四川省泸州市纳溪中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

纳溪中学校高2023级高三年级上期第一次月考 数学试题卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 已知集合4=6x1二3<0，B=(←2，-1,01,23)，则4nB=5 x+1 A.(1 B.{L,2} 惊美C.0,马 深简！ D.{0,1,2} 2. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2=15,S,=65,则{an}的公差为 A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.已知函数f(x)=e+x,则满足f(x)>f(2x-1)的x的取值范围是日(E A.（-0,-1) B.(-o,1) C.(-1,+∞) D.(L,+0) 县 4.已知函数fx)=x(x-a)子在x=1处取得极大值，则a的值是 A.1 B.2 C.3 D.4 5.设a,b是实数，则“a>b"是“a2>b2的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6。若函数f闭=加(@r+@>0在0上单调遥增，则心的取值范固是 A.(0,2] B.(0,] 7.若am(0-孕=3，则sm20=线生心+， A月 4 B.5 C.-5 8.已知平面向量1OA上4,1OB=3,10C=1,OAOB=0,则1CA+CB1的最小值是 ,0 A.1 B.2 C. D.3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 部大本：智器国 《位1代将蓝小本)2 9.若复数z满足z+3z=4+2i,则 员s8w+5一气西说 A.|z=2 B.z的虚部为-1 〉不次( C.1+i为纯虚数 D.z8=16 丝背，游网冰水武汽坐头清风明（大 10.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则 A.-2π是f(x)的一个周期 B.∫（因）的图象关于直线x=对称 c,在写，孕上单调递减 D.f倒的最小值为-3W5 小本).0 2 11. 已知函数f(x)的定义域为R,若f1+x)+f(3-x)=2,f()-f(2-x)=4-4x,则 A.f(0)=4 B.f(0)+f1)+f(2)+f3)=8 C.f(x)+f(x+2)=8-4x , D.f(2024)=-4043 三填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.已知向量a=4,1),b=(2,-5),则a在a+b上的投影向量的坐标为 13.已知函数f(x)= [ax-2,<2,对任意实数k,方程f)=k有解，则a的取值范 l0g2x,x≥2 围是 14.设函数f6)=(a2+bx+c)[2cos(r)+1(abc≠0)，当x∈[0,2]时，f)≤0则b+c 的值为 三、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验 算步骤满分) 15.(本小题满分13分) 已知函数fw=2sm(2x+孕-V3(x∈) (1)求不等式f(x)>0的解集； (2)将fx)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得 到g(x)的图像，求曲线y=g(x)在点(5,8(》处的切线与坐标轴围成的三角形面 积 16.（本小题满分15分) 设S为数列{a}的前n项和，且2S=3a-9 (1)求数列{a,}的通项公式： (2)设数列伍)满足4=3，b1=ab,求觉1一的值。 台log2b 17.（本小题满分15分) 设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA_cosB+cosC a b+c (1)求A: (2)若2b+c2的最大值为6+25，求a的值。 18.（本小题满分17分) 2 己知函数f)=a+e++a-1G∈) (1)证明：y=f(x-1)为奇函数； (2)求f(x)的导函数的最小值。 (3)若f(x)恰有三个零点，求a的取值范围 19.(本小题满分17分) 对于nEN,若数列{c,}满足c1-cn>1,则称这个数列为“优美数列”. (1)已知数列-1,1og,m,log,m是“优美数列”，求实数m的取值范围； (2)若首项为1的等差数列{a}为“优美数列”，且其前n项和S,满足 S≤m+n恒成立，求{a,)的公差的取值范围： (3)已知各项均为正整数的等比数列{a,}是“优美数列”，数列(a,}不是 “优美数列，若九=子+试判断数列)是否为“优美数列并说明理由。 纳溪中学校高2023级高三年级上期第一次月考 数学参考答案及评分意见 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度.可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如 果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分： 一、选择题： 题号 2 3 7 10 11 答案 D C B B D BCD ACD BD 二、填空题： 2(器京 13.弓+： 10 14. 9 三、解答题： 15.解：(1)因为f)=2sn2r+-5, 由/W>0得：sm2x+>5 …1分 2 所以2kx+5<2x+誓<2kr+2k∈D, 3 即kx<X<kr+Zke).… …5分 6 故f国)>0的解集是：（传π，kx+严∈Z刀： 一6分 (2)由题可知：g)=/5=2sim(x+-5, 从而：g'x)=2cos(x+)· …8分 所以：g'()=2co 21 …9分 3 仅g(）=2sin2分-010分 所以g()在点子0)处的切线方程为： y=(x-孕，他即：y=x+ ,…1分 x=0,得：=号：令y=0,得： 3 ………12分 所以切线与坐标轴围成的三角形面积等于×凸_文 *…13分 23 18 16.解：(1)由题可知：当n=1时，2S=3a-9=24,所以4=9，…2分 由2Sn=3an-9,得2Sn1=301-9,…3分 两式相减得：20n4=3nl-30n,即an1=30n,…5分 所以数列{a}是，=9,9=3的等比数列，…6分 其通项公式为an=3(neN)；…7分 2)因为办=3b,即：0=38分 b 又因为b-3,所以当n≥2时， 点尚异合会 ,…10分 注意到么=3也适合6，=3」 所以，}的通项公式为6=3”， ,归∈N”,…l分 因为6>0，所以1og,6=1og,3学_+ ……12分 2 1 2 00g6nn+2分nneN）,13分7 所学动5后高品而向05分 2 200 17.解：(1)由题知：a(cos B+cosC)=(b+c)cosA,…1分 由正弦定理有：sin A(cos B+cosC)=(sinB+sin C)cos,…2分 所以sin Acos B-cosAsin B=sin Ccos-sin AcosC,…3分 即sin(A-B)=sin(C-40,…4分 由△ABC的内角为A,B,C可知： A-B-C-A或(A-B)+(C-A)=士π，…………………5分 所以2A=B+C或C-B=生π（舍），…6分 再由A+B+C=π可知：34=T,所以A=花：…7分 ，…8分 所以26+c2=4 (2sin2B+sin产C…9分 3 =号1-28+1g29 …10分 2 智号-os25--s21分 =2d-4g（eos4经cs2C4 sinin2C+5os20）l2分 3 3 3 n2, =2a3+2a …13分 所以当且仅当C=产时，2h+c取得最大值： 2a2+2a=223=6+25 …14分 所以d=3,即a=√5，… …15分 2+a-1=m+。 18.证明：1)令g)=fx-)=ax-)+e 21=am-e, …2分 e'+1 e'+1 因为reR,g-=a--c二 e -r+ =-g(x,…4分 e+1 所以函数y=f(x-)为奇函数：…5分 2 (2)因为f"(x)=a- 2e1 X∈R,…6分 (e+12 =0- 1 cT+2 由基本不等式：e+ 可+2≥2+2=4.当且仅当x=-1时取等号，…7分 1 2 所以0< +…8分 e1+ 1 T+2 2 所以f'(x)=a- 2e 2 e1+厅=a- …9分 1 所以f)的导函数的最小值为a一2 **…4…10分 (3)由(1)知：函数y=fx-1)为奇函数， 所以函数y=f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称， 因为x=-1恰为f(x)的一个零点，…1分 所以f(x)恰有三个零点等价于f(x)在(-1，+0)上恰有一个零点，…12分 由(2)知：fea-2a ①a≥号时≥0恒成立，所以在-上单调超猫，四在1+国 上无零点，与题意不合，故舍去：………13分 ②当a≤0时，f(x)<0恒成立，所以f(x)在(-1，+)上单调递减，fx)在(-1+o) 上无零点，与题意不合，故舍去：…14分 ®当0<a<}时，a-<0,a>0, 2 2 所以存在x。∈(-1，+o),使得f"(x)=0, 因为f'(x)=a- 2e+ 2 e+2=a- 一在(-1，+0)单调递增，…15分 e+1 T+2 所以：当-1<x<x时，f'(x)<0:当x>x。时，'(x)>0, 故f(x)在(-1，x)上单调递减，在(x,+)上单调递增， )K八0=0.>2，且Q 2十>0，…16分 所以由零点存在性定理可知：3x∈(x。,,使得(x)=0, 即fx)在(-1，+∞)上恰有一个零点 综上所述，当且仅当0<a<二时，fx)恰有三个零点.…17分 19.解：(1)由题意得 log:m-(-)>1 log:m-log,m>1' …2分 m>1 即 (m>4 …4分 所以m>4,所以实数m的取值范围是(4，+∞)：…5分 (2)设等差数列{a}公差为d,因为{a}为“优美数列"， 所以d>1,由4=1，得3=n+阳-》d,…6分 2 由题意得n+-d≤n+n对nN均成立，…7分 2 即(d-2)n+-d≤0对neN均成立，…8分 所以d-2≤0，又d>1,…9分 所以{a}的公差的取值范围是(L,2】:……10分 (3)设数列{a}的公比为g,则a=ag,因为{a}是每一项均为正整数的优美数列， 所以a1-4.=a4-an=ang-1)>1>0,即q>1,且g为正整数，…11分 因为数列{a1-a,}是以g为公比的等比数列， 所以4一4，为最小项，且4-a>1,…12分 同理， {信0}中，44为最小项。 又因为行不是优美数列。 所以写4-34≤1，即a-4≤3，…13分 所以a-4=2,或a2-4=3,即a2-4=a(g-)=2或3， g3·或/%2 所以=1 9=2·或 4=3 9=2，或 a,=1 9=4 ①当/=1 日}时，4=，6因为6-有号1号1，所以数列不 3” 是“优美数列"；……14分 ②当0=2 8时，。=，。器因为4号音 2"+1 84=4<1,所以数列也} 不是“优美数列”：……15分 回当/4=3 9=2 时，0，=3-2,6=32，因为么-4=号-2=名<1，所以数列h} 2+1 5 不是“优美数列小”生…16分 ④当/=1 g=4时4=45=2， 44 41 因为6-6224中 2 22*+32”+1 22m-1+3*2"+1 所以数列{h.}是“优美数列”.…17分