5.3 无理数 课件 2025--2026学年青岛版八年级数学上册

第5章 勾股定理与实数 直角三角形 无理数 勾股定理 ………… 青岛版 八年级上册 内容提要 勾股定理及其逆定理 算术平均数、平方根、 立方根 实数 数与式 实数 图形的性质 有理数 1.算术平方根的定义： 如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x 叫作a的算术平方根。 a的算术平方根记作 读作“根号a”。 温故而知新 2.具有双重非负性: ①被开方数a是非负数，即a≥0; ②算术平方根是非负数，即≥0. 温故而知新 正数有一个正的算术平方根, 0的算术平方根是0, 负数没有算术平方根。 3.算术平方根的性质： ()2a(a≥0)． 4.两个重要公式： a (a≥0)． - a (a≤0)． 创设情境 导入新课 如果一个正方形的面积是4,它的边长就是 ； 如果一个正方形的面积是2,那么它的边长是 ； 如果一个正方形的面积是5,那么它的边长是 . 2 和是有理数吗？ 青岛版数学 八年级上册 第5章 勾股定理与实数 5.3 无理数 第1课时 认识无理数 探究一 无理数的意义 观察与发现 边长为1的正方形的对角线的长是多少？ 1 1 1 D C B A 由勾股定理,得BD2=BC2+CD2=12+12=2, 所以BD=。 ∴ 在整数1,2之间,它不可能是整数。 如果不是，你能估计出在哪两个连续的整数之间吗? 思考与交流 ∵12 =1,22 =4,()2 =2, ∴1<()2<4, ∴1<<2, （1）是一个有理数吗？ 探究一 无理数的意义 （2） 是1与2之间的一个分数吗？ 思考与交流 ∴ 不可能是分数。 如果是一个分数,那么可把它化成最简分数 （）2=()2 ∵m 与n没有除1以外的公约数, ∴（）2仍然是一个最简分数,不会是2。 探究一 无理数的意义 即 ● =2 既不是整数又不是分数， 归纳与总结 那 就不可能是有理数， 它是一个新的数！ 探究一 无理数的意义 （3）在1＜ ＜2的基础上，还能进一步估计 的近似值吗？ 思考与交流 由1＜ ＜2，可知 是一个整数部分是1的小数， 利用平方运算，你能估计 的十分位、百分位吗？ 即 =1. … 探究一 无理数的意义 分别计算1²，1.1²，1.2²，…，1.9² 得出下表： ∵1.96＜2＜2.25， ∴1.4²＜2＜1.5²， ∴1.4＜ ＜1.5， 由此可以估计 十分位上的数是4，即 =1.4 … 探究一 无理数的意义 分别计算1.40²，1.41²，1.42²，…，1.49² 得出下表： ∵1.9881＜2＜2.0164， ∴1.41²＜2＜1.42²， ∴1.41＜ ＜1.42， 由此可以估计百分位上的数是1，∴即 =1.41 … 探究一 无理数的意义 （4）借助计算机，可得到 思考与交流 可能是有限小数吗？可能是循环小数吗？ 由此你判断 是一个怎样的数呢？ ∵任何有限小数或循环小数都可化为分数，而不是分数， ∴ 不会是有限小数，也不会是循环小数。 =1.414 213 562 373 095… 探究一 无理数的意义 由于 的小数位数是无限的，且不循环， 我们把这样的小数叫做无限不循环小数。 我们还认识过一个无限不循环小数,π=3.1415926…。 类似的=1.732050…, =2.236067…。 探究一 无理数的意义 概括与表达 无限不循环小数叫作无理数。 什么叫作无理数？ 同样地： 等都是无理数. 另外，像0.1010010001… ，它是人为构造的无限不循环小数，因此也是无理数. 探究一 无理数的意义 （1）开不尽方的数是无理数； （2）圆周率π及一些含有π的数都是无理数； （3）有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数。 思考：无理数一般有哪些形式? 探究一 无理数的意义 例1、a=。 (1)a在哪两个连续的整数之间? (2)求a的十分位数; (3)求a的近似值(结果精确到0.1)。 (1)∵22=4,32=9,4<7<9, 解:由a=,得a2=7。 ∴a在2和3之间。 ∴22<a2<32。 例题解析 (2)∵2.62=6.76,2.72=7.29,6.76<7<7.29, ∴2.62<a2<2.72。 ∴2.6<a<2.7。 ∴a的十分位数为6(即 7=2.6…)。 (3)∵2.652=7.0225,6.7627<7.022, ∴2.6<a<2.65。 ∴a精确到0.1的近似值为2.6。 1.分别判断下列各数在哪两个连续的整数之间? (1); (2) ; (3)。 巩固练习 例2、求 + 的近似值(结果精确到0.01)。 + ≈1.414+1.732=3.146≈3.15。 解法1： 如果用计算器计算,按下列顺序依次按键: 解法2: 解: 屏幕上显示3.14626437。 按精确到0.01取近似值,+ ≈3.15。 例题解析 2.求 +的近似值(结果精确到0.01)。 巩固练习 本节课你有什么收获？ 1.判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？ , , 1.23，,1.232232223……(两个3之间依次多一个2) • • 当堂检测 2.判断题 （1）有限小数是有理数; （ ） （2）无限小数都是无理数; （ ） （3）无理数都是无限小数; （ ） （4）有理数是有限小数. （ ） 3.写出1和2之间的五个不相等的无理数，并按由小到大的顺序排列。 $