5.3无理数（题型专练）数学青岛版2024八年级上册

5.3无理数 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 无理数的判断 题型二 判断无理数的范围 题型三 构造无理线段 题型四 程序问题 题型一 无理数的判断 1.下列各数：，，，，，…每两个之间的逐渐增加一个中，无理数有个． A. B. C. D. 【答案】A; 【详解】解：是有理数，是无理数，是有理数，是无理数，是有理数，…每两个之间的逐渐增加一个是无理数．  故选：  根据无理数和算术平方根的概念求解即可．  此题主要考查的是无理数和算术平方根的概念，熟练掌握无理数的概念是解答该题的关键． 2.实数，，，中无理数是 A. B. C. D. 【答案】C; 【详解】解：有理数：，，；无理数：，  故选：  根据无理数、有理数的定义即可进行判断．  此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，…每两个之间依次多个等形式． 3.下列四个数中，无理数是 A. B. C. D. 【答案】D; 【详解】解：，，是有理数，是无理数，  故选：  根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．  此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，…每两个之间依次多个等形式． 4.下列各数中：①面积为的正方形的边长；②体积为的正方体的棱长；③两条直角边分别为和的直角三角形的斜边长；④长为，宽为的长方形的对角线长，其中是无理数的是 ______ 填序号 【答案】①③④; 【解析】解：①面积为的正方形的边长为，是无理数；  ②体积为的正方体的棱长为，是有理数；  ③两条直角边分别为和的直角三角形的斜边长为，是无理数；  ④长为，宽为的长方形的对角线长为，是无理数．  其中是无理数的是①③④．  故答案为：①③④．  逐一算出每一个小题的数据，利用实数的意义判断即可．  此题主要考查了实数的定义，勾股定理．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，利用勾股定理进行计算是解答该题的关键． 5．下列各数：①，②，③，④，⑤…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），⑥，⑦ ，无理数有 （填序号）． 【答案】①、⑤、⑦ 【详解】试题分析：无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义可得，这组数中无理数有，…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），，共3个． 考点：无理数的定义． 题型二 判断无理数的范围 1．下列对于的大小估算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间． 用“夹逼法”估算即可. 【详解】解：∵， 则5＜＜6， 故选：C． 2．估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法解答即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：． 3．一个正方形的面积是15，估计它的周长在（   ） A．12与13之间 B．13与14之间 C．14与15之间 D．15与16之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用．先根据正方形的面积求出正方形的边长，再求出其周长，估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵一个正方形的面积是15， ∴它的边长是，周长为， ∵， ∴． ∴估计它的周长大小在15与16之间． 故选：D． 4．我们知道是一个无理数，用四舍五入法把的结果保留一位小数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算．先确定，再根据四舍五入法保留一位小数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴用四舍五入法把的结果保留一位小数为， 故选：B． 5．因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．先求出m的取值范围，即可确定整数m的值，于是可求出整数n的值，再估算实数的取值范围，即可得解． 【详解】解：， ， 即， 为正整数， ， 是正整数， ， ， ， 与最接近的整数是1， 即与实数最接近的整数是1， 故选：A． 题型三 构造无理数线段 1.如图，每个小正方形的边长为，则在中，边长为无理数的边有 ______ 条. 【答案】3; 【解析】解：如图，设以的边、、为斜边的直角三角形的直角顶点分别为、、，  ，，，，，，，  ，，，  的三条边都是无理数，  故答案为：三．  此题主要考查勾股定理及其应用，确定以、、为斜边的直角三角形的直有顶点及每条直角边的长是解答该题的关键． 2．如图所示：数轴上点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为 ． 【答案】5﹣． 【详解】试题分析：先利用勾股定理求出斜边的长，得出点A表示的数，再根据BC=AC即可求出点B表示的数． 解：∵=， ∴点A表示的数为﹣1+． 设点B表示的数为x， ∵点A与点B关于点C对称， ∴BC=AC， ∴x﹣2=2﹣（﹣1+）， ∴x=5﹣． 故答案为5﹣． 3．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键． 先根据题意确定，再根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由题意可知， 根据勾股定理，得， ， 因为点在x轴负半轴， 所以点对应的实数为． 故选：C． 4．如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、实数与数轴，由勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：， 由题意得，， 由图可得，点在原点的右侧， ∴点在数轴上表示的数为． 故选：B． 题型四 程序问题 1.有个数值转换器，原理如下： 当输入的值为时，输出的是 A. B. C. D. 【答案】D; 【详解】 由题意，得：时，，是有理数，将的值代入中； 当时，，是有理数，将的值代入中； 当时，是无理数，故的值是，故选 2.按如图所示的程序计算，若开始输入的为，则输出的结果为__________. 【答案】15; 【解析】 根据输入的为，按照运算程序，计算结果即可． 【详解】解：输入的为，是无理数， 以为边长的正方形的面积是：， 故答案是： 3.如图是一个无理数筛选器的工作流程图.  当为时，值为 ______ ；  如果输入值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的满足的条件 ______ . 【答案】;; 【解析】解：将代入，，不是无理数，进行第二次计算，  为无理数，故输出为；  负数没有算术平方根，  输入的满足的条件为，  故答案为：；  将代入，根据流程图的运算规则运算即可；  根据负数没有算术平方根，即可解答．  此题主要考查了无理数和算术平方根下的流程图运算，熟知负数没有算术平方根是解答该题的关键． 1．下列选项中的整数，与最接近的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小的比较．利用“夹逼法”确定与最接近的整数． 【详解】解：∵， ∴． ∴与最接近的整数是3． 故选：B． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质与化简，熟知“当时，，当时，”是解题的关键．根据，先确定的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后进行化简计算． 【详解】解：， ∴， ，， ， 故答案为：． 3.如图，分别以的边为一边向外作正方形，已知，．  求图中以为一边的正方形的面积；   的长是不是无理数？若是无理数，请求出它的整数部分？ 【答案】解：（1）∵Rt△ABC中，AB=2，BC=1，   ∴AC2=AB2+BC2=4+1=5，   ∴以AC为一边的正方形的面积为5；     （2）∵AC=，   ∴AC的长是无理数，   又∵＜＜，   ∴2＜＜3，   ∴的整数部分为2．; 【解析】  先根据勾股定理，求得中的边的平方，进而得到以为一边的正方形的面积；   根据勾股定理可得，的长为无理数，再根据求得其整数部分即可．   这道题主要考查了勾股定理的应用以及无理数的定义，解决问题的关键是掌握：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．解题时注意：无限不循环小数叫做无理数． 4．先化简： ，再求值(请从小寇和小严的对话中确定a，b的值) 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解： ； 依题意，，且为整数，又，则， 当，时，原式． 5.图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，小正方形的边长都是，线段的端点均在格点上在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.  在图①中以线段为边画一个等腰三角形且三边长均是无理数；  在图②中以线段为边画一个只是轴对称的四边形，使其面积为 【答案】 【解析】  根据要求作出图形即可，然后利用网格及勾股定理求出边长为无理数；  作底为和，高为的等腰梯形即可．  此题主要考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解答该题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1.已知、是有理数，是无理数，如果是有理数，则等于__________. 【答案】; 【解析】 此题主要考查了分式的化简、及无理数、有理数的相关知识等知识点，掌握有理数除以无理数若等于有理数，则该有理数一定为是解答该题的关键． 先对分式进行化简，由于分式的结果是有理数，设分式的结果为，得到关于的方程，由、、是有理数，是无理数，确定的系数和结果均为，求出和的值即可． 【详解】解： 是无理数， ， 原式， 是有理数， 设，则， 、、是有理数，是无理数， ，解得， 故答案为： 2.已知为无理数，且，则______ . 【答案】; 【解析】解：为无理数，且，  ，  ，  是无理数，不为，  ，    故答案为：  根据为无理数，结合因式分解即可解题．  此题主要考查了无理数，解题关键是因式分解． 3．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将减去其整数部分，差就是的小数部分，请解答下列问题： （）的整数部分是______，小数部分是______； （）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． （）问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 【答案】（），；（）；（）或 【分析】（）由 得，即得的整数部分，然后把减去它的整数部分得到的小数部分； （）同理（）求出的值，然后把、的值代入计算即可； （）仿照小慧的做法解答即可； 本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：（）， ， 的整数部分为，小数部分为； 故答案为：，； （）， ， 的整数部分为，小数部分为，即； ， ， 的整数部分为，即， ； （）， ， ，是有理数，为无理数， 且， 解得，， 当时，； 当时，， 综上所述，的值为或． 4．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程，如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）8.22；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见分析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3无理数 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 无理数的判断 题型二 判断无理数的范围 题型三 构造无理线段 题型四 程序问题 题型一 无理数的判断 1.下列各数：，，，，，…每两个之间的逐渐增加一个中，无理数有个． A. B. C. D. 2.实数，，，中无理数是 A. B. C. D. 3.下列四个数中，无理数是 A. B. C. D. 4.下列各数中：①面积为的正方形的边长；②体积为的正方体的棱长；③两条直角边分别为和的直角三角形的斜边长；④长为，宽为的长方形的对角线长，其中是无理数的是 ______ 填序号 5．下列各数：①，②，③，④，⑤…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），⑥，⑦ ，无理数有 （填序号）． 题型二 判断无理数的范围 1．下列对于的大小估算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．一个正方形的面积是15，估计它的周长在（   ） A．12与13之间 B．13与14之间 C．14与15之间 D．15与16之间 4．我们知道是一个无理数，用四舍五入法把的结果保留一位小数为（　　） A． B． C． D． 5．因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 构造无理数线段 1.如图，每个小正方形的边长为，则在中，边长为无理数的边有 ______ 条. 2．如图所示：数轴上点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为 ． 3．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（   ） A． B． C． D．或 题型四 程序问题 1.有个数值转换器，原理如下： 当输入的值为时，输出的是 A. B. C. D. 2.按如图所示的程序计算，若开始输入的为，则输出的结果为__________. 3.如图是一个无理数筛选器的工作流程图.  当为时，值为 ______ ；  如果输入值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的满足的条件 ______ . 1．下列选项中的整数，与最接近的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知，则 ． 3.如图，分别以的边为一边向外作正方形，已知，．  求图中以为一边的正方形的面积；   的长是不是无理数？若是无理数，请求出它的整数部分？ 4．先化简： ，再求值(请从小寇和小严的对话中确定a，b的值) 5.图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，小正方形的边长都是，线段的端点均在格点上在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.  在图①中以线段为边画一个等腰三角形且三边长均是无理数；  在图②中以线段为边画一个只是轴对称的四边形，使其面积为 【答案】 1.已知、是有理数，是无理数，如果是有理数，则等于__________. 2.已知为无理数，且，则______ . 3．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将减去其整数部分，差就是的小数部分，请解答下列问题： （）的整数部分是______，小数部分是______； （）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． （）问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 4．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程，如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $