第一章集合与常用逻辑用语本章复习导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 本 章 复 习 1. 了解集合的相关概念，理解元素与集合的属于关系以及集合的表示方法． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，并能熟练运用定义解决常见问题． 4. 理解命题与定理、定义之间的关系，理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，理解判定定理、性质定理、定义分别与充分条件、必要条件、充要条件的关系． 5. 会用全称量词与存在量词描述一些数学命题，能正确地写出全称量词命题与存在量词命题的否定． 6. 体会分类讨论、数形结合的思想在集合问题中的应用，体会转化与化归思想的应用．会使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性． 活动一 构建知识网络 活动二 理解集合概念，掌握基本方法 例1　设集合A＝. (1) 试判断1和2与集合A的关系； (2) 用列举法表示集合A. 例2　已知集合A＝{|a＋1|，3，5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2，3}时，求A∪B. 活动三　理解充要条件　 例3　是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x－2>0或3x＋3<0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；如果不存在，请说明理由． 例4　已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，求实数a的值． 活动四　理解量词的概念　 例5　已知命题p：∃x0∈R，x－mx0＋1＝0，命题q：m>1.若p为假命题，q为真命题，求实数m的取值范围． 例6　先判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，再写出命题的否定，并判断其真假． (1) 有些质数是奇数； (2) 所有二次函数的图象都开口向上； (3) ∃x0∈Q，x＝5； (4) 不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根． 活动五　探究提升能力　 例7　已知A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，A∪B＝A，求实数m的取值范围． 已知A＝{x|－2＜x＜7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，A∪B＝A，求实数m的取值范围． 已知A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且A∩B＝B，求实数m的取值范围． 已知A＝{x|－2＜x＜7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围． 1. (2025玉溪月考)如图，已知矩形U表示全集，A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. (∁UA)∩(∁UB) B. (∁UA)∪(∁UB) C. (∁UB)∩A D. (∁UA)∩B 2. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. (多选)(2025长春期末)下列结论中，正确的是(　　) A. 命题“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题 B. “x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分不必要条件 C. 已知命题p“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”，则命题p的否定为真命题 D. 命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”为真命题 4. (2024天津西青期中)已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|－1<x<a＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 5. 已知命题p：∃x∈{x|6≤x≤20}，x<2a，命题q：∀x∈R，x2＋2x－a>0. (1) 若命题p和命题¬q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围； (2) 若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围． 本 章 复 习 【活动方案】 例1 (1) 当x＝1时，＝2∈N，所以1∈A. 当x＝2时，＝∉N，所以2∉A. (2) 令x＝0，1，2，3，4，代入，检验∈N是否成立，可得A＝{0，1，4}． 例2 由题意，得|a＋1|＝2，所以a＝1或a＝－3. 当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3，2a＋1＝3，由集合中元素的互异性知a≠1，不符合题意； 当a＝－3时，集合B＝{－5，3，2}，符合题意， 所以A∪B＝{－5，2，3，5}． 例3 因为4x＋p<0，所以x<－. 因为x－2>0或3x＋3<0，所以x>2或x<－1. 又因为“4x＋p<0”是“x－2>0或3x＋3<0”的充分条件， 所以－≤－1，即p≥4， 故实数p的取值范围为p≥4. 例4 由题意，得p：x≥－2，q：x≥a－1. 因为p是q的充要条件， 所以a－1＝－2，即a＝－1. 例5 p为假命题，即关于x的方程x2－mx＋1＝0无实数解，则m2－4<0，解得－2<m<2； q为真命题，则m>1. 综上，实数m的取值范围是1<m<2. 例6 (1) “有些质数是奇数”是存在量词命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题． (2) “所有二次函数的图象都开口向上”是全称量词命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题． (3) “∃x0∈Q，x＝5”是存在量词命题，其否定为“∀x∈Q，x2≠5”，真命题． (4) “不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称量词命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题． 例7 因为A∪B＝A，所以B⊆A. 又B≠∅，所以 解得2<m≤4， 故实数m的取值范围为2<m≤4. 跟踪训练1　因为A∪B＝A，所以B⊆A. 又B≠∅，所以解得2≤m<4， 所以实数m的取值范围为2≤m<4. 跟踪训练2　由题意，得B⊆A. ①若B＝∅，则m＋1≥2m－1，解得m≤2； ②若B≠∅，则解得2<m≤4. 综上，实数m的取值范围为m≤4. 跟踪训练3　由题意，得B⊆A. ①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2； ②若B≠∅，则解得2≤m<4. 综上，实数m的取值范围为m<4. 【检测反馈】 1. D　在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∉A且x∈B，即x∈∁UA且x∈B，所以阴影部分可表示为(∁UA)∩B. 2. A　由题意，得“攻破楼兰”不一定会“返回家乡”，但“返回家乡”一定是在“攻破楼兰”的前提下，故“返回家乡”是“攻破楼兰”的充分不必要条件． 3. ABD　对于A，当x＝4时，x2－3x－4＝0成立，所以命题“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题，故A正确；对于B，由x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4.又{4}是{－1，4}的真子集，所以“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，因为m>0，所以Δ＝1＋4m>0，所以方程x2＋x－m＝0有实数根，即命题p为真命题，所以命题p的否定为假命题，故C错误；对于D，因为m2＋n2＝0，所以m＝0且n＝0，故D正确．故选ABD. 4. {a|a≥1}　因为x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，所以AB，所以a＋1≥2，解得a≥1，所以实数a的取值范围是{a|a≥1}． 5. (1) 若命题p为真命题，即命题∃x∈{x|6≤x≤20}，x<2a，所以6<2a，所以a>3； 若命题q为真命题，即∀x∈R，x2＋2x－a>0， 所以Δ＝22＋4a<0，解得a<－1. 因为命题p和命题¬q有且只有一个为假命题， 所以当命题p为假命题，命题¬q为真命题时， 即－1≤a≤3； 当命题p为真命题，命题¬q为假命题时， 即a∈∅. 综上，实数a的取值范围是－1≤a≤3. (2) 若命题p和命题q都为假命题，则 即－1≤a≤3. 因为命题p和命题q至少有一个为真命题， 所以a>3或a<－1. 故实数a的取值范围是a<－1或a>3. 学科网（北京）股份有限公司 $