精品解析：海南省文昌中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

2025—2026学年度第一学期高三第一次月考试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的含义即可得到答案. 【详解】，根据交集的含义则. 故选：D. 2. 已知复数，则（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法以及模的运算公式即可求解. 【详解】因为，所以． 故选：D． 3. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求和，代入即可求解. 【详解】由锐角满足，即，所以， 所以，所以， 故选：C. 4. 已知函数且 ，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算即得. 【详解】由题意知 ， 所以，即得 解得. 故选：C. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用奇偶性排除部分选项，再由函数值的符号判断排除可得选项. 【详解】解：因为函数的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，故排除C、D， 又，故排除B选项. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换以及诱导公式计算即可． 【详解】因为， 所以，故． 故选：B. 7. 若，设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数定义域，判断奇偶性和单调性，比较的大小即可. 【详解】由题意知，由， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大， 即 ， 单调递增， 因为，， 且，， 所以，所以， 即，也就是. 故选：D 8. 已知函数，在处取得最小值，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质求出取得最小值的，再利用诱导公式求解. 【详解】当时，，， 则当，即时，函数取得最小值，因此， 此时，所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数且在单调递增 B. 函数的定义域为 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的图象即可判断A ；求出函数的定义域，即可判断B；通过比差法比较与0的关系，即可判断C；设，利用换元法求出函数的解析式，即可判断D. 【详解】对于A，如下图所示，由函数的图象可知， 函数的图象关于原点对称，且在上单调递增， 所以函数是奇函数且在单调递增，故A正确； 对于B，要使函数有意义， 须满足，即，解得， 所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，因为， 且，，所以，， 所以，即，故C错误； 对于D，设，则， 所以， 即，故D正确. 故选：ABD 10. 已知实数，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断A；利用基本不等式可逐项判断BCD. 【详解】对于选项A：当时，则不成立，故A选项错误； 对于选项B：， 当且仅当时等号成立，即，故B选项正确； 对于选项C：， 当且仅当，即时等号成立，则，故C选项错误； 对于选项D：， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 于，即，故D选项正确. 故选：BD 11. 若函数图象的一条对称轴方程为，则（ ） A. B. C. 图象的一条对称轴为直线 D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性的性质有条件列方程可求，由此判断AB，再根据正弦型函数的对称轴的求法及单调区间的求法判断CD. 【详解】函数， 设，， 则， 因为函数图象的一条对称轴方程为， 由，即， 化简可得， 所以，所以A不正确，B正确； . 令，得， 当时，得，所以C正确； 令， 得， 当时，，所以D不正确. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状(如图2)，在扇形AOB中，，，则扇形AOB的面积为________cm2. 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的圆心角为，扇形的半径为，根据扇形的面积公式计算即可. 【详解】在扇形AOB中，因为，， 所以由扇形面积公式可知. 故答案为： 13. 已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数为单调递减函数列出不等式组解即可. 【详解】由题意，函数对任意的，都有成立， 即函数为R上的减函数， 可得，解得. 故答案为：. 14. 设函数的定义域为，满足．当时，，则函数最小正周期为_________；方程有且仅有_______个实数解. 【答案】 ①. 8 ②. 6 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法确定函数的周期，再结合函数图象求出最小正周期；作出的图象，数形结合求出方程实数解个数. 【详解】函数的定义域为，由，得， 由，得，则， 即，因此，8是函数的一个周期， 当时，，函数在上递增，在上递减，值域为， 由，得函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于直线对称， 作出函数在上的图象，观察图象得函数最小正周期为8； 由，得，则方程实数解个数， 即为函数与函数图象交点个数，在上述坐标系内作出函数图象， 而函数的值域为，当时，， 因此函数与函数图象只在内有交点， 观察图象得函数与函数图象有且只有6个交点， 所以方程有且仅有6个实数解 故答案为：8；6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和，其中. （1）求数列通项公式； （2）若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由当时，；当时，，计算即可得到所求通项公式； （2）运用裂项相消法求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数的最小值． 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，，满足上式，所以 【小问2详解】 由 . 所以，即的最小值为. 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）把的图象向左平移个单位长度，得到的图象．若的图象关于直线对称，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据诱导公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再采用整体替换的方法，结合正弦函数的单调递增区间即可求出的单调递增区间； （2）先结合（1），根据图象平移即可得到的解析式，再根据正弦函数的对称性即可求出的最小值． 【小问1详解】 由 ， 又，，解得，， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 由(1)知，又的图象关于直线对称， 则，，解得，， 因为，则取，得的最小值为． 17. 如图，在三棱锥中，平面，. （1）求证；平面平面； （2）若，，三棱锥的体积为100，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面得到，再结合，可证明平面，从而可求解； （2）由题意知求出，建立空间直角坐标系，再利用空间面面夹角向量方法，从而可求解. 【小问1详解】 证明：由题意得平面，因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为，，，所以， 又因为三棱锥的体积为，即，得， 由题意可得以原点，分别以平行于，及，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 设二面角为，则. 所以锐二面角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若，求函数的零点个数. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）两个零点 【解析】 【分析】（1）先求函数在该点的函数值和导数值，再利用导数的几何意义，即可求切线方程. （2）对函数求导，解出临界点，再根据参数的取值分类讨论其单调性，即可得解. （3）将零点问题转化为函数与直线的交点个数问题，结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的最小值以及函数在区间端点（极限情况）的函数值，即可判断交点个数，从而得到零点个数. 【小问1详解】 由已知，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由已知，且. 令，解得. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，，此时在上单调递增. 当时，，此时在上单调递增. 【小问3详解】 要求函数的零点个数，即求函数与直线的交点个数. 由（2）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 若，则在上单调递减，在上单调递增. 所以，又，所以， 又当和时，， 所以函数与直线有两个交点，故函数有两个零点. 19. 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值； ②已知点，直线DP，DQ与直线分别交于点 M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形DMHN为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②存在，. 【解析】 【分析】（1）由离心率及椭圆的短轴长求出即可得方程. （2）①设，，联立直线与椭圆，应用中点公式及中点在直线上得到关于的方程，求参数值； ②设直线的方程为，分别求出的纵坐标，结合韦达公式得，确定的中点坐标，再由平行四边形的性质求坐标，即可得结论. 【小问1详解】 由椭圆C：的短轴长为，得， 由椭圆的的离心率为，得，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 ①设，，由，得， 由，得，，， 设中点坐标为，则， 因为在直线上，所以，即 所以，解得； ②存在点使得四边形为平行四边形， 由在椭圆上，得，，设直线的方程为， 令，得，同理， 又由①知， 则 ， 因此线段的中点坐标为，连接，则线段的中点坐标也为， 由，得，所以点H的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高三第一次月考试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数且 ，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在处取得最小值，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数奇函数且在单调递增 B. 函数的定义域为 C. 若且，则 D. 若，则 10. 已知实数，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 若函数图象的一条对称轴方程为，则（ ） A. B. C. 图象的一条对称轴为直线 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 小明同学在公园散步时，对公园扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状(如图2)，在扇形AOB中，，，则扇形AOB的面积为________cm2. 13. 已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是___________. 14. 设函数的定义域为，满足．当时，，则函数最小正周期为_________；方程有且仅有_______个实数解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和，其中. （1）求数列通项公式； （2）若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）把的图象向左平移个单位长度，得到的图象．若的图象关于直线对称，求的最小值． 17. 如图，在三棱锥中，平面，. （1）求证；平面平面； （2）若，，三棱锥的体积为100，求二面角的余弦值. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若，求函数的零点个数. 19. 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值； ②已知点，直线DP，DQ与直线分别交于点 M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形DMHN为平行四边形．若存在，求出点H坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $