精品解析：2023年安徽师范大学附属中学自主招生考试数学真题

安徽师范大学附属中学2023年高中自主招生考试 数学试题 一、选择题（本大题共6小题；每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上）： 1. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（ ） A. 0，4 B. 1，5 C. 1，－5 D. －1，5 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线可求出m的值，然后解方程即可． 【详解】抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 关于x的方程为， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及解一元二次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 2. 如图，在双曲线有点M，它的横坐标是1，过M分别作坐标轴的平行线交双曲线（k＜0）于点A，B，连接AB，则△AMB的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出M、A、B的坐标即可求出△AMB的面积． 【详解】∵在双曲线有点M，它的横坐标是1 ∴M点坐标为（1,3） ∵过M分别作坐标轴的平行线交双曲线（k＜0）于点A，B， ∴A点坐标为，B点坐标为 ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数解析式求出A、B点的坐标是解题的关键． 3. 如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（　　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积等于扇形BD面积O减去S弓形OD面积计算即可． 【详解】由折叠可知， S弓形AD=S弓形OD，DA=DO， ∵OA=OD， ∴AD=OD=OA， ∴△AOD为等边三角形， ∴∠AOD=60°，∠DOB=30°， ∵AD=OD=OA=4， ∴CD=2， ∴S弓形AD=S扇形ADO-S△ADO= ， ∴S弓形OD=， 阴影部分的面积=S扇形BDO-S弓形OD= 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解题的关键． 4. 若，则可取得的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设，把，，用的代数式表示，则转化为关于的二次三项式，运用配方法求其最小值． 【详解】解：设， 即x=k+1,y=2k-1,z=3k+2, 则， ． 故最小值为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是设． 5. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+6与坐标轴交于点A，B，点C为OA上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，过点D作DE∥x轴，交y轴于点E，在直线DE上找一点F，使得∠DCF＝90°，连接OF，当OF+CF的值最小时，求点F的坐标为（　　） A. （1，） B. （，） C. （2，2） D. （3，1） 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得点A、B的坐标，CF∥AB，进而可得OA=OB=6，过点D作DM⊥OA于点M，延长CF交y轴于N，设点C（m，0），则OC＝m，则点D坐标可用含m的代数式表示，进而可得当EN＝OE时，则OF＝FN，此时OF+CF＝CN的值最小，最后求解即可． 【详解】解：过点D作DM⊥OA于点M，延长CF交y轴于N，如图所示： ∵一次函数y＝﹣x+6与坐标轴交于点A，B， ∴A（6，0），B（0，6）， ∴OA＝OB＝6， ∴∠BAO＝45°， ∵CD⊥AB， ∴∠DCA＝45°， ∴CD＝AD， ∵DM⊥AC于M， ∴DM＝AC＝CM＝AM， 设C（m，0），则OC＝m， ∴AC＝6﹣m， ∴DM＝CM＝3﹣m， ∴D（3+m，3﹣m）， 延长CF交y轴于N， ∵CD⊥AB，∠DCF＝90°， ∴CF∥AB， 当EN＝OE时，则OF＝FN，此时OF+CF＝CN，值最小， ∵CN∥AB，OC＝m， ∴ON＝m， ∴此时m＝2（3﹣m）， 解得m＝3， ∵E是ON的中点，DE∥x轴， ∴EF＝OC＝， ∴F（，）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，关键是根据题意得到最短路径，然后再利用一次函数的性质进行求解即可． 6. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，所以ab＜0． 抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以abc＜0，故①错误； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故②错误； ③由图可知，x＜0时，y随x的增大而增大，故③正确； ④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣ ＝1， 即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故④正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确． 综上所述，③④⑤正确． 故选C． 【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于根据函数图象进行判断 二、填空题（本大题共9小题；每小题5分，共45分．请把正确答案写在答卷纸的指定位置） 7. 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为________． 【答案】34 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，每个“品”中，上面一层的数加上下面一层左边的数等于下面一层右边的数，下面一层左边的数比上面一层的数小1，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：观察可知，每个“品”中，上面一层的数加上下面一层左边的数等于下面一层右边的数，下面一层左边的数比上面一层的数小1， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键。原式结合后，提取公因式即可得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 9. 如图，矩形ABCD中，E是AB上的一点，且AE：BE=3：2，DA边上有一点F，EF=18，将矩形沿着EF翻折，使A落在BC上的G处，则AB=___________． 【答案】 【解析】 【详解】设AE=3x,EB=2x,则FG=AF=, EG=AE=3x,BG=, 作FH⊥BC于H,则△FGH∽△GEB,所以,即, , , , 所以AB=5x=,故答案为. 10. 如图，已知的半径是1，圆心P在抛物线上运动．当与x轴相切时，圆心P的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、抛物线的性质，由题意可得圆心的纵坐标为，代入抛物线方程，分别求出圆心的横坐标，则答案可求．解决本题的关键在于当与轴相切时，确定点的纵坐标. 【详解】解:设点的坐标为． 与轴相切，，． 当时，，解得，，点的坐标为或； 当时，，解得，点的坐标为． 综上所述，圆心的坐标为或或． 故答案为:或或． 11. 如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m的取值范围是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程公式法，以及三角形三边关系，解不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用两数相乘积为0得到两个方程，求出的值，根据三角形三边关系列出不等式，求出解集即可确定出的范围． 【详解】解：方程， 得到或， 解得：或， 方程的三根可作为一个三角形的三边长， ，且，， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，在菱形ABCD中，边AB=5，E，F分别在BC和AD上，若DF=1，BE=3，且此时BF=DE，则BF的长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先由已知条件求得CE和AF的长，再在AF上截取AG=CE=2，然后判定△BAG≌△DCE（SAS），则可推得BG=BF，由等腰三角形的“三线合一“性质可得FH、HG，从而由勾股定理可求得BH和BF． 【详解】∵在菱形ABCD中，边AB=5，DF=1，BE=3， ∴CE=2，AF=4， 如图，在AF上截取AG=CE=2，过点B作BH⊥FG于点H， 则FG=AF﹣AG=2， ∵菱形ABCD中，∠A=∠C，AB=DC， ∴在△BAG和△DCE中， ， ∴△BAG≌△DCE（SAS）． ∴BG=DE， ∵BF=DE， ∴BG=BF． 过点B作BH⊥FG于点H，则FH=HG=FG=1， ∴AH=AG+GH=2+1=3， ∵AB=5， ∴在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH=4， ∴在Rt△BHF中，由勾股定理得：BF===． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 13. 若二次函数在－2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是_________． 【答案】或4． 【解析】 【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①对称轴在－2≤x≤1左边时；②对称轴在－2≤x≤1上时；③对称轴在－2≤x≤1右边时，三种情况结合增减性讨论即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是， ，二次函数开口向下， ①当对称轴在－2≤x≤1左边时，，即， ∴当－2≤x≤1时，随的增大而减小， 即当时，二次函数有最大值为， 解得， ∵，故此种情况无解； ②当对称轴在－2≤x≤1上时，，即， ∴当时，二次函数有最大值为， 解得或， 由于，故； ③当对称轴在－2≤x≤1右边时，，即， 当－2≤x≤1时，随的增大而增大， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； 综上①②③所述，或， 故答案为：或4． 【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键． 14. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_． 【答案】． 【解析】 【分析】根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积，本题得以解决． 【详解】联立得， 解得，或， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ，得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 将代入直线中，得， ∵直线与轴的夹角是， ∴点到直线的距离是：， ∴的面积是：， 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15. 已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，设公共实数根为，则，，，三式相加得出，即，求出，再将原式变形计算即可得出答案． 【详解】解：设公共实数根为，则，，， ∴三式相加得出，即， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，共75分，其中第16题7分、第17题8分、第18、19、20、21、22题每题12分，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上） 16. 随着选修课的全面开展，我校决定围绕“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题： （1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整； （2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率． 【答案】（1）400名， 图形如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图、扇形统计图、条形统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的互补性，求条形统计图与扇形统计图相关数据，画条形统计图，列表法或树状图法求概率，是解题的关键．概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）结合两图科技的数据求出抽查的总人数，再求出扇形图中演讲和英语的数据和条形图中书法的数据，补全条形图和扇形图的数据； （2）列出树状图，根据概率公式解答即可． 【小问1详解】 解：一共抽查了名学生． 扇形统计图， 演讲：， 英语：； 条形统计图， 书法：人． 【小问2详解】 解：设第一小组中男为A，女为B，则第二小组中两男为a、b； 树状图： 共有12种等可能情况，其中有一名女生且来自同一小组的等可能情况有2种情况，概率为：． 答：所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率为． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求的取值范围. （2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值. 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）由根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，结合|x1-x2|=4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根， ∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0， 解得：m≤2； （2）∵方程x2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x1、x2， ∴x1+x2=6，x1x2=4m+1， ∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42，即32-16m=16， 解得：m=1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1-x2|=4，找出关于m的一元一次方程． 18. 解关于x的不等式． 【答案】当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的解集，解一元二次方程，二次函数的图象和性质． 当时，直接化为求解即可；当时，先求出方程的解，进而分两种情况借助二次函数的图像和性质求解即可． 【详解】解：①当时，原不等式可化为，解得； 当时，解得，， ②当时，，即，由二次函数的性质可知，当或时，即原不等式的解集为或； ③当时，，同理可得原不等式的解集为； ∴当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为． 19. 如图，已知为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以为一组邻边作，连接，设的中点分别为，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若点P从点B出发，以每秒的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为． ①是否存在这样的，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． ②试求：当t为何值时，四边形的面积取得最大值？并判断此时直线与半圆O的位置关系（需说明理由）． 【答案】（1）四边形OMPN为矩形，理由见解析；（2）①当8＜t＜12时，点Q落在半圆O内；②当t＝6s时，四边形OMPN的面积取得最大值，此时PQ与半圆O相切． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得PQOB，PQ＝OB，可证四边形PQOA为平行四边形，可得PAQO，PA＝QO．由中点的性质可得OM＝PN，可证四边形OMPN为平行四边形，由等腰三角形的性质可得∠ONP＝90°，可得结论； （2）①求出点Q落在半圆O上时，t的值，点P与点A重合时，t的取值，根据这两个特殊位置，可求点Q落在半圆O内时，t的取值范围； ②由面积公式可得S矩形OMPN＝S△AOP，由△AOP的底AO为定值，则当P旋转运动90°（运动至最高点）时，高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值，即可求t的值，由平行线的性质可得∠OPQ＝90°，可证PQ与半圆O相切． 【详解】解：（1）四边形OMPN为矩形， 理由如下：∵四边形POBQ为平行四边形， ∴PQOB，PQ＝OB， 又∵OB＝OA， ∴PQ＝AO， 又∵PQOA， ∴四边形PQOA为平行四边形， ∴PAQO，PA＝QO． 又∵M、N分别为OQ、AP的中点， ∴OM＝OQ，PN＝AP， ∴OM＝PN， ∴四边形OMPN为平行四边形， ∵OP＝OA，N是AP的中点， ∴ON⊥AP，即∠ONP＝90°， ∴四边形OMPN为矩形； （2）①如图，当点Q落在半圆O上时， ∵四边形POBQ是平行四边形， ∴PQ＝OB，PO＝BQ， 又∵OB＝OP＝OQ， ∴OP＝OQ＝PQ＝BO＝BQ， ∴△POQ是等边三角形，△BQO是等边三角形， ∴∠POQ＝∠BOQ＝60°， ∴∠BOP＝120°， ∴t＝＝8s， ∴当t＝8s时，点Q落在半圆O上， ∵当点P与点A重合时，t＝＝12s， ∴当8＜t＜12时，点Q落在半圆O内； ②∵四边形OMPN为矩形， ∴S矩形OMPN＝ON•NP＝AP•ON， ∴S矩形OMPN＝S△AOP， ∵△AOP的底AO为定值， ∴当P旋转运动90°（运动至最高点）时，高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值． ∴t＝90÷15＝6秒． ∴当t＝6s时，四边形OMPN面积最大， 此时，PQ与半圆O相切． 理由如下：∵∠POB＝90°，PQOB， ∴∠OPQ＝90°， ∴PQ与半圆O相切． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 20. 【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 【答案】（1）； （2），理由：如图2，连接， ∵在和中，，，， ， ， ∵，， ， ， ， ∴； （3）如图3，过A作AF⊥EC， 线段的长度为． 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，从而可证，然后根据三角形全等的性质可求解； （2）连接，由题意易得，进而可证，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证； （3）如图，过A作，由题意可知，，然后根据相似三角形的性质及题意易证，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可． 【详解】解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）由题意可知，， ∴，即， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ，2×， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解． 21. 如图，等腰△ABC两腰AB，AC分别交⊙O于点D，E，点A在⊙O外，点B，C在⊙O上（不与D，E重合），连结BE，DE．已知∠A＝∠EBC，设＝k（0＜k＜1）． （1）若∠A＝50°，求的度数； （2）若k＝，求的值； （3）设△ABC，△ADE，△BEC的周长分别为c，c1，c2，求证：1＜≤． 【答案】（1）30°； （2）； （3）由（2）可得， ，， ，， ， 由（2）可得， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可求，可求，即可求解； （2）通过证明，可求，设，则，，，通过证明，可求，可求，即可求解； （3）由相似三角形的性质可得，，可得，由二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ， 的度数； （2），， ， ，， ， 设，则，， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ； （3）略 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，利用参数表示相似三角形的相似比是本题的关键． 22. 平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标； （3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△的面积． 【答案】（1） （2）、 （3）；面积为 【解析】 【分析】（1）先将抛物线解析式进行配方，得出对称轴所在的直线后，结合点A的坐标可确定点B的坐标为，再由OB=OC得到点C的坐标，最后利用待定系数法解题； （2）作△ABC的外接圆☉E，根据圆周角定理可知，P点应为抛物线对称轴与☉E的交点，需要求出圆心E的坐标及☉E的半径即可解题； （3）由对称性质解得，作⊥x轴于点N，构造，利用45°角的正弦、余弦值解得的长，得到点的坐标，及利用待定系数法解得直线的解析式，再设点Q的坐标为，其中，利用勾股定理及三角形面积公式解题即可． 【小问1详解】 ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴交于点A、点B，点A的坐标为， ∴点B的坐标为，OB＝3， 可得该抛物线的解析式为， ∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C， ∴OC=3，点C的坐标为， 将点C的坐标代入该解析式，解得a=1， ∴此抛物线的解析式为； 【小问2详解】 作△ABC的外接圆，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点，如图， 可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上， ∵都是弧AB所对的圆周角， ∴，且射线FE上的其它点P都不满足， 由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2， 可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上， ∴点E的坐标为 ∴由勾股定理得， ∴， ∴点的坐标为， 由对称性得点的坐标为， ∴符合题意的点P的坐标为、； 【小问3详解】 ∵点B、D的坐标分别为， 可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45°， ∵点A关于∠AQB的平分线的对称点为，如图， 若设与∠AQB的平分线的交点为M， 则有，三点在一条直线上， ∵， ∴ 作⊥x轴于点N， ∵点Q在线段BD上，三点在一条直线上， ∴， ∴点的坐标为， ∵点Q在线段BD上， ∴设点Q的坐标为，其中， ∵， ∴由勾股定理得 解得， 经检验，在的范围内， ∴点Q的坐标为， 此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及圆周角定理、解直角三角形、正弦、余弦等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽师范大学附属中学2023年高中自主招生考试 数学试题 一、选择题（本大题共6小题；每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上）： 1. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（ ） A. 0，4 B. 1，5 C. 1，－5 D. －1，5 2. 如图，在双曲线有点M，它的横坐标是1，过M分别作坐标轴的平行线交双曲线（k＜0）于点A，B，连接AB，则△AMB的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（　　 ） A. B. C. D. 4. 若，则可取得的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 5. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+6与坐标轴交于点A，B，点C为OA上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，过点D作DE∥x轴，交y轴于点E，在直线DE上找一点F，使得∠DCF＝90°，连接OF，当OF+CF的值最小时，求点F的坐标为（　　） A. （1，） B. （，） C. （2，2） D. （3，1） 6. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共9小题；每小题5分，共45分．请把正确答案写在答卷纸的指定位置） 7. 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为________． 8. 因式分解：______． 9. 如图，矩形ABCD中，E是AB上的一点，且AE：BE=3：2，DA边上有一点F，EF=18，将矩形沿着EF翻折，使A落在BC上的G处，则AB=___________． 10. 如图，已知的半径是1，圆心P在抛物线上运动．当与x轴相切时，圆心P的坐标为________． 11. 如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m的取值范围是 _______． 12. 如图，在菱形ABCD中，边AB=5，E，F分别在BC和AD上，若DF=1，BE=3，且此时BF=DE，则BF的长为_____ 13. 若二次函数在－2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是_________． 14. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_． 15. 已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为_____． 三、解答题（本大题共7题，共75分，其中第16题7分、第17题8分、第18、19、20、21、22题每题12分，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上） 16. 随着选修课的全面开展，我校决定围绕“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题： （1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整； （2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求的取值范围. （2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值. 18. 解关于x的不等式． 19. 如图，已知为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以为一组邻边作，连接，设的中点分别为，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若点P从点B出发，以每秒的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为． ①是否存在这样的，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． ②试求：当t为何值时，四边形的面积取得最大值？并判断此时直线与半圆O的位置关系（需说明理由）． 20. 【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 21. 如图，等腰△ABC两腰AB，AC分别交⊙O于点D，E，点A在⊙O外，点B，C在⊙O上（不与D，E重合），连结BE，DE．已知∠A＝∠EBC，设＝k（0＜k＜1）． （1）若∠A＝50°，求的度数； （2）若k＝，求的值； （3）设△ABC，△ADE，△BEC的周长分别为c，c1，c2，求证：1＜≤． 22. 平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标； （3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $