精品解析：湖南省永州市道县敦颐高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025年下期道县敦颐高级中学高三开学考试 数学 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则复数（其中表示的共轭复数）表示的点在（ ）上 A. x轴 B. y轴 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合复数的运算公式，化解复数，再结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】复数， 所以对应的点在直线上. 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使函数有意义，即得关于的不等式组，解之即得函数定义域. 【详解】函数有意义，等价于， 解得，，故函数的定义域为. 故选：A. 3. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出圆台上下底面半径，圆台的高，代入圆台的体积计算公式即可求解. 【详解】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得， ，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示： 图中，， 过点向作垂线，垂足为，则， 所以圆台的高， 则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得： ， 故选：. 4. 可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由逆用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】原式. 故选：C 【点睛】本题主要考查了逆用两角和的正弦公式化简，属于基础题. 5. 在等差数列中， ， ， （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列性质可知，，仍为等差数列，代入即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知， 在等差数列中，，仍为等差数列， 所以， 所以． 故选：C． 6. 的展开式中的常数项是（ ） A. 第673项 B. 第674项 C. 第675项 D. 第676项 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解. 【详解】由二项式的展开式为 ， 令，解得，此时， 所以二项式的展开式的常数项为第项. 故选：D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数在两个区间上的单调性分别求出的范围，再考虑由时左右函数值的大小关系得到的的范围，求其交集即得 【详解】当时， ,依题须使恒成立，则； 当时，由在上递增，须使，即； 又由解得 . 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据综合条件，结合双曲线定义，利用余弦定理计算即得. 【详解】令双曲线的焦距为，依题意，，解得， 在中，，由余弦定理得， 整理得，所以双曲线C的离心率为. 故选：C 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】赋值法可以求出，，判断出AB选项；C利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而得到在上有最大值；D选项利用C选项中判断的函数的单调性进行解不等式，得到答案. 【详解】定义在R上的函数满足，令得：，解得：，A正确； 令得：，因为，所以， 故是奇函数，B错误； 任取，，且，则令，，代入得：， 因为当时，，而，所以， 故，即，从而在R上单调递减， 在上有最大值为，C错误； 由A选项得到，而在R上单调递减，故，解得，解集为，D正确. 故选：AD 10. 函数s=f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ） A. 函数s=f（t）的定义域为[-3，+∞） B. 函数s=f（t）的值域为（0，5] C. 当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的定义域值域与单调性结合图象逐一判断即可求解 【详解】对于A：由图象可知：函数s=f（t）在没有图象，故定义域不是[-3，+∞），故A错误； 对于B：由图象可知函数s=f（t）的值域为（0，5]，故B正确； 对于C：由图象可知，当时，有3个不同的t值与之对应，故C错误； 对于D：由图象可知函数s=f（t）在上单调递增， 又当时，，则在上单调递增，故D正确； 故选：BD 11. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 是非奇非偶函数 B. 是增函数 C. 是周期函数 D. 的值域是 【答案】BC 【解析】 【分析】画出分段函数的图象，由图象可分析奇偶性，单调性，周期性和值域，进而作出判定. 【详解】画出分段函数的图象，如图所示. 由图可知： 可知函数为非奇非偶函数，故A正确； 函数在的部分有增有减，不是单调函数，故B错误； 函数在部分最小正周期为，但是,∴函数在定义域内不是周期函数，故C错误； 函数的最小值为，函数没有最大值，部分值域为部分值域为,∴函数的值域是，故D正确. ∴错误的是， 故选：BC. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列的前n项和为且，则的最小值为______. 【答案】24 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得成等比数列，结合已知条件可得,利用基本不等式可求最小值. 【详解】正项等比数列的前n项和为，则， 由已知，可得， 由等比数列的性质可得成等比数列，则， 综上可得， 当且仅当时等号成立. 综上可得，的最小值为24. 故答案为：24 13. 如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意建立直角坐标系，根据等腰梯形求边长，高，表示出点的坐标，再根据向量数量积的坐标公式以及三角函数性质，可得答案. 【详解】 如图，以为原点，建立直角坐标系. 由题意，梯形的高长为，则. 因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，. 则 其中，， 故当时，. 故答案为： 14. 已知双曲线，设是的左焦点，，连接交双曲线于.若，则的离心率的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，计算出的大小，可得出，利用余弦定理求出，然后利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可解得该双曲线离心率的值. 【详解】如下图所示： 设，由题意可得，， 则，且，所以，， 因为，则， 由余弦定理可得， 所以，，由双曲线的定义可得， 即，故该双曲线的离心率为. 故答案为： 四.解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求B； （2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理化简即可． （2）在，利用余弦定理求出，已知，可得，再余弦定理求出，即可和面积，可得四边形的面积． 【详解】解：（1）由正弦定理得， 得. 因为， 所以，即. （2）在中AB=2，BC=3，，， 解得. 在中，，A，B，C，D在圆上， 因为，所以， 所以， 解得或（舍去）， 所以四边形ABCD的面积. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 16. 如图，已知平面． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的大小． 【答案】（1）平面，平面，， ，， 平面， 平面，平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据和证明平面，即可证明； （2）由题可得即为二面角的平面角，根据已知求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面， 平面，， ，即为二面角的平面角， 在直角三角形中，，则， ，即二面角的大小为. 17. 如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，. （1）求抛物线C的方程. （2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称 【解析】 【分析】 （1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，则直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得，根据焦点弦公式，求出的值，即可得到抛物线方程. （2）假设满足条件的点P存在，设，当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM，PN关于x轴对称，所以，即可求出的值. 当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可. 【详解】解：（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1， ，的方程为. 由得. 设，，则， ∴，， ∴抛物线C的方程为. （2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知， ①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（）， 由得， ， ，. ∵直线PM，PN关于x轴对称， ∴，，. ∴， ∴时，此时. ②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性， 易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可. 综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称. 【点睛】本题考查抛物线的焦点弦公式的应用，直线与抛物线的综合问题，属于中档题. 18. 某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布N(μ，σ2)． （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望； （2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 10.12　9.97　10.01　9.95　10.02　9.98　9.21　10.03 10.04　9.99　9.98　9.97　10.01　9.97　10.03　10.11 经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．997416≈0.9592， 【答案】（1）0.0408；0.0416；（2）需要对当天的生产过程进行检查；10.01；0.05. 【解析】 【分析】 （1）由题设可知X～B(16,0.0026)，故可求P(X≥1)以及数学期望. （2）根据题设中已知的正态分布可新的均值（即μ的新估计值）和剩下数据的方差，从而可求σ的新估计值. 【详解】(1)∵抽取的一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997 4， ∴零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6， 故X～B(16,0.0026)． P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408； X的数学期望为E(X)＝16×0.0026＝0.0416. (2)，s≈0.20，得，. ∵样本数据可以看到有一个零件的尺寸在之外， ∴需要对当天的生产过程进行检查． 剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.21之后， 剩下数据的平均数，可得μ的估计值为10.01. ∵， 剔除之外的数据9.21之后， 剩下数据的方差为， ∴σ的估计值为. 【点睛】思路点睛：新旧均值与方差的关系，需结合已知的公式来转化，如此题中，知道均值，可以求诸样本数据之和，从而可计算剔除一个数据后的样本均值，又如知道方差，可以求出诸样本数据的平方和，从而可计算剔除一个数据后的诸样本数据的平方和，从而计算新的方程. 19. 设函数（）. （1）讨论函数的极值； （2）若函数在区间上的最小值是4，求a的值. 【答案】（1）当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2） 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，此时最小值不满足题意；当时，由（1）得是函数在上的极小值点，分类讨论，即可求解. 【详解】解：（1）. 当时，，在R上单调递增；无极值 当时，，解得， 由，解得. 函数在上单调递减，函数在上单调递增， 的极小值为，无极大值 综上所述：当时，函数在R上无极值； 当时，的极小值为，无极大值. （2）由（1）知，当时，函数在R上单调递增， ∴函数在上的最小值为，即，矛盾. 当时，由（1）得是函数在R上的极小值点. ①当即时，函数在上单调递增， 则函数的最小值为，即，符合条件. ②当即时，函数在上单调递减， 则函数的最小值为即，矛盾. ③当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 则函数的最小值为，即. 令（），则， ∴在上单调递减， 而，∴在上没有零点， 即当时，方程无解. 综上，实数a的值为. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用；本题属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期道县敦颐高级中学高三开学考试 数学 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则复数（其中表示的共轭复数）表示的点在（ ）上 A. x轴 B. y轴 C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 可化为（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中， ， ， （ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的常数项是（ ） A. 第673项 B. 第674项 C. 第675项 D. 第676项 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 10. 函数s=f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ） A. 函数s=f（t）的定义域为[-3，+∞） B. 函数s=f（t）的值域为（0，5] C. 当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应 D. 当时， 11. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 是非奇非偶函数 B. 是增函数 C. 是周期函数 D. 的值域是 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列的前n项和为且，则的最小值为______. 13. 如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为__________. 14. 已知双曲线，设是的左焦点，，连接交双曲线于.若，则的离心率的值为______． 四.解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求B； （2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积 16. 如图，已知平面． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的大小． 17. 如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，. （1）求抛物线C的方程. （2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布N(μ，σ2)． （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望； （2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 10.12　9.97　10.01　9.95　10.02　9.98　9.21　10.03 10.04　9.99　9.98　9.97　10.01　9.97　10.03　10.11 经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．997416≈0.9592， 19. 设函数（）. （1）讨论函数的极值； （2）若函数在区间上的最小值是4，求a的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $