第2章 对称图形——圆单元卷- 2025-2026学年苏科版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

第2章 对称图形——圆（单元卷） （年级：九年级上册 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试卷共24题，其选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合常考点精选细编，考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）的直径为6，线段，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点C是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西榆林·二模）如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，、切于点、，点是上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·江苏苏州·期末）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接，点在线段上，，连接，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 7．（2025·陕西西安·二模）越来越多的传统文化创意产品加入西安大唐不夜城，其中大唐团扇倍受游客青睐．如图是一把大唐团扇的示意图，扇柄所在直线将扇面平分，小西为了使扇子更漂亮和耐用，在扇面中间增加了3根金丝线（虚线），扇子两端增加2根扇骨，金丝线和扇骨均垂直于直径且将均分，已知的长为，则扇骨与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，I为内心，P为的外接圆上一点，于点E，于点F．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025九年级下·广东·学业考试）如图，的半径，是半径上一点（不与点重合），过点作弦，沿把翻折得到，连接、，当弦的长是整数时，的长为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，直径，，是半圆上的两点，半径上存在点，满足．延长交圆于点，连结．若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则的度数为 ． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点是的中点，，则等于 ． 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于 ． 14．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    15．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）母线长为，底面圆的半径为的圆锥侧面积是 ． 16．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）如图，半径为1，垂直于直径，E为弧上一点，直线与直线交于点C，过C作垂线，交延长线于点A，若长为，则 ． 17．（23-24六年级上·上海·阶段练习）如图，等边的边长为3，分别以顶点为圆心，长为半径，作，我们把这三条弧所组成的图形称作“莱洛三角形”．设点为图形的中心点．如图2，将这个图形的顶点A与线段作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点重合，则线段的长为 ． 18．（2025·江苏常州·二模）如图，， O为的中点， 以O为圆心，为半径的圆交线段于点C．P是上的动点，连接，若线段交于Q，弦的中点为M，则 的周长c（单位：）的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，点P是内一定点． （1）过点P作弦，使点P是的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若的半径为10，，求过点P的弦的长度m范围． 20.（本小题满分8分）（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分． （1）连接，求证：平分； （2）若，，求的长． 21.（本小题满分10分）（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求的半径． 22.（本小题满分10分）（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，求的长． 23.（本小题满分10分）（2022·湖南长沙·二模）如图，为的直径，且，和是的两条切线，切于点，交于，交于点，设，． （1）求证：； （2）求与的函数关系式？ （3）若、是方程的两个根，求、的值． 24.（本小题满分12分）（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】 如图，内接于，是的直径，点为优弧的中点，连接． 【问题探究】 （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，延长相交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 对称图形——圆（单元卷） （年级：九年级上册 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试卷共24题，其选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合常考点精选细编，考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）的直径为6，线段，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．由的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与的位置关系． 解：∵的直径为6， ∴的半径是3， ∵点P到圆心O的距离为4， ∴点P与的位置关系是：点在圆外． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点C是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，勾股定理，利用垂径定理的推论得到圆心在上，设圆心为O点，连接，如图，设圆的半径为，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可． 解：，点C是的中点， 即垂直平分，， 圆心在上， 设圆心为O点，连接，如图， 设圆的半径为，则，， 在中，， 解得， 即圆的半径为． 故选：D． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质．根据题意可得，然后根据三角形外角的性质可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 4．（2025·陕西榆林·二模）如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理．首先连接，由圆周角定理即可得的度数、的度数，然后由圆周角定理即可得解． 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，、切于点、，点是上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，利用了圆周角定理，切线的性质，四边形的内角和为求解，连接，构造垂直是解题关键．连接，，由圆周角定理可知，、分别切于点、，利用切线的性质可知，根据四边形内角和可求得． 解：连接，， 由圆周角定理可知， 、分别切于点、， 利用切线的性质可知， 根据四边形内角和可求得． 故选：． 6．（24-25九年级下·江苏苏州·期末）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接，点在线段上，，连接，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交圆于点，连接，，，利用圆周角定理和垂径定理求出，，及的度数即可求解． 解：延长交圆于点，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵圆中于点，根据垂径定理可得：， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（2025·陕西西安·二模）越来越多的传统文化创意产品加入西安大唐不夜城，其中大唐团扇倍受游客青睐．如图是一把大唐团扇的示意图，扇柄所在直线将扇面平分，小西为了使扇子更漂亮和耐用，在扇面中间增加了3根金丝线（虚线），扇子两端增加2根扇骨，金丝线和扇骨均垂直于直径且将均分，已知的长为，则扇骨与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了垂径定理的应用，勾股定理．设交于点G，连接，根据题意得：扇骨与之间的距离等于，，，，设的半径为，则，在中，利用勾股定理求出r的值，即可求解． 解：如图，设交于点G，连接， 根据题意得：扇骨与之间的距离等于，，，， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴扇骨与之间的距离等于． 故选：A 8．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，I为内心，P为的外接圆上一点，于点E，于点F．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内心，圆内接四边形，根据内心为三角形的三条角平分线的交点，求出的度数，圆内接四边形结合四边形的内角和为360度，推出，即可得出结果． 解：∵在中，I为内心，， ∴平分，平分，， ∴， ∴， ∴， ∵P为的外接圆上一点， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 9．（2025九年级下·广东·学业考试）如图，的半径，是半径上一点（不与点重合），过点作弦，沿把翻折得到，连接、，当弦的长是整数时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关概念，等边三角形的判定和性质，弧长公式，掌握弧长公式是解题关键．根据不过原点的弦小于直径，得到，再根据弦的长是整数，得到，则是等边三角形，得到，再利用弧长公式求解即可． 解：的半径， ， 是半径上一点（不与点重合）， ， 弦的长是整数， 弦， 是等边三角形， ， 的长， 的长为， 故选：B 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，直径，，是半圆上的两点，半径上存在点，满足．延长交圆于点，连结．若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，圆的对称性，连接，设，则，可证明，；由圆的对称性可得，此时点C与点E关于对称，则，可得，由圆周角定理可得，则；由勾股定理得，解方程求出的长即可得到答案． 解：如图所示，连接，设，则， ∵， ∴，； ∵是直径， ∴； 由圆的对称性可得，此时点C与点E关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∵点P在上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质及等腰三角形的性质．先利用直角三角形两锐角互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形外角性质可计算出． 解：∵在中，， 又 又 故答案为： 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点是的中点，，则等于 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等． 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得出，代入求出即可． 解：∵， ∴ ∴， ∵点是的中点，即， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于 ． 【答案】//2.5 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 连接，利用圆周角定理得出为圆的直径，再根据勾股定理求出的长度，进而得到圆的半径． 解：连接， ∵， ∴是圆的直径． ∵，， ∴，， 根据勾股定理，在中， ． ∴圆的半径为． 故答案为：． 14．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    【答案】/18度 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 解：如图，连接、，    ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）母线长为，底面圆的半径为的圆锥侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式 ，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据圆锥的侧面积公式进行作答，然后即可求解； 解：∵圆锥的侧面积公式 ，圆锥母线长为，底面圆的半径为 ∴， 故答案为：； 16．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）如图，半径为1，垂直于直径，E为弧上一点，直线与直线交于点C，过C作垂线，交延长线于点A，若长为，则 ． 【答案】 【分析】由题易证点A、D、E、C四点共圆，则，进而可得为等腰直角三角形，所以 解：如图，连接， ∵ ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴点A、D、E、C四点共圆， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 【点拨】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、等腰直角三角形的判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键. 17．（23-24六年级上·上海·阶段练习）如图，等边的边长为3，分别以顶点为圆心，长为半径，作，我们把这三条弧所组成的图形称作“莱洛三角形”．设点为图形的中心点．如图2，将这个图形的顶点A与线段作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点重合，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式、莱洛三角形的周长、等边三角形的性质、弧与弦的关系等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 先求出的长，继而得出“莱洛三角形”的周长即可解答； 解：∵等边的边长为3， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长为． 故答案为：． 18．（2025·江苏常州·二模）如图，， O为的中点， 以O为圆心，为半径的圆交线段于点C．P是上的动点，连接，若线段交于Q，弦的中点为M，则 的周长c（单位：）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质，涉及直角三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理和切线的性质，解题的关键是熟悉找到最大值和最小值点M所处的位置．当点P位于线段上时取得最小值，根据题意得、和，结合中点求得，即可求得的周长最小值；当点P、点M与点Q重合时，即与相切，取的中点H，利用勾股定理求得，则和，根据直角三角形的性质求得，由三角形中位线定理求得，即可求得的周长最大值． 解：当点P位于如图所示的位置取得最小值， ∵， ∴， 由题意可知，则， ∵弦的中点为M， ∴， 则的周长， 当点P、点M与点Q重合时，如图所示的位置取得最小值， 则与相切， 取的中点H，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为直角三角形，且点C为的中点， ∴， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， 则的周长， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，点P是内一定点． （1）过点P作弦，使点P是的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若的半径为10，，求过点P的弦的长度m范围． 【答案】（1）作图见详解；（2） 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理以及作图，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）依据题意，连接并延长，过点P作即可； （2）依据题意，过点P的所有弦中，直径最长为20，与垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出，即可得解． 解：（1）解∶如图1，连接并延长，过点P作，则弦即为所求； ． （2）解：过点P的所有弦中，直径最长为20，与垂直的弦最短， 连接， ， ， ， 过点的弦的长度范围为． 20.（本小题满分8分）（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分． （1）连接，求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可证明； （2）根据题意推出，结合勾股定理即可求解． 解：（1）证明：∵点D在上且平分， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵是直径， ∴， ∵点D在上且平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21.（本小题满分10分）（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 解：（1）证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 22.（本小题满分10分）（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用， （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 解：（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2）设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 23.（本小题满分10分）（2022·湖南长沙·二模）如图，为的直径，且，和是的两条切线，切于点，交于，交于点，设，． （1）求证：； （2）求与的函数关系式？ （3）若、是方程的两个根，求、的值． 【答案】（1）见分析；（2）；（3），或，． 【分析】（1）根据切线长定理得到，，根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理计算，证明结论； （2）过点作，垂足为，根据勾股定理列式计算，得到答案； （3）根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据函数关系式列出方程，解方程即可． 解：（1）证明：、是的两条切线， ， 同理可得，， 为的直径，和是的两条切线， ∴， ， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为， 则四边形为矩形， ，， 切、、于、、， ，， ，， 在中，，即， ， ． （3）解：、是方程的两个根， ，即， 整理得，， 解得，，， 则，， ，或，． 【点拨】本题考查的是切线的性质、切线长定理、矩形的性质、求函数关系式、一元二次方程根与系数的关系，掌握切线长定理、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 24.（本小题满分12分）（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】 如图，内接于，是的直径，点为优弧的中点，连接． 【问题探究】 （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，延长相交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3） 【分析】（1）连接，由点为的中点，得，所以，证明，可得平分； （2）由是的直径，得，由，，得；连结，则，由，，由平行线的性质得，则，可得， （3）结合，则，所以，设的半径为，则，，由勾股定理得，求出符合题意的值，再利用勾股定理即可得到答案． 解：证明：（1）如图，连接，    点为的中点， ， ， ∵，， ∴， ∴， 平分． （2）如图，连结， 是的直径， ， ， ∵，， ∴， ．    ， ， ， ， ， ， （3），， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，弦，弧，圆心角的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $