精品解析：新疆和田地区策勒县第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

2026-2027学年第一学期高二期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每个小题5分共40分） 1. 在四面体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 已知向量 ，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】 ，故选项A正确． 3. 在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算即可求得结果. 【详解】易知. 故选：B 4. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，即，解得． 5. 已知分别是直线的方向向量．若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以， 可得， 所以， 故选：D 6. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得. 【详解】因为，所以， 又， 即， 解得：， 所以， 故选：C. 7. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 8. 已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足， 即且，所以． 故选：B． 二、多选题（每个小题6分共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 零向量是任意直线的方向向量 B. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量 C. 空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个非零空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查空间向量的基础概念，结合直线方向向量、相等向量、空间向量基底、空间向量共面的定义逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：直线的方向向量定义为与直线平行的非零向量，零向量不能作为直线的方向向量，A错误； 选项B：相等向量的定义就是方向相同且模相等的向量，与向量起点位置无关，B正确； 选项C：空间中只有三个不共面的向量才能构成空间的一个基底，共面的三个向量无法作为基底，C错误； 选项D：任意两个空间向量都可以通过平移使起点重合，两个共起点的向量可确定唯一平面，因此可转化为同一平面内的向量，非零向量也满足该性质，D正确. 10. 已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项分析计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，即，A正确； 对于B，由，得，则，，即，解得，因此，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，由，得，则，，即，，解得，D正确. 故选：ABD 11. 下列结论正确的是（ ） A. 所有直线都可以用方程表示 B. 过点，的直线的两点式方程为 C. 所有过点的直线都可以用方程表示 D. 在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程表示 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，所有直线都可以用方程表示，A正确； 对于B，过点，的直线的两点式方程为， 即，B正确； 对于C，直线经过点，但不可以用方程表示，C错误； 对于D，在两坐标轴上的截距均为0的直线不能用方程表示，D错误. 三、填空题（每个小题5分共15分） 12. 已知点，，若，则点的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算求解即可. 【详解】由点，，得，则， 所以点的坐标是. 故答案为： 13. 过，两点的直线的倾斜角为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】设该直线的倾斜角为，易知， 由题意知，即； 可得. 故答案为： 14. 已知点 ，直线 过原点 且方向向量为 ，则点 到直线 的距离为______． 【答案】 【解析】 【详解】取直线上的原点，则向量在方向向量上的投影为， 则点到直线 的距离为. 四、解答题 15. 如图，在平行六面体中，，． （1）以为基底向量，表示向量、； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量线性运算表示向量、； （2）根据空间向量模长公式求的长. 【小问1详解】 在中，根据空间向量的减法运算可得， 【小问2详解】 由（1）， 所以 ， 所以，即的长为． 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）若，求、的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算法则及垂直时的坐标关系进行运算即可； （2）根据空间向量的坐标运算法则及平行时的坐标关系进行运算即可. 【小问1详解】 因为，，，所以， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 因为，，，所以， 因为，设，则，解得. 17. 已知正方体的棱长为2. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 证明：以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴建立如图所示的坐标系．     由正方体的棱长为2知， 则，， 因为，所以，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量坐标，通过计算数量积为，从而可证； （2）求得和平面的法向量，利用点面距离的向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为，因为，，所以， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为d，， 则. 18. 根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： （1）斜率是，经过点； （2）经过点，且与轴垂直； （3）斜率为，在轴上的截距为7； （4）经过点，． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由点斜式方程求解即可； （2）根据与轴垂直的直线方程特点求解即可； （3）由斜截式方程求解即可； （4）由两点式方程求解即可. 【小问1详解】 由点斜式，得， 化成一般式，得． 【小问2详解】 直线方程为，即． 【小问3详解】 由斜截式，得， 化成一般式为． 【小问4详解】 由两点式，得， 化成一般式为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； 【答案】（1）连接交于点， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又因为是的中点，所以， 因为平面平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，， 可得，所以，所以，即， 又因为，且平面，所以平面， 所以平面的一个法向量为， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每个小题5分共40分） 1. 在四面体中，（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量 ，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 3. 在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知分别是直线的方向向量．若，则（    ） A. B. C. D. 6. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 二、多选题（每个小题6分共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 零向量是任意直线的方向向量 B. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量 C. 空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个非零空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 10. 已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列结论正确的是（ ） A. 所有直线都可以用方程表示 B. 过点，的直线的两点式方程为 C. 所有过点的直线都可以用方程表示 D. 在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程表示 三、填空题（每个小题5分共15分） 12. 已知点，，若，则点的坐标是______. 13. 过，两点的直线的倾斜角为________. 14. 已知点 ，直线 过原点 且方向向量为 ，则点 到直线 的距离为______． 四、解答题 15. 如图，在平行六面体中，，． （1）以为基底向量，表示向量、； （2）求的长． 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）若，求、的值. 17. 已知正方体的棱长为2. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 18. 根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： （1）斜率是，经过点； （2）经过点，且与轴垂直； （3）斜率为，在轴上的截距为7； （4）经过点，． 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $