第22章 二次函数单元卷- 2025-2026学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

第22章 二次函数（单元卷） （年级：九年级上册 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试卷共24题，其选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合常考点精选细编，考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·模拟预测）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的新抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 6．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（21-22九年级上·广东东莞·期中）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．与轴的交点坐标为 C．与轴的交点坐标为和 D．当时，对应的函数值为 9．（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 10．（2025·山东青岛·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点（1，0）．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．若点、在图象上，且，则 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 13．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）已知抛物线与直线交于、两点，且．若点，也在该抛物线上，则 ． 14．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 15．（25-26九年级上·全国·期中）如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米． 16．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 17．（23-24九年级上·山西大同·期中）在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 1 … y … 0 … 则当时的最小值为 ． 18．（2025·广东惠州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（2025·河北邢台·二模）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 20.（本小题满分8分）（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … （1）直接写出m的值______； （2）求出函数表达式； （3）直接写出关于x的不等式的解集：______． 21.（本小题满分10分）（2025·河北唐山·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 22.（本小题满分10分）（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） （1）若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； （2）物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ （3）在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 23.（本小题满分10分）（2025·宁夏银川·三模）如图①，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． （1）求二次函数的关系式及点C的坐标； （2）如图②，若点P是直线上方的抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值． 24.（本小题满分12分）（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 二次函数（单元卷） （年级：九年级上册 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试卷共24题，其选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合常考点精选细编，考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 2．（2024·山西·模拟预测）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的新抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解即可． 解：将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的新抛物线的函数表达式为即， 故选：A． 3．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 由函数解析式得到抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断，，的大小关系，据此进行分析，即可作答． 解：∵函数 ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上， 则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小， ∵函数的图象上有三点，，，且 ∴ 故选：B． 4．（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键． 解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限， 当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限， ∴符合题意的是选项， 故选：． 5．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线的解析式，令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论即可得到答案； 解：设所在直线为， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∵二次函数与线段有两个不同的公共点， ∴， 解得：， ①当时， 此时函数的开口向上， ∴，， 解得：， ②当时 此时函数的开口向下， ∴，， 解得：， 综上所述得：，， 故选：B． 6．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 7．（21-22九年级上·广东东莞·期中）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先根据二次函数图象对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标为，再结合图象得出结论． 解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，或， 故选：C． 8．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．与轴的交点坐标为 C．与轴的交点坐标为和 D．当时，对应的函数值为 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线，则可得抛物线的顶点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的一个交点坐标为，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为；结合抛物线的对称性可知，对应的函数值与对应的函数值相等，则可得当时，对应的函数值为． 解：由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为．故A选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 与轴的交点坐标为．故B选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线与轴的交点坐标为和，故C选项不正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 对应的函数值与对应的函数值相等， 由表格可知，当时，， 当时，对应的函数值为．故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 9．（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把代入，化为一元二次方程，求解即可． 解：将代入，得 ， 即 ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故选C． 10．（2025·山东青岛·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点（1，0）．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．若点、在图象上，且，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左侧；当与异号时，对称轴在轴右侧．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 利用抛物线开口方向、对称轴以及与轴的交点，则可对进行判断；抛物线过点，则，即，则可对进行判断；利用时，可对进行判断；利用点到对称轴的距离可对D进行判断． 解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，故A错误； 抛物线过点， ， ， ， ，故B正确； 时，， ，故C错误； 当点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离时，则，故D错误． 故选：B． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键． 解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数值的取值范围，根据解析式可得二次函数开口向下，对称轴为y轴，则在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，进而得到当时，y有最大值，最大值为0，再求出和时的函数值即可得到答案． 解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为0， 当时，，当时，， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 13．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）已知抛物线与直线交于、两点，且．若点，也在该抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系，设，，则由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合计算得出，从而可得，由二次函数的对称性计算可得，从而可得，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 解：设，， ∴、是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线上有两个点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 当时，． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，先求解抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可． 解：由题可知，的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性知，与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·全国·期中）如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关键． 解：当时， ， ∴，（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 16．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用轴对称的性质转化线段是解题的关键．根据抛物线的对称性可知：，所以当点在线段上时，的值最小，的周长也最小，以此为依据求解即可； 解：令，则， 解得，， ，， 抛物线的对称轴为： 点的横坐标为： 当 时， ； 设直线解析式为， 则， 解得， 由抛物线的对称性可知： ∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小， 将 代入得： 故此时点的坐标是 故答案为：． 17．（23-24九年级上·山西大同·期中）在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 1 … y … 0 … 则当时的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质及用待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求出二次函数的解析式及对称轴方程是解答此题的关键． 由表中数据可得抛物线的对称轴为，运用待定系数法求出函数解析式，根据二次函数图象与性质可得出结论． 解：由表格可知，和时均有， ∴对称轴为：   观察表格，时，即顶点为， 设二次函数的顶点式为：   由表格中，，代入顶点式得：   ， 即， 解得  ， ∴二次函数解析式为， ∴当时，y有最大值0，开口向下，越远离对称轴的函数值越小， ， 当时，取得最小值，为． 故答案为：． 18．（2025·广东惠州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，抛物线与y轴的交点，则由抛物线的对称性质可求得点C的坐标，从而求得A点坐标，即可求得点D的坐标． 解：抛物线的对称轴为直线， 在中，令，得， 即； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴关于直线对称， ∴， ∴； ∵，， ∴由勾股定理得：， 即， ∴点D的横坐标为， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（2025·河北邢台·二模）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 【答案】（1），抛物线的顶点坐标为；（2） 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可求解函数解析式，然后把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）由题意可得，然后得出平移后的表达式为，进而根据“两点之间，线段最短”可进行求解． 解：（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为． 20.（本小题满分8分）（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … （1）直接写出m的值______； （2）求出函数表达式； （3）直接写出关于x的不等式的解集：______． 【答案】（1）5；（2）；（3）或 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，则当和时，函数值相等，从而确定m的值； （2）设顶点式，然后把代入求出a即可； （3）先确定抛物线和直线的交点坐标为，，然后利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 解：（1）解：∵抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， ∵时，， ∴； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式可设为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （3）解：联立， 解得：或， ∴抛物线和直线的交点坐标为，， 如图，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上面， ∴关于x的不等式的解集为或． 【点拨】本题考查了二次函数与不等式组：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了待定系数法求二次函数解析式． 21.（本小题满分10分）（2025·河北唐山·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 解：（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 22.（本小题满分10分）（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） （1）若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； （2）物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ （3）在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）；；（2）A礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元；（3） 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用； （1）根据利润=每盒利润×销量列式即可； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元，列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）求出销售利润最大时两种礼盒的销量，再根据题意列出一元一次不等式，求解即可． 解：（1）解：由题意可得：； ； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元， 由题意得： ∴当时，元， 即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元； （3）由（2）可知，当时，A种礼盒每天售出盒，B种礼盒每天售出盒， 则， ， ， ． 23.（本小题满分10分）（2025·宁夏银川·三模）如图①，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． （1）求二次函数的关系式及点C的坐标； （2）如图②，若点P是直线上方的抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值． 【答案】（1），点C的坐标为；（2）的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的性质，考查了待定系数法求二次函数解析式，考查了二次函数与x轴交点坐标，以及二次函数最值的应用．解题的关键在于熟练运用函数交点、待定系数法及二次函数性质，同时能够灵活应用几何图形中的平行关系，将复杂问题转化为基本的数学模型进行求解． （1）先求出一次函数与x轴、y轴交点A、B的坐标，再将A、B代入二次函数解析式，通过解方程组得到b和c的值；之后令二次函数，解一元二次方程得到与x轴的另一个交点C的坐标； （2）对于的最大值，先设出点P的坐标，根据轴得到E点坐标，进而表示出的长度；再结合，建立与的数量关系，将转化为关于P横坐标的二次函数，利用二次函数性质求最大值． 解：（1）解：令，则，解得， 一次函数与x轴交点A的坐标为， 令，则， 一次函数与y轴交点B的坐标为， 二次函数经过两点， ∴将代入得： 解得， 二次函数关系式为， 令，即， 解得， 点坐标为， 点C的坐标为． （2）设点P坐标并表示的长度 设点（）， 轴，E点横坐标与P相同为m， ， ， 轴， ， ， ， ， ,， ， ， ， 当时，的最大值为． 24.（本小题满分12分）（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）能， ；（3）点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、线段长度的表示方法等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2），而直线和x轴的夹角为，则，即可求解； （3）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解． 解：（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：能，理由： 由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，直线和轴的夹角为， 设点，则点， 则， ∵直线和轴的夹角为，， 则， 解得：， 即点的坐标为：； （3）解：存在，理由： 设点，而点， 则，，， 当时， 则， 解得：； 当或时， 同理可得或， 解得：（舍去）或6或或， 即点的坐标为：或或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $