)的对称轴是过点(一m,0)且平行(或重合)于y轴的直线，即直线x=-m;顶点坐标是(一m,k).当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 【即学即练】 1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1)； (2)． 2．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 3．将二次函数图像水平向左平移2个单位长度后的图像顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．抛物线与y轴的交点坐标为 C．y有最小值，且最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 5．设是抛物线上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型01 画出特殊二次函数的图像，并总结其特点、性质 【典例1】．在同一坐标系中画出下列函数的图像，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图像的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【变式1】．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型02 特殊二次函数图像的有关概念填空 【典例1】．抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 【变式1】．抛物线 的对称轴是 ． 【变式2】．抛物线开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 题型03 特殊二次函数图像的平移 【典例1】．已知抛物线，下列哪种平移方式可使该抛物线的顶点平移到原点（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移4个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移4个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移4个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移4个单位 【变式1】．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 【变式2】．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（    ）． A． B． C． D． 题型04 根据特殊二次函数的性质比较大小 【典例1】．已知点、、都在函数的图像上，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若二次函数的图像经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为 （用“”连接） 题型05 特殊二次函数图像、性质综合辨析 【典例1】．对于二次函数的图像，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【变式1】．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【变式2】．已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．抛物线与y轴的交点坐标为 C．y有最小值，且最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 题型06 根据要求写出特殊二次函数的解析式 【典例1】．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【变式1】．将抛物线绕它的顶点旋转后得到的抛物线解析式为 ． 【变式2】．已知一条抛物线的对称轴是直线，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是 ．（只要写出一个符合条件的即可） 题型07 求参数范围 【典例1】．已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 【变式2】．已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是 ． 题型08 根据特殊二次函数图像求解 【典例1】．二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【变式1】．如图，二次函数的图像与轴交于两点，下列说法错误的是（    ）    A．点的坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．图像的对称轴为直线 D． 【变式2】．已知二次函数的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】．如图，现要在抛物线上找点，根据值的不同，找到的点的个数也不同．若能找到2个满足条件的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型09 特殊二次函数的几何应用 【典例1】．已知二次函数y=﹣(x+1)2+2． （1）填空：此函数图像的顶点坐标是　 　； （2）当x　 　时，函数y的值随x的增大而减小； （3）设此函数图像与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积． 【变式1】．抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 【变式2】．如图，直线平行于轴，二次函数的图像与直线交于，两点，二次函数的图像与直线交于，两点，其顶点为，若，，，则点的坐标为 ． 题型10 新定义题 【典例1】．定义运算：，例如，，则函数的对称轴为直线 ． 【变式1】．已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图像，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ． 题型11 最值问题的综合应用 【典例1】．已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当 时，a取得最大值． 【变式1】．已知二次函数，当，且时，的最小值为，的最大值，则的值为 ． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标为（    ） A．（-1，0） B．（1，0） C．（1，1） D．（-1，-1） 2．对于函数，下列说法不正确的是（   ） A．图像的开口向下 B．图像的对称轴是直线 C．最大值为0 D．图像与y轴不相交 3．抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在x轴上 4．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图像如图，则一次函数的大致图像可能是（　　） A． B． C． D． 7．对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 8．已知二次函数（h为常数），当时，y的最小值为10，则h的值为（   ） A．1或 B．1或 C．1或3 D．或5 9．函数的图像如图所示，结合图像判断，下面结论错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，取得最大值3 D．当时，随的增大而减少 10．直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图像与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．请写出一个开口向上，顶点坐标为的二次函数 ． 12．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 13．二次函数的顶点坐标为 ． 14．已知，在抛物线上，则 ； 15．已知，当时，函数值y随x的增大而 ． 16．已知二次函数，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是 ． 17．若两个函数，的图像关于直线对称，则 ， ． 18．已知抛物线的顶点在轴上，当时，函数值的取值范围是 ． 三、解答题 19．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 20．已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． (1)求，的值； (2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 21．已知二次函数（h是常数），且． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 23．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC; 24．如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．定义：在平面直角坐标系中，一条抛物线经过平移后，得到一条抛物线，如果这两条抛物线的顶点和坐标原点能构成一个等腰直角三角形，那么我们称这两条抛物线互为等勾股抛物线，也可以说其中一条抛物线是另一条抛物线的等勾股抛物线． （1）求证：抛物线与抛物线是等勾股抛物线； （2）若抛物线与抛物线是等勾股抛物线，求的值． （3）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，请你直接写出该抛物线的等勾股抛物线的解析式． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $